精品解析：湖北省恩施土家族苗族自治州恩施市龙凤镇民族初级中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

恩施市龙凤镇民族初级中学2025年秋季学期期中考试 九年级数学学科试题卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国传统纹样产生于人民，寄寓着花好月圆的愿景，寄托着平安康乐的期盼．如图四幅传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 如果点与点关于原点对称，则（ ） A. 8 B. 2 C. D. 4. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，则所得抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解方程，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 向阳村2020年的人均收入为12000元，2022年的人均收入为14520元．设人均收入的年平均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. B. C D. 8. 在同一平面直角坐标系中，直线 （是常数且）与抛物线的图像可能是（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 二、填空题：本题共5小题，共20分． 11. 已知是方程的一个根，则的值为_____________． 12. 如图是香港特别行政区区旗上的紫荆花图案，它绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为_________． 13. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝96t﹣1.2t2，那么飞机着陆后_____秒停下． 14. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 15. 已知抛物线的图象经过，顶点是，且，下列四个结论：①；②；③的解集是或； ④点，在抛物线上，当时，． 其中正确的是______（填写序号）． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程：． 17. 小铭同学利用计算机画图软件，将二次函数中的a、b、c输入不同的值，从而探索二次函数的性质．图中所示的二次函数的图象与y轴相交于点，与x轴相交于点，． （1）直接写出__________，__________，__________； （2）当时，函数的最大值是__________，最小值是__________； （3）利用图象直接写出不等式的解集． 18. 如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）求度数． 19. 如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC． （1）作出△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°的△A1B1C1（只画出图形） （2）作出△ABC关于原点O成中对心称的△A2B2C2，（只画出图形），写出B2和C2的坐标． （3）请在轴上找一点P，使PB1+PC1的值最小，并直接写出点P的坐标． 20. 已知，关于的方程． （1）求证：不论取任意实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）设方程的两根分别是，且，求的值． 21. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为元新款头盔每月的销售量（件）与售价（元）的相关信息如下： 售价（元） 销售量（件） （1）试用你学过的函数来描述与的关系，这个函数可以是 （填“一次函数”或“二次函数”），写出这个函数解析式为 ； （2）若物价局规定，该头盔售价不得超过元，不得低于进价，当售价为多少元时，利润达到元． 22. 中山公园的人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出的水柱形状可看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一点的位置与水管的水平距离为x米，与湖面的垂直高度为y米，表中记录了x与y的五组数据： x（米） 0 1 2 3 4 y（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5 （1）根据表中所给数据，在图1建立的平面直角坐标系中画出表示y与x函数关系的图象： （2）求y与x的函数表达式； （3）公园准备调节水管露出湖面的高度，使游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船以抛物线的对称轴为中轴线从水柱下方通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米，已知游船顶棚宽度2米，顶棚到湖面的高度为1.8米，请计算分析水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？ 23. 平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． （1）探究发现：如图1，P是等边内一点，．求的度数． 解：将绕点A旋转到的位置，连接，则是 三角形． ∵， ∴ ∴为 三角形． ∴的度数为 ． （2）类比延伸：如图2，在正方形内部有一点P．连接，若，求的长； （3）拓展迁移：如图3，若点P是正方形外一点 ，求的度数． 24. 如图1，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）点P为直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值； （3）如图2直线l为该抛物线对称轴，在直线l上是否存在一点M使为直角三角形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 恩施市龙凤镇民族初级中学2025年秋季学期期中考试 九年级数学学科试题卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国传统纹样产生于人民，寄寓着花好月圆的愿景，寄托着平安康乐的期盼．如图四幅传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式求出函数图象的对称轴是轴，根据函数的性质得出图象的开口向下，当时，随的增大而增大，根据二次函数的对称性和增减性即可得到． 【详解】解：∵， 函数图象的对称轴是轴，图象的开口向下， 当时，随的增大而增大， 点关于对称轴的对称点的坐标是，且， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解题的关键是能熟记二次函数的性质． 3. 如果点与点关于原点对称，则（ ） A. 8 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们横坐标对应的符号、纵坐标对应的符号分别相反，可直接得到m=3，n=-5进而得到答案． 【详解】解：∵点A（3，n）与点B（-m，5）关于原点对称， ∴m=3，n=-5， ∴m+n=-2， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 4. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，则所得抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由二次函数图象平移规律得：平移后的解析式为， 故选：C． 5. 下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，分别计算的值，根据，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，进行判断． 【详解】解：A、，方程无实数根，故不符合题意； B、，方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； C、原方程变形为，，方程有两个相等的实数根；故符合题意； D、原方程变形为，，方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； 故选： C． 6. 用配方法解方程，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤． 利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 故选：B． 7. 向阳村2020年的人均收入为12000元，2022年的人均收入为14520元．设人均收入的年平均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列方程即可． 【详解】解：由题意列方程为：． 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．根据题意正确的列出方程是解题的关键． 8. 在同一平面直角坐标系中，直线 （是常数且）与抛物线的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，一次函数图像的分布规律，确定即可． 【详解】∵， ∴当时，一次函数的图像分布在二、三、四象限；时，一次函数的图像分布在一、三、四象限； 故C，D都是错误的； 当时，抛物线开口向上， 故B是错误的； 当时，一次函数的图像分布在二、三、四象限；抛物线开口向下， 故A正确； 故选A． 【点睛】本题考查了抛物线与一次函数图像分布规律，熟练掌握图像与分布的规律是解题的关键． 9. 抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，求抛物线与x轴的交点只需令解方程即可． 将点A的坐标为代入得：，然后代入解析式，求出时x的值即可得． 【详解】解：将点A的坐标为代入得： ∴， 令，则有：，即 解得，，， ∴点B的坐标是， 故选：D． 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系，一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，即，再根据根与系数的关系得到，再由，代值计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，共20分． 11. 已知是方程的一个根，则的值为_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的根的知识，理解一元二次方程的根的定义是解题关键．将代入方程，求解即可获得答案． 【详解】解：将代入方程， 可得，解得． 故答案为：3． 12. 如图是香港特别行政区区旗上的紫荆花图案，它绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为_________． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，涉及周角为，据此作答，观察出该图形被平分成五部分，这五部分完全重合是解题的关键． 【详解】解：因为该图形被平分成五部分，这五部分完全重合， 所以每个部分形成的角度：． 即旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为72． 故答案为：72． 13. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝96t﹣1.2t2，那么飞机着陆后_____秒停下． 【答案】40 【解析】 【分析】直接利用二次函数的性质求出二次函数对称轴，即可得出答案． 详解】解：s＝96t﹣1.2t2， 当t＝﹣＝＝40（秒）时，s将取到最大值， 即飞机着陆后40秒停下． 故答案为：40． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确求出二次函数对称轴是解题关键． 14. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是根据一元二次方程的定义列出关于的方程和不等式． 根据一元二次方程的定义，未知数最高次数是2且二次项系数不为0，据此列方程和不等式求解． 【详解】解：方程是一元二次方程， 的最高次数为2，即， 解得； 二次项系数不为0， ， 解得． 综上，． 故答案为： 15. 已知抛物线的图象经过，顶点是，且，下列四个结论：①；②；③的解集是或； ④点，在抛物线上，当时，． 其中正确的是______（填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由已知可得抛物线开口方向及对称轴，从而可得，符号，由及抛物线对称轴为直线可得抛物线与轴的另一交点坐标，从而可得的符号，进而判断①②，由与的关系可得的解，从而判断③，由抛物线的对称轴及开口方向可得时随增大而减小，再根据可得，，从而判断④． 【详解】解：抛物线经过，顶点是，且， 顶点为最低点，即抛物线开口向上，， 由抛物线的对称性可得抛物线经过， 时，， 时，抛物线与轴交点在轴下方，即， ， ， ，①正确． 当时，， 时，，②错误． ， ， 抛物线与轴交点坐标为，， ，抛物线开口向上， 或时，，③正确． 当时，，， 时，随增大而减小， ，④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．用公式法求解即可． 【详解】解：， ，，， ， ， ． 17. 小铭同学利用计算机画图软件，将二次函数中的a、b、c输入不同的值，从而探索二次函数的性质．图中所示的二次函数的图象与y轴相交于点，与x轴相交于点，． （1）直接写出__________，__________，__________； （2）当时，函数的最大值是__________，最小值是__________； （3）利用图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）1，， （2）0， （3）或 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数与不等式，二次函数的最值问题，熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键． （1）待定系数法即可求解； （2）当时，可知对称轴在此范围内，因此可以知道时，函数取得最小值，再计算到的距离与到的距离，进行比较，进而可求出最大值； （3）利用不等式的解集等价于抛物线在直线上方时，对应的交点的横坐标的取值范围求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与y轴相交于点，与x轴相交于点，， ∴将这三点代入， 得：， 解得：， ∴解析式为， 故答案为：1，，； 【小问2详解】 解：， ∴对称轴为直线， ∵，， ∴当时，函数取得最小值为， ∵， ∴当时，函数取得最大值为， 故答案为：0，； 【小问3详解】 解：记抛物线与直线右边交点为A， 联立， 解得：或， ∴， ∴由图象可得不等式的解集为：或． 18. 如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和，旋转的性质等知识，证明两个三角形全等是关键． （1）根据旋转的性质，得，，，再证明即可； （2）设，则可求得，从而得，，由三角形内角和即可求得结果． 【小问1详解】 证明：由旋转的性质得： ，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，则； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形边长为1个单位长度；已知△ABC． （1）作出△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°的△A1B1C1（只画出图形） （2）作出△ABC关于原点O成中对心称的△A2B2C2，（只画出图形），写出B2和C2的坐标． （3）请在轴上找一点P，使PB1+PC1的值最小，并直接写出点P的坐标． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析，P（0，3）． 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1； （2）利用关于原点对称的点的坐标特征得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可； （3）先找到B1关于y轴的对称点B’，再求出C1B’的解析式，故可求出P点坐标． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）如图，△A2B2C2为所作． （3）如图，B1关于y轴的对称点B’（-1，4），又C1（2，1）， 设C1B’的解析式为y=kx+b 把（-1，4）、C1（2，1）代入得 解得 ∴C1B’的解析式为y=-x+3 令x=0，得y=3 ∴P（0，3）． 【点睛】本题考查了作图−旋转变换、对称性的应用、一次函数的解析式，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 20. 已知，关于的方程． （1）求证：不论取任意实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）设方程的两根分别是，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． （1）由题意知，，然后进行作答即可； （2）由题意知，，由，可得，即，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：由题意知，， ∴不论取任意实数，该方程都有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：由题意知，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的值为0． 21. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为元的新款头盔每月的销售量（件）与售价（元）的相关信息如下： 售价（元） 销售量（件） （1）试用你学过的函数来描述与的关系，这个函数可以是 （填“一次函数”或“二次函数”），写出这个函数解析式为 ； （2）若物价局规定，该头盔售价不得超过元，不得低于进价，当售价为多少元时，利润达到元． 【答案】（1）一次函数，； （2）当售价为元时，利润达到元． 【解析】 【分析】（）利用一次函数的性质和待定系数法求解可得； （）根据“月销售利润单件利润乘以月销售量”列出一元二次方程，然后解方程即可； 本题考查一次函数的应用和一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式和方程． 【小问1详解】 由表格知，售价每增加元，销售量对应减少元， ∴这个函数是一次函数， 设其解析式为， 根据题意，得：， 解得：， ∴， 故答案为：一次函数，； 【小问2详解】 依题意得， 解得或， ∵物价局规定，该头盔最高售价不得超过元， ∴不合题意舍去， 答：当售价为元时，利润达到元． 22. 中山公园的人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出的水柱形状可看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一点的位置与水管的水平距离为x米，与湖面的垂直高度为y米，表中记录了x与y的五组数据： x（米） 0 1 2 3 4 y（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5 （1）根据表中所给数据，在图1建立的平面直角坐标系中画出表示y与x函数关系的图象： （2）求y与x的函数表达式； （3）公园准备调节水管露出湖面的高度，使游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船以抛物线的对称轴为中轴线从水柱下方通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米，已知游船顶棚宽度2米，顶棚到湖面的高度为1.8米，请计算分析水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？ 【答案】（1）见解析 （2） （3）公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约1.55米才能符合要求． 【解析】 【分析】本题主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移． （1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可； （2）设函数表达式为，先由图得到函数顶点为，再将代入计算即可； （3）根据二次函数图象解析式设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可． 【小问1详解】 以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系， 如图所示： 【小问2详解】 由上图可得函数图象顶点为， 根据图象可设二次函数的解析式为：， 将代入， 解得， 抛物线的解析式为：； 【小问3详解】 设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：， 由题意可知，当横坐标为时时，纵坐标的值不小于， ， 解得， 水管高度至少向上调节1.05米， （米， 公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约1.55米才能符合要求． 23. 平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． （1）探究发现：如图1，P是等边内一点，．求的度数． 解：将绕点A旋转到的位置，连接，则是 三角形． ∵， ∴ ∴为 三角形． ∴的度数为 ． （2）类比延伸：如图2，在正方形内部有一点P．连接，若，求的长； （3）拓展迁移：如图3，若点P是正方形外一点 ，求的度数． 【答案】（1）等边，直角，150度 （2）6 （3）45度 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，得到是等边三角形，勾股定理逆定理，得到为直角三角形，进一步求解即可； （2）把绕点B顺时针旋转90°得到，旋转的性质，推出是等腰直角三角形，求出，再利用勾股定理进行求解即可； （3）将绕点B逆时针旋转90°，得到，连接，得到，利用勾股定理及其逆定理，得到是直角三角形，且，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：将绕点A旋转到的位置，连接，则是等边三角形． ∵， ∴， ∴为直角三角形． ∴的度数为． 故答案为：等边，直角，150度； 【小问2详解】 如图1，把绕点B顺时针旋转90°得到， 则， ∵旋转角是， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，； 小问3详解】 将绕点B逆时针旋转90°，得到，连接， ∴， ∴， 在中，， ∴，根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是通过旋转，构造特殊图形． 24. 如图1，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）点P为直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值； （3）如图2直线l为该抛物线的对称轴，在直线l上是否存在一点M使为直角三角形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）有最大值为6 （3）M的坐标是或 【解析】 【分析】（1）把，代入抛物线的解析式即可求解； （2）求出直线的解析式是，设点，则，可得，当时，有最大值为6； （3）设，先求,，，分三种情况讨论：①当时；②当时，； ③当时，分别求出t即可， 【小问1详解】 解：把，代入抛物线的解析式得： 解得：， ∴； 【小问2详解】 过点 作轴交与点E 当 时， ， ∴ ， 设点，直线的解析式是， 把，代入得， 解得： ， ∴直线的解析式是， ∵轴交于E， ∴， ∴ ∵= ∴当时，有最大值为6， 【小问3详解】 存在点M，使得为直角三角形，理由如下： 抛物线的对称轴是直线 ，设， ∵， ∴,， 当 时， 则有 ∴， 解得： ∴； ②当时， 则， ∴， ∴解得： ∴； ③当时， 则，， ∴， 整理得： 解得： ∴方程无解 ∴综上所述，M的坐标是或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，两点间的距离，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $