专题10 全等三角形模型之对角互补模型（几何模型讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题10 全等三角形模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型（90°+90°型对角互补模型、120°+60° 型对角互补模型、 α+（180°-α）型对角互补模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 6 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 11 模型3.全等模型-对角互补模型（α + 180°-α） 15 20 早期文献将该模型称为“边等角补模型”（强调邻边相等时的特性），但教学中发现学生更易通过“对角和为180°”这一直观特征识别模型。2021年后，“对角互补模型”逐渐成为主流命名，凸显其核心几何本质。部分教师至今仍沿用旧称，引发课堂辩论：“到底该先看边等还是角补？” （24-25八年级上·吉林·校考期末）如图，已知与，平分． (1)如图1，与的两边分别相交于点D、E，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：． 理由如下：如图1，过点C作，交于点F，则， 请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)若，． ①如图3，与的两边分别相交于点D、E时，写出线段、、的数量关系 ； ②如图4，的一边与的延长线相交时，写出线段、、的数量关系 ； 若，的面积为a，则的面积＝ （用含a的代数式表示）． 1.全等模型-对角互补模型（90°+90°） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， 3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 1）“α对180°-α模型”：条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 例1（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，已知是的角平分线，点是射线上一点，点、分别在射线、上，连接、． (1)如图，当时，则与的数量关系是______． (2)如图，点、在射线、上滑动，且，，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由． 例2（25-26八年级上·全国·期中）如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 例3（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知点为平分线上一点，于，于，点、分别是、上的点． (1)如图1，当点在线段上，点在线段的延长线上，且．求证：； (2)在（1）的条件下，，，求的长． (3)如图2，当点在射线的反向延长线上，点在射线上时，满足，直接写出、与之间的数量关系是______． 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 例1（25-26八年级上·全国·阶段练习）【问题情境】（1）如图①，，平分，把三角尺的直角顶点落在射线的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与，相交于点，，则的长___________的长（填“大于”“小于”或“等于”）． 【变式拓展】（2）如图②，已知，平分，是射线上一点，，与相交于点，与射线的反向延长线相交于点．（1）中的结论仍成立吗？为什么？ 例2（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； 小明是这样思考的：过点作于点，作于点，四边形中两对角为，则另外两对角互补，则可证明，从而得证，即可得证结论．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 例3（25-26八年级上·山西太原·开学考试）如图，，在的平分线上取点B作于点C，在直线上取一动点P，在直线上取点Q使得，． (1)如图1，当点P在线段上运动时，求证：； (2)如图2，当点P在延长线上时，探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)当点P运动到射线上时，直接写出、、三条线段之间的数量关系． 模型3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 例1（24-25八年级上·甘肃天水·期末）如图，中，点E、F分别在的延长线上，的角平分线交于点P，过点P作于点M，于点N，连结．下列结论：①平分； ②；③；   ④．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 例2（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图①，在四边形中，已知，，，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图②，若是的边上的高，已知，求四边形的面积． 例3（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）我们知道“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题的一种重要的添加辅助线的策略，参考这种思想解决下列问题． 如图，在中，为外一点， (1)如图1，若平分，于点，，求证：； (2)如图2，若平分，，，连接，求面积的最大值． 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，的平分线，交于点P．下列结论： ①平分； ②； ③若于点M，于点N，则； ④． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①③ 2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，平分，，于点E，，，那么的长度为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，平分，过C点作于E，并且，则下列结论： ①； ②； ③； ④，其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2026九年级·贵州·专题练习）如图，在四边形ABCD中，已知，AC平分，于点M，若，则 ． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，平分于点于点，连接交于点，点在上且，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的是 ．（请填写序号） 8．（25-26八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，的平分线，交于点，于点，于点．有下列结论：平分；；；．其中正确的结论有 ．（填序号） 9．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，且，则 （用含α的代数式表示）． 10．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知平分，于点E，，，，则 ． 11．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，点E，F分别是上的点，且，连接．延长到点G，使，连接AG．若，则的度数为 °．    12．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 13．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形中，，，于D． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 14．（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，求线段的长． 15．（25-26八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在四边形中，，，E是上的一点，过点E作，使得，延长至点G，使． (1)求证：． (2)求证：平分． 16．（25-26八年级上·江西宜春·阶段练习）如图1和2，在四边形中，，，平分． (1)如图1，若，则线段与的数量关系为____________． (2)问题解决：如图2，若的任意角时，（1）中结论还成立吗？请说明理由． 17．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，D、F分别为上的点，连接，过点D作于点E，．求证：平分． 18．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知：平分，点A，B分别在边上，且． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，作于点C．求证： ①； ②请直接写出之间的数量关系为___． 19．（25-26八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，在四边形中，平分，，于点E． (1)求证：． (2)若，求的值． 20．（24-25八年级上·四川内江·期末）如图，点是的外角的角平分线上任意一点（点不与点重合），点是射线上一点，且． (1)求证：； (2)判断与的大小，并说明理由． 21．（24-25七年级下·全国·课后作业） 阅读材料 面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略． 活动主题 根据以上材料，同学们在数学活动课上以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． 问题背景 如图，在四边形中，分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系． 特殊情形 任务1：如图1，当时，其他条件不变，请探究线段之间的数量关系． 下面是学习委员琳琳的解题过程，请将剩余内容补充完整． 解：延长到点G，使得，连接． 在和中，， 所以，所以， 所以． 因为，所以． …… 一般性问题 任务2：小梦同学发现在如图2所示的四边形中，若分别是边上的点，，则任务1中的结论仍然是成立的，请你写出结论并完成说明过程． 22．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，以D为顶点作一个角，角的两边分别交于E、F两点，连接，探索线段之间的数量关系，并加以证明． 23．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，平分，E、F分别是上的点． (1)当时，求证：； (2)若，求的面积． 24．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）在四边形中，，，平分，E为边上一点，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，点M作上，且．若，，，求的长（用含a，b，c的式子表示）． 25．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在四边形中，过点C作于点E，并且，．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长； (3)若和的面积分别为28和16，则的面积为______． 26．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在四边形中，E为上一点，F为上一点，，． (1)求证：； (2)求证：平分，平分． 27．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）已知点是平分线上一点，的两边、分别与射线、相交于，两点，且．过点作，垂足为． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系 28．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）知识感悟：如图1，点Р是的角平分线是一点，于M，于N，由角平分线的性质，易知：（不需证明） 知识迁移：如图2，平分 求证： 知识拓展：如图3，四边形中，，若，求的长． 29．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）感知：如图，平分，，，易知：． 探究：（1）如图，平分，，，求证：． 应用：（2）在图中平分，如果，，，，则______．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 全等三角形模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型（90°+90°型对角互补模型、120°+60° 型对角互补模型、 α+（180°-α）型对角互补模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 6 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 11 模型3.全等模型-对角互补模型（α + 180°-α） 15 20 早期文献将该模型称为“边等角补模型”（强调邻边相等时的特性），但教学中发现学生更易通过“对角和为180°”这一直观特征识别模型。2021年后，“对角互补模型”逐渐成为主流命名，凸显其核心几何本质。部分教师至今仍沿用旧称，引发课堂辩论：“到底该先看边等还是角补？” （24-25八年级上·吉林·校考期末）如图，已知与，平分． (1)如图1，与的两边分别相交于点D、E，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：． 理由如下：如图1，过点C作，交于点F，则， 请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)若，． ①如图3，与的两边分别相交于点D、E时，写出线段、、的数量关系 ； ②如图4，的一边与的延长线相交时，写出线段、、的数量关系 ； 若，的面积为a，则的面积＝ （用含a的代数式表示）． 【答案】(1)见详解(2)，， 【详解】（1）解：过点C作，交于点F，如图，则， 平分，， ，∴，， 又，∴， 在与中，，． （2）①．理由如下：方法一：过点作，，垂足分别为，，如图， 则，又∵平分，∴， 在四边形中，， 又∵，∴，又∵，∴， 在与中，，∴，∴． ∴． 在中，， ∴，同理，∴． 方法二：以为一边作，交于点，如图， ∵平分，∴，∴， ∴，，∴是等边三角形，∴， ∵，，∴， 在与中，∴， ∴．∴． ②有结论成立．以为一边，作与交于F点，如图， ∵，为的角平分线，∴， 又∵，∴为等边三角形∴， ∵，，∴， 又∵，， ∴，∴，∴，， ∴，即． 过点C作，垂足分别为M，N，如图，则， 又∵平分，∴，设， ∵， ∴，则， ∵，， ∴，则． 1.全等模型-对角互补模型（90°+90°） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， 3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 1）“α对180°-α模型”：条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 例1（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，已知是的角平分线，点是射线上一点，点、分别在射线、上，连接、． (1)如图，当时，则与的数量关系是______． (2)如图，点、在射线、上滑动，且，，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定定理和全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． （1）根据得，再根据是的角平分线得，再证明即可得到与的数量关系； （2）过点P作于E，于F，由（1）得，再证明即可得到与的数量关系． 【详解】（1）解：与的数量关系是， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下， 过点P点作于E，于F，如图， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 例2（25-26八年级上·全国·期中）如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质 （1）过点作于点，过点作于点，证明即可； （2）过点作于点，过点作于点，证明即可； （3）过点作于点，过点作于点，证明即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ∵，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：，理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 例3（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知点为平分线上一点，于，于，点、分别是、上的点． (1)如图1，当点在线段上，点在线段的延长线上，且．求证：； (2)在（1）的条件下，，，求的长． (3)如图2，当点在射线的反向延长线上，点在射线上时，满足，直接写出、与之间的数量关系是______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角平分线的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，可证明，即可求证； （2）证明，可得，再利用线段的和差关系证明，即可求解； （3）根据题意可知，由，可得，进而可证明，可得，再证明，可得，从而得到． 【详解】（1）证明：∵点为平分线上一点，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，则， ∵，， ∴； （3）∵点为平分线上一点，，， ∴，， 则， 又∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， 又∵， ∴， 即， 故答案为：． 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 例1（25-26八年级上·全国·阶段练习）【问题情境】（1）如图①，，平分，把三角尺的直角顶点落在射线的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与，相交于点，，则的长___________的长（填“大于”“小于”或“等于”）． 【变式拓展】（2）如图②，已知，平分，是射线上一点，，与相交于点，与射线的反向延长线相交于点．（1）中的结论仍成立吗？为什么？ 【答案】（1）等于，（2）成立．理由见解析 【分析】本题考查了判定三角形全等，【问题情境】需要先分析出两条辅助线；根据角平分线的性质得到线段相等，再由角度推导出角相等，即可判定三角形全等，即可得证；【变式拓展】方法同【问题情境】，先作两条辅助线，然后利用“角边角”判定三角形全等即可证明仍成立. 【详解】【问题情境】解：过点作于点，于点. 平分，， ； ， ， ， ， 在和中， ， ； 故答案为：等于. 【变式拓展】解：成立，理由如下： 过点作于点，于点. 平分，， ； ，， ， ， ， 在和中， ， . 例2（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； 小明是这样思考的：过点作于点，作于点，四边形中两对角为，则另外两对角互补，则可证明，从而得证，即可得证结论．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据角平分线的性质可得，，根据，，得，可得，可证，根据全等三角形的性质即可证明； （2）过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质可得，，可证，得； （3）过点作于点，过点作于点，证明，得出． 【详解】（1）解：，理由如下： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下． 证明：过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：，理由如下： 理由：过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 例3（25-26八年级上·山西太原·开学考试）如图，，在的平分线上取点B作于点C，在直线上取一动点P，在直线上取点Q使得，． (1)如图1，当点P在线段上运动时，求证：； (2)如图2，当点P在延长线上时，探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)当点P运动到射线上时，直接写出、、三条线段之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，需熟练掌握分类讨论的思想，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解决本题的关键． （1）作于点D，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，即可证明； （2）作于点M，分别证明，，根据全等三角形的性质解得即可； （3）分点P在线段上，点P在线段的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：作于点D，如图， ∵是的平分线，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下， 作于点M，如图， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：点P在线段上时，此时，如图， ∵， ∴， 由（2）可知，， ∴， 即； 点P在线段的延长线上时，此时， 作于点M，如图， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴， 即； 综上，或． 模型3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 例1（24-25八年级上·甘肃天水·期末）如图，中，点E、F分别在的延长线上，的角平分线交于点P，过点P作于点M，于点N，连结．下列结论：①平分； ②；③；   ④．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】对于①，利用角平分线的性质证明点到两边的距离相等，从而得出平分； 对于②，通过角平分线性质和三角形内角和定理进行角度推导； 对于③，通过构造全等三角形，证明线段之间的关系； 对于④，利用三角形外角性质和角平分线性质进行角度关系的推导． 【详解】①：过点作于点， 平分，，，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等， ， 平分，，， 同理可得， ， 又，， 平分，故①正确； ②：设，， 在中， ， ， 在中， ， 而， 由三角形内角和， 即， 解得， 那么， 所以， 而，故②错误； ③：在上截取， 平分， ， 又，，根据边角边可得， ，， 由①知， ， 平分，，， ， 又，， ， ， ，故③正确； ④：是的外角， ， 又平分， ， ，故④正确． 综上，①③④正确，正确的结论有个， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角性质．通过作辅助线，构造全等三角形，利用角平分线性质进行角度和线段关系的推导是解题的关键． 例2（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图①，在四边形中，已知，，，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图②，若是的边上的高，已知，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、补角的性质等知识点 ，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据同角的补角相等即可得证； （2）证明，即可得出， （3）由得出，再由等边对等角可得，进而可得，过点A作，垂足为点M．由角平分线的性质定理可得．再由直角三角形的性质可得．从而推出，最后再结合全等三角形的性质以及三角形的面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：如图①，∵，， ∴； （2）证明：在与中， ， ∴． ∴； （3）解：如图，过点A作，垂足为点M． 由（2）可知 ∴，， ∴， ∴，即平分， ∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∵，， ∴M为的中点． ∴． ∴． 又， ∴． 例3（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）我们知道“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题的一种重要的添加辅助线的策略，参考这种思想解决下列问题． 如图，在中，为外一点， (1)如图1，若平分，于点，，求证：； (2)如图2，若平分，，，连接，求面积的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形性质和判定，角平分线定义，三角形中线性质，解题的关键在于作辅助线构造全等三角形． （1）延长，过点作于点，先证明，得到，进而证明，结合全等三角形性质即可证明； （2）延长相交于点，证明，结合全等三角形性质和三角形中线性质可得，，当时，取最大值，进而即可求出面积的最大值． 【详解】（1）证明：延长，过点作于点， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ； （2）解：延长相交于点， 平分， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 当时，取最大值，此时， 则面积的最大值为． 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，的平分线，交于点P．下列结论： ①平分； ②； ③若于点M，于点N，则； ④． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角性质．熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角性质是解题的关键． 根据角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角性质对每个结论逐一进行分析即可． 【详解】 解： 过点作于点，于点，于点， 平分，，， ， 平分，，， ， ， ，，， 平分， 故结论①正确； 是由，平分、得到的， 实际关系为， 显然（例如取特殊角验证，若，则，和为而非）， 故结论②错误； 若于，于点， 则， 由，，且， ， ， 由，，且， ， ， ， 故结论③正确； 是的外角， ， 平分，平分， ． 又是的外角， ， 联立得， ， 故结论④正确； 综上所述，结论①③④正确， 故选B． 2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长到点，使，连接、，则，因为，，所以，，而，即可证明，得，，再推导出，进而证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长到点，使，连接、， 则， ，， ，， 在和中， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，过点P作，垂足为点K，证明，，利用全等三角形的性质即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】解：如图，过点P作，垂足为点K， ∵为的平分线， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确，符合题意； 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确，符合题意； ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ∵，， ∴，， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的共有4个， 故选：A． 4．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，平分，，于点E，，，那么的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在上截取，得到直线是线段的垂直平分线，得到，从而得到，，结合，，证明得，进而可求出的长． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； ∵在中， ， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，补角的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 5．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，平分，过C点作于E，并且，则下列结论： ①； ②； ③； ④，其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】过C作于F．先判定，即可得出，再判定，即可得到；再根据四边形内角和以及三角形的面积计算公式，即可得到正确结论． 【详解】解：如图，过C作于F． ∵平分， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， 即，故①正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 又∵， ∴， ∴四边形中，，故②正确； ∵， ∴， 即，故④错误． 故选C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，四边形的内角和定理以及邻补角定义等知识点的综合运用，正确作辅助线，构造全等三角形是解答此题的关键． 6．（2026九年级·贵州·专题练习）如图，在四边形ABCD中，已知，AC平分，于点M，若，则 ． 【答案】3 【分析】利用角平分线的性质、补角的性质构造全等三角形来求解． 【详解】解：过点作，交的延长线于点． ∵平分，，， ∴． ∵，， ∴． 在和中 ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用角平分线的性质得到相等的线段，进而证明三角形全等． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，平分于点于点，连接交于点，点在上且，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的是 ．（请填写序号） 【答案】①②③④⑤ 【分析】①利用角平分线的性质定理进行证明即可； ②利用三角形的三边关系进行求解即可； ③证明，得出，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可； ④利用三角形的面积公式进行化简即可； ⑤证明，得出，利用等量代换和线段的和差进行证明即可． 【详解】解：①∵平分于点于点， ∴， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴, 故②正确，符合题意； ③∵于点于点， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴垂直平分线段， 即， 故③正确，符合题意； ④∵， ∴， 故④正确，符合题意； ⑤∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故⑤正确，符合题意； 综上，正确的选项为①②③④⑤， 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定定理，三角形的面积和三边关系等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 8．（25-26八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，的平分线，交于点，于点，于点．有下列结论：平分；；；．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】 【分析】过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证平分；根据三角形内角和定理可得：，根据角平分线的性质可得：，整理可得：；利用可证，根据全等三角形的性质可得：，同理可证，可证；根据三角形外角的性质可证． 【详解】解：如下图所示，过点作， 平分， ， 平分， ， ， 平分， 故正确； 在中，， ， ，， ， ， 平分，平分， ，， 在中，， ， ， 整理可得：， 故正确； 如下图所示，，， ， 平分， ， 在和中，， ， ， 同理可证， ， 故正确； 是的外角， ， 平分， ， ， ， 故错误． 综上所述，正确的结论有． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义及性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质．解决本题的关键是根据角平分线的性质、全等三角形的性质找角与边之间的关系． 9．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，且，则 （用含α的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，补角的性质，正确作出辅助线构造全等三角形的是解题的关键. 延长到点G，使，连接，证明，得，，再利用证明，得，从而解决问题． 【详解】解：如图，延长到点G，使，连接， ，， ， 又，， ∴， ，， 若， 则， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知平分，于点E，，，，则 ． 【答案】8 【分析】作交的延长线于点F，由角平分线的性质可得，根据AAS证明，则可得，于是可求出的长，由，，可得，再根据AAS证明，则可得，由此可求出的长． 【详解】解：作交的延长线于点F， 平分，于点E， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 11．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，点E，F分别是上的点，且，连接．延长到点G，使，连接AG．若，则的度数为 °．    【答案】55 【分析】先证明可得，再证明可得即可解答． 【详解】解：∵，, ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为55． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握运用和证明三角形全等是解答本题的关键． 12．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质． （1）直接根据角平分线的性质可判断； （2）过点D作于E，交延长线于F，如图2，先根据角平分线的性质得到，再利用等角的补角相等得到，然后证明得到； （3）过点D作于E，交延长线于F，如图3，先根据角平分线的性质得到，再根据判断，所以，然后根据邻补角的定义计算的度数． 【详解】解：（1）如图1， ∵，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴； 故答案为：； （2）， 如图2，过点D作于E，交延长线于F， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ． ∴； （3）如图3，过点D作于E，交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形中，，，于D． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识点，正确作出辅助线，构造全等三角形成为解题的关键． （1）作于E，易得；再证明可得，最后根据角平分线的判定即可证明结论； （2）由全等三角形的性质以及已知条件可得，再证明可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：作于E， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． （2）解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)3 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质等知识点，三角形的外角性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线． （1）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，证明，得到，结合图形解答即可； （3）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，证明，得到，计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在四边形中，，，E是上的一点，过点E作，使得，延长至点G，使． (1)求证：． (2)求证：平分． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及角平分线的定义． （1）根据已知条件证明出，再用“”证明即可； （2）由（1）得出，，通过，得出，再用“”证明，得到，即平分． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 即平分． 16．（25-26八年级上·江西宜春·阶段练习）如图1和2，在四边形中，，，平分． (1)如图1，若，则线段与的数量关系为____________． (2)问题解决：如图2，若的任意角时，（1）中结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)若的任意角时，（1）中结论还成立，理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质． （1）根据角平分线的性质，即可得线段与的数量关系； （2）作交延长线于，于，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， ∴线段与的数量关系为， 故答案为：． （2）解：若的任意角时，（1）中结论还成立， 理由： 如图，作交延长线于，于，则， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 17．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，D、F分别为上的点，连接，过点D作于点E，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的判定是解题的关键． 先证明，得到，再根据角平分线的判定即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴平分． 18．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知：平分，点A，B分别在边上，且． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，作于点C．求证： ①； ②请直接写出之间的数量关系为___． 【答案】(1)详见解析 (2)①详见解析；② 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，补角的性质，线段的和与差等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据角的和差得出，根据角平分线定义得出，证明，即可得出结论； （2）①过点作于点，根据角平分线的性质和同角的补角相等，证明，即可得出结论； ②根据得出的相等线段，利用线段的和差即可表示出数量关系． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图，过点作于点， ∵平分，且，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴， 由①得，且， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，在四边形中，平分，，于点E． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质． （1）过点C作于点F，易得，根据角平分线的性质可得，再利用证明，利用全等三角形的性质即可证得； （2）证明，推出，通过线段的和差与等量代换即可证得结论． 【详解】（1）证明：过点C作于点F，如图所示：    ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵平分， ∴． ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（24-25八年级上·四川内江·期末）如图，点是的外角的角平分线上任意一点（点不与点重合），点是射线上一点，且． (1)求证：； (2)判断与的大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系． （1）利用即可证明； （2）根据三角形三边的关系即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：．理由如下， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 21．（24-25七年级下·全国·课后作业） 阅读材料 面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略． 活动主题 根据以上材料，同学们在数学活动课上以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． 问题背景 如图，在四边形中，分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系． 特殊情形 任务1：如图1，当时，其他条件不变，请探究线段之间的数量关系． 下面是学习委员琳琳的解题过程，请将剩余内容补充完整． 解：延长到点G，使得，连接． 在和中，， 所以，所以， 所以． 因为，所以． …… 一般性问题 任务2：小梦同学发现在如图2所示的四边形中，若分别是边上的点，，则任务1中的结论仍然是成立的，请你写出结论并完成说明过程． 【答案】任务1：见解析；任务2：成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）证明得，进而可证； （2）先证明得，再证明得，进而可得． 【详解】解：任务1：在和中，， 所以， 所以， 因为， 所以； 任务2：．延长至M，使，连接， 因为， 所以， 在和中，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 在和中，， 所以， 所以， 因为， 所以． 22．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，以D为顶点作一个角，角的两边分别交于E、F两点，连接，探索线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．如图，结论：．延长到M，使，根据条件证明，则，再证明，从而得． 【详解】解：如图，结论： 理由如下：延长到M，使， ∵， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 23．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，平分，E、F分别是上的点． (1)当时，求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)22 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，作出恰当辅助线是解题的关键． （1）过D作于M，于N，根据角平分线性质求出，根据四边形的内角和定理和平角定义求出，证明即可得解； （2）依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到，进而得出，过D作于G，依据角平分线的性质以及三角形面积公式，即可得到的面积． 【详解】（1）证明：如图，过D作于M，于N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过D作于G， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 24．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）在四边形中，，，平分，E为边上一点，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，点M作上，且．若，，，求的长（用含a，b，c的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作于，由角平分线的性质定理可得，证明得出，结合即可得证； （2）作于，由角平分线的性质定理可得，证明得出，由（1）可得得出，，再证明，得出，表示出，即可得解． 【详解】（1）证明：如图，作于， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，作于， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴． 25．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在四边形中，过点C作于点E，并且，．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长； (3)若和的面积分别为28和16，则的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)6 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）过点作于点，证明，得出，即可证明是的角平分线，即可得证； （2）证明得出，进而根据，即可求解； （3）根据全等三角形的性质，得出，，则可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作于点，    ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的角平分线，即平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 26．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在四边形中，E为上一点，F为上一点，，． (1)求证：； (2)求证：平分，平分． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）延长至点，使，连接，证，得到，再证明，得到，即可证明结论； （2）由得，得到平分，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接． ∵， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （2）证明：由得， ∴平分； ∵，， ∴， 平分． 27．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）已知点是平分线上一点，的两边、分别与射线、相交于，两点，且．过点作，垂足为． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的定义和性质定理，三角形全等的判定和性质，补角的性质，正确作出辅助线是解题关键． （1）过点C作于点F，由角平分线的性质定理可得出，再根据补角的性质可得出，即易证，得出； （2）过点C作于点F，分别证明， ，得出，．再结合，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图1，过点C作于点F， ∴． ∵点是平分线上一点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，过点C作于点F， ∴． ∵点是平分线上一点， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． 28．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）知识感悟：如图1，点Р是的角平分线是一点，于M，于N，由角平分线的性质，易知：（不需证明） 知识迁移：如图2，平分 求证： 知识拓展：如图3，四边形中，，若，求的长． 【答案】知识迁移：见解析；知识拓展： 【分析】知识迁移：作于，于，由证明，即可得出结论； 知识拓展：连接，作于点，首先由证明≌，再由证明即可解决问题． 【详解】知识迁移：作于，于，如图所示： 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ； 知识拓展：连接，作于点， ∵ ， ， 在和中， ≌， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 29．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）感知：如图，平分，，，易知：． 探究：（1）如图，平分，，，求证：． 应用：（2）在图中平分，如果，，，，则______．    【答案】（1）证明见解析；（2）5． 【分析】探究：欲证明，只要证明≌即可． 应用：由直角三角形的性质可求，由“”可证≌，可得，即可求解． 【详解】探究：证明：如图中，作于，于，   平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ． 应用： 如图中，   ，，， ． ， ≌， ， ，，， ≌ ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $