专题07 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型（几何模型讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题07 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 4 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 8 12 “一线三等角”的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。在这本经典的数学著作中，欧几里得系统地阐述了平面几何的基本原理和定理，其中就包括了关于角和线段关系的诸多论述。虽然“一线三等角”这一术语可能并非直接出自欧几里得之口，但其所涉及的原理和概念无疑在他的著作中得到了充分的体现和阐述。 在欧几里得之后，许多数学家都对“一线三等角”进行了深入的研究和探索。他们通过不同的方法和途径来证明这一结论的正确性，并寻找其在实际问题中的应用。这些数学家们的努力不仅推动了几何学的发展，也为后来的科学研究提供了宝贵的经验和启示。 随着时间的推移，“一线三等角”逐渐成为了中学数学教育中的重要内容之一。通过学习和掌握这一概念，学生们可以更加深入地理解角度和线段之间的关系，提高解决几何问题的能力。同时，这一概念也激发了学生们对数学的兴趣和热爱，为他们的未来学习和发展奠定了坚实的基础。 （2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． (1)求证：；(2)若，时，求的面积．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，∴， 即，∴， 在和中，，∴，∴，∴； （2）解：过点E作于F，由（1）知， ∵，∴，∵，∴， ∴，，∴．    （2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      【答案】3 【详解】解： ∵，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在和中：，∴， ∴，∴，故答案为：3． “一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 例1（24-25七年级上·山东淄博·期中）【问题初探】（1）如图1，点B在线段上，于点A，于点C，，且．求证：； 【问题改编】（2）如图2，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到（即，），将边绕点C逆时针旋转得到（即，）．连接，延长交于点F．求证：点F是的中点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是证明三角形全等． （1）先证明，进而即可得出结论； （2）过点E作，交的延长线于点G，证明，得到，再证明，即可得证； 【详解】解：（1）证明：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）证明：过点E作，交的延长线于点G， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即点F是的中点． 例2（25-26八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，点D在线段上，连接，作，交线段于点E． (1)当时，______．______； (2)线段的长度为何值时，，请说明理由： 【答案】(1)， (2)当时，，理由见解析 【分析】此题主要考查三角形综合题，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强． （1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题； （2）当时，利用，，求出，再利用，即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：当时，，理由如下： ， ， 又， ， ， 在和中， ， ． 例3（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，线段，过点、分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动；同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，当点停止时，点也随之停止运动．设点的运动的时间为． (1)当时，________，________（用含的代数式表示）， (2)当时，求证：； (3)如图2，将“过点、分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)，或， 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，动点问题，明确题意，准确得到全等三角形是解题的关键． （1）根据题意得： ， ，即可求解； （2）根据题意可得，从而得到，根据即可求证； （3）分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ， ， ∴ ； （2）∵， ∴． ∵ ，     ∴， ∵， ∴， ∴； （3）当时，即，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴ ， 当时 ，即， ， ∴ ， ∴ ，      综上所述，当与全等时，或，． 例4（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】     （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过点作轴于点，过点作轴于点，则，证明，则，得到，即可求出答案． 【详解】解：（1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3）过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为 例5（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在中，，．点D在线段上运动（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． 　 (1)当时， ，当点D从点B向点C运动时，逐渐变 （填“大”或“小”）． (2)当等于多少时，？请说明理由． 【答案】(1)，小； (2)当时，． 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理计算，得到答案； （2）当时，利用，，得到，根据，证明． 【详解】（1）解：，， ， 由图形可知，逐渐变小； 故答案为：，小； （2）解：当时，， 理由：， ， ， ， ， 在和中， ， ． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 例1（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知于，于，，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再求出，然后根据定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，，再根据线段的和差求解即可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）已证：， ∴，， ∴． 例2（25-26八年级上·天津宁河·阶段练习）已知中，，，经过A点做一条直线l．作，，垂足分别为E，F (1)如图1，求证：． (2)如图2，找出，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正确找出图中的全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，推出，，再利用线段的和差以及等量代换即可证明； （2）利用证明，推出，，再利用线段的和差以及等量代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （2）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 例3（25-26七年级上·山东淄博·阶段练习）已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于F，连接，若，，求的长； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点P．求证：； (3)如图3，当点D在延长线上时，连接交的延长线于点P，若，请直接写出的值（不需要计算过程）． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由“”可证，可得，，即可求出答案； （2）过点E作，交的延长线于N，由“”可证，可得，由“”可证，可得，再判断出，即可得出结论； （3）设，，判断出，得出，，再判断出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图2，过点E作，交的延长线于N， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点D在延长线上时，如图，过点E作，交的延长线于N， ∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． ∴的值为． 例4（25-26八年级上·辽宁·期中）如图（1）在中，，，直线经过点，且于点，于点． (1)求证：①；②． (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)①成立；②不成立，结论为，理由见解析 【分析】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键． （1）①由已知推出，因为，，推出，根据即可得到答案；②由①得到，，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案． 【详解】（1）①证明：，， ， ， ，， ， 在和中， ， ； ②证明：由（1）知：， ，， ， ； （2）解：（1）中结论①成立；结论②不成立，结论为， 理由：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 例5（25-26七年级上·山东淄博·阶段练习）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2）6；（3）133 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明，即可得解； （2）证明，得出，，即可得解； （3）过点作于，过点作交的延长线于，根据全等三角形的性质得到，，，，证明，得到，进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴；    （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，；    ∵，， ∴． 故答案为：6； （3）解：如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（2）思路可证，， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 1．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 由直角三角形的性质得出，根据可证明，由全等三角形的性质得出、，求出的长即可解答． 【详解】解：由题意可知：，， ， ． ， 在和中， ， ， ，， 、分别为和， ， ∵妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推， ， ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（ ）． A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确添加辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：过点E作于点G，则，先证明得到，，则有，进而推出得到，再利用线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过点E作于点G，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作和，使得，连接与的延长线交于点G，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形中线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．①由已知条件可证明，可得到；②设和交于点R，可知结合对顶角和三角形内角和定理，可得到；③过D作交的延长线于H，过E作于M，根据余角的性质得到，求得，证得，根据全等三角形的性质得到，同理，等量代换得到，根据全等三角形的性质的得到，即可得到结论；④根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：①∵和为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；故①正确； ②设交于点R，交于N，如图1， 由①可知，且， ∴， ∴， ∴；故②正确； ③过D作交的延长线于H，过E作于M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴是的中线；故③正确； ④∵， ∴，故④正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：A． 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等腰直角中，，点F为上一点，连接，过点C，B分别作于点D，交的延长线于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，点A，C，D，E在的边上，，且，且，于点H，于点F，，，，图中阴影部分的面积为（    ） A．30 B．50 C．66 D．80 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，求不规则图形的阴影面积，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 利用可得，因而可得，，同理可得，，再利用即可求解． 【详解】解：∵，， ，， ， 又∵， ， ， 在和中， ， ， ，， 同理可得：， ，， ， ， 故选：B． 6．（25-26八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．根据题意可证，可得，，再根据，由此即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：7． 7．（25-26八年级上·山东德州·阶段练习）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂和，，的长表示两个工厂到河岸的距离，其中是进水口，，为两个排污口．已知，，，，点，，在同一直线上，米，米，则两个排污口之间的水平距离是 米． 【答案】500 【分析】本题考查了一线三垂直模型以及全等三角形的判定与性质，结合角的等量代换得，证明，根据全等三角形的性质可得两个排污口之间的水平距离． 【详解】解：如图： ∵，，， ∴， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴（米）， 故答案为：500． 8．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，D为平面上一点，，若，则的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 如图：过点B作于点E，证明和全等得，再根据三角形的面积公式即可求得的面积． 【详解】解：如图：过点B作于点E， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴的面积为：． 故答案为：18． 9．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，于点D，于点E，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．证明，得出，，再根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：1． 10．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，为了测量一幢高楼的高度，在竖直木棍与高楼之间选定一点P，在点P处测得木棍顶端C的视线与地面的夹角，测得楼顶A的视线与地面的夹角，量得点P到楼底的距离与木棍高度都是，量得木棍与高楼之间的距离，则高楼的高度是 m． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴   故答案为：. 11．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长为 ． 【答案】8.5 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点E作于点G，则，证明，可得，，证明，可得，即可求解． 【详解】解：在中，，，D是线段上一点， 过点E作于点G，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8.5． 12．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，于点，于点，，，则的长是 ． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．根据同角的余角相等，得到，证明，进而得到，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：4． 13．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，已知是的角平分线，点是射线上一点，点、分别在射线、上，连接、． (1)如图，当时，则与的数量关系是______． (2)如图，点、在射线、上滑动，且，，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定定理和全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． （1）根据得，再根据是的角平分线得，再证明即可得到与的数量关系； （2）过点P作于E，于F，由（1）得，再证明即可得到与的数量关系． 【详解】（1）解：与的数量关系是， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下， 过点P点作于E，于F，如图， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·吉林长春·期中）探究：如图①，在中，，，直线经过点，于点，于点，求证：． 应用：如图②，在中，，、、三点都在直线上，并且有，直接写出和的关系． 【答案】探究：见解析；应用： 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角模型，是解题的关键： （1）根据同角的余角相等，得到，利用即可证明； （2）证明，得到，根据线段之间的和差关系即可得出结论． 【详解】解：探究：∵于点，于点， ∴， ∴， 在和中 ， ∴； 应用：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26七年级上·山东东营·阶段练习）已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，请写出之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)，证明过程见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的综合应用，根据已知条件推出全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据已知条件和等量代换得出，，即可证明，得到，，即可得证； （2）根据已知条件证明，得到，，即可得证； 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． （2）解：，理由如下： ，， ， ， 又，， ， ，， ，即． 16．（25-26八年级上·广东江门·阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图①的位置时，请你探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； (2)当直线绕点C旋转到图②的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想，并加以证明； (3)当直线绕点C旋转到图③的位置时，请写出线段，，之间的数量关系________． 【答案】(1)，证明见解析 (2)发生了变化，，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义和同角的余角相等得到，然后根据可证得，从而推出，，结合，即可证得结论； （2）同（1）可证得，，结合，即可证得结论； （3）同（1）可证得，，结合，即可证得结论． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）解：发生了变化，，证明如下： ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． （3）解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）直线m上有3个点D，A，E，在直线上方有，且． (1)如图1，当时，猜想，，之间的数量关系并证明； (2)如图2，当时，问题（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明过程；若不成立，说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到． 【详解】（1）解： ；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论还成立；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26八年级上·广东肇庆·阶段练习）【问题背景】 （1）如图1，直线l经过点A，，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A，D，E在直线上，若，求证：； 【答案】（1）见详解（2）见详解 【分析】本题主要考查了全等三角的判定和性质，三角形内角和定理等知识． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，，由全等三角形的判定和性质即可证明． 【详解】解：（1）证明：在中，， ， 又， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：，， ， 在和中， ， ， ，， ． 19．（25-26八年级上·福建·阶段练习）如图，在中，，，于，于． (1)求证： (2)，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）先结合（1）的结论可得，再根据线段的和差可得，然后根据全等三角形的性质即可得． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴； （2）∵，，， ． 20．（25-26八年级上·天津滨海新·阶段练习）（1）如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E． ①求证：； ②． 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2），证明过程见解析； 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，外角的性质等知识点，解决此题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）①根据同角的补角相等得到角相等，进而可以证明三角形全等即可； ②由①中全等得到边相等，即可得到答案； （2）根据外角的性质得到角相等，进而证明三角形全等，根据全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线， ∴ ∴， ∴， ∵，，， ∴； ②∵， ∴， ∵ ∴； （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴； ∴， ∵ ∴． 21．（2025·山东泰安·一模）受物理课上发声物体的振动实验启发，兴趣小组做了如下操作：选取一个支架，在横杆点处悬挂小球，它可以自由摆动，如图，小球静止时的位置用表示．用发声物体靠近小球，小球从摆动到位置，如图，过点作于点；当小球摆到位置时，（图中点共面），过点作，垂足为点． (1)若测得，．请判断的数量关系并直接写出的长． (2)如图，在中，，直线经过点，且． ①请判断之间的数量关系，并说明理由． ②若，的面积为，请你直接写出的面积______． 【答案】(1)，的长为； (2)①，理由见解析；②的面积为． 【分析】（）证明，可得，继而得到，再代入数据计算可得答案； （）①利用三角形外角的性质分别证明，即可证明，得到，可得结论； ②设的面积为，根据全等三角形的性质可得，继而得到，根据可得，，再根据可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴此时的长为； （2）①，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②设的面积为， 由①知：，且的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，三角形的面积等知识点．正确理解题意并掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 22．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）已知：在中，，，点在直线上，在上另取两个互不重合的点，使． (1)如图，当时，请直接写出线段和之间的数量关系__________； (2)如图，当为任意锐角或钝角时，已知，，求的长； (3)如图，在（）的基础上，延长至点，连接，过点作，且，连接交直线于点．若，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （）由可证，进而得到，即得，，即得到，即可求解； （）同理（）可证，即得，，进而即可求解； （）作于点，可证，得到，，即得，再证明，得到，由可得，进而得到，再根据即可求解； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：同理（）可证， ∴，， ∵， ∴； （3）解：如图，作于点，则， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 23．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)若，，求的长； (2)在（）条件下，点为边上一点，连接，过点作，且（点在直线的上方），连接交直线于点，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）证明，得到，，进而由即可求解； （）过点作于点，可证，得到，由可求得，进而根据线段的和差关系即可求解； 本题考查了余角性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图，过点作于点，则， ∴， 又∵， ∴， ∴, ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 4 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 8 12 “一线三等角”的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。在这本经典的数学著作中，欧几里得系统地阐述了平面几何的基本原理和定理，其中就包括了关于角和线段关系的诸多论述。虽然“一线三等角”这一术语可能并非直接出自欧几里得之口，但其所涉及的原理和概念无疑在他的著作中得到了充分的体现和阐述。 在欧几里得之后，许多数学家都对“一线三等角”进行了深入的研究和探索。他们通过不同的方法和途径来证明这一结论的正确性，并寻找其在实际问题中的应用。这些数学家们的努力不仅推动了几何学的发展，也为后来的科学研究提供了宝贵的经验和启示。 随着时间的推移，“一线三等角”逐渐成为了中学数学教育中的重要内容之一。通过学习和掌握这一概念，学生们可以更加深入地理解角度和线段之间的关系，提高解决几何问题的能力。同时，这一概念也激发了学生们对数学的兴趣和热爱，为他们的未来学习和发展奠定了坚实的基础。 （2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． (1)求证：；(2)若，时，求的面积．    （2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      “一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 例1（24-25七年级上·山东淄博·期中）【问题初探】（1）如图1，点B在线段上，于点A，于点C，，且．求证：； 【问题改编】（2）如图2，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到（即，），将边绕点C逆时针旋转得到（即，）．连接，延长交于点F．求证：点F是的中点． 例2（25-26八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，点D在线段上，连接，作，交线段于点E． (1)当时，______．______； (2)线段的长度为何值时，，请说明理由： 例3（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，线段，过点、分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动；同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，当点停止时，点也随之停止运动．设点的运动的时间为． (1)当时，________，________（用含的代数式表示）， (2)当时，求证：； (3)如图2，将“过点、分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的的值． 例4（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】     （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______________． 例5（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在中，，．点D在线段上运动（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． 　 (1)当时， ，当点D从点B向点C运动时，逐渐变 （填“大”或“小”）． (2)当等于多少时，？请说明理由． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 例1（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知于，于，，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 例2（25-26八年级上·天津宁河·阶段练习）已知中，，，经过A点做一条直线l．作，，垂足分别为E，F (1)如图1，求证：． (2)如图2，找出，，之间的数量关系，并证明． 例3（25-26七年级上·山东淄博·阶段练习）已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于F，连接，若，，求的长； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点P．求证：； (3)如图3，当点D在延长线上时，连接交的延长线于点P，若，请直接写出的值（不需要计算过程）． 例4（25-26八年级上·辽宁·期中）如图（1）在中，，，直线经过点，且于点，于点． (1)求证：①；②． (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中结论还成立吗？请说明理由． 例5（25-26七年级上·山东淄博·阶段练习）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 1．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（ ）． A． B．8 C． D． 3．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作和，使得，连接与的延长线交于点G，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等腰直角中，，点F为上一点，连接，过点C，B分别作于点D，交的延长线于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（25-26八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，点A，C，D，E在的边上，，且，且，于点H，于点F，，，，图中阴影部分的面积为（    ） A．30 B．50 C．66 D．80 6．（25-26八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 7．（25-26八年级上·山东德州·阶段练习）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂和，，的长表示两个工厂到河岸的距离，其中是进水口，，为两个排污口．已知，，，，点，，在同一直线上，米，米，则两个排污口之间的水平距离是 米． 8．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，D为平面上一点，，若，则的面积为 ． 9．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，于点D，于点E，，则 ． 10．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，为了测量一幢高楼的高度，在竖直木棍与高楼之间选定一点P，在点P处测得木棍顶端C的视线与地面的夹角，测得楼顶A的视线与地面的夹角，量得点P到楼底的距离与木棍高度都是，量得木棍与高楼之间的距离，则高楼的高度是 m． 11．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长为 ． 12．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，于点，于点，，，则的长是 ． 13．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，已知是的角平分线，点是射线上一点，点、分别在射线、上，连接、． (1)如图，当时，则与的数量关系是______． (2)如图，点、在射线、上滑动，且，，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由． 14．（24-25八年级上·吉林长春·期中）探究：如图①，在中，，，直线经过点，于点，于点，求证：． 应用：如图②，在中，，、、三点都在直线上，并且有，直接写出和的关系． 15．（25-26七年级上·山东东营·阶段练习）已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，请写出之间的数量关系，并证明． 16．（25-26八年级上·广东江门·阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图①的位置时，请你探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； (2)当直线绕点C旋转到图②的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想，并加以证明； (3)当直线绕点C旋转到图③的位置时，请写出线段，，之间的数量关系________． 17．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）直线m上有3个点D，A，E，在直线上方有，且． (1)如图1，当时，猜想，，之间的数量关系并证明； (2)如图2，当时，问题（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明过程；若不成立，说明理由． 18．（25-26八年级上·广东肇庆·阶段练习）【问题背景】 （1）如图1，直线l经过点A，，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A，D，E在直线上，若，求证：； 19．（25-26八年级上·福建·阶段练习）如图，在中，，，于，于． (1)求证： (2)，，求的长度． 20．（25-26八年级上·天津滨海新·阶段练习）（1）如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E． ①求证：； ②． 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明． 21．（2025·山东泰安·一模）受物理课上发声物体的振动实验启发，兴趣小组做了如下操作：选取一个支架，在横杆点处悬挂小球，它可以自由摆动，如图，小球静止时的位置用表示．用发声物体靠近小球，小球从摆动到位置，如图，过点作于点；当小球摆到位置时，（图中点共面），过点作，垂足为点． (1)若测得，．请判断的数量关系并直接写出的长． (2)如图，在中，，直线经过点，且． ①请判断之间的数量关系，并说明理由． ②若，的面积为，请你直接写出的面积______． 22．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）已知：在中，，，点在直线上，在上另取两个互不重合的点，使． (1)如图，当时，请直接写出线段和之间的数量关系__________； (2)如图，当为任意锐角或钝角时，已知，，求的长； (3)如图，在（）的基础上，延长至点，连接，过点作，且，连接交直线于点．若，，求的长． 23．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)若，，求的长； (2)在（）条件下，点为边上一点，连接，过点作，且（点在直线的上方），连接交直线于点，若，求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $