专题2.8 有理数的运算（章节复习）（知识梳理+23个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题）-2025-2026学年浙教版数学七年级上册同步培优讲练

专题2.8 有理数的运算（章节复习） （知识梳理+23个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：有理数的加法法则 2 知识点梳理02：有理数加法运算律 3 知识点梳理03：有理数的减法法则 3 知识点梳理04：省略和式中的括号和加号 4 知识点梳理05：有理数的加减混合运算 4 知识点梳理06：有理数的乘法法则 4 知识点梳理07：有理数的乘法法则的推广 4 知识点梳理08：倒数 5 知识点梳理09：有理数的乘法运算律 5 知识点梳理10：有理数的除法法则 6 知识点梳理11：有理数的混合运算 6 知识点梳理12：有理数的乘方的意义 6 知识点梳理13：有理数的乘方运算 7 知识点梳理14：乘除和乘方的混合运算 7 知识点梳理15：科学记数法 7 知识点梳理16：有理数混合运算的法则 7 知识点梳理17：准确数与近似数的概念 8 知识点梳理18：近似数的精确度 8 知识点梳理19：计算器的使用 8 优选题型 考点讲练 9 考点1：有理数加法运算 9 考点2：有理数加法在生活中的应用 9 考点3：有理数的减法运算 10 考点4：有理数减法的实际应用 10 考点5：有理数的加减混合运算 10 考点6：有理数加减混合运算的应用 10 考点7：两个有理数的乘法运算 11 考点8：多个有理数的乘法运算 11 考点9：有理数乘法的实际应用 11 考点10：倒数 12 考点11：有理数乘法运算律 12 考点12：有理数的除法运算 12 考点13：有理数除法的应用 12 考点14：有理数乘除混合运算 13 考点15：有理数四则混合运算 13 考点16：有理数的乘方运算 14 考点17：乘方的应用 14 考点18：用科学记数法表示绝对值大于1的数 15 考点19：程序流程图与有理数计算 15 考点20：含乘方的有理数混合运算 15 考点21：求一个数的近似数 16 考点22：求近似数的精确度 16 考点23：近似数推断取值范围 16 中考真题 实战演练 17 难度分层 拔尖冲刺 18 基础夯实 18 培优拔高 18 知识点梳理01：有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 类型 加法法则 示例 同号相加 同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。 异号相加 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 互为相反数的两个数相加得0。 同0相加 一个数同0相加，仍得这个数。 2.有理数加法运算的关键步骤 知识点梳理02：有理数加法运算律 运算律 文字叙述 式子表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 易错： 利用有理数的加法交换律时，要连同加数的符号一起交换，必要时需加括号，如(−6.6)+2+(−3.4)=2+(−6.6)+(−3.4)。 说明： 有理数的加法运算律不但适用于两个数或三个数相加，而且适用于三个以上的有理数相加。 知识点梳理03：有理数的减法法则 1.有理数的减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数。 用字母表示： 。 2.将减法转化为加法时要注意“两变一不变”：“两变”是指运算符号“-”需要变成“+ ”，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数不变。 说明： （1）任何数减去0，仍得这个数；0减去一个数，得这个数的相反数。 （2）减法没有交换律，被减数与减数的位置不能改变。 知识点梳理04：省略和式中的括号和加号 我们可以把算式 +(− )+(+ ) 中各个加数的括号和括号前面的加号省略，写成 − + ，这个算式仍可看作和式，读作“正 、负 与正 的和”（按式子表示的意义读），或者读作“ 减加 ”（按运算的意义读）。这样给算法的选择和书写带来方便。 知识点梳理05：有理数的加减混合运算 有理数加减混合运算的步骤： （1）遇减化加：利用减法法则，将减法转化为加法； （2）运用加法交换律和结合律，简化运算； （3）求出结果。 知识点梳理06：有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与零相乘，积为零。 说明： 一个数与1相乘等于它本身，与−1 相乘等于它的相反数。 知识点梳理07：有理数的乘法法则的推广 1.多个不为0的有理数相乘时，积的符号由负乘数的个数决定。 （1）当负乘数的个数为奇数时，积的符号为负； （2）当负乘数的个数为偶数时，积的符号为正。 可简记为“奇负偶正”。 2.多个有理数相乘，若其中有一个乘数为0，则积为0，即“有0得0”。 3.多个有理数相乘的步骤： （1）看：看乘数是否有“0”，若有，则积为0。 （2）定：按照负乘数的个数（“奇负偶正”）确定积的符号。 （3）求：把几个乘数的绝对值相乘。 知识点梳理08：倒数 1.倒数的定义：若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数。0没有倒数。 注意： 倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫作另一个数的倒数，单独的一个数不能称为倒数。 2.倒数的性质：如果,b互为倒数，那么×b=1 。 3.倒数的判定：若×b=1，则，b 两数互为倒数。 4.求倒数的方法： 类型 方法 示例 非零整数 的倒数 用这个数作分母，1作分子，即直接写成 。 3的倒数是 ，−3 的倒数是− 。 分数 的倒数 把这个分数的分子和分母交换位置， 即的倒数是 。 − 的倒数是− , 的倒数是 。 带分数的倒数 先把带分数化成假分数，再交换分子和分母 的位置。 −1=−，所以−1 的倒数是− 。 小数的倒数 先把小数化成分数，再求其倒数。 −0.5=− ，所以−0.5的倒数是−2 。 知识点梳理09：有理数的乘法运算律 在有理数运算中，乘法的交换律、结合律和分配律同样成立。 运算律 文字叙述 用字母表示 示例 乘法交换律 两个数相乘，交换因 数的位置，积不变。 ×b=b× 。 5×(−6)=(−6)×5 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 (×b)×c=× (b×c) 。 [7×(−6)]×5=7×[(−6)×5] 。 分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 ×(b+c)=× b+×c 。 5×(−6+7)=5×(−6)+ 5×7 。 分配律也可以逆用：×b+×c=×(b+c)。 知识点梳理10：有理数的除法法则 有理数的除法法则（一）： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数都得零。 说明：（1）0不能作为除数。 （2）两个有理数相除，若商为1，则这两个数相等；若商为−1 ，则这两个数互为相反数。 有理数的除法法则（二）： 除以一个数（不等于零），等于乘 这个数的倒数。 用字母表示：÷b=a×=(b≠0) 。 知识点梳理11：有理数的混合运算 1.有理数的乘除混合运算： （1）计算顺序：按照从左往右的顺序计算，有括号的，先计算括号里面的。 （2）计算方法：先把除法转化为乘法，然后按照有理数的乘法法则求出结果。 注意： 将乘除运算统一为乘法运算后，可以运用乘法交换律、结合律或分配律简化运算。 2.有理数的加减乘除混合运算的顺序：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，同级运算中，按照从左往右的顺序计算。 知识点梳理12：有理数的乘方的意义 概念 示例 乘方 求几个相同因数的积的运算，叫作乘方。 （乘方是一种运算，幂是乘方的结果） n个相乘的积记作： 幂 乘方的结果叫作幂。 指数（相同的因数的个数） 底数（相同的因数） 底数 在中， 叫作底数。 指数 在中，n 叫作指数。 说明：底数可以是任意有理数，指数n是正整数。 知识点梳理13：有理数的乘方运算 1. 幂的符号法则： 说明：任何有理数的偶次幂都是非负数，即无论 取何值，都有≥0(为有理数，n为正整数) 。 2.有理数的乘方运算： 在计算有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，然后根据幂的符号法则确定结果的符号，再确定结果的绝对值。 知识点梳理14：乘除和乘方的混合运算 对于乘除和乘方的混合运算，应先算乘方，后算乘除；如果遇到括号，就先进行括号里的运算。 乘除和乘方的混合运算 乘除的混合运算 乘法运算 知识点梳理15：科学记数法 1.科学记数法的概念：把一个较大的数表示成(1≤||<10) 与10的幂相乘的积的形式，叫作科学记数法。 2.科学记数法中的和n ： （1）的确定方法： 将原数的小数点移动到左起第一个不为0的数字的后面即可得到 的值。 （2）n的确定方法： ①原数的整数位数减去1即为n 的值；②小数点向左移动几位，n 就为几。 3.把用科学记数法表示的数还原： （1）×中的指数n 加上1就得到原数的整数位数，从而确定原数。 （2）把×中的小数点向右移动n 位即可，若向右移动的位数不够，则用“0”补足。 知识点梳理16：有理数混合运算的法则 一般地，有理数混合运算的法则是： 先算乘方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里的运算。 注意： 若属于同级运算，则按照从左往右的顺序进行计算。 说明： 进行混合运算时，可以灵活运用运算律，但应注意符号的确定以及运算顺序和方法的选择.例如，可以根据算式的结构特征，巧用整体思想、拆分消除等技巧，从而使运算准确、快捷。 知识点梳理17：准确数与近似数的概念 1.准确数与近似数： 概念 示例 准确数 与实际完全符合的数。 某班的学生人数为45人，某校一共有60个班级。 近似数 与实际接近的数。 某同学的身高约为156 cm ，体重约为53 kg 。 2.判断准确数与近似数的方法：一般地，用计数的方法得到的数是准确数；用测量工具得到的数是近似数。 注意：有时不容易获得准确数或不可能得到准确数时，就只能取近似数。例如，人口普查。 知识点梳理18：近似数的精确度 1.近似数的精确度：是指与准确数的接近程度。 2.近似数的精确度的表述方法： （1）用数位表述：如精确到个位或十分位等； （2）用小数表述：如精确到0.1或0.01等。 注意：一个近似数末尾的0不可随意省略,它表示的是这个数的精确度。例如，近似数0.50表示精确到百分位，近似数0.5表示精确到十分位。 3.近似数的精确度的确定方法： 看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一位。 说明： 对于用“百、千、万等或科学记数法”表示的数，确定它的精确度时，需先写回原数，再指出它精确到哪一位。 4.用四舍五入法取近似数：精确到哪一位，只看下一位，够5则进，不够则舍。例如，2.55 精确到十分位为2.6。 知识点梳理19：计算器的使用 计算近似数时，我们一般可用计算器作为辅助计算工具。常用的计算器有简易计算器、科学计算器和图形计算器等。用科学计算器进行混合运算的按键顺序与书写顺序基本相同。按精确度要求，将用计算器算得的结果取近似值，即可得到近似数。 注意： 不同型号计算器的按键顺序不一定相同，具体使用方法可参照计算器的说明书。 考点1：有理数加法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）算筹（小木棍）是我国古代的一种计数工具，将算筹正放表示正数，斜放表示负数．如图，图①可列式计算为，由此可推算图②可列算式为（  ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）有理数加法法则： ，绝对值相同时，和为．一个数与0相加，仍得这个数．法则体现了分类数学思想． 考点2：有理数加法在生活中的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段练习）某地区某天早晨的温度是，中午上升了，则中午的温度是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·广东东莞·阶段练习）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）： ，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)这段时间内守门员总共跑动多少米？ (2)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门，问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？守门员最后是否能回到球门线？请说明理由 考点3：有理数的减法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·广东河源·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．两个负数的和都是负数 B．0减去一个数，仍是这个数 C．两个正数的差是正数 D．减去一个数等于加上这个数 【变式训练】（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习） ． 考点4：有理数减法的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·吉林·期中）如下是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为（    ）． 【冷藏室】 【冷冻室】 A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·广东佛山·阶段练习）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为，最高气温为，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为 ． 考点5：有理数的加减混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·甘肃庆阳·期中）计算：． 【变式训练】（25-26七年级上·安徽安庆·期中）计算：． 考点6：有理数加减混合运算的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）为了加强对青少年的消防安全教育，我校邀请消防大队到校开展消防安全演练活动，消防员为全体同学展示云梯消防车高层救援，云梯先上升16 米，再下降32 米，再上升40 米，此时云梯距离初始位置 米． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）某天早晨的气温是，中午的气温上升了，夜里的气温又下降了，则夜里的气温是 ． 考点7：两个有理数的乘法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）小明统计了自己装有125个硬币的储蓄罐的情况如图，则储蓄罐内共有 元钱． 【变式训练】（25-26七年级上·甘肃武威·期中）计算： ． 考点8：多个有理数的乘法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·吉林延边·期中）若三个有理数，5，a的积是一个正数，则a的值可以是（    ） A．8 B．0 C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·山东青岛·阶段练习）大于的所有负整数的积为 ． 考点9：有理数乘法的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）某检修小组1乘一辆汽车沿公路检修线路，约定向东为正，某天从A地出发到收工时，行走记录为（单位：千米）：，，，，，，另一小组2也从A地出发，在南北向检修，约定向北为正，行走记录为（单位：千米）：，，，，，． (1)分别计算收工时，1、2两组在A地的哪一边，距A地多远？ (2)求两个检修小组各走了多少千米； (3)若检修车每千米耗油升，求从出发到收工两个检修小组共耗油多少升？ 【变式训练】（25-26七年级上·浙江温州·开学考试）某甲于上午时分钟由码头划船出游，计划最迟于时返回原码头，已知河水的流速为千米小时，划船时，船在静水中的速度可达千米小时，如果甲每划分钟就需要休息分钟，并且船在划行中不改变方向，只能在某次休息之后往回划，问甲最多能划离码头 千米远． 考点10：倒数 【典例精讲】（25-26七年级上·天津·阶段练习）的倒数是（    ） A． B． C． D．3 【变式训练】（25-26七年级上·云南曲靖·期中）的倒数是（   ） A．5 B． C． D． 考点11：有理数乘法运算律 【典例精讲】（25-26七年级上·北京昌平·期中）计算： 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）若表示三个有理数，则下列等式可以表示乘法结合律的是（    ） A． B． C． D． 考点12：有理数的除法运算 【典例精讲】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一个数除以，商一定（    ）被除数 A．大于 B．小于 C．不小于 D．不大于 【变式训练】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）在数中，若任取两个数，乘积的最大值是 ，商的最小值为 ． 考点13：有理数除法的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段练习）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则记为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则记为12）．以2022年为例：天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年．请你依据上述规律推断2031年为农历 年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 【变式训练】（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）2025年的2月3日是星期一，那么2025年的3月3日是星期 ． 考点14：有理数乘除混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·四川广元·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式训练】（25-26七年级上·广西桂林·期中）如图所示的程序，若开始输入的数是2，则最后输出的结果为（   ） A．2 B． C． D．6 考点15：有理数四则混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·甘肃武威·期中）计算：． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期中）下面是圆圆同学计算的过程： 解： ． 圆圆同学这样计算正确吗？如果不正确，请你写出正确的计算过程． 考点16：有理数的乘方运算 【典例精讲】（25-26七年级上·甘肃定西·期中）已知a、b均为有理数，若，则 【变式训练】（23-24七年级上·吉林辽源·期末）下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 考点17：乘方的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下． (1)如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过______次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． (2)现在将问题中的8个茶杯改为7个，能否经过若干次翻转每次4个把它们全部翻成杯口朝下？直接写出结果：______填“能”或“不能” (3)请利用有理数运算说明得到（2）中结论的理由． 【变式训练】（25-26七年级上·山东临沂·阶段练习）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合、反复几次，就把这根很粗的面条拉成许多细的面条，如下面的草图所示： 这样捏合到第 次后可拉出根细面条． 考点18：用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期中）2025年投入乡村振兴资金为1250亿元，将“1250亿”用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 【变式训练】（重庆市十一中教育集团2025-2026学年七年级上学期期中数学试卷）地震震级是划分震源放出的能量大小的等级．级地震释放的能量大约是级地震的倍．级地震释放的能量大约是级地震的 倍（用科学记数法表示） 考点19：程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（陕西省榆林市2025-2026学年上学期七年级数学期中调研试题）按如图所示的程序计算，当输入的值为时，则输出的值为（　　） A．6 B．8 C．15 D．24 【变式训练】（25-26七年级上·江苏连云港·阶段练习）如图是一个数值运算程序.当输入的值为时，则输出的值为 ． 考点20：含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（陕西省榆林市2025-2026学年上学期七年级数学期中调研试题）计算：． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期中）计算 (1)； (2) 考点21：求一个数的近似数 【典例精讲】（陕西省榆林市2025-2026学年上学期七年级数学期中调研试题）利用四舍五入法将有理数精确到百分位得到的近似数为 ． 【变式训练】（25-26八年级上·河北唐山·期中）下列说法错误的是（    ） A．小明身高，其中是近似数 B．近似数精确到 C．保留两位小数的近似数是 D．近似数万精确到了十分位 考点22：求近似数的精确度 【典例精讲】（25-26七年级上·吉林长春·期中）把46.745按四舍五入的方法精确到百分位的近似数为_____． 【变式训练】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段练习）用四舍五入法把精确到百分位是 ，近似数精确到 位． 考点23：近似数推断取值范围 【典例精讲】（25-26六年级上·重庆沙坪坝·开学考试）一个三位小数用“四舍五入”法保留两位小数是3.70，这个数最大是 ，最小是 ． 【变式训练】（2025六年级下·重庆·专题练习）一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是，这个数最大是 ，最小是 ． 1．（2024·吉林·中考真题）计算： 2.（2024·甘肃兰州·中考真题）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程叫做裂项． 【类比探究】（1）猜想并写出： ① ； ② ． 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：． 3．（2024·浙江金华·中考真题）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…则第2025次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江杭州·中考真题）计算的值 ． 5．（2024·河北保定·中考真题）如图，下列判断正确的有（   ） ； ； ； ； ； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 基础夯实 1．（25-26七年级上·北京西城·期中）下列说法中正确的是（    ） A．如果，那么 B．表示的数是负数 C．相反数是本身的数只有0 D．如果，那么 2．（25-26七年级上·云南昭通·阶段练习）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积约为，用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·黑龙江双鸭山·期中）2024年全国财政安排国防支出预算16655.4亿元，将16655.4亿用科学记数法表示应为 ． 4．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段练习）若一个数的倒数是，则这个数是 ． 5．（25-26七年级上·全国·期中）某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从地出发，晚上最终到达地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下：．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)地在地的哪个方向?它们相距多少千米； (2)如果汽车行驶平均耗油，那么这天汽车共耗油多少升？（直接写出答案） 培优拔高 6．（25-26七年级上·吉林长春·期中）天宫空间站是中华人民共和国建成的国家级太空实验室．其所处轨道高度约为450000米，450000这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，若数轴上的两点，表示的数分别为，，则下列结论正确的个数为（   ） ； ； ； ． A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）计算： 9．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为2026，且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是 ． 10．（25-26七年级上·广东中山·期中）概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的3次商”，写作，读作“的4次商”，一般地，把写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：______，______； （2）下列关于除方说法中，错误的是______（只有一个正确答案）． A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是1 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→乘方（幂）的形式 （3）归纳：请把有理数的次商（），写成乘方（幂）的形式为：______； （4）比较：______；（填“”“”或“”） （5）计算： 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.8 有理数的运算（章节复习） （知识梳理+23个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：有理数的加法法则 2 知识点梳理02：有理数加法运算律 3 知识点梳理03：有理数的减法法则 3 知识点梳理04：省略和式中的括号和加号 3 知识点梳理05：有理数的加减混合运算 3 知识点梳理06：有理数的乘法法则 4 知识点梳理07：有理数的乘法法则的推广 4 知识点梳理08：倒数 4 知识点梳理09：有理数的乘法运算律 5 知识点梳理10：有理数的除法法则 5 知识点梳理11：有理数的混合运算 6 知识点梳理12：有理数的乘方的意义 6 知识点梳理13：有理数的乘方运算 6 知识点梳理14：乘除和乘方的混合运算 7 知识点梳理15：科学记数法 7 知识点梳理16：有理数混合运算的法则 7 知识点梳理17：准确数与近似数的概念 7 知识点梳理18：近似数的精确度 8 知识点梳理19：计算器的使用 8 优选题型 考点讲练 8 考点1：有理数加法运算 8 考点2：有理数加法在生活中的应用 9 考点3：有理数的减法运算 11 考点4：有理数减法的实际应用 11 考点5：有理数的加减混合运算 12 考点6：有理数加减混合运算的应用 13 考点7：两个有理数的乘法运算 13 考点8：多个有理数的乘法运算 14 考点9：有理数乘法的实际应用 15 考点10：倒数 16 考点11：有理数乘法运算律 17 考点12：有理数的除法运算 18 考点13：有理数除法的应用 19 考点14：有理数乘除混合运算 20 考点15：有理数四则混合运算 21 考点16：有理数的乘方运算 22 考点17：乘方的应用 23 考点18：用科学记数法表示绝对值大于1的数 25 考点19：程序流程图与有理数计算 26 考点20：含乘方的有理数混合运算 27 考点21：求一个数的近似数 28 考点22：求近似数的精确度 29 考点23：近似数推断取值范围 29 中考真题 实战演练 30 难度分层 拔尖冲刺 33 基础夯实 33 培优拔高 36 知识点梳理01：有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 类型 加法法则 示例 同号相加 同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。 异号相加 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 互为相反数的两个数相加得0。 同0相加 一个数同0相加，仍得这个数。 2.有理数加法运算的关键步骤 知识点梳理02：有理数加法运算律 运算律 文字叙述 式子表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 易错： 利用有理数的加法交换律时，要连同加数的符号一起交换，必要时需加括号，如(−6.6)+2+(−3.4)=2+(−6.6)+(−3.4)。 说明： 有理数的加法运算律不但适用于两个数或三个数相加，而且适用于三个以上的有理数相加。 知识点梳理03：有理数的减法法则 1.有理数的减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数。 用字母表示： 。 2.将减法转化为加法时要注意“两变一不变”：“两变”是指运算符号“-”需要变成“+ ”，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数不变。 说明： （1）任何数减去0，仍得这个数；0减去一个数，得这个数的相反数。 （2）减法没有交换律，被减数与减数的位置不能改变。 知识点梳理04：省略和式中的括号和加号 我们可以把算式 +(− )+(+ ) 中各个加数的括号和括号前面的加号省略，写成 − + ，这个算式仍可看作和式，读作“正 、负 与正 的和”（按式子表示的意义读），或者读作“ 减加 ”（按运算的意义读）。这样给算法的选择和书写带来方便。 知识点梳理05：有理数的加减混合运算 有理数加减混合运算的步骤： （1）遇减化加：利用减法法则，将减法转化为加法； （2）运用加法交换律和结合律，简化运算； （3）求出结果。 知识点梳理06：有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与零相乘，积为零。 说明： 一个数与1相乘等于它本身，与−1 相乘等于它的相反数。 知识点梳理07：有理数的乘法法则的推广 1.多个不为0的有理数相乘时，积的符号由负乘数的个数决定。 （1）当负乘数的个数为奇数时，积的符号为负； （2）当负乘数的个数为偶数时，积的符号为正。 可简记为“奇负偶正”。 2.多个有理数相乘，若其中有一个乘数为0，则积为0，即“有0得0”。 3.多个有理数相乘的步骤： （1）看：看乘数是否有“0”，若有，则积为0。 （2）定：按照负乘数的个数（“奇负偶正”）确定积的符号。 （3）求：把几个乘数的绝对值相乘。 知识点梳理08：倒数 1.倒数的定义：若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数。0没有倒数。 注意： 倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫作另一个数的倒数，单独的一个数不能称为倒数。 2.倒数的性质：如果,b互为倒数，那么×b=1 。 3.倒数的判定：若×b=1，则，b 两数互为倒数。 4.求倒数的方法： 类型 方法 示例 非零整数 的倒数 用这个数作分母，1作分子，即直接写成 。 3的倒数是 ，−3 的倒数是− 。 分数 的倒数 把这个分数的分子和分母交换位置， 即的倒数是 。 − 的倒数是− , 的倒数是 。 带分数的倒数 先把带分数化成假分数，再交换分子和分母 的位置。 −1=−，所以−1 的倒数是− 。 小数的倒数 先把小数化成分数，再求其倒数。 −0.5=− ，所以−0.5的倒数是−2 。 知识点梳理09：有理数的乘法运算律 在有理数运算中，乘法的交换律、结合律和分配律同样成立。 运算律 文字叙述 用字母表示 示例 乘法交换律 两个数相乘，交换因 数的位置，积不变。 ×b=b× 。 5×(−6)=(−6)×5 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 (×b)×c=× (b×c) 。 [7×(−6)]×5=7×[(−6)×5] 。 分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 ×(b+c)=× b+×c 。 5×(−6+7)=5×(−6)+ 5×7 。 分配律也可以逆用：×b+×c=×(b+c)。 知识点梳理10：有理数的除法法则 有理数的除法法则（一）： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数都得零。 说明：（1）0不能作为除数。 （2）两个有理数相除，若商为1，则这两个数相等；若商为−1 ，则这两个数互为相反数。 有理数的除法法则（二）： 除以一个数（不等于零），等于乘 这个数的倒数。 用字母表示：÷b=a×=(b≠0) 。 知识点梳理11：有理数的混合运算 1.有理数的乘除混合运算： （1）计算顺序：按照从左往右的顺序计算，有括号的，先计算括号里面的。 （2）计算方法：先把除法转化为乘法，然后按照有理数的乘法法则求出结果。 注意： 将乘除运算统一为乘法运算后，可以运用乘法交换律、结合律或分配律简化运算。 2.有理数的加减乘除混合运算的顺序：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，同级运算中，按照从左往右的顺序计算。 知识点梳理12：有理数的乘方的意义 概念 示例 乘方 求几个相同因数的积的运算，叫作乘方。 （乘方是一种运算，幂是乘方的结果） n个相乘的积记作： 幂 乘方的结果叫作幂。 指数（相同的因数的个数） 底数（相同的因数） 底数 在中， 叫作底数。 指数 在中，n 叫作指数。 说明：底数可以是任意有理数，指数n是正整数。 知识点梳理13：有理数的乘方运算 1. 幂的符号法则： 说明：任何有理数的偶次幂都是非负数，即无论 取何值，都有≥0(为有理数，n为正整数) 。 2.有理数的乘方运算： 在计算有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，然后根据幂的符号法则确定结果的符号，再确定结果的绝对值。 知识点梳理14：乘除和乘方的混合运算 对于乘除和乘方的混合运算，应先算乘方，后算乘除；如果遇到括号，就先进行括号里的运算。 乘除和乘方的混合运算 乘除的混合运算 乘法运算 知识点梳理15：科学记数法 1.科学记数法的概念：把一个较大的数表示成(1≤||<10) 与10的幂相乘的积的形式，叫作科学记数法。 2.科学记数法中的和n ： （1）的确定方法： 将原数的小数点移动到左起第一个不为0的数字的后面即可得到 的值。 （2）n的确定方法： ①原数的整数位数减去1即为n 的值；②小数点向左移动几位，n 就为几。 3.把用科学记数法表示的数还原： （1）×中的指数n 加上1就得到原数的整数位数，从而确定原数。 （2）把×中的小数点向右移动n 位即可，若向右移动的位数不够，则用“0”补足。 知识点梳理16：有理数混合运算的法则 一般地，有理数混合运算的法则是： 先算乘方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里的运算。 注意： 若属于同级运算，则按照从左往右的顺序进行计算。 说明： 进行混合运算时，可以灵活运用运算律，但应注意符号的确定以及运算顺序和方法的选择.例如，可以根据算式的结构特征，巧用整体思想、拆分消除等技巧，从而使运算准确、快捷。 知识点梳理17：准确数与近似数的概念 1.准确数与近似数： 概念 示例 准确数 与实际完全符合的数。 某班的学生人数为45人，某校一共有60个班级。 近似数 与实际接近的数。 某同学的身高约为156 cm ，体重约为53 kg 。 2.判断准确数与近似数的方法：一般地，用计数的方法得到的数是准确数；用测量工具得到的数是近似数。 注意：有时不容易获得准确数或不可能得到准确数时，就只能取近似数。例如，人口普查。 知识点梳理18：近似数的精确度 1.近似数的精确度：是指与准确数的接近程度。 2.近似数的精确度的表述方法： （1）用数位表述：如精确到个位或十分位等； （2）用小数表述：如精确到0.1或0.01等。 注意：一个近似数末尾的0不可随意省略,它表示的是这个数的精确度。例如，近似数0.50表示精确到百分位，近似数0.5表示精确到十分位。 3.近似数的精确度的确定方法： 看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一位。 说明： 对于用“百、千、万等或科学记数法”表示的数，确定它的精确度时，需先写回原数，再指出它精确到哪一位。 4.用四舍五入法取近似数：精确到哪一位，只看下一位，够5则进，不够则舍。例如，2.55 精确到十分位为2.6。 知识点梳理19：计算器的使用 计算近似数时，我们一般可用计算器作为辅助计算工具。常用的计算器有简易计算器、科学计算器和图形计算器等。用科学计算器进行混合运算的按键顺序与书写顺序基本相同。按精确度要求，将用计算器算得的结果取近似值，即可得到近似数。 注意： 不同型号计算器的按键顺序不一定相同，具体使用方法可参照计算器的说明书。 考点1：有理数加法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）算筹（小木棍）是我国古代的一种计数工具，将算筹正放表示正数，斜放表示负数．如图，图①可列式计算为，由此可推算图②可列算式为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了有理数的加减运算，解题的关键是根据示例列出算式． 根据示例列出算式求解即可． 【规范解答】解：根据图①示例得， 图②可列算式为：， 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）有理数加法法则： ，绝对值相同时，和为．一个数与0相加，仍得这个数．法则体现了分类数学思想． 【答案】异号两数相加 【思路点拨】本题考查的知识点是有理数加法法则，解题的关键是熟练掌握其分类运算规则． 【规范解答】有理数加法法则，异号两数相加，绝对值相同时，和为，一个数与0相加，仍得这个数． 故答案为：异号两数相加． 考点2：有理数加法在生活中的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段练习）某地区某天早晨的温度是，中午上升了，则中午的温度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了有理数的加法运算的应用，熟练掌握有理数的加法运算是解决本题的关键． 根据题意，早晨温度为，中午上升，即求与13的和即可． 【规范解答】解：早餐的温度为，温度上升， 即进行加法运算：， 则中午的温度是． 故选：C ． 【变式训练】（25-26七年级上·广东东莞·阶段练习）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）： ，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)这段时间内守门员总共跑动多少米？ (2)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门，问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？守门员最后是否能回到球门线？请说明理由 【答案】(1)62米 (2)对方球员有4次挑射破门的机会，守门员最后回到了球门线． 【思路点拨】本题考查正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用．理解题意，理解本题中正负数的意义是解题关键． （1）将各个数据的绝对值相加即可． （2）求出每次离球门线的距离即可得对方球员有几次挑射破门的机会；由最后一次离球门线的距离即可得知守门员最后是否能回到球门线． 【规范解答】（1）解： （m）． 答：这段时间内守门员总共跑动62米． （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次跑距离开球门线（米）； 第三次跑距离开球门线（米）； 第四次跑距离开球门线（米）； 第五次跑距离开球门线（米）； 第六次跑距离开球门线（米）； 第七次跑距离开球门线（米）； 第八次跑距离开球门线（米）． 可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10米，8米，13米，25米，19米，10米，14米，0米，则符合题意的有：13，25，19，14． ∴对方球员有4次挑射破门的机会，守门员最后回到了球门线． 考点3：有理数的减法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·广东河源·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．两个负数的和都是负数 B．0减去一个数，仍是这个数 C．两个正数的差是正数 D．减去一个数等于加上这个数 【答案】A 【思路点拨】本题考查有理数的加减运算性质，根据运算法则逐一判断选项正误即可，熟练掌握有理数加减法则：同号相加取同号，异号相减看大小；减去一个数等于加其相反数是解决此题的关键． 【规范解答】解：∵ 两个负数相加，和仍为负数，如，∴ 选项A正确，符合题意； ∵ 0减去一个数等于该数的相反数，如 ，∴ 选项B错误，不符合题意； ∵ 两个正数的差不一定是正数，如 ，∴ 选项C错误，不符合题意； ∵ 减去一个数等于加上该数的相反数，而非该数本身，如，∴ 选项D错误，不符合题意； 故选：A． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习） ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键：利用有理数的减法法则解答即可． 【规范解答】解：， ． 故答案为：． 考点4：有理数减法的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·吉林·期中）如下是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为（    ）． 【冷藏室】 【冷冻室】 A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查有理数减法的实际应用，温差等于冷藏室温度减去冷冻室温度． 【规范解答】解：∵温差 = 冷藏室温度冷冻室温度 ， ∴温差为， 故选D． 【变式训练】（25-26七年级上·广东佛山·阶段练习）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为，最高气温为，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查有理数减法的实际应用；根据有理数减法的运算法则进行计算即可． 【规范解答】解：， ∴该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为． 故答案为：． 考点5：有理数的加减混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·甘肃庆阳·期中）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了有理数的加减运算，先去括号，再进行加减运算即可． 【规范解答】解： 【变式训练】（25-26七年级上·安徽安庆·期中）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查绝对值性质，有理数的加减混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 利用绝对值性质化简各项，再进行加减运算，即可解题． 【规范解答】解：原式 ． 考点6：有理数加减混合运算的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）为了加强对青少年的消防安全教育，我校邀请消防大队到校开展消防安全演练活动，消防员为全体同学展示云梯消防车高层救援，云梯先上升16 米，再下降32 米，再上升40 米，此时云梯距离初始位置 米． 【答案】24 【思路点拨】本题考查了相反意义的量，有理数的加减的应用，根据题意列出算式，计算即可得解，理解题意，正确列出算式是解此题的关键． 根据题意，上升为正，下降为负，列出算式，得到结果． 【规范解答】解： ∵上升为正，下降为负， 云梯先上升16米，再下降32米，再上升40 米， ∴（米）， ∴云梯距离初始位置24米． 故答案为：24． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）某天早晨的气温是，中午的气温上升了，夜里的气温又下降了，则夜里的气温是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意，列出算式计算即可． 【规范解答】解：根据题意，得 所以这天夜里的气温是. 故答案为：． 考点7：两个有理数的乘法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）小明统计了自己装有125个硬币的储蓄罐的情况如图，则储蓄罐内共有 元钱． 【答案】67.5 【思路点拨】此题考查百分数的数实际应用及有理数的运算． 把储蓄罐里125个硬币看作单位“1”，单位“1”是已知的用乘法计算，求一元的硬币的个数就是求125的是多少；求五角硬币的个数就是求125的是多少；求一角的硬币的个数就是求125的是多少，同时算出一共的钱数． 【规范解答】解：一元的有：（个），（元） 五角的有：（个），（元） 一角的有：（个），（元） 共有金额数：（元） 答：储蓄罐里共有67.5元钱． 故答案为：67.5． 【变式训练】（25-26七年级上·甘肃武威·期中）计算： ． 【答案】6 【思路点拨】本题主要考查有理数的乘法，掌握有理数乘法的运算法则是解题的关键，根据有理数乘法的运算法则计算即可． 【规范解答】解：， 故答案为：6． 考点8：多个有理数的乘法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·吉林延边·期中）若三个有理数，5，a的积是一个正数，则a的值可以是（    ） A．8 B．0 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了有理数的乘法，由题意，三个有理数的积为正数，已知一个负数和一个正数，因此第三个数必须为负数，才能使积为正，据此即可得出答案． 【规范解答】解：∵三个有理数，5，a的积是一个正数， ∴a的值是负数， ∴a的值可以是， 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·山东青岛·阶段练习）大于的所有负整数的积为 ． 【答案】24 【思路点拨】本题主要考查有理数的乘法、有理数的大小比较，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 先找出大于的所有负整数，再计算即可． 【规范解答】解：大于的所有负整数有：、、、， 故答案为： 考点9：有理数乘法的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）某检修小组1乘一辆汽车沿公路检修线路，约定向东为正，某天从A地出发到收工时，行走记录为（单位：千米）：，，，，，，另一小组2也从A地出发，在南北向检修，约定向北为正，行走记录为（单位：千米）：，，，，，． (1)分别计算收工时，1、2两组在A地的哪一边，距A地多远？ (2)求两个检修小组各走了多少千米； (3)若检修车每千米耗油升，求从出发到收工两个检修小组共耗油多少升？ 【答案】(1)1组在A地的东边，距A地20千米；2组在A地的南边，距A地2千米； (2)1组走了36千米；2组走了54千米； (3)两个检修小组共耗油升． 【思路点拨】（1）把每个小组记录的数字相加，根据计算的结果和题中规定的正方向即可确定出收工时两组在A地的哪一边，以及距A地的距离； （2）把各组记录的数字的绝对值相加即可得到各组在检修过程中总共行进的距离； （3）把行进的总距离乘以即可得到各小组的耗油量． 【规范解答】（1）解：根据题意得：（千米）， ∴1组在A地的东边，距A地20千米； 根据题意得：（千米）， ∴2组在A地的南边，距A地2千米； （2）解：根据题意得：（千米）， （千米）， ∴1组走了36千米；2组走了54千米； （3）解：根据题意得：（升） 答：两个检修小组共耗油升． 【变式训练】（25-26七年级上·浙江温州·开学考试）某甲于上午时分钟由码头划船出游，计划最迟于时返回原码头，已知河水的流速为千米小时，划船时，船在静水中的速度可达千米小时，如果甲每划分钟就需要休息分钟，并且船在划行中不改变方向，只能在某次休息之后往回划，问甲最多能划离码头 千米远． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了行程问题，小数加法、乘法的应用，根据已知得出划船周期为分钟，进而分析得出甲游划的路线即可求解，掌握知识点的应用是解题关键． 【规范解答】解：甲划船的全部时间为小时分钟，他每划行分钟，休息分钟，周期为分钟， 所以甲一共可分为个分钟划行时间段，中间有个分钟休息， 如果甲开始向下游划，当他用个分钟的时间段向下游划时， 这时他离开码头的距离为：（千米）， 而返回用个分钟的时间段游划的距离和休息时水流所带距离为（千米）， 因为， 由此可见，甲如果开始向下游划，那么到点时他将无法返回出发地； 如果甲开始向上游划，那么他可以用个时间段向上游划， 这时他最远离开码头的距离为：（千米）， 又（千米）， 所以最后一个时间段，完全可以返回码头， 故答案为：． 考点10：倒数 【典例精讲】（25-26七年级上·天津·阶段练习）的倒数是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【思路点拨】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键．乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数． 根据倒数的定义求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴的倒数是． 故选A． 【变式训练】（25-26七年级上·云南曲靖·期中）的倒数是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查倒数意义和求解，正确理解倒数的性质是解题关键． 根据倒数的性质“乘积是1的两个数互为倒数”求解． 【规范解答】解：由于乘积是1的两个数互为倒数， ， 故的倒数是． 故选：D． 考点11：有理数乘法运算律 【典例精讲】（25-26七年级上·北京昌平·期中）计算： 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的四则运算，先用乘法分配律展开，分别计算各项乘积后相加． 【规范解答】解：， ， ， ． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）若表示三个有理数，则下列等式可以表示乘法结合律的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查乘法运算律．乘法结合律是指三个数相乘时，先乘前两个数或先乘后两个数，结果相同，即．分析各选项：A为加法交换律，B为加法结合律，C为乘法交换律，D符合乘法结合律． 【规范解答】解：乘法结合律的定义是； A：，表示加法交换律； B：，表示加法结合律； C：，表示乘法交换律； D：，即，表示乘法结合律． 故选：D． 考点12：有理数的除法运算 【典例精讲】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一个数除以，商一定（    ）被除数 A．大于 B．小于 C．不小于 D．不大于 【答案】D 【思路点拨】本题考查了分数除法的意义，根据分数除法的规律来分析是解题的关键．在除法运算中，一个数（0 除外）除以一个大于 1 的数，商就小于被除数；除以一个等于 1 的数，商等于被除数；除以一个小于 1 的数（0 除外），商大于被除数．据此规律回答即可． 【规范解答】解：根据除法的运算规律： 在除法运算中，一个数（0 除外）除以一个大于 1 的数，商就小于被除数；除以一个等于 1 的数，商等于被除数；除以一个小于 1 的数（0 除外），商大于被除数． , 一个数除以，商一定不大于被除数， 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）在数中，若任取两个数，乘积的最大值是 ，商的最小值为 ． 【答案】 15 【思路点拨】本题考查了两个有理数的乘除法法则，熟练掌握有理数的乘除法法则是解答本题的关键．两数相乘（除），同号得正，异号得负，并把绝对值相乘（除）；任何数与 0 相乘，积仍得 0 ． 根据有理数的乘法和除法运算即可求出答案． 【规范解答】解：∵两数相乘或相除，同号得正，异号得负，正数大于负数， ∴任取不同的数相乘，所得乘积最大值为， 任取不同的数相除，商的最小值为， 故答案为：15；． 考点13：有理数除法的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段练习）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则记为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则记为12）．以2022年为例：天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年．请你依据上述规律推断2031年为农历 年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 【答案】 辛亥 【思路点拨】本题考查有理数除法的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键； 根据干支纪年法的计算方法，计算2031年减3后除以10的余数确定天干，除以12的余数确定地支． 【规范解答】解：计算天干：，余数8对应天干序号8为辛； 计算地支：，余数0对应地支序号12为亥； 故2031年为农历辛亥年； 故答案为：辛亥． 【变式训练】（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）2025年的2月3日是星期一，那么2025年的3月3日是星期 ． 【答案】一 【思路点拨】本题考查了数字类规律的探索．先求2月3日到3月3日经过了多少天，再求这些天里有几周，还余几天，再根据余数判断． 【规范解答】解： 所以2025年是平年，二月28天，2月3日到3月3日有28天， （周） 那么今年的3月3日是星期一； 故答案为：一． 考点14：有理数乘除混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·四川广元·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了有理数乘除混合运算和利用运算律简便计算，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）先把除法统一成乘法，再按有理数乘法法则计算即可； （2）先把改写成，再按乘法分配律计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2） ． 【变式训练】（25-26七年级上·广西桂林·期中）如图所示的程序，若开始输入的数是2，则最后输出的结果为（   ） A．2 B． C． D．6 【答案】A 【思路点拨】本题考查有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 由题意列式计算，直至结果大于0即可． 【规范解答】解：开始输入的数为2， 解：返回继续运算； 输出结果； 故选A． 考点15：有理数四则混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·甘肃武威·期中）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数四则混合运算，先利用乘法分配律展开，分别得到各项的乘积后再加减． 【规范解答】解：， ， ， ． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期中）下面是圆圆同学计算的过程： 解： ． 圆圆同学这样计算正确吗？如果不正确，请你写出正确的计算过程． 【答案】不正确，过程见解析 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的顺序（先算括号内，再算乘除，同级运算从左到右依次进行）．圆圆同学错误地使用了除法分配律（除法没有分配律），正确的做法是先算括号内的加法，再按照从左到右的顺序进行乘除运算． 【规范解答】解：圆圆同学这样计算不正确． 正确的计算过程如下： ． 考点16：有理数的乘方运算 【典例精讲】（25-26七年级上·甘肃定西·期中）已知a、b均为有理数，若，则 【答案】 【思路点拨】本题考查非负数的性质，有理数的平方项和绝对值，有理数的乘法，掌握知识点是解题的关键． 根据非负数的性质，平方项和绝对值项均非负，它们的和为零，则每个项必为零． 【规范解答】解：由题意，得 且，而它们的和为零， 因此且， 解得，． ∴． 故答案为． 【变式训练】（23-24七年级上·吉林辽源·期末）下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【思路点拨】本题考查了有理数的乘方运算，正确计算是解题的关键． 通过计算每组数的值，比较是否相等，选项A中两个数均为9，相等；其他选项数值不同． 【规范解答】A、∵，，∴，相等； B、∵，，∴，不相等； C、∵，，∴，不相等； D、∵，，∴，不相等， 故选：A． 考点17：乘方的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下． (1)如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过______次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． (2)现在将问题中的8个茶杯改为7个，能否经过若干次翻转每次4个把它们全部翻成杯口朝下？直接写出结果：______填“能”或“不能” (3)请利用有理数运算说明得到（2）中结论的理由． 【答案】(1)3 (2)不能 (3)见解析 【思路点拨】本题考查了有理数的乘法运算的实际应用，理解题意，设置合理的运算法则是解问题的关键． （1）用“+”表示杯口朝上，用“-”表示杯口朝下，找出最少翻转次数能使杯口全部朝下的情况即可得答案； （2）通过设定杯口朝上为、朝下为，分析初始乘积、每次翻转的乘积变化及全部朝下的乘积，判断是否能实现转换． （3）杯口朝上和朝下用和，则初始状态为：，结合每改变一个就相当于乘以，而每次改变4个，即乘以4个，其乘积仍为，从而可得答案． 【规范解答】（1）六只杯子的初始状态是全部杯口朝上， 用“”、“”分别表示杯口“朝上”、“朝下”， 所以初始状态为：、、、、、， 第一次翻转前四个杯子，状态为：、、、、、， 第二次翻转第2、3、4、5个杯子，状态为：、、、、、， 第三次翻转第2、3、4、6个杯子，状态为：、、、、、， 故答案为：3； （2）现在将问题中的8只茶杯改为7只，不能经过若干次翻转每次4个把它们全部翻成杯口朝下， 理由：用“”、“”分别表示杯口“朝上”、“朝下”， 所以初始状态为：、、、、、、， 因为开始是7杯口全部朝上，即7个，其乘积为， 每改变一个就相当于乘以， 而每次改变4个， 即乘以4个，其乘积仍为， 7个杯口朝下，即7个， 其乘积为，由于， 故不可能把它们全部翻成杯口朝下， 故答案为：不能； （3）用“”、“”分别表示杯口“朝上”、“朝下”， 所以初始状态为：、、、、、、， 每改变一个就相当于乘以，而每次改变4个， 则，即乘积始终不变， 7个杯口朝下，即7个，其乘积为， 由于， 故不可能把它们全部翻成杯口朝下． 【变式训练】（25-26七年级上·山东临沂·阶段练习）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合、反复几次，就把这根很粗的面条拉成许多细的面条，如下面的草图所示： 这样捏合到第 次后可拉出根细面条． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数乘方的应用，根据已知可得第次面条的根数为，进而由即可求解，理解题意是解题的关键． 【规范解答】解：第一次面条的根数为， 第二次面条的根数为， 第三次面条的根数为， ， ∴第次面条的根数为， ∵， ∴捏合到第次后可拉出根细面条， 故答案为：． 考点18：用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期中）2025年投入乡村振兴资金为1250亿元，将“1250亿”用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【规范解答】解：1250亿． 故选：B． 【变式训练】（重庆市十一中教育集团2025-2026学年七年级上学期期中数学试卷）地震震级是划分震源放出的能量大小的等级．级地震释放的能量大约是级地震的倍．级地震释放的能量大约是级地震的 倍（用科学记数法表示） 【答案】 【思路点拨】本题考查了科学记数法，关键是熟练准确的进行计算； 从级到级，震级差为4级，根据每增加两级能量释放增加倍，计算增加倍数． 【规范解答】根据题意，级地震释放的能量大约是级地震的倍，从级地震到级地震，震级差为级，即增加了两次两级，故能量释放增加倍数为，用科学记数法表示为 ． 故答案为： ． 考点19：程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（陕西省榆林市2025-2026学年上学期七年级数学期中调研试题）按如图所示的程序计算，当输入的值为时，则输出的值为（　　） A．6 B．8 C．15 D．24 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了程序运算题，含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是读懂程序和掌握运算法则． 按照程序列出算式进行计算即可． 【规范解答】解：根据程序可得，当时， 第一轮：， 第二轮：， ∴输出的值为8， 故选：B． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏连云港·阶段练习）如图是一个数值运算程序.当输入的值为时，则输出的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是有理数的混合运算及有理数大小比较，根据数值运算程序进行有理数的混合运算计算即可． 【规范解答】解：当输入值为时，； 当输入值为时，； 当输入值为时，； 则输出的值为， 故答案为：． 考点20：含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（陕西省榆林市2025-2026学年上学期七年级数学期中调研试题）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算，求一个数的绝对值，解题的关键是掌握各运算法则． 先进行乘方和绝对值运算，再进行乘除，最后进行加减运算． 【规范解答】解： ． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期中）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2)3 【思路点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 考点21：求一个数的近似数 【典例精讲】（陕西省榆林市2025-2026学年上学期七年级数学期中调研试题）利用四舍五入法将有理数精确到百分位得到的近似数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了近似数，解题的关键是掌握近似数的法则． 根据四舍五入法，精确到百分位需把千分位四舍五入． 【规范解答】解：有理数精确到百分位时，千分位数字为5，因此向百分位进1，百分位数字3变为4，故得到的近似数为， 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·河北唐山·期中）下列说法错误的是（    ） A．小明身高，其中是近似数 B．近似数精确到 C．保留两位小数的近似数是 D．近似数万精确到了十分位 【答案】D 【思路点拨】本题考查近似数的概念和精确度的理解，关键是对相关概念的理解和掌握． 根据近似数的定义，判断各选项的正确性，注意对于带有单位的近似数，精确度应根据实际数值判断，最后一位数字对应的位数才是精确位． 【规范解答】选项A中测量身高通常有误差，是近似数，正确； 选项B中的最后一位在百分位，精确到0.01，正确； 选项 C中保留两位小数，看第三位小数，舍去，得，正确； 选项 D中近似数万表示，最后一位2在千位，故精确到千位，而不是十分位，错误． 故选：D． 考点22：求近似数的精确度 【典例精讲】（25-26七年级上·吉林长春·期中）把46.745按四舍五入的方法精确到百分位的近似数为_____． 【答案】 【思路点拨】本题考查近似数的应用，熟练掌握求近似数的方法是解题的关键． 要把46.745按四舍五入的方法精确到百分位，需要确定千分位上的数字，由于千分位的数是5，根据“四舍五入”的方法，需要“进一”，得到精确到百分位的近似数为． 【规范解答】解：数字精确到百分位，千分位的数是5，根据“四舍五入”的方法，需要“进1”，因此46.745按四舍五入的方法精确到百分位的近似数为． 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段练习）用四舍五入法把精确到百分位是 ，近似数精确到 位． 【答案】 ； 十万 【思路点拨】本题主要考查了小数的近似数取值，关键要看精确到的数位的下一位；以及由近似数判断精确度．运用“四舍五入”法取近似值，要看精确到哪一位，就从它的下一位运用“四舍五入”法取值，同理由近似数判断其精确度，则看近似数的最后一位数字是在原数的哪一位上就是精确到了哪一位． 【规范解答】解：的千分位是，应舍去， ； ∵近似数有两个有效数字3和0，最后一个有效数字0在十万位上， 精确到十万位． 故答案为：； 十万． 考点23：近似数推断取值范围 【典例精讲】（25-26六年级上·重庆沙坪坝·开学考试）一个三位小数用“四舍五入”法保留两位小数是3.70，这个数最大是 ，最小是 ． 【答案】 3.704 3.695 【思路点拨】本题考查近似数，考虑“四舍五入”法保留两位小数的原理，“四舍”得到最大原数，“五入”得到最小原数． 【规范解答】解：保留两位小数约是3.70，通过“四舍”得到时，原数千分位小于5，且百分位为0，十分位为7，故最大为3.704； 通过“五入”得到时，原数千分位大于等于5，且百分位为9，十分位为6，进一后得3.70，故最小为3.695． 故答案为：3.704；3.695． 【变式训练】（2025六年级下·重庆·专题练习）一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是，这个数最大是 ，最小是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了取一个小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，根据题的要求灵活掌握解答方法． 要考虑是一个三位小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的最大是，“五入”得到的最小是，由此解答问题即可． 【规范解答】解：一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是，这个数最大是，最小是． 故答案为：，． 1．（2024·吉林·中考真题）计算： 【答案】 【思路点拨】本题考查了含乘方的有理数混合运算，关键是熟练应用运算法则．先算乘方和括号内的，再算乘法，最后算加减． 【规范解答】解： ． 2.（2024·甘肃兰州·中考真题）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程叫做裂项． 【类比探究】（1）猜想并写出： ① ； ② ． 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：． 【答案】 （1）① ，② ，（2） 【思路点拨】（）根据题中材料即可求解； （）根据（）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算． 本题考查了有理数的四则混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 【规范解答】解：（） ， 故答案为：，； （） ． 3．（2024·浙江金华·中考真题）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…则第2025次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算发现从第2次输出的结果开始按，，，，，循环是解题的关键． 根据题意，依次求出每次输出的结果，发现规律即可解决问题． 【规范解答】解：由题知， 当输入的的值为2时， 第1次输出的结果是1； 第2次输出的结果是； 第3次输出的结果是； 第4次输出的结果是； 第5次输出的结果是； 第6次输出的结果是； 第7次输出的结果是； 第8次输出的结果是； ， 由此可见，从第2次输出的结果开始按，，，，，循环， 又因为余2， 所以第2025次输出的结果是． 故选：D． 4．（2024·浙江杭州·中考真题）计算的值 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，设，可得，即得，进而代入算式计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：设， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 5．（2024·河北保定·中考真题）如图，下列判断正确的有（   ） ； ； ； ； ； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了利用数轴判断式子正负，有理数的大小比较，有理数的四则运算，理解数轴是解题关键． 由数轴可知：，再逐项判断即可． 【规范解答】解：由数轴可知：， ，，故正确； ，故错误； ，故正确； ，，故正确； ，，故正确； ，，故错误． 综上，正确的有4个． 故选：C． 基础夯实 1．（25-26七年级上·北京西城·期中）下列说法中正确的是（    ） A．如果，那么 B．表示的数是负数 C．相反数是本身的数只有0 D．如果，那么 【答案】C 【思路点拨】本题考查相反数、绝对值和平方根的概念．选项A和D忽略了解的多值性；选项B错误理解负号的含义；选项C正确，因为只有0的相反数是本身． 【规范解答】解：A：∵，∴，但选项限定，不全面，故错误； B：∵表示的数取决于的取值（如为正数则为负数，为负数则为正数， 则），不一定是负数，故错误； C：∵ 相反数是本身的数需满足，解得，故正确； D：∵，∴，但选项限定，不全面，故错误； ∴ 故选：C． 2．（25-26七年级上·云南昭通·阶段练习）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积约为，用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了用科学计数法表示绝对值大于的数，关键是确定和的值； 科学记数法的形式为，其中，为整数，将表示为科学记数法，需确定和. 【规范解答】解：∵ ， 且满足，为整数， ∴ 表示为， 故选：D. 3．（25-26九年级上·黑龙江双鸭山·期中）2024年全国财政安排国防支出预算16655.4亿元，将16655.4亿用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【规范解答】解：16655.4亿， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段练习）若一个数的倒数是，则这个数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键．乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数． 先将带分数化为假分数，再根据倒数的定义作答即可． 【规范解答】， ∵， ∴若一个数的倒数是，则这个数是． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·全国·期中）某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从地出发，晚上最终到达地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下：．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)地在地的哪个方向?它们相距多少千米； (2)如果汽车行驶平均耗油，那么这天汽车共耗油多少升？（直接写出答案） 【答案】(1)地在地正南方向，它们相距 (2)汽车行驶平均耗油，那么这天汽车共耗油 【思路点拨】本题考查加减运算解决实际问题，涉及绝对值运算等知识，读懂题意，准确列出式子是解决问题的关键． （1）根据当天汽车的行驶记录，由有理数加减运算法则计算即可得到答案； （2）根据当天汽车的行驶记录，由绝对值及有理数加法运算求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵ ， ∴地在地正南方向，它们相距； （2）解：∵ ， 汽车行驶平均耗油，那么这天汽车共耗油． 培优拔高 6．（25-26七年级上·吉林长春·期中）天宫空间站是中华人民共和国建成的国家级太空实验室．其所处轨道高度约为450000米，450000这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【规范解答】解：， 故选：． 7．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，若数轴上的两点，表示的数分别为，，则下列结论正确的个数为（   ） ； ； ； ． A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了数轴，根据数轴判断式子的正负，根据数轴判断出的正负情况，绝对值的大小，然后对各选项逐一分析即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：根据数轴可知，， ∴，原结论错误，不符合题意； 根据数轴可知，，， ∴， ∴，原结论错误，不符合题意； 根据数轴可知，，原结论正确，符合题意； 根据数轴可知，，， ∴，原结论错误，不符合题意； 综上可得：正确，共个， 故选：． 8．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）计算： 【答案】 【思路点拨】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，乘法分配律，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． 先将原式变形为，再由乘法分配律计算即可． 【规范解答】解：原式= = = = 故答案为：． 9．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为2026，且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了折叠的性质、数轴上两点间的距离和有理数的运算，正确得出折痕表示的数是关键． 根据折叠的性质可得折痕表示的数是，然后根据数轴上两点间的距离和、两点之间的距离为求解即可． 【规范解答】折叠纸面上的数轴，数轴上表示的点与8表示的点重合， 折合点在数轴上所对应的数为， 设点A，点B在数轴上所表示的数分别为a，b， 数轴上A、B两点之间的距离为2026， ， 又点A、B两点经以上方法折叠后重合， ， 即， 解得，或，， 故答案为：或 10．（25-26七年级上·广东中山·期中）概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的3次商”，写作，读作“的4次商”，一般地，把写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：______，______； （2）下列关于除方说法中，错误的是______（只有一个正确答案）． A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是1 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→乘方（幂）的形式 （3）归纳：请把有理数的次商（），写成乘方（幂）的形式为：______； （4）比较：______；（填“”“”或“”） （5）计算： 【答案】（1）1；；（2）C；（3）；（4）；（5） 【思路点拨】本题主要考查的是新定义运算，有理数的乘方运算，含乘方的有理数的混合运算． （1）根据新定义的运算法则列式计算即可； （2）根据新定义的运算法则逐一分析每个选项即可； （3）按照新定义可得； （4）分别计算，，根据运算结果可得答案； （5）根据新定义的运算法则先转化为乘方运算，再按照有理数的运算法则与运算顺序计算即可. 【规范解答】解：（1）， ； （2）A.当时，，正确，不符合题意， B.当时，，正确不符合题意； C.正数的n次商结果是正数是正确的，负数的偶次商结果一定是正数， ∴负数的n次商结果不一定是负数，错误，符合题意； D.n次商等于它本身的数是1，正确，不符合题意； 故选：C． （3）归纳：把有理数a的n次商，写成乘方（幂）的形式为： ， （4） ， ∴； （5） ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $