专题09 全等三角形模型之半角模型（几何模型讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题09 全等三角形模型之半角模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.半角模型 5 15 首先阿基米德则通过物体旋转时的力学规律研究，为旋转几何提供物理背景；随着引入坐标系描述旋转后点的位置变化，并深入研究旋转对称性，推动旋转问题的量化分析；直到近代大三‌核心旋转模型逐渐的形成。这一方法从早期经验认知，历经阿拉伯数学家的理论发展，至近现代形成系统模型，最终成为几何证明的标准化工具。 ‌半角模型‌：90°含45°、120°含60°等特殊旋转，通过截长补短构造全等三角形，解决角度和线段问题。 （2025·山东东营·中考真题） 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 1）半角模型 条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型） 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 图1 图2 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型） 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°， 条件：如图3，ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等边型120-60） 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BED=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 图3 图4 图5 条件：如图4，ABC是等边三角形，∠EAD=30°；（等边型60-30） 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 条件：如图5，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型） 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 模型1.半角模型 例1（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在四边形中，，．E、F分别是边、上的点． (1)若，，在“求证：”的过程中，嘉琪发现此题可以利用转化思想解决，并给出了下面的框图（部分内容省略）． 第一步：延长至点，使，连接， …… ∴，→① 第二步：由全等的性质可知， …… ∴？°→② 第三步：…… ，得出． ， ． 上面的框图中，过程①的判定依据是_____（用字母表示）；过程②“？”处应填_____； (2)若．请探究、、之间的数量关系； (3)如下图，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，则（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 例2（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，四边形中，，，E、F分别在、上，且，探究并直接写出、、之间的数量关系； （2）如图2，四边形中，，，E、F分别在、上，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图3，四边形中，，，若E在的延长线上，F在的延长线上，仍满足，直接写出与的数量关系． 例3（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 例4（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，∠EDF＝45°，当AE＝a，CF＝b时，EF＝ （用含a、b的式子表示）． 例5（25-26八年级上·四川·阶段练习）（1）如图1，点，是边长为的正方形的边上两点，且．为了探究，，之间的数量关系．某同学的方法是：如图1，延长到，使，连接，先证，再结合得出的结论证明，得，从而得到，，之间的数量关系是___________；的周长是__________． （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系； （3）如图3，在四边形中，，，点，分别在和的延长线上，且满足，请探究和间的数量关系． 1．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点G，使，连接． 则由探究结果可知，图中线段、、之间的数量关系为________． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点M、N分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 2．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，，分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点，使，连接． 则由探究结果知，图中线段、、之间的数量关系为_____． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 3．（24-25八年级上·山东济宁·期中）（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关 系，并说明理由． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明，得；再由条件可得，再证明，进而可 得线段，，之间的数量关系．请根据小明的思路，完成解题过程． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立? 若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由． （3）学以致用： 我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图3，四边形是边长为的正方形，点，分别是，上的点，且，请直接写出的周长． 4．（24-25八年级上·湖北黄石·期中）（1）特例探究：如图①，在正方形中，E，F分别为，上的点，，探究，，之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取，连接，易证，从而得到，再由“”证明，从而得出结论：__________________________． （2）一般探究：如图②，在四边形中，，与互补，E，F分别是，上的点，且满足，探究，，之间的数量关系． （3）实际应用：如图③，在四边形中，，，，则四边形的面积为 ．      5．（24-25八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 6．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）【自主探究】（1）如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若，，，请计算线段的长度． 小明同学的做法是延长至点，使得，连接，他发现根据条件可证明，得到，，又和同学讨论发现，利用可证明，就能解决问题．那么他的结论是：线段的长度为______ 【灵活运用】（2）如图2，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若和都不是直角，但满足，请猜想线段、、之间的数量关系：__________________；    【拓，展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，，请问（2）中线段、、之间的数量关系是否仍然成立，并说明理由．    7．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，，， E、F分别是、上的点，且，小王同学探究此问题的方法是:延长到点G，使，连接，证明．请直接写出、、条线段之间的数量关系． （2）如图2，若在四边形中，，与互补，E、F分别是，上的点，、、 是否还存在上述关系，若存在，请证明；若不存在，请说明理由． （3）如图3，四边形是边长为5的正方形，，求的周长． 8．（24-25八年级上·四川巴中·期末）通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． (1)【解决问题】如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． 证明：延长到G，使， 在与中 ∴理由：， 进而证出：__________，理由：（_______） 进而得 (2)【探究变式】如图2，四边形中，，．点E、F分别在边、上，，时，还有吗？请证明你的猜想． 9．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读分析过程，解决问题：如图，正方形ABCD（四条边都相等，四个角都是90°），点E、F在CD、BC上，并且∠EAF=45°，延长CD至点G，使DG=BF，并连接AG． (1)求证：EF=DE+BF； (2)若AB=2，则△EFC的周长=___________．（直接写出结果） 10．（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）【思维提示】在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），点E、F分别在上，且，延长至G，使得，若，请计算的长度．小明发现根据条件可证出，可得到，又和同学讨论发现，利用SAS又可证出，就能解决上述问题．那么 ； （2）【拓展应用】如图2，在四边形中，，．，点E、F分别在边上，且，请你观察（1）中的结果，猜想图2中线段之间的数量关系 ，并给出证明． （3）【实际应用】图3是2022年成都大运村道路修建工程平面示意图，指挥中心设在O处，甲道路的起点在指挥中心北偏东的A处，乙道路的起点在指挥中心南偏东的B处，且A、B两处分别到指挥中心O的距离相等；已知甲道路是从A处开始沿正东方向修建，乙道路是从B处开始沿北偏东方向修建，当两道路同时开工六天时，分别修建到C、D处，经测量，若甲、乙两道路的修建速度分别是每天120米、160米，请直接写出C与D两处之间的距离为 米． 11．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）【问题提出】 （1）如图1，在四边形ABCD中，，，，E、F分别是BC、CD上的点，探究当为多少度时，使得成立． 小亮同学认为：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，则可求出∠EAF的度数为______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC、CD上的点，当∠EAF与∠BAD满足怎样的数量关系时，依然有成立，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，在正方形ABCD中，，若的周长为8，求正方形ABCD的面积． 12．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题背景】 如图1：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，再证明，可得出结论　 　． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，、分别是，上的点，上述结论是否仍然成立 【学以致用】 如图3，四边形是边长为5的正方形，，求的周长． 13．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 14．（24-25八年级下·吉林白城·期末）【感知】如图①，点M是正方形ABCD的边BC上一点，点N是CD延长线上一点，且MA⊥AN，易证△ABM≌△ADN，进而证得BM=DN（不要求证明） 【应用】（1）如图②，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°．求证：BE+DF=EF． 【拓展】（2）如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠ABC+∠ADC=180°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，若BD=3.5，EF=2，则四边形BEFD的周长为 ． 15．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 16．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 17．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）把两个全等的角三角形的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)如图1，若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，当，时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 18．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，四边形中，，，．若E，F分别在，上，且时，小王的探究方法是：延长至，使，连接，先证明 ；再证明，他得出的线段，，之间的关系是 ． 19．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）（1）问题背景： 如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点且，探究图中线段、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点，使，连接，先证，再证明可得出结论，他的结论应是______； （2）请按照小王同学的思路写出推理过程，也可尝用其他的方法； （3）探索延伸：如图2，若在四边形中，，，、别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 20．（24-25八年级上·河北·期末）问题背景： (1)如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点．且．探究图中线段之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论：，请你写出证明过程． 探索延伸： (2)如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 21．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．请写出的取值范围，并说明理由． （2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使…，请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连接，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 22．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）案例学习：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，再连接，相当于把、、集中在中，利用三角形的三边关系可得，即可得到的取值范围．请你写出的取值范围 ． 学习感悟：解题时，可以构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 解决问题： （1）如图2，为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长． （2）如图3，在四边形中，，，，以D为顶点作一个的角，角两边分别交、于点E、F，连接，探索线段、、之间的数量关系，并证明． 23．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【问题背景】 在四边形中，，，，分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 在四边形中如图，，，分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里小时的速度，前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，此时两舰艇之间的距离是______海里．若此时两个舰艇，同时接到命令，都以海里小时的速度前进并尽快汇合，最短需要______小时． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 全等三角形模型之半角模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.半角模型 5 15 首先阿基米德则通过物体旋转时的力学规律研究，为旋转几何提供物理背景；随着引入坐标系描述旋转后点的位置变化，并深入研究旋转对称性，推动旋转问题的量化分析；直到近代大三‌核心旋转模型逐渐的形成。这一方法从早期经验认知，历经阿拉伯数学家的理论发展，至近现代形成系统模型，最终成为几何证明的标准化工具。 ‌半角模型‌：90°含45°、120°含60°等特殊旋转，通过截长补短构造全等三角形，解决角度和线段问题。 （2025·山东东营·中考真题） 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形，， ，E、B、N三点共线， ，，，，， ，，，， ；故答案为：； （2）解：；理由如下：将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，，E在上， 四边形是正方形，，， ，，，， ，，； （3）解：．理由如下：将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ，， E、B、N三点共线， ，，，，． 1）半角模型 条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型） 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 图1 图2 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型） 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°， 条件：如图3，ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等边型120-60） 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BED=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 图3 图4 图5 条件：如图4，ABC是等边三角形，∠EAD=30°；（等边型60-30） 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 条件：如图5，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型） 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 模型1.半角模型 例1（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在四边形中，，．E、F分别是边、上的点． (1)若，，在“求证：”的过程中，嘉琪发现此题可以利用转化思想解决，并给出了下面的框图（部分内容省略）． 第一步：延长至点，使，连接， …… ∴，→① 第二步：由全等的性质可知， …… ∴？°→② 第三步：…… ，得出． ， ． 上面的框图中，过程①的判定依据是_____（用字母表示）；过程②“？”处应填_____； (2)若．请探究、、之间的数量关系； (3)如下图，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，则（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不成立；理由见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质； （1）可通过构建全等三角形实现线段间的转换，延长到，使，连接，目的就是要证明三角形和三角形全等，将转换为，证得， （2）思路和辅助线方法与（1）一样，证明三角形和三角形全等， （3）在B上截取，使，连接，用（1）中方法，可证得，，则． 【详解】（1）解：如图，延长到，使，连接， 在与中， ； 故答案为：；． （2）延长到，使，连接． ，， ． ，． ． ． 又， ． ． ． ． （3）不成立； 理由：在上截取，使，连接． ，， ． ， ． ，． ． ． ， ． ． 即（2）中的结论不再成立． 例2（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，四边形中，，，E、F分别在、上，且，探究并直接写出、、之间的数量关系； （2）如图2，四边形中，，，E、F分别在、上，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图3，四边形中，，，若E在的延长线上，F在的延长线上，仍满足，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）；（2）结论仍然成立．理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）延长到点，使，连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，根据等量代换即可得； （2）延长到点，使，连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，根据等量代换即可得； （3）在射线上取一点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据和等量代换即可得． 【详解】解：如图1，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． （2）结论仍然成立．理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． （3）如图3，在射线上取一点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 例3（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 例4（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，∠EDF＝45°，当AE＝a，CF＝b时，EF＝ （用含a、b的式子表示）． 【答案】a＋b/b＋a 【分析】延长FC到M，使CM＝AE，连接DM，通过SAS可证明△ADE≌△CDM，得DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，再通过SAS证明△DEF≌△DMF，从而有EF＝MF＝a＋b． 【详解】解：延长FC到M，使CM＝AE，连接DM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠A＝∠DCM＝90°， 在△ADE和△CDM中，， ∴△ADE≌△CDM（SAS）， ∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM， ∵∠EDF＝45°， ∴∠ADE＋∠FDC＝45°， ∴∠CDM＋∠FDC＝45°， ∴∠FDM＝∠EDF＝45°， 在△DEF与△DMF中，， ∴△DEF≌△DMF（SAS）， ∴EF＝MF＝a＋b， 故答案为：a＋b． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 例5（25-26八年级上·四川·阶段练习）（1）如图1，点，是边长为的正方形的边上两点，且．为了探究，，之间的数量关系．某同学的方法是：如图1，延长到，使，连接，先证，再结合得出的结论证明，得，从而得到，，之间的数量关系是___________；的周长是__________． （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系； （3）如图3，在四边形中，，，点，分别在和的延长线上，且满足，请探究和间的数量关系． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由正方形的性质得到，则可证明，得到；进一步证明，得到，则可证明，再根据三角形周长计算公式求解即可； （2）延长到H，使得，连接，证明，得到；证明，得到，则可证明； （3）延长到G，使得，连接，证明，得到；再证明，得到；根据周角的定义可推出，即． 【详解】解：（1）如图所示，延长到，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长； 故答案为：；； （2）如图所示，延长到H，使得，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图所示，延长到G，使得，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点G，使，连接． 则由探究结果可知，图中线段、、之间的数量关系为________． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点M、N分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键. （1）根据三角形的全等可得出线段、、之间的数量关系； （2）延长到点，使，连结，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）旋转至位置，证明，得到，即可解答. 【详解】（1）解：， ∴， 故答案为：； （2）结论仍然成立； 理由：延长到点，使，连结，如图， 在和中， ， ， ， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵四边形中，，， ∴四边形是正方形， 如图，旋转至位置， ， ， 在和中， ， ， ， ． 2．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，，分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点，使，连接． 则由探究结果知，图中线段、、之间的数量关系为_____． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质， （1）根据可得答案； （2）延长至点G，使，连接，再证明，可得，进而证明，根据全等三角形的对应边相等得出答案； （3）将旋转至，可知，可证明，接下来可证，即可得出答案. 【详解】（1）解：. 故答案为：； （2）解：结论：.理由如下： 延长至点G，使，连接， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴, ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴； （3）解：将旋转至， 可知， ∴，， ∴， ∴， ∴. 3．（24-25八年级上·山东济宁·期中）（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关 系，并说明理由． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明，得；再由条件可得，再证明，进而可 得线段，，之间的数量关系．请根据小明的思路，完成解题过程． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立? 若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由． （3）学以致用： 我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图3，四边形是边长为的正方形，点，分别是，上的点，且，请直接写出的周长． 【答案】（1），理由见解析；（2）的结论成立，证明见解析；（3）的周长为 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键． （1）延长线段到点，使，连接，证明，可得，，再证，可得，即可解题； （2）延长到，使，连接，即可证明，可得，，再证明，可得，即可解题； （3）延长到，使，连接，证明，可得，，可证明，可得，可得，即可求解． 【详解】解∶（1）延长线段到点，使，连接，则， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图，延长到，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 的周长． 4．（24-25八年级上·湖北黄石·期中）（1）特例探究：如图①，在正方形中，E，F分别为，上的点，，探究，，之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取，连接，易证，从而得到，再由“”证明，从而得出结论：__________________________． （2）一般探究：如图②，在四边形中，，与互补，E，F分别是，上的点，且满足，探究，，之间的数量关系． （3）实际应用：如图③，在四边形中，，，，则四边形的面积为 ．      【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据题意已知，，，即可得到，从而可得； （2）同理，再在延长线上取一点，使，连接，证得，结合再证得，即可得出； （3）同理，在的延长线上取一点，使，连接，证得，即可得出，，求出即可解题． 【详解】解：（1）四边形为正方形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，在延长线上取一点，使，连接， ，与互补， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）如图，在的延长线上取一点，使，连接， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，补角的定义，线段的和差关系，解题的关键是作辅助线从而构造三角形全等． 5．（24-25八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 6．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）【自主探究】（1）如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若，，，请计算线段的长度． 小明同学的做法是延长至点，使得，连接，他发现根据条件可证明，得到，，又和同学讨论发现，利用可证明，就能解决问题．那么他的结论是：线段的长度为______ 【灵活运用】（2）如图2，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若和都不是直角，但满足，请猜想线段、、之间的数量关系：__________________；    【拓，展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，，请问（2）中线段、、之间的数量关系是否仍然成立，并说明理由．    【答案】（1）8；（2）；（3）成立，见解析 【分析】（1）延长至点，使得，连接，证明，则，，再证明，即可得结论； （2）延长到点G，使得，先证明，则，，再证明，得到； （3）延长至，使得，连接，证明，则，，证明，则，由，，即可得到结论． 【详解】（1）延长至点，使得，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴, ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：8 （2）延长到点G，使得，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 故答案为：． （3）成立，理由如下： 延长至，使得，连接，    ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴即， ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 7．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，，， E、F分别是、上的点，且，小王同学探究此问题的方法是:延长到点G，使，连接，证明．请直接写出、、条线段之间的数量关系． （2）如图2，若在四边形中，，与互补，E、F分别是，上的点，、、 是否还存在上述关系，若存在，请证明；若不存在，请说明理由． （3）如图3，四边形是边长为5的正方形，，求的周长． 【答案】（1）；（2）结论仍然成立；证明见解析；（3）的周长为10 【分析】（1）证明得到，，，从而证明，可得，即可得出结论； （2）延长到点G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可得出结论； （3）延长到点G，截取，连接，证明，可得，，再由，，从而证明，故，再根据的周长为：即可求出结果． 【详解】解：（1）证明：如图1，，，， ， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）结论仍然成立； 理由：延长到点G，使，连接，如下图， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，延长到点G，截取，连接， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 8．（24-25八年级上·四川巴中·期末）通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． (1)【解决问题】如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． 证明：延长到G，使， 在与中 ∴理由：， 进而证出：__________，理由：（_______） 进而得 (2)【探究变式】如图2，四边形中，，．点E、F分别在边、上，，时，还有吗？请证明你的猜想． 【答案】(1)， (2)仍有，证明见解析 【分析】（1）根据前面的推理提示可得答案； （2）延长FD至点G，使，证明，证明，可得，，证明，可得，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：进而证出：，理由 （2）仍有，理由如下： 延长FD至点G，使， ∵， ∴ 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴即 在和中， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 9．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读分析过程，解决问题：如图，正方形ABCD（四条边都相等，四个角都是90°），点E、F在CD、BC上，并且∠EAF=45°，延长CD至点G，使DG=BF，并连接AG． (1)求证：EF=DE+BF； (2)若AB=2，则△EFC的周长=___________．（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）先证明，进而可得∠EAG=45°，再证明，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD， ∠BAD=∠ABF=∠ADC=∠ADG=90°． 在和中， ， ∴， ∴∠BAF=∠DAG，AF=AG， ∵∠EAF=45°， ∴∠BAF+∠DAE=∠DAG+∠DAE=45°， ∴∠EAG=45°， 在和中， ， ∴（ASA）， ∴EF=EG=ED+DG， ∴EF=DE+BF； （2）解：由（1）知，EF=DE+BF， ∴的周长=CF+CE+EF=CF+CE+BF+DE=BC+CD， ∵BC=CD=AB=2， ∴的周长=4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明． 10．（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）【思维提示】在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），点E、F分别在上，且，延长至G，使得，若，请计算的长度．小明发现根据条件可证出，可得到，又和同学讨论发现，利用SAS又可证出，就能解决上述问题．那么 ； （2）【拓展应用】如图2，在四边形中，，．，点E、F分别在边上，且，请你观察（1）中的结果，猜想图2中线段之间的数量关系 ，并给出证明． （3）【实际应用】图3是2022年成都大运村道路修建工程平面示意图，指挥中心设在O处，甲道路的起点在指挥中心北偏东的A处，乙道路的起点在指挥中心南偏东的B处，且A、B两处分别到指挥中心O的距离相等；已知甲道路是从A处开始沿正东方向修建，乙道路是从B处开始沿北偏东方向修建，当两道路同时开工六天时，分别修建到C、D处，经测量，若甲、乙两道路的修建速度分别是每天120米、160米，请直接写出C与D两处之间的距离为 米． 【答案】（1）6；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）根据题意证明，可得到，利用SAS又可证出，进而可得; （2）延长至G，使得，同（1）方法证明即可； （3）延长至E，使得，证明，可得到，利用SAS又可证出，进而可得． 【详解】（1）解：四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角）， , ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ； （2），证明如下，如图2所示，延长至G，使得， ，， ，，， ， ， ，， 又， ， ， 即； 故答案为： （3）如图3所示，延长至E，使得， ， ，， ， 乙道路的起点在指挥中心南偏东的B处，乙道路是从B处开始沿北偏东方向修建， ， ， ， ，，， ，， ， ，， ， ， 即 甲、乙两道路的修建速度分别是每天120米、160米，当两道路同时开工六天时，分别修建到C、D处， 米． 故答案为：． 【点睛】本题考查了半角模型的应用，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 11．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）【问题提出】 （1）如图1，在四边形ABCD中，，，，E、F分别是BC、CD上的点，探究当为多少度时，使得成立． 小亮同学认为：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，则可求出∠EAF的度数为______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC、CD上的点，当∠EAF与∠BAD满足怎样的数量关系时，依然有成立，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，在正方形ABCD中，，若的周长为8，求正方形ABCD的面积． 【答案】（1）60°；（2）当时，成立，理由见解析；（3）16 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到证明得到根据题意，计算即可得出结果． （2）延长FD到点H，使，连接AH，分别证明，根据全等三角形的性质解答即可． （3）根据（2）的结论得到，进而求出AD，根据正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）当时，，理由如下， 延长FD到点G，使，连接AG， 在和中， 在和中， ； （2）当时，成立， 理由如下：如图2，延长FD到点H，使，连接AH， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴（SAS）， ∴； （3）∵四边形ABCD为正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的周长为8， ∴， ∴， ∴AD+CD=8， ∴， ∴正方形ABCD的面积． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解此题的关键． 12．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题背景】 如图1：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，再证明，可得出结论　 　． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，、分别是，上的点，上述结论是否仍然成立 【学以致用】 如图3，四边形是边长为5的正方形，，求的周长． 【答案】【问题背景】；【探索延伸】结论仍然成立；理由见解析；【学以致用】10 【分析】（1）【问题背景】延长到点．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）【探索延伸】延长到点．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）【学以致用】延长，截取，连接，根据定理可得出，故可得出，，再由，可得出，故，由定理可得，故，故的周长，由此可得出结论． 【详解】（1）【问题背景】解：如图1， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）【探索延伸】解：结论仍然成立； 理由：如图2，延长到点．连接， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）【学以致用】解：如图3，延长到点，连接， 在与中， ∵， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴的周长． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 13．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】（1）典型的“夹半角模型”，延长到使得，先证，再证，最后根据边的关系即可证明； （2）图形变式题可以参考第一问的思路，延长到使得，先证 ，再证，最后根据边的关系即可证明； 【详解】解：（1） 证明：延长到，使得      连接      ∵四边形是正方形      ∴，      又∵      ∴      ∴，      ∵      ∴     ∴     又∵     ∴     ∴     又∵     ∴ （2） 证明：延长到，使得      连接      ∵，      ∴      又∵，      ∴      ∴，      ∵      ∴     ∴     又∵     ∴     ∴     又∵     ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的根据“夹半角模型”作出辅助线是解题的关键． 14．（24-25八年级下·吉林白城·期末）【感知】如图①，点M是正方形ABCD的边BC上一点，点N是CD延长线上一点，且MA⊥AN，易证△ABM≌△ADN，进而证得BM=DN（不要求证明） 【应用】（1）如图②，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°．求证：BE+DF=EF． 【拓展】（2）如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠ABC+∠ADC=180°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，若BD=3.5，EF=2，则四边形BEFD的周长为 ． 【答案】（1）见解析；（2）7.5 【分析】应用：如图②中，过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G．先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，由此即可证明． 拓展：如图③中，过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G．首先证明BE+DF=EF，由此即可计算四边形的周长． 【详解】证明：【应用】如图②中，过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠B=∠BAD=∠ADC=90°． ∴∠B=∠ADG=90°，∠BAE+∠EAD=90°． ∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD=90°． ∴∠BAE=∠DAG． 在△ABE和△ADG中， ∴△ABE≌△ADG．                                    　       ∴AE=AG，BE=DG． ∵∠EAF=45°，AG⊥AE，∴∠GAF=∠EAF=45°． 在△FAE和△FAG中， ∴△AEF≌△AGF． ∴EF=FG．∵FG=DF+DG=DF+BE， ∴BE+DF=EF．                　　　 解：【拓展】如图③中，过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G． ∵AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180° ∴∠ABE=∠ADG，∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD=90°． ∵∠BAE+∠EAD=90°∴∠BAE=∠DAG． 在△ABE和△ADG中， ∠ABE=∠ADG，AB=AD，∠BAE=∠DAG， ∴△ABE≌△ADG． ∴AE=AG，BE=DG． ∵∠EAF=45°，AG⊥AE， ∴∠EAF=∠GAF=45°． 在△FAE和△FAG中， AF=AF，∠FAE=∠FAG，AE=AG， ∴△AEF≌△AGF． ∴EF=FG． ∵FG=DF+DG=DF+BE， ∴BE+DF=EF． ∴四边形BEFD的周长为EF+（BE+DF）+DB=2+2+， 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形的综合题、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，解题的关键是学会由感知部分得到启发，添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 15．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】本题考查了常见的全等模型——半角模型，掌握模型的构成条件、辅助线的引入是解题关键． （1）先证，推出，进一步得；再证，即可得； （2）参考（1）中的证明过程即可； 【详解】解：（1）如图所示： ∵，，， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）成立，理由如下： 延长到，使得，连接， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 16．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； （2）延长到点，使，连接，根据，推出，易证，推出，，然后利用，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论． 【详解】解：（1）在和中 ， 又， 在和中 （2）， 理由：如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中 ， 在和中 17．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）把两个全等的角三角形的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)如图1，若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，当，时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到， 使， 证明，推出， ， 证， 推出即可； （2）延长到， 使， 证，推出， ， 证， 推出即可； （3）在截取， 连接， 证，推出，， 证， 推出即可． 【详解】（1）， 证明： 延长到， 使， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）， 证明： 延长到， 使， 连接， 由（1）知： ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）， 证明： 在截取， 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，四边形中，，，．若E，F分别在，上，且时，小王的探究方法是：延长至，使，连接，先证明 ；再证明，他得出的线段，，之间的关系是 ． 【答案】，． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，运用截长补短的思想，通过截取一条线段等于已知线段构造全等三角形是解题的关键．如图求证，于是 ，，进一步可证，求证，于是，所以． 【详解】解：如图，在和中， ∴ ∴， 四边形中， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ 在与中 ∴ ∴ 而 ∴． 故答案为：，． 19．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）（1）问题背景： 如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点且，探究图中线段、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点，使，连接，先证，再证明可得出结论，他的结论应是______； （2）请按照小王同学的思路写出推理过程，也可尝用其他的方法； （3）探索延伸：如图2，若在四边形中，，，、别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由推出，结合，，即可的得到结论 （2）根据题意易证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； （3）延长到点，使，连接，根据，推出，易证，推出，，然后利用，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论． 【详解】解：（1） 又 故答案为：． （2）在和中 ， 又， 在和中 （3）结论仍然成立， 理由：如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中 ， 在和中 20．（24-25八年级上·河北·期末）问题背景： (1)如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点．且．探究图中线段之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论：，请你写出证明过程． 探索延伸： (2)如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明推出，再依次证明，，推出，可得； （2）延长到点G使，连接，同（1），先证明推出，再依次证明，，推出，可得． 【详解】（1）解：证明如下：在和中， ， ， ． ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ． （2）解：结论仍然成立． 理由如下：延长到点G使，连接，如图， ， ． 在和中， ， ， ． ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ． 21．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．请写出的取值范围，并说明理由． （2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使…，请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连接，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；理由见解析 （2）详见解析 （3），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系等知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）证明，推出，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可； （2）如图2中，延长到，使得，连接，．证明，推出，再证明，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）结论：．延长到，使得，通过两次全等证明，即可解决问题． 【详解】解：（1）；理由如下： 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在，，且， ， ， ， ； （2）证明：延长到，使得，连结，． 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：．理由如下： 延长到，使得， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 22．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）案例学习：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，再连接，相当于把、、集中在中，利用三角形的三边关系可得，即可得到的取值范围．请你写出的取值范围 ． 学习感悟：解题时，可以构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 解决问题： （1）如图2，为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长． （2）如图3，在四边形中，，，，以D为顶点作一个的角，角两边分别交、于点E、F，连接，探索线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】，（1）,（2） 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 案例学习：利用三角形全等可以得出，由三角形的三边关系建立不等式就可以得出结论； （1）如图，延长、交于点F，证明，得出，,再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． （2）延长到G使，连结可以得出就有，，由，，可以得出，进而得出，就有，得出，得出结论 【详解】案例学习： 是的中线， 在和中 ， ， ， 在中 ， ， 故答案为： 解决问题： （1）如图，延长、交于点F， ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴，是的垂直平分线， ∴； （2） 理由：如图3，延长到G使， ∵,， ∴. 在和中 ， ∴， ∴，. ∵, ∴， ∴， ∴. 在和中， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. 23．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【问题背景】 在四边形中，，，，分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 在四边形中如图，，，分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里小时的速度，前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，此时两舰艇之间的距离是______海里．若此时两个舰艇，同时接到命令，都以海里小时的速度前进并尽快汇合，最短需要______小时． 【答案】初步探索：；探索延伸：结论仍然成立，理由见解析；结论运用：，． 【分析】【初步探索】延长到，使连接， 先证明，再证明则可得到结论； 【探索延伸】延长到，使，连接，证明，再证明则可得到结论； 【结论运用】连接，延长交于点， 利用已知条件得到四边形中， 且符合具备的条件,则； 本题主要考查了四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】【初步探索】延长到，使连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【探索延伸】结论仍然成立：， 证明：延长到，使，连接，如图， ∵，， ∴， 在△ABE和△ADG中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【结论运用】连接，延长交于点，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形中，，且 ∴四边形符合探索延伸中的条件， ∴结论成立， 即（海里）， 此时两个舰艇，同时接到命令，都以海里小时的速度前进并尽快汇合，最短需要（小时）， 故答案为：；． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $