精品解析：北京市房山区2025-2026学年高一上学期学业水平调研（一）数学试卷

北京市房山区2025-2026学年高一上学期学业水平调研（一）数学试卷 本试卷共4页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在的区间（ ） A. B. C. D. 6. 设，则是的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知是奇函数，且在上单调递减，则（ ） A B. C. D. 8. 已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 如图（1），四边形为直角梯形，，动点从点出发，由沿边运动，设点运动的路程为的面积为．若的图象如图（2）所示，则的面积为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 24 10. 设全集，集合A，B是的子集，若，则称为优集（如：若，则是一个优集；若，则不是优集），那么所有优集的个数为（ ） A. 15 B. 24 C. 27 D. 32 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 函数定义域为___________． 12. 已知函数，则___________；若，则___________． 13. 若是一元二次方程的两个根，则的值为___________的值为___________． 14. 已知集合．用列举法表示集合，则___________；若，则的取值范围是___________． 15. 设是任意整数，且，能够说明“若，则”是假命题的一组的值依次为___________． 16. 已知函数，给出下列四个结论： ①当时，在定义域上是增函数； ②当时，的单调递减区间为； ③存在实数，使得函数是偶函数； ④若方程有三个不等的实根，则． 其中正确结论序号为___________． 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知全集为，集合，，． （1）求； （2）求； （3）若，求的取值范围． 18. 已知函数． （1）判断函数奇偶性，并证明你的结论； （2）依据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数； （3）直接写出函数的值域． 19. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）当时，求不等式的解集； （3）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 20. 为改善学生进行体育活动的环境，学校要建造体育馆．在建造体育馆时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为20年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是3万元．每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）的函数关系是（，为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为2.5万元．20年的总维修费用为15万元．记为20年的总费用（总费用＝隔热层的建造成本＋使用20年的能源消耗费用＋使用20年的总维修费用）． （1）求的解析式； （2）当隔热层的厚度为多少厘米时，20年的总费用最小，并求出最小值． 21. 设集合为正整数集的非空子集，对于任意，定义运算，若所有这些运算结果构成的集合记为，则称为集合的倍差集． （1）当时，写出集合的倍差集； （2）设集合，若其倍差集中恰好有两个元素，求的值； （3）若是由4个正整数构成的集合，求其倍差集中元素个数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市房山区2025-2026学年高一上学期学业水平调研（一）数学试卷 本试卷共4页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，再利用交集的定义直接求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：A 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以为：. 故选：B 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A. 利用反比例函数的性质判断；B. 利用二次函数的奇偶性判断；C. 利用幂函数的性质判断；D. 利用奇函数定义及单调性判断. 【详解】A. 由反比例函数的单调性得在上递减，故错误； B. 因为定义域为，满足，所以函数是偶函数，故错误； C. 由幂函数的定义域为不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，故错误； D. 因为满足，所以函数是奇函数，且根据一次函数的单调性得函数在区间上单调递增，故正确； 故选：D 4. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】举例说明判断AD；利用不等式性质判断BC. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：B 5. 函数的零点所在的区间（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定函数，构造函数并确定单调性，利用零点存在性定理推理判断. 【详解】函数的定义域为，而， 当时，，令函数， 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 又， 因此函数的零点在上，所以函数的零点在上. 故选：C 6. 设，则是的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】，所以是的充分条件； 令，则，但不成立， 所以是的充分而不必要条件. 故选：A. 7. 已知是奇函数，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据是奇函数及在上的单调性，逐项判断，即可求解. 【详解】因为是奇函数，且在上单调递减， 对于A，因为是奇函数，得，故A错误； 对于B，因为是奇函数，，不确定正负，故B错误； 对于C选项，因为是奇函数，故， 又在上单调递减，故，所以，故C错误，D正确； 故选：D 8. 已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合二次函数、反比例函数的单调性列式求出范围. 【详解】由函数是上的单调函数， 得函数在上单调递减，则在上单调递减， 因此，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C 9. 如图（1），四边形为直角梯形，，动点从点出发，由沿边运动，设点运动的路程为的面积为．若的图象如图（2）所示，则的面积为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据图（2）可知，，，，进而求得，再计算面积即可. 【详解】解：当点从点出发运动到点的过程中，面积随着点的运动路程线性增加， 所以，由图（2）可知，这段路程为，即， 同理，当从点运动到点的过程中，面积保持不变， 由图（2）知，这段路程为，即， 当从点运动到点的过程中，面积随着点的运动路程线性减少， 由图（2）知，这段路程为，即， 所以，在直角梯形中，过作于，则四边形是矩形， 所以， 所以，在中，易得，即 所以，的面积为 故选：B 10. 设全集，集合A，B是的子集，若，则称为优集（如：若，则是一个优集；若，则不是优集），那么所有优集的个数为（ ） A. 15 B. 24 C. 27 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的定义，分析并确定元素所属集合情况，即可列式计算得解. 【详解】依题意，元素1同时属于集合和集合，元素中每个元素不能同时属于集合和属于， 因此中每个元素只能属于集合中的一个， 即中每个元素有3种选择情况，则它们共有种选择情况， 所以所有优集的个数为27. 故选：C 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 函数的定义域为___________． 【答案】且 【解析】 【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组求解即可． 【详解】根据题意得，，解得且， 所以函数的定义域为且． 故答案为：且． 12. 已知函数，则___________；若，则___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，分段判断代入列式计算得解. 【详解】函数，则； 当时，由，得，则， 当时，由，得，解得，不满足，舍去 所以. 故答案为：； 13. 若是一元二次方程的两个根，则的值为___________的值为___________． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算得解. 【详解】由是一元二次方程的两个根，得， 所以. 故答案为：；6 14. 已知集合．用列举法表示集合，则___________；若，则的取值范围是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出方程的根并用列举法表示集合，再利用给定交集的结果列式求解. 【详解】解方程，得或，因此； 由，得或，即或， 解得或，因此，所以的取值范围是. 故答案为：； 15. 设是任意整数，且，能够说明“若，则”是假命题的一组的值依次为___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接举反例即可，答案不唯一. 【详解】取，则，而， 所以可验证该命题为假命题. 故答案为：（答案不唯一） 16. 已知函数，给出下列四个结论： ①当时，在定义域上是增函数； ②当时，的单调递减区间为； ③存在实数，使得函数是偶函数； ④若方程有三个不等的实根，则． 其中正确结论的序号为___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，画出时的函数图象，得到①正确；对于②，画出函数图象，得到②正确；对于③，由函数奇偶性的定义得不存在实数，使得函数是偶函数，③错误；对于④，分别考虑，和三种情况，数形结合得到答案. 【详解】对于①，当时，， 的定义域为R，且画出的图象如下， 显然在定义域上是增函数，①正确； 对于②，， 其中的开口向上，对称轴为， 开口向下，对称轴也为， 当时，画出的图象，如下： 则的单调递减区间为，②正确； 对于③，定义域为R，其中， 无论取何值，均不能使恒成立，即不能恒成立， 不存在实数，使得函数偶函数，③错误； 对于④，当时，由①知，与只有1个交点， 方程只有1个实根，不合要求； 当时，由②知，与只有1个交点， 方程只有1个实根，不合要求； 当时，画出的图象如下： 要想方程有三个不等的实根，则，又， 解得，④正确． 故答案为：①②④ 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知全集为，集合，，． （1）求； （2）求； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或. （3） 【解析】 【分析】（1）解不等式得到集合，由集合的并集求得结果； （2）由补集的定义即可求得结果； （3）由交集结果得到集合之间的关系，即可得到的取值范围. 【小问1详解】 ∵，∴，即， ∴. 【小问2详解】 或. 【小问3详解】 ∵，∴， ∴， 即. 18. 已知函数． （1）判断函数奇偶性，并证明你的结论； （2）依据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数； （3）直接写出函数的值域． 【答案】（1）是偶函数；证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定义验证可得； （2）任取，且，作差验证可证； （3）直接由函数的单调性可得. 【小问1详解】 是偶函数，证明如下： 的定义域为，，得证. 【小问2详解】 任取，且， 则， 因为，则，则，即， 所以函数在上是减函数. 【小问3详解】 因为的定义域为，且， 所以由函数单调性可得函数的值域为. 19. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）当时，求不等式的解集； （3）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）最大值为，最小值为； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质直接求解即可； （2）直接解不等式即可得答案； （3）将问题转化为对任意实数恒成立，进而分类讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，函数， 因为，所以，由二次函数的性质知，当时，有最小值；当时，有最大值， 所以，当时，函数在上的最大值和最小值分别为和. 【小问2详解】 当时，函数， 所以，不等式的解集即为的解集， 因为，解得或， 所以，当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 因为对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 所以，对任意实数恒成立， 当时，，解得，不满足题意； 当时，对任意实数恒成立等价于， 即：，解得 综上，实数的取值范围为 20. 为改善学生进行体育活动的环境，学校要建造体育馆．在建造体育馆时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为20年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是3万元．每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）的函数关系是（，为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为2.5万元．20年的总维修费用为15万元．记为20年的总费用（总费用＝隔热层的建造成本＋使用20年的能源消耗费用＋使用20年的总维修费用）． （1）求的解析式； （2）当隔热层的厚度为多少厘米时，20年的总费用最小，并求出最小值． 【答案】（1），； （2）当隔热层的厚度为厘米时，20年的总费用最小，最小费用为33万元. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到方程，求出，从而得到，并求出的解析式； （2）在（1）的基础上，变形后由基本不等式求出最值，得到答案. 【小问1详解】 由题意得，当时，，解得， 所以，故，； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当隔热层的厚度为厘米时，20年的总费用最小，最小费用为33万元. 21. 设集合为正整数集的非空子集，对于任意，定义运算，若所有这些运算结果构成的集合记为，则称为集合的倍差集． （1）当时，写出集合的倍差集； （2）设集合，若其倍差集中恰好有两个元素，求的值； （3）若是由4个正整数构成的集合，求其倍差集中元素个数的最小值． 【答案】（1）； （2）1或8； （3）4. 【解析】 【分析】（1）根据倍差集的定义，列举所有满足条件的数对并计算结果，再利用集合中元素的互异性去重； （2）根据与2、4的大小关系分类讨论，计算所有可能的，通过“倍差集元素个数为2”建立方程，结合集合中元素的互异性筛选； （3）通过构造特殊集合使结果尽量重复，结合倍差集的定义证明最少元素个数. 【小问1详解】 根据倍差集的定义，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 由集合中元素互异性，可得. 【小问2详解】 已知，由集合中元素的互异性可知，且， 当时，的可能取值为1或3. 当时，，，，， 此时，满足倍差集中恰好有两个元素，故； 当时，，，，， 此时，不满足倍差集中恰好有两个元素，故； 当时，根据，得，，. 由于且，所以且，且， 因为倍差集中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时，满足倍差集中恰好有两个元素，故， 综上，若其倍差集中恰好有两个元素，则的值为1或8. 【小问3详解】 设，，. 根据，，则，，，，，. 不妨设，则，，，，，， 由集合中元素的互异性，可得，元素个数为4. 下证元素个数不少于4： 将，，，，，， 这6个值分别记为：，，，，，. 从而有：，即，，即. 因此，即，，已经是严格递增的三个数，它们已经占用了3个不同的值， 如果倍差集中只有3个元素，那么，，必须在中取值，且不能引入新的数. 先看： 若，则，即； 若，则，即，与假设矛盾； 若，则，即，显然矛盾 因此，此时. 再看： 若，则，即，与矛盾； 若，则，即； 若，则，即，而，则，与矛盾； 因此，此时，即. 最后看， 将代入，可得， 若，则，即，与矛盾； 若，则，即，与矛盾； 若，则，即，而，则，与矛盾. 所以无论如何，都不能在中取值，即一定是不同于的第四个数. 因此倍差集中元素个数的最小值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $