1.2.1直线的倾斜角和斜率教学设计-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦直线的倾斜角和斜率核心知识，涵盖概念理解、斜率公式推导及应用。通过“转笔”演示引出直线方向确定需倾斜角，结合楼梯、坡面等生活坡度实例，衔接一次函数图像与两点确定直线的旧知，搭建从直观到抽象的学习支架。 特色在于以生活情境培养数学眼光，如用藤县中学楼梯图片抽象坡度与斜率关系，分组讨论倾斜角分类及斜率变化规律发展数学思维，希沃白板动态展示突破倾斜角范围等难点。助力学生提升几何直观与推理能力，为教师提供清晰教学流程与重难点解决策略。

2.1.1直线的倾斜角和斜率教学设计 藤县第七中学 陈羽 一、内容及其解析 “直线的倾斜角和斜率”是北师大版数学选择性必修性一第一章第二节的内容，是高中解析几何内容的开始。这节课学习的内容是直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率。其核心内容是直线倾斜角的概念和斜率的求法，理解它的关键是在平面直角坐标系中直线向上的方向与X轴正方向所成的角和角的正切值。之前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点可以确定一条直线，这节内容就是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。 二、目标及其解析 目标定位：1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. 2、会求出直线的倾斜角和直线的斜率. 3、掌握过两点的直线的斜率公式. 目标解析： 1、正确理解直线的倾斜角是指在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角；理解斜率概念是指直线的斜率就是直线倾斜角的正切值。 2、会求出直线倾斜角是指已知直线的斜率求出其对应倾斜角，会求直线斜率是指知道直线的倾斜角会求出其对应直线的斜率。 3、掌握过两点的直线的斜率公式就是要熟练应用经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点的直线的斜率公式k= （）。 三、问题诊断与分析 1、对于倾斜角概念：根据倾斜角的定义说清楚“逆时针”与“重合”学生是容易掌握的，对于“是不是所有的直线都有倾斜角”这个问题绝大部分同学都能够理解。而对于倾斜角的范围有些同学容易在180这里产生误解。 2、对于斜率，学生基本上能从斜坡的坡度中顺利迁移过来，当倾斜角为90及0时可以特殊认识，当倾斜角为钝角时(与斜坡稍有不同)斜率的求法应重点分析，突出转化思想。 3、让学生探究坐标系中两点与直线的斜率关系，在推出斜率公式之后对公式不加以考虑直接用而没有考虑公式的适用范围。 四、教学支持条件分析 本节课打算用希沃白板进行教学，因为多媒体的教学更容易刻画直线在直角坐标系中的位置，直观明了。使学生更容易理解，并且多媒体教学的课容量大，大大提高了课堂的效率。 五、本节课的主线 通过日常生活中讨论斜面问题时，经常涉及“坡度”这一概念，引导学生把坡度这个同样刻画直线倾斜程度的量与倾斜角联系起来，从而引入“斜率”这一概念，进而把“上坡”和“下坡”中的上升和下降是一组具有相反意义的量进行分析并推导斜率的公式。 六、教学设计： 课标要求 斜率的概念，用代数方法刻画直线的斜率的过程，过两点的直线的斜率的计算公式 教 学 目 标 知识目标 （1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念． （2）理解直线的倾斜角的唯一性. （3）理解直线的斜率的存在性. 技能目标 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式． 情感态度价值观 1、通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力． 2、 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神． 重点 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 难点 斜率的概念和公式. 教学的过程 问题与情境及教师活动 学生活动 教学过程： 首先简单介绍第二章要学习的内容 1.让学生预习导学案 2.为了提高学生的兴趣，让一位学生上来演示一下“转 笔” 3.让学生思考： （1）笔在转动的过程中是否恒过一个定点？ （2）过一点有多少条直线？ （3）想把直线固定下来，需要什么条件？（再加一个点，因为两点可以确定一条直线） （4）课前作图：画出向上方向与x轴正方向成30°的直线，可以作多少条？思考：如何才能把直线确定下来？ 直线上的一个点和这条直线的方向 找一个学生演示“转 笔”目的是引起他们的兴趣进而提问 让学生通过回答问题从而得出另一种可以直线确定下来的方法 教 学 过 程 及 方 法 从而引入我们这节课的内容：直线的倾斜角和斜率，并提出问题：是否所有的直线与X轴都有交点？如果与X轴没有交点，它的倾斜角是多少度？ 得出规定：当直线和x轴平行时它的倾斜角为0° 并提出问题:倾斜角能不能刻画直线的倾斜程度？ 通过教鞭演示让学生思考： 1.倾斜角的范围是什么？ 2.提出按角的大小直线的倾斜角可以怎么分类？ 3.除了用倾斜角刻画直线的方向，生活中还有哪些量可以刻画直线的方向？ 4.通过图片展示给学生看，并且把学生熟悉的图片展示给学生看，让学生知道，数学在生活中随处可见 5.思考： 回忆一下，在初中，我们用什么量，去衡量坡面、楼梯的陡峭程度？ 坡度= 当倾斜角变化的时候，斜率K是怎样变化的？ 提问： 2. 平行的两条直线倾斜角是否会相等？ 学生活动 学生对问题的回答有助于帮助理解倾斜角的定义 通过对定义的阅读和教师的讲解以及多媒体的展示，让学生更进一步理解定义 并通过教鞭的转动让学生对倾斜角进行分类 通过提问让学生知道所有的直线都有倾斜角，平行的两条直线倾斜角都会相等 通过坡度引出直线的斜率，并且通过上坡和下坡得到的图形放到平面直角坐标系中得到倾斜角和斜率直角的关系。 提问：生活中有没有与倾斜程度有关的量？ 通过多媒体展示图片 以及学生熟悉的藤县中学的楼梯以及学校办公楼楼梯的图片如何问学生哪一个会更累？为什么？从而引出陡缓以及坡度比的概念 通过办公楼的楼梯为例，告诉学生水平距离，铅直高度以及这两个量与坡度比也就是倾斜程度之间有什么关系，从而引出斜率的定义：实际上斜率k就是这条直线倾斜角α的正切值。 通常我们把tanα也叫直线的斜率，记作　k=tanα 并提出问题： 1、我们研究坡度是放在什么三角形里研究的？ 2、如果研究的图形里没有直角三角形你会怎么做？ 3、斜率能否表示直线的倾斜程度？ 说明坡度实际上就是倾斜程度 和学生互动，由学生提出在他们身边的一些具体的例子再通过多媒体对图片的展示，让学生知道数学就在我们的身边，数学与我们的生活是息息相关的 通过对身边的事物的展示让学生知道，其实数学就在我们的身边，走楼梯的陡缓与它的倾斜度有关，从而引出坡度这一说法，这为下面的讲解打下铺垫 通过藤州中学办公楼楼梯图片告诉学生生活中的坡度的计算公式为后面斜率的推导做好铺垫 教 学 过 程 及 方 法 分组讨论：当倾斜角变化的时候，斜率K是怎样变化的？ 思考：过两点的直线斜率的计算公式 通过让学生自己动手探究，得到直线的斜率公式，并让他们观察公式的特点，方便更好地记忆 通过练习加深对公式的认识和理解 变式训练能更好地对概念掌握 学生自己动手探究调换两个点的位置斜率的公式不变，并讲解只要直线的倾斜角不变，则斜率就不变 谈谈我的收获（让学生谈收获并进行小结） 让学生小结本节课学了什么内容 课后布置作业巩固 板书设计 2.1.1直线的倾斜角和斜率 1.倾斜角的定义 2.倾斜角的范围: 3.斜率的定义 4.斜率公式 5.小结 1 学科网（北京）股份有限公司 $