5.4 二元一次方程与一次函数 导学案 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

5.4 第2课时 利用二元一次方程与一次函数的关系解决实际问题 素养目标 1.会用二元一次方程组确定一次函数的表达式,理解待定系数法的方法内核与过程. 2.理解函数交点的实际意义,能够根据二元一次方程组的解确定交点坐标. 3.加强函数与方程联系的认识,体会数学与实际生活的联系,增强应用意识. 重点 会用二元一次方程组确定一次函数的表达式. 【自主预习】 1.从函数角度来讲,二元一次方程的每一组解,都对应着其转化后的一次函数图象上一个点的　　　　.  2.要确定两个一次函数图象交点的坐标,需将这两个一次函数的表达式联立,联立后的式子所对应的　　　　就是交点坐标.  1.甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y(单位:元)与销售量x(单位:件)之间的函数图象如图所示,有下列说法:(1)买2件时甲、乙两家售价一样;(2)买1件,乙家的更合算;(3)买3件,甲家的更合算;(4)买乙家的1件售价为3元.其中正确的说法是 (　　) A.(1)(2)　　　　　 B.(2)(3)(4) C.(2)(3)　　　　 D.(1)(2)(3) 2.如图,射线OA,BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象,图中s,t分别表示行驶距离和时间,则这两人骑自行车的速度相差　　　　km/h.  【合作探究】 知识点：利用二元一次方程与一次函数的关系解决实际问题 阅读课本本课时的所有内容,思考下列问题. 1.在求函数表达式时,先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中　　　　,从而得到函数表达式的方法,叫作　　　　.对一次函数来说,要确定其表达式,一般要通过　　　　求出未知的系数.  2.图象的交点的横、纵坐标即为两个函数所对应的方程组成的　　　　的解,可通过解此方程组求交点的　　　　,在行程问题中交点代表了　　　　或速度快者　　　　速度慢者,增收节支问题中代表价格　　　　.  1.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中,甲、乙两车离开A城的距离y(单位:km)与甲车行驶的时间t(单位:h)之间的函数关系如图所示,则乙车出发后　　　　小时追上甲车.  2.(方法指导:先求两函数表达式,再求自变量等于3时的函数值)已知A地在B地正南方3千米处,甲、乙两人同时分别从A,B两地向正北方向匀速直行,他们与A地的距离s(单位:千米)与所行的时间t(单位:时)之间的函数图象如图所示,当他们行走3小时后,他们之间的距离为 　　　　千米.  利用二元一次方程与一次函数的关系解决实际问题 例　小东从A地出发以某一速度向B地走去,同时小明从B地出发以另一速度向A地行进,如图,线段y1,y2分别表示小东、小明离B地的距离y(单位:千米)与时间t(单位:时)的关系. (1)试用文字说明交点P所表示的实际意义. (2)试求出A,B两地之间的距离. 变式训练 某单位为减少用车开支,准备和个体车主或一家出租车公司签订租车合同.设汽车每月行驶x km,个体车主的月费用是y1元,出租车公司的月费用是y2元,y1,y2分别与x之间的函数关系图象如图所示,观察图象回答下列问题: (1)每月行驶的路程在什么范围内时,租用公司的车更省钱? (2)每月行驶的路程在什么范围内时,租两家的车的费用相同? (3)如果这个单位估计每月行驶的路程在2 300 km,那么这个单位租哪家的车比较合算? 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.坐标 2.二元一次方程组的解 自学检测 1.D　2.4 【合作探究】 知识生成 知识点 1.未知的系数;待定系数法;解方程组 2.方程组;坐标;相遇;追上;相等 对点训练 1.1.5　2.1.5 题型精讲 题型 例　解:(1)点P表示两人在距B地7.5千米处相遇. (2)由图象易知小东从A地到B地共用了4小时,而小东与小明相遇时距B地7.5千米,再过4-2.5=1.5(时)可到B地,其平均速度为7.5÷1.5=5(千米/时),故A,B两地相距4×5=20(千米). 变式训练　解:(1)路程超过3 000 km时,租用公司的车省钱. (2)当行驶路程为3 000 km时,租两家车的费用相同. (3)租用个体车主的车比较合算. 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4 第1课时 二元一次方程与一次函数的关系 素养目标 1.知道二元一次方程与一次函数的关系,会利用解方程组的方法求两个一次函数图象的交点坐标,能不解方程判断方程组的解的情况. 2.经历二元一次方程与一次函数关系的探究过程,体会数形结合思想的应用. 3.在利用二元一次方程与一次函数关系解决问题的过程中,培养逻辑思维能力和数学抽象能力,提升运用数学知识解决实际问题的能力. 重点 能利用二元一次方程与一次函数关系求图象的交点坐标或判断方程组的解. 【自主预习】 1.二元一次方程的一个解的定义是什么? 2.x+y=5与y=-x+5表示的关系是否相同? 1.两条直线y=k1x+b1和y=k2x+b2相交于点A(-2,3),则方程组的解是 (　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 2.点(3,5)　　　　(填“在”或“不在”)一次函数y=2x-1的图象上;x=3,y=5　　　　(填“是”或“不是”)方程2x-y=1的解.  【合作探究】 知识点一：二元一次方程和一次函数的关系 阅读课本本课时“操作·思考”之前的内容,思考下列问题. 以方程x+y=5的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象是什么关系? 1.有以下四条直线,其中直线上每个点的坐标都满足二元一次方程x-2y=2的是 (　　) A.　　　　　　B. C.　　　　　　D. 知识点二：二元一次方程和一次函数关系的应用 阅读课本本课时“思考·交流”及前面的内容,思考下列问题. 1.一次函数y=5-x和y=2x-1图象的交点坐标为　　　　,方程组的解为　　　　.  2.在平面直角坐标系中,一次函数y=x+1和y=x-2的图象的位置关系是　　　　,说明对应的方程组无解.  2.如图,一次函数y=2x+1的图象与y=kx+b的图象相交于点A,则方程组的解是(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 二元一次方程组的解与两直线的交点坐标 例　如图,这是直线y=2x+3与直线y=-2x-1. (1)求两条直线与y轴交点A,B的坐标. (2)求两条直线交点C的坐标. (3)求△ABC的面积. 变式训练 如图,一次函数y=-x+5的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,与正比例函数y=kx的图象交于点C. (1)求m的值和正比例函数的表达式. (2)方程组的解为　　　　.  (3)求S△AOC-SΔBOC的值. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值,叫作这个二元一次方程的一个解. 2.相同. 自学检测 1.B　2.在;是 【合作探究】 知识生成 知识点一 相同,是同一条直线. 对点训练 1.C 知识点二 1.(2,3); 2.互相平行 对点训练 2.B 题型精讲 题型 例　解:(1)对于y=2x+3,令x=0,得y=3,所以点A的坐标为(0,3). 同理,点B的坐标为(0,-1). (2)由解得所以点C的坐标为(-1,1). (3)S△ABC=AB·|xC|=×4×1=2. 变式训练　解:(1)把C代入一次函数y=-x+5,得-m+5=,解得m=, ∴C, 把C代入正比例函数y=kx,得k=,解得k=, ∴正比例函数的表达式为y=x. (2) (3)如图,过点C作CD⊥x轴于点D,CE⊥y轴于点E,则CD=,CE=. 在一次函数y=-x+5中,令x=0,则y=5;令y=0,则x=10. 故A (10,0),B(0,5), ∴AO=10,BO=5, ∴S△AOC-S△BOC=AO·CD-BO·CE =×10×-×5× =. 学科网（北京）股份有限公司 $