精品解析：贵州省遵义市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

贵州省2023~2024学年度春季学期（期末）质量监测 七年级数学（人教版） （全卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项：1．答题前，务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2．答题时，一律用2B铅笔或黑色签字笔将答案填涂或填写在答题卡规定的位置上； 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 在下列选项中，最小实数是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 2. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是（ ） A. B. C. D. 4. 小明写了如下四个方程，其中是二元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 以下调查中，适合抽样调查的是（ ） A. 调查乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品 B. 调查菜品的咸淡 C. 调查火箭零部件质量 D. 调查某班学生某天睡眠的时间 7. 小明一家外出自驾游，发现某公路上对行驶汽车的速度有如图所示的规定，设此段公路上小客车的速度为千米/小时，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平移到的位置，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 平移距离为线段的长 9. 下图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育杜老师在测量小明同学的体育成绩时，选取测量线段的长度，其依据是（　　） A. 垂线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 10. 数轴上表示、的对应点分别为A、B，点C是的中点，则点C表示的数是（ ） A. B. C. D. 11. 某份资料计划印制1000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制150份/h，B印刷机印制200份/h．两台印刷机完成该任务共需6h．甲、乙两人所列方程组如图所示，下列判断正确的是（ ） 甲 解：设A印刷机印制了xh， B印刷机印制了yh． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了m份， B印刷机印制了n份． 由题意，得 A. 只有甲列的方程组正确 B. 只有乙列的方程组正确 C. 甲和乙列的方程组都正确 D. 甲和乙列的方程组都不正确 12. 如图，在平面直角坐标系上有点，第一次点跳动至点，第二次点跳动至点，第三次点跳动至点，第四次点跳动至点，……依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是（ ） A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上．） 13. 已知，，则______． 14. 下面是某小区随机抽取的50户家庭的某月用电量情况统计表： 月用电量（千瓦时/户/月） 户数（户） 6 15 11 14 4 已知月用电量第二档的标准为大于240小于等于400，如果该小区有500户家庭，估计用电量在第二档的家庭有______户． 15. 运行程序如图所示，该程序规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次即停止，那么x的取值范围是______． 16. 如图，已知，平分，在上，平分．若，则的度数为________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）（把解集表示在数轴上）． 18. 下面是两位同学解方程组的做法， 芊芊的做法如下： 由方程①得③ 将方程③代入②得 解得 把代入③ ∴方程组的解为 浩浩的做法如下： 由①×2得③ 由②＋③得 解得 把代入①得 ∴方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题． （1）芊芊的消元方法是 ；浩浩的消元方法是 ． （2）判断 （选填“芊芊”或“浩浩”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 19. 下面是小红根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程． 条件及问题 思路方法 解答过程 知识要素 如图，直线、相交于点，，是的角平分线，，求的度数． 未知角 已知角 因为， 所以 ， 因为， 所以 ， 又因平分， 所以 ＝ ． 因为， 所以， 则 ． 垂直的定义、角平分线的定义、互为余角的定义、对顶角的性质． 20. 如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． （1）请你画出该学校平面示意图所在的平面直角坐标系； （2）办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置； （3）小明同学发现从旗杆到图书馆行走的方向和距离正好与他从宿舍楼到报告厅行走的方向和距离相同，请你在图中标出报告厅的位置，并写出报告厅位置的坐标． 21. 在校园艺术节活动中，同学们踊跃参加各项竞赛活动，参加的学生只能从“歌曲”“舞蹈”“小品”“主持”和“乐器”五个选项中选择一项．现将选择情况绘制成了条形统计图和不完整的扇形统计图如图所示，其中条形统计图部分被不小心污染． 请根据统计图中的相关信息，回答下列问题： （1）参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的______倍； （2）请求出全校一共有多少名学生参加“舞蹈”比赛？ （3）在图2中，“小品”部分所对应的圆心角的度数为______度； （4）拟参加比赛活动的学生有50%获奖，其中获二等奖与三等奖的人数之比，二等奖人数是一等奖人数的1.5倍，获一等奖的学生有多少人？ 22. 如图，直线，交于点F，点C在的左侧，且满足，． （1）判断与是否平行？并说明理由； （2）若平分，于点E，，求的度数． 23. 市青少年活动基地需要补充一批损坏的遥控智能机器人，这批遥控智能机器人分为型和型．若购入1个型遥控智能机器人和3个型遥控智能机器人需要840元；若购入2个型遥控智能机器人和1个型遥控智能机器人需要680元． （1）求每个型遥控智能机器人和每个型遥控智能机器人各需多少元； （2）如果该青少年活动基地计划购入两种遥控智能机器人20个，总费用不超过4400元，那么至少购进型遥控智能机器人多少个？ 24. 已知a，b都是实数，设点，若满足，则称点A为“梦想点”． （1）判断点是否为“梦想点”； （2）若点是“梦想点”，求点C到x轴的距离． 25. 如图1，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，． （1）观察猜想：将图1中三角尺沿的方向平移至图2的位置，使得点O与点N重合，与相交于点E，则 ； （2）操作探究：将图1中的三角尺绕点O按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图3，且OD恰好平分，与相交于点E，求的度数； （3）深化拓展：将图1中的三角尺绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转多少度时，边恰好与边平行？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省2023~2024学年度春季学期（期末）质量监测 七年级数学（人教版） （全卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项：1．答题前，务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2．答题时，一律用2B铅笔或黑色签字笔将答案填涂或填写在答题卡规定的位置上； 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 在下列选项中，最小的实数是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比较实数大小，根据负数小于零小于正数．选项A、B、C均为非负数，D为负数，故D最小． 【详解】∵， ∴ D选项的数值最小． 故选：D． 2. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等，得到，即可得到的度数． 【详解】解： 又 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0,进行判断即可． 【详解】解：点在第四象限，在第二象限，在第一象限，在第三象限，故B正确． 故选：B． 4. 小明写了如下四个方程，其中是二元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的定义：只含有两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程是二元一次方程，据此逐项判断即可解答． 【详解】解：A、，只含有两个未知数，且未知数的次数均为1，是二元一次方程，符合题意； B、的次数为2，不是二元一次方程，不符合题意； C、有两个未知数，但的次数为2，不是二元一次方程，不符合题意； D、有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意． 故选：A． 5. 已知，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，易错在不等式的基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．不等式性质：基本性质1．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变．基本性质2．不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．基本性质3．不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质逐一分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故不符合题意； B． ∵， ∴， ∴，故符合题意； C．∵， ∴，故不符合题意； D． ∵， ∴，故不符合题意． 故选：B． 6. 以下调查中，适合抽样调查的是（ ） A. 调查乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品 B. 调查菜品的咸淡 C. 调查火箭的零部件质量 D. 调查某班学生某天睡眠的时间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是全面调查和抽样调查，通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．其二，调查过程带有破坏性．其三，有些被调查的对象无法进行普查． 抽样调查适用于总体较大或测试具有破坏性时，通过样本推断总体，A、C、D均需全面调查，只有B可通过抽样进行． 【详解】解：A、涉及航空安全，必须对每位旅客进行全面检查，不适合抽样调查； B、调查菜品的咸淡，可通过品尝部分样品来推断整体，适合抽样调查； C、火箭零部件质量关系重大，需逐个检查，不适合抽样调查； D、某班学生数量较少，可进行全面调查，不适合抽样调查； 故选：B． 7. 小明一家外出自驾游，发现某公路上对行驶汽车的速度有如图所示的规定，设此段公路上小客车的速度为千米/小时，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查看图列不等式，解题的关键是看懂图中最低和最高限速并作答．本题是看图列不等式，要不低于最低限速，自驾游的车属于小客车最高速不超过120，进而作答． 【详解】解：由图可知最低限速60， ， 又自驾游的车属于小客车， 小客车的最高速不超过120， 即， 综上， 故选：C 8. 如图，平移到的位置，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 平移距离为线段的长 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，平移前后图形的大小和形状不发生改变，对应线段相等且互相平行，对应点之间的连线互相平行，根据平移的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，故选项A不符合题意； 由平移的性质可知，，故选项B不符合题意； 由平移的性质可知，，故选项C不符合题意； 由平移的性质可知，平移距离为线段的长，故选项D符合题意； 故选：D． 9. 下图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育杜老师在测量小明同学的体育成绩时，选取测量线段的长度，其依据是（　　） A 垂线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短的性质在实际生活中的应用．熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 根据垂线段最短作答即可． 【详解】他的跳远成绩是线段的长度，这样测量的依据是垂线段最短． 故选：． 10. 数轴上表示、的对应点分别为A、B，点C是的中点，则点C表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，利用数轴上中点特点，求出点C表示的数． 【详解】∵数轴上表示、的对应点分别为A、B，点C是的中点， ∴点C表示的数是， 故选：C． 11. 某份资料计划印制1000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制150份/h，B印刷机印制200份/h．两台印刷机完成该任务共需6h．甲、乙两人所列的方程组如图所示，下列判断正确的是（ ） 甲 解：设A印刷机印制了xh， B印刷机印制了yh． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了m份， B印刷机印制了n份． 由题意，得 A. 只有甲列的方程组正确 B. 只有乙列的方程组正确 C. 甲和乙列的方程组都正确 D. 甲和乙列的方程组都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．根据两台印刷机印刷的时间和数量分别建立方程组进行判断即可得到答案． 【详解】解：设印刷机印制了，印刷机印制了， 两台印刷机完成该任务共需， ， 总共印制1000份， ， ， 设印刷机印制了份，印刷机印制了份， 总共印制1000份， ， 印刷机印制150份，印刷机印制200份， 印刷机印制小时，印刷机印制小时， ， ， 故选：C． 12. 如图，在平面直角坐标系上有点，第一次点跳动至点，第二次点跳动至点，第三次点跳动至点，第四次点跳动至点，……依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是（ ） A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，可分别求出点与点的坐标，进而可求出点与点之间的距离． 【详解】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是， 第4次跳动至点的坐标是， 第6次跳动至点的坐标是， 第8次跳动至点的坐标是， 第次跳动至点的坐标是， 则第2024次跳动至点的坐标是， 第2023次跳动至点的坐标是． 点与点的纵坐标相等， 点与点之间的距离， 故选A． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上．） 13. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的乘法性质及化简，熟练应用二次根式的乘法性质是解题关键． 根据，利用二次根式的乘法性质求解． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 下面是某小区随机抽取的50户家庭的某月用电量情况统计表： 月用电量（千瓦时/户/月） 户数（户） 6 15 11 14 4 已知月用电量第二档的标准为大于240小于等于400，如果该小区有500户家庭，估计用电量在第二档的家庭有______户． 【答案】400 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体，先计算样本中月用电量第二档的百分比，再估计总体中第二档的家庭数量． 【详解】解：样本中月用电量第二档的户数为户，样本总户数为50户， 因此样本中第二档的百分比为， 由此估计全小区500户家庭中用电量在第二档的家庭有户， 故答案：400． 15. 运行程序如图所示，该程序规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次即停止，那么x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，以及求代数式的值，熟练掌握程序图的计算规则和步骤，利用不等式组的解集求出x的取值范围是解题的关键．根据题意，先计算第一次，得到的结果为，然后再计算第二次的结果为，列出不等式组，从而求出x的取值范围． 【详解】解：根据题意， 第一次计算得：； 第二次计算得：； ∵如果程序操作进行了二次才停止，则有 解得：， ∴的取值范围是； 故答案为：． 16. 如图，已知，平分，在上，平分．若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线定义，关键是由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，，由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，，因此． 【详解】解：， ． 平分，平分， ，． ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）（把解集表示在数轴上）． 【答案】（1）；（2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式及在数轴上表示一元一次不等式的解集，正确计算是关键； （1）根据算术平方根、实数的绝对值及立方根计算即可； （2）依次去括号、移项、合并同类项、把系数化为1即可求解，最后把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：（1）； ； （2）， ， ， 18. 下面是两位同学解方程组的做法， 芊芊的做法如下： 由方程①得③ 将方程③代入②得 解得 把代入③ ∴方程组的解为 浩浩的做法如下： 由①×2得③ 由②＋③得 解得 把代入①得 ∴方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题． （1）芊芊的消元方法是 ；浩浩的消元方法是 ． （2）判断 （选填“芊芊”或“浩浩”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 【答案】（1）代入消元法；加减消元法 （2）浩浩；，见解析 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）由加减消元法和代入消元法的步骤判断即可； （2）浩浩的做法中，由①2得③，错了．由加减消元法和代入消元法的步骤分别求解即可． 【小问1详解】 解：芊芊消元方法是代入消元法；浩浩的消元方法是加减消元法． 故答案为：代入消元法，加减消元法． 【小问2详解】 解：浩浩. 正确解答如下： 由①2得③． 由②③得． 解得． 把代入①得． 方程组的解为． 19. 下面是小红根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程． 条件及问题 思路方法 解答过程 知识要素 如图，直线、相交于点，，是的角平分线，，求的度数． 未知角 已知角 因， 所以 ， 因为， 所以 ， 又因为平分， 所以 ＝ ． 因为， 所以， 则 ． 垂直的定义、角平分线的定义、互为余角的定义、对顶角的性质． 【答案】90；52；；；；；14 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义、角平分线的定义、互为余角的定义、对顶角的性质，掌握这些知识是关键．由垂直的定义得的度数，再由平分，得，最后由角的和差关系及对顶角相等即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 又因为平分， 所以. 因为， 所以， 则. 20. 如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． （1）请你画出该学校平面示意图所在的平面直角坐标系； （2）办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置； （3）小明同学发现从旗杆到图书馆行走的方向和距离正好与他从宿舍楼到报告厅行走的方向和距离相同，请你在图中标出报告厅的位置，并写出报告厅位置的坐标． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）图见详解， 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，点的坐标的表示方法，坐标确定位置，画出正确的平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据点的坐标进行建立平面直角坐标系即可； （2）根据坐标系和网格结合点的坐标进行标注即可； （3）根据平移的性质确定报告厅的位置和坐标即可． 【小问1详解】 解：平面直角坐标系如图所示； 【小问2详解】 解：办公楼和教学楼位置如图所示； 【小问3详解】 解：报告厅位置如图所示， 从旗杆到图书馆可以看作，点先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度， 宿舍楼的坐标为，根据平移的性质得，报告厅的位置坐标为． 21. 在校园艺术节活动中，同学们踊跃参加各项竞赛活动，参加的学生只能从“歌曲”“舞蹈”“小品”“主持”和“乐器”五个选项中选择一项．现将选择情况绘制成了条形统计图和不完整的扇形统计图如图所示，其中条形统计图部分被不小心污染． 请根据统计图中的相关信息，回答下列问题： （1）参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的______倍； （2）请求出全校一共有多少名学生参加“舞蹈”比赛？ （3）在图2中，“小品”部分所对应的圆心角的度数为______度； （4）拟参加比赛活动的学生有50%获奖，其中获二等奖与三等奖的人数之比，二等奖人数是一等奖人数的1.5倍，获一等奖的学生有多少人？ 【答案】（1）3 （2）48名 （3）86.4° （4）30人 【解析】 【分析】（1）用参加“主持”比赛的人数除以参加“乐器”比赛人数即可； （2）先求出参加比赛的总人数，再用总人数乘以参加“舞蹈”比赛的人数的百分比即可； （3）先求出小品比赛人数，再用乘以小品比赛的人数的百分比即可得到答案； （4）根据题意列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解： 即参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的3倍， 故答案为：3 【小问2详解】 参加比赛的总人数为， ， 全校一共有48名学生参加“舞蹈”比赛； 【小问3详解】 “小品”部分所对应的圆心角的度数为度； 【小问4详解】 参加比赛活动的学生有获奖，总共有300人， 一共有150人获奖， 获二等奖与三等奖的人数之比，二等奖人数是一等奖人数的1.5倍， 设一等奖人数为，则二等奖人数为，三等奖的人数为， 列方程为， 解得， 获一等奖的学生有30人． 22. 如图，直线，交于点F，点C在的左侧，且满足，． （1）判断与是否平行？并说明理由； （2）若平分，于点E，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质与判定求解即可； （2）根据垂直的定义及角的和差求出，结合（1）得出，再根据角平分线定义求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 23. 市青少年活动基地需要补充一批损坏的遥控智能机器人，这批遥控智能机器人分为型和型．若购入1个型遥控智能机器人和3个型遥控智能机器人需要840元；若购入2个型遥控智能机器人和1个型遥控智能机器人需要680元． （1）求每个型遥控智能机器人和每个型遥控智能机器人各需多少元； （2）如果该青少年活动基地计划购入两种遥控智能机器人20个，总费用不超过4400元，那么至少购进型遥控智能机器人多少个？ 【答案】（1）每个型遥控智能机器人240元，每个型遥控智能机器人200元； （2）至少购进型遥控智能机器人10个． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系式解题关键． （1）设每个型遥控智能机器人元，每个型遥控智能机器人元，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设购进型遥控智能机器人个，则购进型遇控智能机器人个，根据题意列出一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【小问1详解】 解：设每个型遥控智能机器人元，每个型遥控智能机器人元， 由题意得，， 解得． 答：每个型遥控智能机器人240元，每个型遥控智能机器人200元． 【小问2详解】 设购进型遥控智能机器人个，则购进型遇控智能机器人个， 由题意得，， 解得， ∴的最小值为10． 答：至少购进型遥控智能机器人10个． 24. 已知a，b都是实数，设点，若满足，则称点A为“梦想点”． （1）判断点是否为“梦想点”； （2）若点是“梦想点”，求点C到x轴的距离． 【答案】（1）是 （2）6 【解析】 【分析】本题考查新定义，点到坐标轴的距离，理解“梦想点”的定义，是解题的关键． （1）根据“梦想点”的定义，进行判断即可； （2）根据“梦想点”的定义，列出方程，求出的值，进而求出点坐标，再根据点到x轴的距离等于点的纵坐标的绝对值，进行求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，， ∴， ∴是“梦想点”； 【小问2详解】 ∵点是“梦想点”， ∴， 解得， ∴，， ∴点C坐标为， ∴点C到x轴的距离为6． 25. 如图1，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，． （1）观察猜想：将图1中的三角尺沿的方向平移至图2的位置，使得点O与点N重合，与相交于点E，则 ； （2）操作探究：将图1中的三角尺绕点O按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图3，且OD恰好平分，与相交于点E，求的度数； （3）深化拓展：将图1中的三角尺绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转多少度时，边恰好与边平行？ 【答案】（1）105° （2）150° （3）75°或255° 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，从而得出，最后根据平行线的性质即可求解； （3）根据题意，画出图形，进行分类讨论：①在上方时，设与相交于F，②当在的下方时，设直线与相交于F． 【小问1详解】 解：∵，， ∴在中，． 故答案为：． 【小问2详解】 ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图1，在上方时，设与相交于F， ∵， ∴， 在中，， ， ， 当在的下方时，设直线与相交于F， ∵， ∴， 在中，， ∴旋转角为， 综上所述，当边旋转或时，边恰好与边平行． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质并熟悉三角板的度数特点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $