5.4二元一次方程与一次函数 导学案 2025-2026学年 北师大版八年级上册数学

该初中数学导学案聚焦二元一次方程与一次函数的关系及图像法解二元一次方程组，通过预习自测中的知识链接回顾一次函数定义、直线平行条件等旧知，结合自学自测的简单练习，搭建新旧知识桥梁，为新知探究奠定基础。 以探究活动为主线，通过问题链引导学生发现方程解与函数图像的对应关系，培养几何直观和抽象能力。习题分层设计，基础题巩固概念，能力提升题结合生活实际，拓展迁移题综合图像与几何计算，发展推理意识和应用意识，助力学生形成数形结合的思维习惯。

第五章 二元一次方程组 5.4二元一次方程与一次函数 导学案 ► 学习目标与重难点 学习目标： 1.初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解. 2.通过思考和操作，建立“数”与“形”之间的对应，培养学生初步的数形结合的意识和能力. 3.通过自主探索，揭示方程和图象之间的对应关系，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，进一步激发学生学习数学的兴趣. 学习重点：二元一次方程（组）和一次函数的关系； 学习难点：数形结合和数学转化的思想意识 ► 预习自测 一、知识链接 1 . 若两个变量x,y间的对应关系可以表示成 的形式，则称y是x的一次函数. 2.若两条直线互相平行，则这两条直线中的k . 3.关于x的一元一次方程都可以变形为kx+b=0(k≠0) 的形式，方程kx+b=0的解即为函数 y=kx+b 当 时x所对应的值，从图象上看，则为函数图象与x轴交点的 . 4.解二元一次方程组的方法有 . 2、 自学自测 （本节课内容预习自测，设置3-5个练习，选择题或填空题均可，题目难度相对简单） ► 教学过程 合作交流、新知探究 探究一：二元一次方程与一次函数的关系 问题1.方程x＋y＝５的解有多少个？写出其中的几个. 问题2.以这些解为坐标的点在一次函数y=-x+5的图象上吗？ 问题3.在一次函数图象上任取几个点，它们的坐标适合方程x＋y＝５吗？它们是方程的解吗？ 问题4.以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y=-x+5的图象相同吗？ 探究小结： x+y=5是二元一次方程，变形成y=-x+5称为一次函数。函数图像上的点都是二元一次方程的解。 小试牛刀 1.把下列二元一次方程转化为一次函数 （1）y-2x=1； （2）2y+x=4 2.以方程2x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数 的图像相同. 3.如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是方程x-2y=2的解的是（ ) A. B. C. D. 探究二，用图像法解二元一次方程组 1、作y=5-x的图像,取两点（ , )，( , )，作出一次函数y=5-x的图象 2、作y=2x-1的图像,取两点（ , )，( , )，作出一次函数y=2x-1的图象 3、解方程组 解得： 思考：方程组的解和相应的两个函数图象的交点坐标有什么关系? 【方程组的解就是两直线的交点坐标】 小试牛刀 1.以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图像，所得两条直线（ ） A. 有无数个交点 B.没有交点 C. 只有一个交点 D. 以上都有可能 2.根据下列图象，说出哪些方程组的解. 探究三：两直线平行于方程组解的关系 1、在同一直角坐标系内， 一次函数y = x + 1 和 y = x - 2 的图象有怎样的位置关系？ 2、 方程组 解的情况如何? 3、 探究小结 归纳：对于两条直线 当k1≠k2 时，两直线交于一点，此时对应的二元一次方程组有一组解. 当k1=k2 b1≠b2时，两直线互相平行，无交点，此时对应的二元一次方程组无解. 当k1=k2 b1=b2时，两直线重合，无数个交点，此时对应的二元一次方程组无数个解. 小试牛刀：ax-y+b=0 kx-y=0 1.已知二元一次方程组 的解为则函数y=kx+b和y=kx 的图象的交点坐标为  ． 2.以2x- y=5方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 的图象相同． 3..图中的直线 y=-x+4和直线y=2x+1的交点坐标是（1,3）则该坐标可以看作方程组 的解。 三、课堂练习、巩固提高 基础达标： 1.若方程组没有解,由此一次函数y=2-x与y=-x的图像必定 ( ). A. 重合 B. 平行 C. 相交 D. 无法判断 2.有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？【 】 图象之间有何关系？【 】 3.直线y=ax+b和直线y=bx+3a的交点坐标是(2,-1)，则a= ,b . 4、用图象法解方程组： 5. 直线y=-2x+3 与直线y=2x的交点坐标是 方程组 的解是______ x=4 y=0 6. 方程组 的解是 则直线y=ax+4 与直线y=bx+4的交点坐标是 。y=ax+4 y=bx+4 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线：y=x+3与直线：y=mx+n交于点A(-1,b)，则关于x、y的方程组  的解为(    )y=x+3 y=mx+n x=-1 y=-2 x=2 y=-1 x=2 y=1 x=-1 y=2 A. B. C. D. 能力提升： 8. 一顾客准备办理上网业务，发现有两种收费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费。顾客选择那种收费方式更划算呢？ 拓展迁移： 9.如图，已知直线 分别与x轴、y轴交于点A，B，直线 分别与x轴、y轴交于点C，D，且直线AB与CD相 交于点P, . （1）求b的值和点P的坐标； （2）求△ADP的面积. 4、 总结反思、拓展升华 利用图像法求二元一次方程组的解一般步骤： 1、将两个方程化成一次函数形式； 2、画出两个一次函数图象； 3、找到两条直线交点坐标即为方程组的解 若两条直线相交，则交点就是二元一次方程组的解； 若两条直线平行，则二元一次方程组无解. 若两直线重合是二元一次方程组有无数个 五、【作业布置】 基础达标： 1．如图，若直线与直线相交于点A，则方程组 的解是（ ） A． B． C． D． 2．小亮在用作函数图象的方法解二元一次方程组时，在同一坐标系中作出如图所示的图象，他解的这个方程组可能是（ ） A． B． C． D． 第1题 第2题 第3题 3.如图，已知一次函数y=ax+b和y=kx的图象相交于点P，则根据图象可得二元一次方程组 的解是(    )y=ax+b Kx-y=0 A. x=-4 B. x=-2 C. x=2 D. x=2 y=-2 y=-4 y=4 y=-4 4．以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线（ ） A．有一个交点 B．有无数个交点 C．没有交点 D．以上都有可能 5．以方程组的解为坐标的点在（        ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．若直线经过点(0,4)，经过点(3,2)，且与关于x轴对称，则与的交点坐标为（ ） A．(-2,0) B．(2,0) C．(-6,0) D．(6,0) 7.方程组的解为 ；所以点(−1，1)是直线 与直线 的交点． 8．直线y=kx-2和y=2x+k的交点的横坐标为2，则k= . 能力提升： 9如图，已知A(3,1)与B(1,0)，PQ是直线y=x上的一条动线段且PQ=, (Q在P的下方)，当AP+PQ+BQ最小时，Q点坐标为(    ) 拓展迁移： 10.已知一次函数和的图象都经过点A(-2,0)，且与y轴分别交于点B，点C.求△ABC的面积. 11.如图，一次函数L:y=kx+b(k≠0）的图象经过A(0,4)和D(4,0)两点，一次函数L:y=x+1的图象与x轴交于点C，直线相交于点B连接AC． (1)求K，b的值; (2)求点B的坐标; (3)求△ABC的面积． 课堂练习参考答案： 1、 B 2、 没有；平行 3、 a=-1,b=1 x=2 y=6 x=2 y=-5 4、 ； 5、 6.、(4,0) 7、 A 8、 方法一：设上网时间为x分钟，收费为y元。 方式A:y=0.1x 方式B Y=0.05X+20y=0.1x y=0.05x+20 解方程组 x=400 y=40 得 故交点坐标为 (400,40) 。 由图象知： 当0 < x < 400时，选方式A省钱； 当x = 400时，选方式A或 B都一样 当x > 400时，选方式B省钱。 方法2：设上网时间为x分，方式B与方式A两种计费的差额yB- yA为y元， 得y =-0.05x+20，当差额为0是即 -0.05x + 20 = 0 得：x=400 故直线 与x 轴的交点为（400，0） 由图象知： 当0 < x < 400时，y > 0，选方式A省钱； 当x = 400时，y = 0，选方式A或B都一样； 当x > 400时，y < 0，选方式B省钱 9、解答提示； (1)求出A,B两点的坐标A(-2,0),B(0,1);根据三角形ABD的面=2和A，B的坐标,求出D点坐标，即可求出b. 再把两个二元一次函数联立成方程组，可求出P点坐标。 （2）三角形ADP的面积=三角形ABD面积+三角形BDP面积或等于三角形ACD面积+三角形ACP面积 答案是：(1),b=-1;P(4,3) (2),6 课外作业参考答案： 1、 A 2、 D 3、 A 4、 D 5、 A 6、 B 7、 y=3x+4 ; y=2x+3 8、 6 9、解析】：作B点关于PQ的对称B,BQ=BQ,B(1,0);B(0,1); 过A点作MN∥PQ,并将A点沿MN向下平移单位得A.由于A(3,1），AA=. ∴A(2,0),则四边形AAPQ是平行四边形，得到AP=QA如图； AP+PQ+BQ=QA+PQ+BQ，由于PQ是固定值，只有当A、Q、B三点共线时AP+PQ+BQ值最小。B(0,1);A(2,0)用待定系数法求出AB的解析式y=-0.5x+1,与直线y=x联立解方程求出交点坐标， 10、解：对于，当时，， 所以， 解得. 对于，当时，， 所以， 解得. 所以，. 所以，. 所以. 11、解：(1)把A(0,4),B(4,0)代入y=kx+b(k≠0），得b=4 4k+b=0 b=4 k=-1 解得 y=-x+4 y=x+1 4k+b=0 (2)由(1)得L:y=-x+4，联立L，L，得 解得 所以B 对于y=x+1，当y=0时，x+1=0，解得x=-1， 所以点C(-1,0)， 所以． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $