专题02 整体思想在整式化简中的应用压轴（四大题型）（高效培优专项训练）数学浙教版2024七年级上册

专题02 整体思想在整式化简中的应用压轴（四大题型） 【考点1 直接整体代入求值】..............................................................1 【考点2 变形后整体代入求值】............................................................4 【考点3 化简后整体代入求值（整体思想）】....................................................7 【考点4 整体思想中新定义问题】.............................................................18 题型一 直接整体代入求值 1．已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 2．已知a，b互为相反数，c和d互为倒数，m的绝对值为3，求的值． 3．求下列代数式的值 (1)，其中，； (2)，其中，． 4．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． (1)直接写出的值； (2)求的值． 5．已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 6．已知的平方根是，的立方根是， (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 题型二 变形后整体代入求值 1．已知代数式的值是，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（  ） A．1 B．3 C．6 D．9 3．若，则代数式的值是（   ） A． B．0 C．1 D． 4．已知，则代数式的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．已知，则代数式的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 6．若代数式的值是5，则代数式的值是（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 7．已知，，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．当时，代数式的值是2021，则当时，其值是（    ） A．2019 B． C． D．2020 题型三 化简后整体代入求值（整体思想） 1．（整体思想）已知，，求的值． 2．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。 (1)把看成一个整体，化简：______； (2)运用“整体思想”化简：． 3．阅读材料： “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是_____． 拓广探索： （2）已知，，，求的值． 4．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法．如：若，我们把看成一个整体，则． (1)已知，求的值； (2)将一块长方形纸片按如图所示的方式进行剪裁，其中①②③④为正方形，⑤为长方形．设正方形①的边长为x，正方形②的边长为y，若图中正方形③的边长为1，求长方形⑤的周长． 5．【教材呈现】如图是某版七年级上册数学教材82页的部分内容． 求代数式的值，其中，． “整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】 ①已知，则_______； ②已知，求的值； (3)【拓展提高】已知且，求m的值． 6．【知识呈现】我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为___________；（用含，的式子表示） （2）若代数式的值为5，求代数式的值； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： 已知，的值为最大的负整数，求的值． 7．理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：如果，求代数式的值． 我们可以将作为一个整体代入： 请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，则代数式的值为______； (2)如果，求代数式的值． (3)如果，求代数式的值． 8．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如下图所示是老师安排的作业题． 代数式的值为9，则代数式的值为_______． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若代数式的值为11，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 9．我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简和求值中应用极为广泛．请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将合并的结果为 ； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 10．阅读苏科版七上数学教材第90页的部分内容． 【解决问题】 （1）把看成一个整体，对下列式子进行化简：； 【简单应用】请运用上面的化简方法，完成下列问题． （2）当，则_____________． （3）当，代数式的值是5，求当时，代数式的值． 11．“整体思想”是我们分析数学问题、解决数学问题常见的一种非常重要的数学思想，比如我们要计算的值，就可以采用这一思想，认真阅读理解下面例题，让我们感受“整体思想”在数学中妙用！计算的值． 分析：算式中后一个加数是前一个加数的3倍，因此，可以将原算式看作一个整体，记作S，整体扩大3倍后再解决问题． 解：设① 则② 得：， ∴， ∴， 即． 利用上述思想，解决下列问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 12．理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值．我们可以将作为一个整体代入：． 请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 13．【阅读理解】整体思想是数学中的重要思想，它是把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．例如：已知，求的值，可将作为整体代入，得． 【尝试应用】 （1）已知，求的值； （2）当时，代数式的值为5，求当时，代数式的值． 【拓展延伸】 已知，，求当，时，的值． 14．阅读材料： “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 拓广探索： （3）已知，，，求的值． 题型四 整体思想中新定义问题 1．定义新运算：，（等号右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，．若，则称有理数为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_______．（请填序号）． ①；②，；③． (2)计算：； (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．请你计算：． 2．阅读材料：由于生活中一般都采用十进制的进位方法，所以有一种定义：若，则称与完美进制数．举个例子说明，因为，我们就说6和4是完美进制数，请根据以上材料，回答下列问题： (1)与_____是完美进制数，与_____是完美进制数．（用含的代数式表示） (2)若请你通过计算判断与是否为完美进制数． (3)已知，且与为完美进制数，求与的值． 3．现定义新运算为：，如． (1)计算和的值； (2)化简； (3)若，求的值． 4．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)通过计算判断数对是不是“共生有理数对”； (2)若是“共生有理数对”，则“” “共生有理数对”（填“是”或“不是”）； (3)如果是“共生有理数对”，且，求的值． 5．定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 6．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 7．对于任意代数式，，定义，例如． (1)的值为______； (2)求的值； (3)若多项式，化简多项式，并求当时，的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整体思想在整式化简中的应用压轴（四大题型） 【考点1 直接整体代入求值】..............................................................1 【考点2 变形后整体代入求值】............................................................4 【考点3 化简后整体代入求值（整体思想）】....................................................7 【考点4 整体思想中新定义问题】.............................................................18 题型一 直接整体代入求值 1．已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了绝对值的定义．熟练掌握绝对值的定义是解题的关键． 绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离． （1）根据绝对值的定义求出和的可能取值，再结合题目条件求出的值； （2）根据绝对值的定义求出和的可能取值，再结合题目条件求出的值． 【详解】（1）解：； ，     ， ，     ，， ，， ； （2）解：，， ，，     ， ，或，，     ． 2．已知a，b互为相反数，c和d互为倒数，m的绝对值为3，求的值． 【答案】1或 【分析】本题考查代数式的求值．根据a，b互为相反数，c和d互为倒数，m的绝对值为3，可以得到，，，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：，b互为相反数，c和d互为倒数，m的绝对值为3， ，，， 当时， ； 当时， ； 由上可得，的值为1或 3．求下列代数式的值 (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查代数式的值，熟练掌握代数式的值是解题的关键； （1）把，代入代数式进行求解即可； （2）把，代入代数式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 4．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． (1)直接写出的值； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2)原式的值为3或 【分析】此题考查了有理数的混合运算，相反数、倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值即可； （2）把各自的值代入原式计算即可求出值 【详解】（1）解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2， ∴，，； （2）解：当时，原式； 当时，原式， 则原式的值为3或． 5．已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的意义和性质，代数式求值，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）由绝对值的意义可得，，，进而可得，或，，代入代数式即可求解； （2）由可得，即得或，得到，或，，代入代数式即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或； （2）解：∵，，， ∴， ∴或， ∴，或，， ∴或， ∴的值或． 6．已知的平方根是，的立方根是， (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，； (2)的算术平方根是 【分析】本题考查了平方根、立方根及算术平方根的定义，解题的关键是根据平方根和立方根的定义列出关于、的方程，求解后再计算算术平方根． （1）根据“的平方根是”，由平方根的定义可得，解此方程求出的值；再根据“的立方根是”，由立方根的定义可得，代入的值求出的值； （2）将（1）中求得的、的值代入，计算出结果后，根据算术平方根的定义求出其算术平方根． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴由平方根的定义，得， 即，解得． ∵的立方根是， ∴由立方根的定义，得， 将代入，得， 即，，，解得． ∴，； （2）由（1）知，， ∴． ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根是． 题型二 变形后整体代入求值 1．已知代数式的值是，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，利用整体思想，将已知代数式变形后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 2．已知，则的值为（  ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】此题考查了代数式求值，将整体代入求解即可． 【详解】∵， ∴． 故选：C． 3．若，则代数式的值是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查代数式的求值，首先应从题目中获取代数式与的关系，然后利用“整体代入法”求代数式的值．将整体代入计算可得． 【详解】解：当时， ， 故选：B． 4．已知，则代数式的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法进行计算求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选A． 5．已知，则代数式的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的化简和代入求值，解决此题的关键是正确的化简；先把要求的式子化简，再把这个式子化成已知式子的形式即可得到答案； 【详解】解：∵ ∴， 故选：C． 6．若代数式的值是5，则代数式的值是（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，灵活应用整体思想是解题的关键； 根据题意可得，即，再整体代入所求式子求解即可. 【详解】解：根据题意可得：, 即， 所以, 所以； 故选：C ． 7．已知，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，利用整体代入的思想解决问题是关键． 将变形为，再代入求值即可． 【详解】解： ，， ， 故选：D． 8．当时，代数式的值是2021，则当时，其值是（    ） A．2019 B． C． D．2020 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值，由当时，代数式的值是2021，得到是正确解答的关键． 由当时，代数式的值是2021，可得到，再把代入得到，整体代入计算即可． 【详解】解：∵当时，代数式的值是2021， ∴， ∴， 当时，代数式 ， 故选：C． 题型三 化简后整体代入求值（整体思想） 1．（整体思想）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练计算是解题的关键 先化简原式，再将所给式子整体代入即可． 【详解】解： ， ， ， 将，代入得， 原式． 2．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。 (1)把看成一个整体，化简：______； (2)运用“整体思想”化简：． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了合并同类项，掌握整体思想求解代数式的值是解题关键． （1）（2）运用“整体思想”合并同类项即可． 【详解】（1）解： 故答案为：2． （2） 3．阅读材料： “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是_____． 拓广探索： （2）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了利用整体思想求代数式的值，将代数式进行适当变形是解题关键． （1）将各项系数加减即可求解； （2）把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2） ∵，， ∴原式 . 4．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法．如：若，我们把看成一个整体，则． (1)已知，求的值； (2)将一块长方形纸片按如图所示的方式进行剪裁，其中①②③④为正方形，⑤为长方形．设正方形①的边长为x，正方形②的边长为y，若图中正方形③的边长为1，求长方形⑤的周长． 【答案】(1)45 (2)4 【分析】本题考查整式加减的应用，整体代入法，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）把原式变形后，将整体代入计算即可； （2）先利用x，y分别表示出长方形⑤的长和宽，然后求得其周长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：由题意可得， 长方形⑤的长是，宽为， 那么 ， 即长方形⑤的周长是4． 5．【教材呈现】如图是某版七年级上册数学教材82页的部分内容． 求代数式的值，其中，． “整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】 ①已知，则_______； ②已知，求的值； (3)【拓展提高】已知且，求m的值． 【答案】(1)； (2)； (3)1 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，代数式的求值，整体代入是解题的关键； （1）把看作一个整体，合并同类项，即可进行化简； （2）①把看作一个整体进行化简，再代入求值即可， ②先把看作一个整体，合并同类项，再整体代入计算即可； （3）将方程化为，再将，代入求值即可． 【详解】（1）解：设， 原式 ； 当时， 原式； （2）解：①∵， ∴ 故答案为：． ②∵， ∴ ； （3）解：∵ ∴ ∵ ∴ 即 解得：． 6．【知识呈现】我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为___________；（用含，的式子表示） （2）若代数式的值为5，求代数式的值； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： 已知，的值为最大的负整数，求的值． 【答案】（1）；（2）19；灵活运用：17 【分析】本题考查了整体思想，合并同类项，负整数，理解题意，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）令，则原式化为，然后合并同类项，最后将代入即可； （2）将变形为，然后整体代入求值即可； 灵活运用：由题意得出，结合即可得出，将化简，然后代入求值即可． 【详解】解：（1）令， 则 ， 故答案为：； （2）由题意得，， ∴， ∴ ； 灵活运用：∵的值为最大的负整数， ∴①， ∵②， ②①，得， ∴ ． 7．理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：如果，求代数式的值． 我们可以将作为一个整体代入： 请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，则代数式的值为______； (2)如果，求代数式的值． (3)如果，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了代数式求值，整式的化简求值： （1）仿照题意利用整体代入法计算求解即可； （2）根据，利用整体代入法计算求解即可； （3）利用整式的加减计算法则把所求式子化简，再利用整体代入法计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 8．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如下图所示是老师安排的作业题． 代数式的值为9，则代数式的值为_______． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若代数式的值为11，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查整式的化简求值，涉及整式运算、整体代入求值等知识，熟练掌握整式运算及整体代入思想是解决问题的关键． （1）读懂题意，利用整体代入思想，化简求值即可得到答案； （2）将代入，得到；再将代入化简求值，整体代入即可得到答案； （3）分析所求代数式与条件之间的关系，化简，代入数值求解即可得到答案． 【详解】解：（1） ， ∴， ∴； （2）当时，， ∴， ∴当时：； （3）∵，， ∴ ． 9．我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简和求值中应用极为广泛．请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将合并的结果为 ； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】本题主要考查整式的加减运算，代入求值，整体思想，掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示的计算方法计算即可； （2）将原式变形为，再把已知条件代入计算即可； （3）将原式变形为，再把条件代入计算即可． 【详解】（1）解： ． 故答案为：． （2）解： 当时，原式． （3）解： 当时，原式． 10．阅读苏科版七上数学教材第90页的部分内容． 【解决问题】 （1）把看成一个整体，对下列式子进行化简：； 【简单应用】请运用上面的化简方法，完成下列问题． （2）当，则_____________． （3）当，代数式的值是5，求当时，代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据已知条件进行整体代入法求解是解题的关键． （1）把看成整体，利用合并同类项法则合并即可． （2）把直接代入所求代数式计算即可． （3）根据已知条件可得出，变形，代入求解即可． 【详解】（1）原式； （2）根据题意可知，； （3） ，的值是5， ，所以， 当时，． 11．“整体思想”是我们分析数学问题、解决数学问题常见的一种非常重要的数学思想，比如我们要计算的值，就可以采用这一思想，认真阅读理解下面例题，让我们感受“整体思想”在数学中妙用！计算的值． 分析：算式中后一个加数是前一个加数的3倍，因此，可以将原算式看作一个整体，记作S，整体扩大3倍后再解决问题． 解：设① 则② 得：， ∴， ∴， 即． 利用上述思想，解决下列问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的乘方的应用，理解案例方法，掌握整体思想是解题关键． （1）根据题意可设，则，作差即可求解； （2）根据题意可设，则，作差即可求解； 【详解】（1）解：①， 两边同时乘以2得 ②， 得： ， ∴， ∴； （2）解：①， 两边同时乘以得 ②， 得： ， ∴， ∴； 12．理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值．我们可以将作为一个整体代入：． 请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，灵活应用整体思想是解题关键． （1）把代入式子求值即可； （2）将原式变形为，再把代入求解即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， 原式 ． 13．【阅读理解】整体思想是数学中的重要思想，它是把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．例如：已知，求的值，可将作为整体代入，得． 【尝试应用】 （1）已知，求的值； （2）当时，代数式的值为5，求当时，代数式的值． 【拓展延伸】 已知，，求当，时，的值． 【答案】【尝试应用】（1）；（2）；【拓展延伸】 【分析】本题考查了代数式求值，整式的加减，利用整体思想解题是关键． （1）由已知整体代入求值即可； （2）先求出，再整体代入求值即可； （3）先进行整式加减运算，再代入求值即可． 【详解】解：【尝试应用】 （1） ； （2）当时，代数式的值为5， ， ， 当时，； 【拓展延伸】 ， 当，时， 原式． 14．阅读材料： “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 拓广探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查整式的加减，解答的关键掌握整式的运算法则以及整体代入法求值． （1）根据合并同类项的法则进行求解即可； （2）把看作一个整体，再对所求的式子进行整理代入相应的值运算即可； （3）把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2）∵， ； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 题型四 整体思想中新定义问题 1．定义新运算：，（等号右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，．若，则称有理数为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_______．（请填序号）． ①；②，；③． (2)计算：； (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．请你计算：． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，理解新定义运算：，是解决问题的关键． （1）根据新定义运算：，，由“隔一数对”定义直接求解即可得到答案； （2）根据新定义运算：，，代值求解即可得到答案； （3）根据新定义运算：，进而裂项相消求和即可得到答案． 【详解】（1）解：①当时， 则，， ，即有理数为“隔一数对”； ②当，时， 则，， ，即有理数，为“隔一数对”； ③当时， 则，， ，即有理数不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解： ； （3）解： ． 2．阅读材料：由于生活中一般都采用十进制的进位方法，所以有一种定义：若，则称与完美进制数．举个例子说明，因为，我们就说6和4是完美进制数，请根据以上材料，回答下列问题： (1)与_____是完美进制数，与_____是完美进制数．（用含的代数式表示） (2)若请你通过计算判断与是否为完美进制数． (3)已知，且与为完美进制数，求与的值． 【答案】(1)， (2)与不是完美进制数． (3) 【分析】本题考查了新定义，整式的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“完美进制数”进行列式计算，即可作答． （2）根据“完美进制数”进行列式计算，得出，即可作答． （3）根据“完美进制数”进行列式计算，先整理，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，， ∴与是完美进制数，与是完美进制数． （2）解：依题意， ， 故与不是完美进制数． （3）解：依题意， ， ∵与为完美进制数， ∴， 则． 3．现定义新运算为：，如． (1)计算和的值； (2)化简； (3)若，求的值． 【答案】(1)23；8 (2)0 (3)6 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，进行运算和的值，即可作答． （2）根据，进行运算化简，即可作答． （3）根据，进行运算得，再结合，得出，即可作答． 【详解】（1）解：， ． （2）解： ． （3）解：因为， 所以， 所以 ． 4．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)通过计算判断数对是不是“共生有理数对”； (2)若是“共生有理数对”，则“” “共生有理数对”（填“是”或“不是”）； (3)如果是“共生有理数对”，且，求的值． 【答案】(1)不是 (2)是 (3) 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的运算、代数式求值，整式加减等知识点，理解“共生有理数对”的定义是解题的关键． （）根据“共生有理数对”的定义判断即可； （）由题意可得，然后根据“共生有理数对”的定义判断即可； （）由题意可得，又，从而得出，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴不是“共生有理数对”， 故答案为：不是； （2）解：∵是“共生有理数对”， ∴， ∴， ∴”是“共生有理数对， 故答案为：是； （3）解：∵是“共生有理数对”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为． 5．定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析． 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 6．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【答案】(1)①③ (2)是，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义“标准多项式”，整式的加减运算，理解定义是解题的关键． （1）根据“标准多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“标准多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解； （3）先根据整式加减预算法则求出，再结合“标准多项式”的定义证明即可． 【详解】（1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， ②多项式的系数和为，不是的整数倍， 该多项式不是“标准多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， 故答案为：①③； （2）解：是，理由如下： 多项式是关于，的“标准多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，）， 则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“标准多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“标准多项式”； （3）证明：∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴多项式为， 多项式的系数和为， ∴多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 7．对于任意代数式，，定义，例如． (1)的值为______； (2)求的值； (3)若多项式，化简多项式，并求当时，的值． 【答案】(1) (2)23 (3)37 【分析】本题考查了新定义运算问题，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则， （1）直接根据定义进行运算即可； （2）先计算出，再计算即可； （3）先利用定义进行化简，再代值求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， 故． （3）解： ， 当时， 原式 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $