精品解析：北京市房山区2024-2025学年高一上学期期中学业水平调研数学试题

房山区2024—2025学年度第一学期期中学业水平调研 高一数学 本试卷共4页，150分，考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存. 第一部分（选择题共50分） 一､选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，.则为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减是（ ） A. B. C. D. 5. 已知且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（ ） A. B. C. D. 9. 已知且，，则、大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 10. 已知定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共100分） 二､填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 已知函数，则= 12. 已知，则的取值范围是______. 13. 已知，使“若且，则”为假命题的一组实数的值为______，______. 14 已知，集合，且，则__________. 15. 函数的值域为__________. 16. 已知函数，当时，的最小值是__________；若存在最小值，则实数的取值范围是__________. 三､解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知全集，集合. （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围. 18. 已知关于一元二次方程. （1）当时，设方程的两个实根分别为，求代数式的值； （2）若该方程有两个正实根，求实数的取值范围. 19. 某小区计划利用其一侧原有墙体，建造一个高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的值班室，由于值班室的后背靠墙，无需建造费.因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体（包括门窗所占面积）每平方米元，左､右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元，设屋子的左､右两面墙的长度均为米，总造价为元. （1）写出与的函数关系式，并注明函数定义域； （2）当左､右两面墙长度为多少米时，甲工程队的报价最低？并求出最低报价. 20. 已知函数. （1）当时，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求关于的不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 21. 对于任意的，记集合，，若集合满足下列条件：① ；② ，且，不存在，使，则称具有性质．如当时，，，，且，不存在，使，所以具有性质． （1）写出集合，中的元素个数，并判断是否具有性质． （2）是否存在、具有性质，且，使，若存在请求出、，若不存在请说明理由． （3）若存在、具有性质，且，使，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 房山区2024—2025学年度第一学期期中学业水平调研 高一数学 本试卷共4页，150分，考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存. 第一部分（选择题共50分） 一､选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的运算法则直接求解. 【详解】由于集合，， 所以， 故选：. 2. 设命题，.则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可. 【详解】因为命题，， 所以为：， 故选：. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，列出使得函数有意义不等式，求解即可. 【详解】要使得函数有意义，则，解得，故定义域为. 故选：C. 4. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐个分析每个函数的奇偶性和单调性，即可判断和选择. 【详解】对A：在上单调递增，故A错误； 对B：令，则，且其定义域为，故其为偶函数， 又在上单调递减，故B正确； 对C：二次函数的对称轴为，故其不是偶函数，C错误； 对D：令，则，且其定义域为，故其为奇函数，故D错误. 故选：B 5. 已知且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法，以及不等式的性质，即可判断. 【详解】A.由，，，，所以，故A错误； B. 由，所以，故B错误； C. 由，所以，则，故C错误； D.由A可知，，又，所以，故D正确. 故选：D 6. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据零点存在定理说明． 【详解】解：因为， 所以， 故选：C. 【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题． 7. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先求解分式不等式，再根据集合的包含关系，判断选项. 【详解】，解得：， 集合， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 8. 果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，直接列式，根据题意求x的最小值和最大值，得到x的取值范围. 【详解】由题意可知函数关系式是， 由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是. 故； 故选:C. 9. 已知且，，则、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】由作差法比较大小. 【详解】已知.则， 所以， ，因此，. 故选:C. 10. 已知定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的图象，分析函数的单调性，将所求不等式变形为，再由函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则， 又当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数在上为增函数， 由可得， 所以，，解得， 因此，不等式的解集为. 故选：B. 第二部分（非选择题共100分） 二､填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 已知函数，则= 【答案】3 【解析】 【分析】取，代入，即可求解. 【详解】取代入，得. 故答案为：3 【点睛】本题考查了已知函数解析式来求函数值，属于基础题. 12. 已知，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质，求得的范围，再求的范围即可. 【详解】因为，故可得，又，则， 即的范围为. 故答案为：. 13. 已知，使“若且，则”为假命题的一组实数的值为______，______. 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】利用不等式性质，分析使得该命题为假命题的满足的条件，再取一组值即可. 【详解】根据题意，若，则，又，则， 故要说明该命题为假命题，则只需即可， 也即在的前提下，满足的均可； 故可取，（答案不唯一）. 故答案为：，，（答案不唯一）. 14. 已知，集合，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合集合相等分析求解即可. 【详解】因为，显然， 则，即，可得， 此时，可得，所以. 故答案为：. 15. 函数的值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质即可求出函数的值域 【详解】因为，所以，故函数的值域为. 故答案为：. 16. 已知函数，当时，的最小值是__________；若存在最小值，则实数的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，写出函数的解析式，结合分段函数的性质可求得函数的最小值； 分、、三种情况讨论，分析函数的单调性由条件列不等式，可求的取值范围. 【详解】（1）当时，， 若，则；当时，， 故当时，函数的最小值为； （2）由上可知，当时，函数存在最小值； 当时，函数在上单调递增， 此时， 则函数不存在最小值； 当时，函数在上单调递减，此时， 若且时，则，由题意可得，解得， 此时，； 若且时，函数在上单调递增，则， 由题意可得，即，该不等式无解 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用分段函数存在最值求参数的取值范围，解题的关键在于分析函数的单调性，求出每段函数的最值或值域，再由最值的大小构建不等式（组）求解. 三､解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知全集，集合. （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或. （2） 【解析】 【分析】（1）首先求集合，再求集合的运算； （2）根据子集关系，比较端点值，即可求解. 【小问1详解】 由题意，集合或， 又因为，所以. 因为全集，所以或. 【小问2详解】 因为， 所以或，即或. 所以实数的取值范围为. 18. 已知关于的一元二次方程. （1）当时，设方程的两个实根分别为，求代数式的值； （2）若该方程有两个正实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用根与系数的关系，求得，即可求得结果； （2）列出满足题意的不等式，求解即可. 【小问1详解】 因为当时，方程的两个实根分别为， 所以. 所以. 【小问2详解】 设方程的两个正实根分别为，则 ，即，解得. 所以实数的取值范围为. 19. 某小区计划利用其一侧原有墙体，建造一个高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的值班室，由于值班室的后背靠墙，无需建造费.因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体（包括门窗所占面积）每平方米元，左､右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元，设屋子的左､右两面墙的长度均为米，总造价为元. （1）写出与的函数关系式，并注明函数定义域； （2）当左､右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？并求出最低报价. 【答案】（1） （2）当左､右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为14400元 【解析】 【分析】（1）由题意可得屋子前面新建墙体长为米，进而可得函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 由题意可知，总造价为元，左､右两面墙的长度均为米， 则屋子前面新建墙体长为米. 则. 所以. 【小问2详解】 因为， 所以. 当且仅当，即时，等号成立， 所以当左､右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为元. 20. 已知函数. （1）当时，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求关于的不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）偶函数，理由见解析 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶函数的定义，即可说明； （2）首先将不等式因式分解，再讨论两根的关系，即可求解不等式； （3）首先不等式参变分离为，转化为求最值问题，方法一，换元后，利用基本不等式求最值，方法二，不换元，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 当时，是偶函数. 因为的定义域为，关于原点对称， 且， 所以是偶函数. 【小问2详解】 由，得， 所以. 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 因为“在区间上恒成立”等价于“在上恒成立”，所以. 方法1： 令，则. 因为，当且仅当，即时，取等号. 所以时取等号. 所以，所以， 所以实数的范围是. 方法2：，， 因为，当且仅当，即时，取等号. 所以. 所以. 所以实数的范围是. 21. 对于任意的，记集合，，若集合满足下列条件：① ；② ，且，不存在，使，则称具有性质．如当时，，，，且，不存在，使，所以具有性质． （1）写出集合，中的元素个数，并判断是否具有性质． （2）是否存在、具有性质，且，使，若存在请求出、，若不存在请说明理由． （3）若存在、具有性质，且，使，求的最大值． 【答案】（1），中的元素个数分别为9，14，不具有性质． （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知条件能求出集合，中的元素个数，并判断出不具有性质． （2）假设存在，具有性质，且，使．其中，2，3，，，从而，由此推导出与具有性质矛盾．从而假设不成立，即不存在，具有性质，且，使． （3）当时，不存在，具有性质，且，使．，根据、、分类讨论，能求出的最大值为14． 【小问1详解】 解： 对于任意的，记集合，2，3，，，．当时，； 当时，，集合，中的元素个数分别为9，， 集合满足下列条件：①；②，，且，不存在，使，则称具有性质， 因为，，，，不符合题意， 不具有性质． 【小问2详解】 证明：假设存在，具有性质，且，使．其中，2，3，，． 因为，所以， 不妨设．因为，所以，． 同理，，．因为，这与具有性质矛盾． 所以假设不成立，即不存在，具有性质，且，使． 【小问3详解】 解：因为当时，，由（2）知，不存在，具有性质，且，使． 若，当时，， 取，2，4，6，9，11，，，5，7，8，10，12，， 则，具有性质，且，使． 当时，集合中除整数外，其余的数组成集合为， 令，， 则，具有性质，且，使． 当时，集中除整数外，其余的数组成集合， 令，． 则，具有性质，且，使． 集合中的数均为无理数， 它与中的任何其他数之和都不是整数， 因此，令，，则，且． 综上，所求的最大值为14． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$