精品解析：湖北省鄂北六校（宜城一中 枣阳一中 曾都一中 襄阳六中 南漳一中 老河口一中）2025-2026学年高一上学期期中联考数学试题

宜城一中 枣阳一中 曾都一中 襄阳六中 南漳一中 老河口一中 2025—2026学年上学期期中考试高一数学试题 时间：120分钟 主命题学校：枣阳一中 分值：150分 命题老师：耿纯勇 唐伟 欧秋月 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡指定位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中在定义域内既是减函数，又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果偶函数在上是减函数且最小值是8，那么在上是（ ） A. 减函数且最小值是-8 B. 减函数且最大值是-8 C. 增函数且最小值8 D. 增函数且最大值是8 5. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C 或 D. 6. 已知函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则函数的图象关于原点对称的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 下列结论中正确的是（ ） A 若，则 B. 函数)的定义域为，则函数的定义域为 C. “成立”是“成立”的充要条件 D. 设，若且，则 11. 已知函数，且，则（ ） A. 的值域为 B. 不等式解集为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合的所有子集只有两个，则实数的值为__________. 13. 若且，则的取值范围为__________. 14. 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数（其中，）的图象恰如其形，因而得名三叉戟函数.已知三叉戟函数的图象经过点，且满足.若，都有恒成立，则实数m的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答过程写在答题卡指定位置. 15. 已知函数的定义域为，的值域为.集合. （1）求； （2）若，求实数a的取值范围. 16. 设函数. （1）当时，求不等式解集； （2）若，使不等式成立，求实数的取值范围. 17. 设矩形的周长为，其中，现将沿向折叠至的位置，折过去后交于点． （1）设，求关于的函数的解析式及其定义域； （2）求面积的最大值及相应的值． 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）用定义法证明函数在上的单调性，并求出值域； （3）设，若，，都有恒成立，求实数的取值范围. 19. 俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”. （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为2，求的值； （3）函数，当的“偏差”取最小值时，求的值，并求出“偏差”的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜城一中 枣阳一中 曾都一中 襄阳六中 南漳一中 老河口一中 2025—2026学年上学期期中考试高一数学试题 时间：120分钟 主命题学校：枣阳一中 分值：150分 命题老师：耿纯勇 唐伟 欧秋月 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡指定位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定集合P的元素，根据集合的交集运算，即可得答案. 【详解】由题意，集合，，则. 故选：C 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别解不等式，然后根据集合的包含关系判断可得. 【详解】解不等式得，记， 解不等式得，记， 因为集合是集合的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 下列函数中在定义域内既是减函数，又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举反例由单调性定义否定AC；根据奇函数的性质排除B；利用奇函数的定义和图象判断D. 【详解】，则，故其在定义域上不单调，故A不符合题意； 定义域为,不过，不是奇函数，故B不符合题意； ，则，故定义域上不单调，故C不符合题意； ，则， 又定义域关于原点对称，故是奇函数， 又，其图象为 故在上单调递减，D符合题意. 故选：D 4. 如果偶函数在上是减函数且最小值是8，那么在上是（ ） A. 减函数且最小值是-8 B. 减函数且最大值是-8 C. 增函数且最小值是8 D. 增函数且最大值是8 【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数图象的对称性判断单调性，由偶函数定义判断最值. 【详解】因为是偶函数，图象关于轴对称，且在单调递减， 所以在单调递增， 对，，因为在最小值是， 所以，又，所以， 即在单调递增，且最小值是. 故选：C. 5. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据求解. 【详解】由题意可得，，得或， 故实数的取值范围是或. 故选：A 6. 已知函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数的单调性结合一次、二次函数的单调性和函数的连续性可得. 【详解】二次函数的对称轴为， 当在上是单调递减函数时，此时二次函数在为增函数，不符合题意，所以在上是单调递增函数， 所以， 又当时， 综上实数a的取值范围是. 故选：C. 7. 已知函数，则函数的图象关于原点对称的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称性、单调性确定正确答案. 【详解】设，则函数的图象关于原点对称得到， 即， 当时，单调递减，所以BCD选项错误，A选项正确. 故选：A 8. 关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理可得，利用常数代换法，结合基本不等式可得. 【详解】因为不等式的解集为， 所以是方程的两根，且， 由韦达定理可得，所以，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】CD 【解析】 【分析】由定义域和解析式逐项判断即可. 【详解】对于A，的定义域是，的定义域是，不是同一个函数， 对于B，的定义域是，的定义域是，不是同一个函数， 对于C，和定义域都是，同一个函数， 对于D，与定义域都是，解析式相同，同一个函数， 故选：CD 10. 下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 函数)的定义域为，则函数的定义域为 C. “成立”是“成立”的充要条件 D. 设，若且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式的基本性质即可判断A选项；由函数定义域的定义即可求得函数的定义域，判断B选项；分别解两个不等式得到解集，即可判断C选项；设，解的值，然后由不等式的同向可加性得到的范围，判断D选项. 【详解】∵，∴，∴， 即，所以，A选项正确； 令，∴，∴函数的定义域为，B选项错误； ，则，，解得，C选项正确； 令，即， 即，解得，即， ∴，∴，D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，且，则（ ） A. 的值域为 B. 不等式的解集为 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出函数的图象，即可看出函数的值域可判断A；求出时的解，即可根据图象写出不等式的解集可判断B；令，根据函数图象即可得出的关系和取值范围，可判断CD. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 对于A，由图可知函数的值域为，故A错误； 对于B，当时，有或，解得，，， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C，由题可令， 则为函数和直线交点的横坐标， 由图可知，关于对称，所以，即，故C正确； 对于D，为函数和直线交点的横坐标， 由图可知，而， 所以，而，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合的所有子集只有两个，则实数的值为__________. 【答案】0或4 【解析】 【分析】根据子集个数公式，结合方程解的个数分类讨论进行求解即可. 【详解】设集合元素个数为， 由题意可得，所以该集合的元素只有一个， 当时，方程，符合题意； 当时， 要想该集合的元素只有一个，只需一元二次方程的判别式， 即，显然，符合题意， 综上所述实数的值为0或4， 故答案为：0或4 13. 若且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式变形，然后解不等式可得． 【详解】由题意，当且仅当时等号成立， 解得，所以且等号能取得． 故答案为：． 14. 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数（其中，）的图象恰如其形，因而得名三叉戟函数.已知三叉戟函数的图象经过点，且满足.若，都有恒成立，则实数m的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用待定系数法求出函数解析式.等价变形给定恒成立的不等式，分离参数并构造函数，利用基本不等式及不等式性质求出最小值即可. 【详解】由函数的图象经过点，得， 由，得，解得， 所以函数的解析式为. ，不等式恒成立， 令函数， 而当时，，当且仅当时取等号， 令， 则在单调递增， 当时取得最小值， 所以，当且仅当时取等号，则，解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答过程写在答题卡指定位置. 15. 已知函数的定义域为，的值域为.集合. （1）求； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由根式型或者分式型函数求出集合，再由二次函数的性质得到集合，然后由补集和交集的运算可得； （2）分和时讨论可得. 【小问1详解】 由得，解得. ， 所以，. ，所以； 【小问2详解】 因为， 所以，若，有 得， 若，有，得， 综上，或. 16. 设函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求得正确答案. （2）由分离参数，结合基本不等式求得的取值范围. 小问1详解】 ，，. ，. 不等式的解集为； 【小问2详解】 由题意，，使不等式成立 即时，能成立. 所以大于的最小值 由基本不等式得 当且仅当时，等号成立， 所以实数的取值范围为. 17. 设矩形的周长为，其中，现将沿向折叠至的位置，折过去后交于点． （1）设，求关于的函数的解析式及其定义域； （2）求面积的最大值及相应的值． 【答案】（1）定义域为； （2）的面积有最大值，此时cm. 【解析】 【分析】（1）根据题意，，利用三角形全等以及勾股定理建立等量关系，即可得函数解析式及定义域； （2）表达出的面积，结合基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 因为矩形的周长为，，则， 又，即，又，， 易知≌，所以， 在中，根据勾股定理得，即， 整理得， 故，定义域为. 【小问2详解】 由题意， ，当且仅当时，等号成立. 所以，当时，的面积有最大值． 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）用定义法证明函数在上的单调性，并求出值域； （3）设，若，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）证明见解析，； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数及建立方程求解即可； （2）利用定义设，比较与大小即可得出单调性，再根据单调性求出函数在定义域上的最大最小值即可得出函数值域； （3）根据题意，要使，，都有恒成立，则恒成立，分，，三种情况求解即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以，即， 所以， 又，所以，解得. 所以； 【小问2详解】 由（1）可知，设， 则， 因为，所以，，， 所以. 所以函数在上单调递增. 所以的最小值为，最大值为， 所以函数在上的值域为； 【小问3详解】 由（2）可得，， 所以要使得对任意的，对任意的，成立， 只需要对任意的，即可， 所以问题可转化为：当时，恒成立. ①若，则在上为增函数， 由， 又因为，所以. ②若，则，此时在上恒成立； ③若，则在上为减函数， 由. 又因为 ，所以， 综上可知：，即实数k的取值范围是. 19. 俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”. （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为2，求的值； （3）函数，当的“偏差”取最小值时，求的值，并求出“偏差”的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3），“偏差”的最小值为. 【解析】 【分析】（1）写出的解析式，结合，求出值域，可得偏差为； （2），，利用和的函数性质，通过分类讨论，由“偏差”值求得的值； （3）结合所给条件，可得函数与的“偏差”为，结合绝对值不等式，求出即可. 【小问1详解】 因为，所以， 则，. 所以函数与“偏差”为. 【小问2详解】 令， ∵，∴单调减函数，∴， 由题意，，，且. 当，即时，，解得或，均不符合； 当，即时，，或， 解得或（舍）， 所以. 【小问3详解】 ， 因为，所以， 由，则， 令，即，解得， . 故当且仅当时，有. 故当的值为时，函数与的“偏差”取最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $