3.2.1 对数的定义课件-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学课件围绕对数的定义展开，涵盖指数式与对数式互化、底数真数条件及常用自然对数等核心知识。课堂导入通过简易对数表计算和纳皮尔发明对数的历史背景，从指数方程求解问题切入，搭建从指数函数到对数概念的学习支架。 其亮点在于以情境与问题驱动教学，用对数表简化计算的实例培养学生用数学眼光观察现实世界，通过反证法证明解的唯一性渗透数学思维，指数对数互化训练数学语言表达。小结梳理知识框架，练习覆盖不同层次，助力学生理解概念本质，也为教师提供结构化教学流程提升效率。

3.2.1 对数的定义 1 知识框架 2 幂、指数与对数 幂与指数 指数幂的拓展 对数 对数的意义 对数的运算性质 对数的换底 课堂导入 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 如何计算1664？ 简易对数表 4+6=10 3 课堂导入 当时在天文、航海及工程实践中迫切需要简化大量繁杂计算 纳皮尔从1594年到1614年花了二十年的时间造出了第一个对数表 由于对数不仅能将乘除运算化为加減运算，而且能将乘方、开方运算化乘除运算，一下子将人们从繁复的计算中解放出来，无异于成倍地延长了科学家与工程技术人员的寿命. 法国数学家、天文学家拉普拉斯（P.-S. Laplace）曾说过：“对数的发明让天文学家的寿命都延长了，因为少做了很多苦工” 恩格斯曾经将解析几何、对数及微积分并列为最重要的数学方法. 4 【问题1】求方程的实数解 引入课题 假设：，保证对所有的实数x， 都有意义 【问题2】当，还要附加什么条件，才能使方程的解存在且唯一？ 1) ，且 保证不会恒等于1 2) ，因为当时， 为正数，保证方程有解 在，且，只要，方程有解 【问题3】证明：当，，且，方程解唯一。 引入课题 反证法：假设方程有两个不同的实数解、 不妨设 ， 且，两式相除，得①， 由假设 ，若，由幂的基本不等式， ，与①矛盾； 若，则，由幂的基本不等式，即，与①矛盾； 所以假设不成立，即当，，且，方程解唯一。 对数的定义 在且的条件下，唯一满足的数，称为以为底的对数（logarithm），并用符号表示，而称为真数. 对数的定义 底 指数 对数 幂 真数 【问题4】 是数值还是算式？ 对数的定义 符号既是个数值，也是个算式。当把它视为算式时，它表示已知底数和在某一指数下的幂，求指数的算式。 【问题5】 为使有意义，和应满足怎样的条件？ 对数的底 【问题6】 时，下列算式有没有意义？如果有意义，请求出算式的值；如果没有意义，请说明理由。 ； ； ； 对数的定义 0和负数没有对数，前3个算式没有意义； 因为所以；因为所以 【问题7】 ： () 对数的定义 证明：由对数的定义，对数这个记号表示满足方程的唯一确定的,因此 【问题8】 设正数满足，求证. 对数的定义 证明： 根据得， 因为，即 以10为底的对数称为常用对数（common logarithm），通常记为lgN. 常用对数与自然对数 以无理数e（e的值约为2.71828…）为底的对数称为自然对数（natural logarithm），通常记为. 例1 求下列各式的值： （1）; （2） （3） 课堂练习 解：（1）因为， =3; （2）因为= （3）因为 例2 求下列各式中的值： （1）; （2） （3） 课堂练习 解：（1）=; （2） = （3） = 例2 求下列各式中的值： （4）; （5） 课堂练习 解：（4）因为，; （5） 得, 例3 求下列各式中的取值范围： （1）; （2） 课堂练习 解：（1） ; （2） 取值范围为; 例4 求下列各式的值： （1） （2） （3） 课堂练习 解：（1） （2） （3） 教材P72 练习3.2（1） 课堂练习 19 课堂小结 对数的意义 常用对数 自然对数 20 对数和幂的转化 底和真数的 取值范围 𝑎log𝑎𝑁=𝑁 (𝑎>0且𝑎≠1) 课后作业 基础练习 《双基》P59/1-9,11-14 能力拓展（选做） P60/15 21 $