专题03 与圆有关的计算问题（专项训练）数学鲁教版五四制九年级下册

专题03 与圆有关的计算问题（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、正多边形与圆的相关计算（常考点） 1 题型二、利用弧长公式求解（常考点） 1 题型三、利用扇形的面积公式求解（常考点） 3 题型四、求不规则图形的面积（难点） 5 题型五、圆锥的相关计算 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、正多边形与圆的相关计算（常考点） 1．（24-25九年级下·山东德州·期中）如图，、分别是某圆内接正六边形、正五边形的一边，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川南充·一模）如图，正五边形内接于，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，在正八边形中，连接，，，H，与交于点．则下列说法错误的是（） A． B． C．点关于的对称点在上 D． 4．（24-25九年级上·山东济宁·期末）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（   ） A． B． C． D．6 5．（24-25九年级上·山东烟台·期末）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．也就是说通过作圆内接正多边形割圆，来计算圆周率，正多边形的边数越多所得到的圆周率精确度越高．下图就是从正六边形开始割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．这样再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为，先计算图1中圆内接正六边形的周长，根据正六边形与圆的周长近似相等，可计算出．接下来根据图2圆的内接正十二边形计算圆周率，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级下·山东滨州·期中）中国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位．刘徽提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，由此求得圆周率的近似值．例如：设半径为r的圆内接正n边形的周长为C，圆的直径为d，如图，当时，，当时，   ．（结果精确到0.01，参考数据：，） 题型二、利用弧长公式求解（常考点） 7．（24-25九年级上·山东临沂·期末）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，，分别与相切于点，，延长，交于点，若的半径为3，，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·山东东营·期末）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为点O，点C，D分别在，OB上，已知消防车道半径，消防车道宽，，则弯道外边缘的长与内边缘的长的差为（　　） A． B． C． D． 9．（2022九年级·全国·专题练习）如图，从一块直径是2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是（    ） A．m B．m C．m D．2m 10．（2024·甘肃兰州·中考真题）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 11．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是 （结果用含π的式子表示）．    12．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如下图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标． (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留） 13．（23-24九年级上·湖北·周测）如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点．    解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆的圆心的位置，点的坐标为__________ (2)求的长．（结果保留） 14．（22-23九年级上·山西阳泉·期末）“十一”期间，王红与家人开车去乡下看望爷爷和奶奶．她看到汽车尾部自动升起的后备箱，于是根据实际情况画出了相关的示意图．图1是王红家私家车侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，图2是在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置的示意图；王红测得厘米，厘米，厘米．根据王红提供的信息解答下列问题： (1)求点到的距离； (2)求点E运动的距离． 15．（22-23九年级上·山东聊城·期中）如图，是等边三角形，曲线叫做“等边三角形的渐开线”，曲线的各部分均为圆弧．设的边长为厘米，求前段弧长的和（即曲线的长）是多少厘米？ 题型三、利用扇形的面积公式求解（常考点） 16．（24-25九年级上·山东德州·期末）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂，乐陵市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）． A． B． C． D． 17．（2023·云南昆明·一模）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积是（   ） A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，正五边形 的边长为 ，以为边作等边，以A为圆心，长度 为半径画，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 19．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，点是与坐标轴三个交点，是上动点（包括端点和），于点．半径为2，．点从到运动中，线段扫过面积是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，点A，B，C是上的点，将点C沿着所在直线折叠，刚好与点O重合．若四边形的面积为，则阴影部分的面积为 （结果保留π） 22．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为 ． 题型四、求不规则图形的面积（难点） 23．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点（不与，重合），交于点．以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在等腰中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 25．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在半径为4的半圆O中，为直径，C是半圆上的一点，且，D为弧的中点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 26．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，在扇形中，，，以为直径作半圆，圆心为点，过点作的平行线分别交两弧点、，则阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 27．（24-25九年级下·山东威海·期中）如图，在中，直径，C是圆上一点，将弧沿折叠，折叠后的弧恰好经过点O，则图中阴影部分的面积为 ． 28．（2020·贵州黔西·中考真题）如图，在中，，，，D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，点C恰在弧上，则图中阴影部分的面积为 ． 29．（24-25九年级上·山东济宁·期末）如图，等腰的直角边长为4，以A为圆心，直角边为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧与、围成的阴影部分面积为，再以A为圆心，为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧与、围成的阴影部分面积为，，按此规律继续作下去，则得到的阴影部分的面积 ． 30．（2025·山东潍坊·一模）如图，内接于，为的直径，的平分线交于点D，交于点E，过点C作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：为的切线； (2)已知，求阴影部分的面积． 31．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交轴于点，连接． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)根据图象，直接写出时的取值范围； (3)求弧的长及图中阴影部分的面积之和． 32．（24-25九年级上·山东日照·期中）（1）课本再现：如图1，是的两条切线，切点分别为A，B．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）知识应用：如图2，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M，交于点E，过点M作交于N． ①求证：是的切线； ②当时，求的半径及图中阴影部分的面积． ． 33．（2024·山东济南·模拟预测）综合与实践：某数学兴趣小组计划设计一款美丽的“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数图象上．以点为顶点，为边构造菱形；轴于点，且是的中点，连接；以点为圆心，为半径作弧． (1)求反比例函数的表达式； (2)求出图案中阴影部分的面积； (3)若点的坐标为，连接，在反比例函数的图象上找一点，在坐标平面内找一点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形，求出点的坐标． 34．（23-24九年级上·山东威海·期末）（1）请用尺规过外一点P做的一条切线，切点为D．（保留做图痕迹） （2）如图，与相切于点，直径的延长线与交于点，点是劣弧上一点，的延长线与的延长线交于点，且分别交于点．依次连接交于点． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②求证：； ③若，求； ④若半径为，则阴影部分面积为______（结果保留） 题型五、圆锥的相关计算 35．（24-25九年级下·山东青岛·期末）如图所示，已知圆锥的母线长，底面圆的半径为，一只小虫从圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处．则小虫所走的最短路程为（    ） A． B． C． D． 36．（24-25九年级上·山东威海·期末）在中，，，，将绕直角边所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 37．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 38．（2023·河北保定·模拟预测）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（   ） A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺 39．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 40．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，有一张半径为的圆形制片，打算从这张纸片上裁剪出一个扇形，用它制作圆锥的侧面，再用剩下的部分剪出一个最大的圆，作为这个圆锥的底面，则制作出的圆锥的表面积为 （结果保留）． 41．（24-25九年级上·山东威海·期末）若一个圆锥侧面展开图的面积是，母线长为5，则此圆锥的高是 ． 42．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为 °． 43．（24-25九年级上·山东烟台·期末）有一直径为的圆形纸片，要从中剪出一个最大的圆心角是的扇形（如图）． (1)求被剪掉的阴影部分的面积； (2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ (3)求圆锥的全面积． 44．（21-22九年级上·山东日照·期中）如图，从一直径为1米的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90度的最大扇形ABC．求： (1)剪掉后的剩余部分的面积； (2)用所剪得的扇形ABC围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？ (3)如果从剪掉的部分中给圆锥配一个底，请问是否够用？ 45．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数． 【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题： （1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）． ②原题中 ． 【深入思考】： （2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明． （3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）． （4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．    46．（24-25九年级下·福建宁德·期中）夜晚，小明与爸爸在江边散步，看见白天通透的彩虹桥侧面竟然呈现出一幅美丽的画面（如图1），爸爸告诉他，其实那是一幅由彩色灯组成的动感大屏．他很好奇：这个屏有多大？由多少个灯组成？于是展开了如下探究： 【信息收集】 经了解与测量，小明知道：彩虹桥的拱架呈圆弧形，它在桥面上跨度为，拱高为．在拱架与桥面之间每间隔拉一条垂直于桥面的灯带，灯带上每间隔装一个灯． 【图形认识】 小明根据收集到的信息绘制了如图2所示的彩虹桥示意图，其中：半径弦，垂足为，弦，． （1）求的度数和的半径；（精确到整数值，参考数值：，，） （2）求屏（即阴影部分）的面积；（取3.14） 【问题解决】 （3）小明认为要估计灯的数量，可以先估计灯带的长度．受统计中用“组中值”代替“真实值”估算方法的启示，小明给出如下估算方案： ①用点和点处灯带长的平均值代替所有灯带的长度； ②由弦的长和相邻灯带的间隔距离，估计灯带总数量为1600条； ③所以，可以估计灯的数量为________个； （4）请聪明的你给出一种更优化的估算方案，并求出相应灯的数量． 47．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）有一张半径为2的圆形纸片． (1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则的大小是______；在上任取一点C（异于A，B），则的大小是______； (2)如图（2），将纸片沿一条弦翻折，使其劣弧恰好经过圆心O，作出直径，则图中阴影部分的面积是______； (3)如图（3），是的直径，将劣弧沿弦翻折，交于点D，再将劣弧沿直径翻折，交于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧的中点，求图中阴影部分的面积．   48．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．    (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 49．（22-23九年级上·江苏镇江·期中）如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点． (1)求证：与相切； (2)过点B作的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？ 50．（20-21九年级上·江苏·阶段练习）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，一段圆弧经过网格的交点为A、B、C． (1)在图中标出该圆弧所在圆的圆心D，连接． (2)在（1）的基础上，完成下列填空： ①写出点的坐标：C______、D______； ②的半径是______结果保留根号； ③若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积（结果保留）． 51．（24-25九年级上·河北·期末）如图，在中，，，O是边上的点，与相切，切点为D，与相交于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)的半径为_________；与相交于点M，求阴影部分的面积； (3)F为上的一个动点（不与点D，E重合），过点F作的切线，分别与边，交于点G，H，连接，．嘉淇认为：随着点F位置的变化，的度数不变．请你判断他说得是否正确，并说明理由； (4)在（3）的条件下，设（），，直接写出y与x之间满足的函数关系． 52．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）如图1，一扇门，宽度，A到墙角的距离，设，A，在一条直线上，门打开后被与门所在墙面垂直的墙阻挡，边靠在墙的位置． (1)求的度数； (2)打开门后，门角上的点在地面扫过的痕迹为弧，设弧与两墙角线围成区域（如图的面积为，求的值 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 与圆有关的计算问题（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、正多边形与圆的相关计算（常考点） 1 题型二、利用弧长公式求解（常考点） 1 题型三、利用扇形的面积公式求解（常考点） 8 题型四、求不规则图形的面积（难点） 15 题型五、圆锥的相关计算 20 B综合攻坚・能力跃升 题型一、正多边形与圆的相关计算（常考点） 1．（24-25九年级下·山东德州·期中）如图，、分别是某圆内接正六边形、正五边形的一边，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理的应用，如图，记外接圆的圆心为，连接，，，求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，记外接圆的圆心为，连接，，， ∵，分别是某圆内接正六边形、正五边形的一边， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 2．（2025·四川南充·一模）如图，正五边形内接于，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的中心角、圆心角与弧的关系、圆周角定理，熟练掌握圆心角与弧的关系是解题关键．连接，先求出，再求出，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于， ∴， ∴的度数为， ∵点为的中点， ∴的度数为， ∴， 由圆周角定理得：， 故选：C． 3．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，在正八边形中，连接，，，H，与交于点．则下列说法错误的是（） A． B． C．点关于的对称点在上 D． 【答案】D 【分析】根据正八边形的性质得到，得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，求得，得到点与点关于点对称，根据圆周角定理得到，都是的直径，求得，根据勾股定理得到，故可判断；在上截取，连接，则、，求得，得到，得到，于是得到，故可判断B；作于点，则，过作于并延长交，设，由 ，得到，求得，根据相似三角形的性质得到 ，推出点关于的对称点在上，故可判断C；根据矩形的面积公式得到,，于是得到，故可判断D． 【详解】解：解：正八边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 点与点关于点对称， 为正八边形的中心，即正八边形的外接圆的圆心， 都是的直径， ， ， ， 故A正确，不符合题意； 在上截取，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， 故B错误，符合题意； 作于点，则，过作于并延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于的对称点在上， 故C正确，不符合题意； ，则， ， 四边形是矩形， ， ， 故D正确，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形的性质，正多边形的内角、中心角，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，多边形的面积和梯形的面积等知识点,解题的关键是掌握正多边形的性质． 4．（24-25九年级上·山东济宁·期末）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】连接，，交于，求出中心角，得到为等边三角形，根据垂径定理推论得到，，则，那么，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，交于， 六边形是的内接正六边形， ，，， ∴为等边三角形， ，， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ， ， ， 故选：C． 【点睛】】本题考查正多边形与圆，垂径定理及其推论，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5．（24-25九年级上·山东烟台·期末）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．也就是说通过作圆内接正多边形割圆，来计算圆周率，正多边形的边数越多所得到的圆周率精确度越高．下图就是从正六边形开始割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．这样再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为，先计算图1中圆内接正六边形的周长，根据正六边形与圆的周长近似相等，可计算出．接下来根据图2圆的内接正十二边形计算圆周率，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆的综合，熟练掌握圆内接正多边形的相关计算是解题的关键． 先求出圆内接正十二边形的中心角，然后求出，，在中，求出，，进而求出圆内接正十二边形的周长，然后根据即可得出答案． 【详解】解：十二边形是圆内接正十二边形， ， ，， ，，， 在中，， ， ， 圆内接正十二边形的周长， ， 故选：． 6．（23-24九年级下·山东滨州·期中）中国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位．刘徽提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，由此求得圆周率的近似值．例如：设半径为r的圆内接正n边形的周长为C，圆的直径为d，如图，当时，，当时，   ．（结果精确到0.01，参考数据：，） 【答案】3.12 【分析】本题主要考查了正多边形和圆以及解直角三角形的运用，圆的内接正二十边形被半径分成顶角为的二十个等腰三角形，作辅助线构造直角三角形，根据中心角的度数以及半径的大小，求得，，进而得到答案． 【详解】解：如图，圆的内接正二十边形被半径分成20个如图所示的等腰三角形， 其顶角为，即， 作于点H，则， ， 在中，，即， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型二、利用弧长公式求解（常考点） 7．（24-25九年级上·山东临沂·期末）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，，分别与相切于点，，延长，交于点，若的半径为3，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了切线的性质，弧长公式，连接，根据切线的性质得，进而得出，然后根据弧长公式可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8．（24-25九年级上·山东东营·期末）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为点O，点C，D分别在，OB上，已知消防车道半径，消防车道宽，，则弯道外边缘的长与内边缘的长的差为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．根据线段的和差得到，然后根据弧长公式即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴弯道外边缘的长为， 内边缘的长为， ∴弯道外边缘的长与内边缘的长的差为： ， 故选：B． 9．（2022九年级·全国·专题练习）如图，从一块直径是2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是（    ） A．m B．m C．m D．2m 【答案】A 【分析】设圆锥的底面圆半径为rm．先根据勾股定理求出扇形ABC的半径，再根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列方程求出r． 【详解】解：∵BC＝2m，AB=AC，∠BAC＝90°， ∴AB＝m， 设圆锥的底面圆的半径为rm， 根据题意得2πr＝， 解得r＝， 即圆锥的底面圆的半径为m． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，扇形，圆锥等，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，扇形的弧长公式，用扇形弧长等于圆锥底面圆的周长建立并解方程． 10．（2024·甘肃兰州·中考真题）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 【答案】108 【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：108 11．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是 （结果用含π的式子表示）．    【答案】 【分析】 本题考查了轨迹，含角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，弧长的计算，解题的关键是明确点的运动轨迹．根据旋转的性质得到点的运动路径是的长度，根据弧长公式计算即可． 【详解】 以为圆心作，如图所示，在中，， ， ()， ()， 将绕点逆时针旋转，得到， ， ， 是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转，得到， ， 点的运动路径长为()． 故答案为：．      12．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如下图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标． (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留） 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3) 【分析】本题考查坐标与图形变换-轴对称和旋转，求弧长： （1）根据轴对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （3）利用勾股定理和弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，由图可知：； （2）解：如图，即为所求，由图可知：； （3）解：由勾股定理得，， ∴的长为 ． 即旋转到点的过程中所经过的路径长为． 13．（23-24九年级上·湖北·周测）如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点．    解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆的圆心的位置，点的坐标为__________ (2)求的长．（结果保留） 【答案】(1)画图见解析， (2) 【分析】（1）由圆心在和的垂直平分线上，可得出D点的位置； （2）利用勾股定理和勾股定理证明是等腰直角三角形，则，再根据弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：∵，， ∴，， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的长． 【点睛】本题主要考查了确定圆心的位置，勾股定理，勾股定理的逆定理，坐标与图形，求弧长，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 14．（22-23九年级上·山西阳泉·期末）“十一”期间，王红与家人开车去乡下看望爷爷和奶奶．她看到汽车尾部自动升起的后备箱，于是根据实际情况画出了相关的示意图．图1是王红家私家车侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，图2是在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置的示意图；王红测得厘米，厘米，厘米．根据王红提供的信息解答下列问题： (1)求点到的距离； (2)求点E运动的距离． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 【分析】（1）过点作交于F，在中，可求得，由题意得四边形是矩形，且，从而可求得的长； （2）连接，由勾股定理求得扇形半径长，由弧长公式即可求得结果． 【详解】（1）解：过点作交于F，如图， 由旋转知，厘米 ∵，厘米， ∴在中，厘米， 由题意得四边形是矩形， ∴厘米， ∴厘米；    即点到BC的距离厘米； （2）解：连接，如图， 由题意得：， 在中，由勾股定理得：（厘米）， ∴点E运动的距离为：（厘米）．        【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，求点运动路径长等知识，把实际问题转化为数学问题是问题的关键． 15．（22-23九年级上·山东聊城·期中）如图，是等边三角形，曲线叫做“等边三角形的渐开线”，曲线的各部分均为圆弧．设的边长为厘米，求前段弧长的和（即曲线的长）是多少厘米？ 【答案】厘米 【分析】利用弧长公式计算．但要先确定弧所对的圆心角都是，半径却在不断的增大，第一次是厘米，第二次是厘米，第三次是厘米，依此下去第五次是厘米，总和就是把段弧加起来． 【详解】解：前段弧长的和（即曲线的长）是： （厘米）， 答：前段弧长的和（即曲线的长）是厘米． 【点睛】本题考查了弧长公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为），涉及等边三角形的性质，确定每一段弧所在圆的半径是解题的关键． 题型三、利用扇形的面积公式求解（常考点） 16．（24-25九年级上·山东德州·期末）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂，乐陵市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． 将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题． 【详解】解：由题意得：，， ∴山水画所在纸面的面积为， 故选：． 17．（2023·云南昆明·一模）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，圆锥底面圆的周长，即展开图扇形的弧长为，圆锥展开图为扇形，扇形的半径为，由扇形的面积的公式，即可求解． 【详解】解：由题意可得，圆锥展开图为扇形，扇形的半径为，圆锥底面圆的直径为， ∴圆锥底面圆的周长，即展开图扇形的弧长为， ∴展开图扇形的面积为， 故选：C ． 18．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，正五边形 的边长为 ，以为边作等边，以A为圆心，长度 为半径画，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求扇形面积，正多边形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据正五边形的性质可得，再由等边三角形的性质可得，从而得到，再由扇形面积公式计算，即可求解． 【详解】解：在正五边形中，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 故选：B． 19．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，点是与坐标轴三个交点，是上动点（包括端点和），于点．半径为2，．点从到运动中，线段扫过面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求扇形面积，直径所对的弦是圆的直径；连接，设是的中点．点在第一象限从到运动过程中，点的运动路径（轨迹）圆弧的圆心为，半径为，．根据线段扫过面积即可求解． 【详解】连接，设是的中点． ∵半径为2，． ∴， 中，； 中，． 点在第一象限从到运动过程中，点的运动路径（轨迹）圆弧的圆心为，半径为，． 线段扫过面积 20．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转的性质可得 ∴ ， 故选：C． 21．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，点A，B，C是上的点，将点C沿着所在直线折叠，刚好与点O重合．若四边形的面积为，则阴影部分的面积为 （结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查了求扇形的面积，解直角三角形，折叠的性质．先由折叠的性质求得和都是等边三角形，设与相交于点，，求得，根据菱形的面积公式列式求得，再根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知是半径的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴和都是等边三角形，四边形是菱形， 设与相交于点，， 则，， ∴， 由题意得，即， 解得（负值已舍）， ∴扇形的面积， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 22．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积．由旋转可得，，进而得到，据此解答即可求解． 【详解】解：∵是绕点旋转得到的， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴线段扫过的图形面积为， 故答案为：． 题型四、求不规则图形的面积（难点） 23．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点（不与，重合），交于点．以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四边形是正方形，得，，，所以，，以为圆心，为半径作弧，可得，，所以，然后通过勾股定理得，最后由即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， 如图，以为圆心，为半径作弧， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 24．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在等腰中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积，几何概率的计算；熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先利用扇形的面积公式求出扇形和扇形的面积，再减去的面积即可得阴影部分的面积，再进一步利用概率公式计算即可． 【详解】解：是等腰直角三角形， ， ， ∴， ∴图中阴影部分的面积是 ， ∴一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是： ， 故选：D． 25．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在半径为4的半圆O中，为直径，C是半圆上的一点，且，D为弧的中点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不规则图形的面积，涉及扇形面积公式，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，垂径定理等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，交于点H，可得，再分别求和即可． 【详解】解：连接，交于点H， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵D为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而（圆心角相等，半径相等）， ∴， ∴， ∵∵D为弧的中点，为半径， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 26．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，在扇形中，，，以为直径作半圆，圆心为点，过点作的平行线分别交两弧点、，则阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积，直角三角形的面积，含角的直角三角形，三角函数，解答问题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．连接，根据题意得出，进而得出，，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，    ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积为：   故选：A ． 27．（24-25九年级下·山东威海·期中）如图，在中，直径，C是圆上一点，将弧沿折叠，折叠后的弧恰好经过点O，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】过点作于点，则可判断点是的中点，由折叠的性质可求得，在中求出，继而得出，先求出，再求出，从而可得出阴影部分的面积． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接， 则点是的中点，由折叠的性质可得点为的中点， ， 在中，，， ，即， ， ， ， 连结， 由折叠可知， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求圆中的不规则图形面积，折叠的性质，勾股定理，含有角的直角三角形的性质等知识点，解题关键是通过作辅助线找出求阴影部分面积的方法． 28．（2020·贵州黔西·中考真题）如图，在中，，，，D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，点C恰在弧上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】过点D作于点M，作于点N，连接，由题意易证矩形为正方形，即可求出，，从而得出，．再证明，得出，最后根据和求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于点M，作于点N，连接． ∴， ∴四边形为矩形． ∵D为的中点，， ∴平分， ∴， ∴矩形为正方形． ∵， ∴，， ∴，． ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查求不规则图形的面积，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 29．（24-25九年级上·山东济宁·期末）如图，等腰的直角边长为4，以A为圆心，直角边为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧与、围成的阴影部分面积为，再以A为圆心，为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧与、围成的阴影部分面积为，，按此规律继续作下去，则得到的阴影部分的面积 ． 【答案】 【分析】由是等腰直角三角形且直角边长为可得，，由题意可得，由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，在中，根据勾股定理可得，进而可得，于是可得，同理可得，，，，，于是得解． 【详解】解：是等腰直角三角形，且直角边长为， ，， 由题意可得：， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，求不规则图形的面积，求扇形面积，三角形的面积公式，勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 30．（2025·山东潍坊·一模）如图，内接于，为的直径，的平分线交于点D，交于点E，过点C作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：为的切线； (2)已知，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，得出，结合角平分线的定义得出，由垂径定理得出，即可得证； （2）连接、，由（1）可得：，求得，，，解直角三角形得出，，再由计算即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接、， 由（1）可得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、扇形的面积计算、垂径定理、解直角三角形、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，正确地作出辅助线是解此题的关键． 31．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交轴于点，连接． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)根据图象，直接写出时的取值范围； (3)求弧的长及图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1)，点的坐标为； (2)或； (3)． 【分析】（1）将点坐标代入求反比例函数解析式，再根据点是两函数的交点列分式方程求解即可； （2）观察图象即可得解； （3）先由一次函数解析式求出，推出，过点作轴于点，结合勾股定理求出扇形的半径后即可求出弧的长，最后由阴影部分面积扇形面积面积面积进行计算即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 解得， 反比例函数的表达式为， 点是一次函数和反比例函数的交点， ， 解得，， 经检验，，是该分式方程的解， 点在第四象限， 点横坐标为， 点纵坐标为， 即． 故反比例函数的表达式是，点的坐标是． （2）解：由图象可得，时，或． （3）解：对于， 当时，；当时，， ， ， 如图，过点作轴于点， 点， ，， ， 在中，， 的长， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数图象综合判断、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、求弧长、求其他不规则图形的面积，解题关键是熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题解法． 32．（24-25九年级上·山东日照·期中）（1）课本再现：如图1，是的两条切线，切点分别为A，B．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）知识应用：如图2，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M，交于点E，过点M作交于N． ①求证：是的切线； ②当时，求的半径及图中阴影部分的面积． ． 【答案】（1）；理由见解析；（2）①见解析；②半径为， 【分析】本题主要考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等． （1）.连接和，根据切线的性质，可得，即可得出结论； （2）①根据题意求证，即可得出，即可得出答案； ②根据，求出的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案． 【详解】解：（1）；理由如下： 如图1，连接和， ∵和是的两条切线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①证明：∵分别与相切于点A、B、C， ∴分别平分， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∴， 又∵， ∴， 又∵经过半径的外端点M， ∴是的切线． ②解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的半径为． ∴， 综上所述：的半径为，图中阴影部分的面积是． 33．（2024·山东济南·模拟预测）综合与实践：某数学兴趣小组计划设计一款美丽的“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数图象上．以点为顶点，为边构造菱形；轴于点，且是的中点，连接；以点为圆心，为半径作弧． (1)求反比例函数的表达式； (2)求出图案中阴影部分的面积； (3)若点的坐标为，连接，在反比例函数的图象上找一点，在坐标平面内找一点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，反比例函数几何问题，矩形判定及性质，菱形性质及面积公式，扇形面积公式，待定系数法求一次函数解析式等． （1）根据题意把代入求出即可； （2）连接菱形的对角线，交轴于点，则轴，得到，继而求得菱形和扇形面积，继而得到本题答案； （3）设直线的表达式为，分情况讨论，当和时，待定系数法求出直线解析式即可求得本题答案． 【详解】（1）解：把代入得， 则反比例函数的表达式为； （2）解：连接菱形的对角线，交轴于点，则轴， ， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形，， ， ， 轴于点，且是的中点， ， ， ； （3）解：设直线的表达式为， 代入点和点，得：， ①当时，设直线的表达式为，代入点得， 联立， 得：（舍），， 当时，， ； ②当时，设直线的表达式为，代入点， 得：，联立，得：（舍）， 当时，， ， 综上所述，点坐标为或． 34．（23-24九年级上·山东威海·期末）（1）请用尺规过外一点P做的一条切线，切点为D．（保留做图痕迹） （2）如图，与相切于点，直径的延长线与交于点，点是劣弧上一点，的延长线与的延长线交于点，且分别交于点．依次连接交于点． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②求证：； ③若，求； ④若半径为，则阴影部分面积为______（结果保留） 【答案】（1）见详解；（2）①四边形为矩形；②见详解；③；④ 【分析】（1）连接，作的垂直平分线得到的中点，再以点为圆心，为半径作圆交于点，根据圆周角定理得到，则利用切线的判定定理可得到为的切线． （2）①根据是切线，是半径，得出，再根据圆周角定理得出，即可证明四边形为矩形． ②根据四边形为矩形，得出，证明即可证明，即可解答； ③证明再结合，证出，得出设则，在中，由勾股定理求出得出再根据，即可求解； ④连接，过O作证明再根据圆周角定理得出从而得出是等边三角形，再根据解答即可． 【详解】（1）解：如图，为所作． （2）①∵是切线，是半径， ， 是直径， ， ，， ∴四边形为矩形． ②∵四边形为矩形， ∴， ， ， ， ③， ， ， ， ， ， ， 设则， 在中，由勾股定理得， 解得：， 则 ∴ ∵ ， ④连接，过O作 ∵ ， ， 是等边三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，切线的性质和判定，平行线的性质、解直角三角形，扇形的面积，等边三角形的性质和判定，圆周角定理，矩形的性质和判定，勾股定理等知识点，掌握以上知识点是解题的关键． 题型五、圆锥的相关计算 35．（24-25九年级下·山东青岛·期末）如图所示，已知圆锥的母线长，底面圆的半径为，一只小虫从圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处．则小虫所走的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，两点之间线段最短，弧长公式，先将圆锥的侧面展开，得，，再结合弧长公式求出，运用勾股定理列式计算得，即可求出小虫所走的最短距离，即可作答． 【详解】解：圆锥的侧面展开图，如下所示： ∴， ∴ 设 ∵圆锥的母线长，底面圆的半径为， ∴ 则 解得 依题意，得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：D 36．（24-25九年级上·山东威海·期末）在中，，，，将绕直角边所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算．先根据勾股定理计算出，然后分类讨论：当将绕直角边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为4；当将绕直角边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为3，再分别根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 【详解】解：∵，，， ∴， 当将绕直角边所在直线旋转一周， 得到的几何体侧面积； 当将绕直角边所在直线旋转一周， 得到的几何体侧面积． 故选：C． 37．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设围成的圆锥的底面圆的半径为 ，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：设围成的圆锥的底面圆的半径为 ， 根据题意得， 解得， 即围成的圆锥的底面圆的半径为． 故选：B． 38．（2023·河北保定·模拟预测）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（   ） A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算以及弧长的计算，设圆锥的底面半径为尺，根据米堆底部的弧长为8尺求出底面半径，再由这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积和计算即可得出答案． 【详解】解：设圆锥的底面半径为尺， 由米堆底部的弧长为8尺，可得， 解得：， （平方尺）， 这个米堆遮挡的墙面面积为平方尺， 故选：A． 39．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积公式，根据题意得出圆锥的底面圆周长即为侧面展开图弧长，再根据，求出扇形半径，最后根据，即可求出圆心角度数． 【详解】解：∵该圆锥的底面圆周长为， ∴侧面展开图弧长， ∵侧面积为，， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴这个扇形的圆心角的度数是， 故选：D． 40．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，有一张半径为的圆形制片，打算从这张纸片上裁剪出一个扇形，用它制作圆锥的侧面，再用剩下的部分剪出一个最大的圆，作为这个圆锥的底面，则制作出的圆锥的表面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥表面积的计算，一次函数的性质，解决本题的关键是理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 设小圆的直径为x，若扇形弧长与底面圆的周长相等，则，得到，可知时，，即当底面小圆的直径恰好等于大圆的半径时，小圆与大圆的直径相切，扇形的弧长恰好与小圆的周长相配套，此时圆锥的表面积为：． 【详解】解：设小圆的直径为x， 若扇形弧长与底面圆的周长相等， 则， ∴， ∵随着的增大而增大， 且当时，， 即当底面小圆的直径恰好等于大圆的半径时，小圆与大圆的直径相切，扇形的弧长恰好与小圆的周长相配套，此时圆锥的表面积为：， 故答案为：． 41．（24-25九年级上·山东威海·期末）若一个圆锥侧面展开图的面积是，母线长为5，则此圆锥的高是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了求圆锥的高，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键． 先通过侧面积公式求出底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径是，依题意，， ∴． ∴， 故答案为：4． 42．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查了根据三视图还原几何体，勾股定理，弧长等知识．熟练掌握根据三视图还原几何体，勾股定理，弧长是解题的关键． 由三视图可知，该几何体为圆锥，由勾股定理可得，圆锥的母线长为，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥， 由勾股定理可得，圆锥的母线长为， ∴， 解得 ，， 故答案为：． 43．（24-25九年级上·山东烟台·期末）有一直径为的圆形纸片，要从中剪出一个最大的圆心角是的扇形（如图）． (1)求被剪掉的阴影部分的面积； (2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ (3)求圆锥的全面积． 【答案】(1)被剪掉的阴影部分的面积 (2)圆锥的底面圆的半径是 (3)圆锥的全面积是 【分析】本题需灵活掌握扇形的面积公式，结合勾股定理即可解决问题． （1）因为扇形的圆心角是，所以为的直径，是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出即扇形的半径，然后利用扇形面积=，再求出圆的面积即可求出答案； （2）利用扇形的底面圆的周长=展开图的弧长即可求解； （3）利用（2）的所求，圆锥的全面积=展开图中扇形的面积+底面圆的面积． 【详解】（1）解：连接， ， 为的直径． 在中，，且， ， ， ； 答：被剪掉的阴影部分的面积； （2）解：设圆锥底面半径为，则长为， ， ； 答：圆锥的底面圆的半径是； （3）解：． 答：圆锥的全面积是． 44．（21-22九年级上·山东日照·期中）如图，从一直径为1米的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90度的最大扇形ABC．求： (1)剪掉后的剩余部分的面积； (2)用所剪得的扇形ABC围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？ (3)如果从剪掉的部分中给圆锥配一个底，请问是否够用？ 【答案】(1)（米 (2)米 (3)不够用，理由见解析 【分析】（1）连接，利用锐角三角函数求出，再利用扇形面积公式求出； （2）根据扇形弧长等于底面圆的周长，即可得出该圆锥的底面圆的半径； （3）本题需要求出③中最大圆的直径以及圆锥底面圆的直径，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：连接， ，， 米，， ， （米， 则剪掉后的剩余部分的面积为： （米； （2）解：设该圆锥的底面半径是米， 用所剪得的扇形围成一个圆锥，底面圆的周长为：（米， 则， 解得：米， 该圆锥的底面半径是米； （3）解：如果从剪掉的部分中给圆锥配一个底，不够用． 理由如下： 如图，剪掉的部分中③的面积最大． 连接并延长交于点，交于点， 则． 由（2）可知，能与扇形围成圆锥体的底面圆的直径（米， 又，即：围成圆锥体的底面圆的直径大于， 故不能围成圆锥体． 【点睛】此题主要考查了圆锥的计算，扇形面积的计算，弧长公式等知识，解题的关键是掌握正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 45．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数． 【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题： （1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）． ②原题中 ． 【深入思考】： （2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明． （3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）． （4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．    【答案】（1）①见解析；②；（2），证明见解析；（3），证明见解析；（4）； 【分析】（1）①利用垂直平分线定义即可作出正方形；②利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到结论； （2）根据题意过点C作交于E，利用圆周角定理得到，再判定，证明出和是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形三边关系即可； （3）根据题意过点B，作，在上截取，连接，再证明，再利用含的直角三角形三边关系即可得到本题答案； （4）根据题意以为边，作正方形，连接，设，则，，再分别在和和中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】 解：（1）①如图所示，作直径的垂直平分线交于点A，C，则四边形是正方形；    ②如图所示，    ， 故答案为：． （2），证明如下： 如图，过点C作交于E，    ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴（ASA）， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 如图所示，过点C作交于F，    同理可得是等腰直角三角形，， ∴，； （3）， 如图，过点B，作，在上截取，连接，    ∵，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （4）如图，以为边，作正方形，连接，， 根据（1）可得P在上，则，    ∴， 设，则，， 在中，， 在中，， 在 中，， ∴， 解得 （负值舍去）， ∴， ∴矩形的面积为． 【点睛】本题考查角平分线定义及画法，圆周角定理，全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质，勾股定理，含的直角三角形三边关系．掌握圆周角定理是关键． 46．（24-25九年级下·福建宁德·期中）夜晚，小明与爸爸在江边散步，看见白天通透的彩虹桥侧面竟然呈现出一幅美丽的画面（如图1），爸爸告诉他，其实那是一幅由彩色灯组成的动感大屏．他很好奇：这个屏有多大？由多少个灯组成？于是展开了如下探究： 【信息收集】 经了解与测量，小明知道：彩虹桥的拱架呈圆弧形，它在桥面上跨度为，拱高为．在拱架与桥面之间每间隔拉一条垂直于桥面的灯带，灯带上每间隔装一个灯． 【图形认识】 小明根据收集到的信息绘制了如图2所示的彩虹桥示意图，其中：半径弦，垂足为，弦，． （1）求的度数和的半径；（精确到整数值，参考数值：，，） （2）求屏（即阴影部分）的面积；（取3.14） 【问题解决】 （3）小明认为要估计灯的数量，可以先估计灯带的长度．受统计中用“组中值”代替“真实值”估算方法的启示，小明给出如下估算方案： ①用点和点处灯带长的平均值代替所有灯带的长度； ②由弦的长和相邻灯带的间隔距离，估计灯带总数量为1600条； ③所以，可以估计灯的数量为________个； （4）请聪明的你给出一种更优化的估算方案，并求出相应灯的数量． 【答案】（1），；（2）；（3）320000（或321600或318400）；（4）462000个 【分析】（1）根据垂径定理及解直角三角形可求的度数和的半径； （2）由，可得．进而可得．根据即可求解； （3）按小明给出的估算方案，分三种情况逐一计算即可； （4）结合实际问题，画出图形可综合运用所学知识，如解直角三角形，勾股定理，矩形的性质等相关知识设计方案，合理即可． 【详解】解：（1）是的半径，， ，． 在Rt中，． ， ． 设， ． 在Rt中，， ． 解得 ． 的半径为． （2）， ． ，， ． ， ， ． 屏的面积约为． （3）可以估计灯的数量为（个）；（灯带的一端有灯）； 或（个）；（灯带的两端有灯）； 或（个）；（灯带的两端无灯）； 故答案为：320000（或321600或318400）； （4）方案1：过中点作的垂线文于点，过点作于点． ① ； ②用的长度代替所有灯带长度； ③估计灯带总数量为1600条； ④估计灯的数量为（个）． （注：①如果每条灯带按315或317个灯估计宜可，结果分别为504000和507200；②若按这个方案，计算中有一定的偏差，不影响合理性．下同） 方案2：过中点作的垂线交于，交于，过点作于点． ① ； ； ②用和的平均长度代替所有灯带长度，该长度为； ③估计灯带总数量为1600条； ④估计灯的数荲为（个）． 方案3：过中点作的垂线交于过中点作的垂线交于，过中点作的垂线交于， ①同方案1的计算可知 ，，； ②由图形可知用和的长度估计的灯带分别有800条； ③所以，估计灯带的总长度的为； ④估计灯的数量：（个）． （注：也可以再细分区域，求出每个区域一根灯带的平均值进行估算） 方案4：也可以以每个灯所占面积来估计灯的总数量，方法如下： ①因为拱架与桥面之间每间隔，拉一条垂直于桥面的灯带，灯带上每间隔有一个灯，所以每个灯所占面积为； ②由（1）知屏的面积为； ③估计灯的数量约为（个）． 【点睛】本题主要考查了圆的性质、三角函数应用、扇形面积计算及实际问题的数学建模能力．熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 47．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）有一张半径为2的圆形纸片． (1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则的大小是______；在上任取一点C（异于A，B），则的大小是______； (2)如图（2），将纸片沿一条弦翻折，使其劣弧恰好经过圆心O，作出直径，则图中阴影部分的面积是______； (3)如图（3），是的直径，将劣弧沿弦翻折，交于点D，再将劣弧沿直径翻折，交于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧的中点，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；或； (2)； (3)． 【分析】（1）根据折叠的性质可得，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补，即可求解； （2）作交于点E，交于点D，连接，，得出是等边三角形，进而根据阴影部分的面积即为的面积，即可求解． （3）首先添加辅助线，利用圆周角定理证明线段，设，则，构建方程求出，再通过解直角三角形求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：根据折叠了2次，则， 如图（1）所示， 当点C在优弧上时，， 当点C在上时，，    故答案为：；或． （2）解：如图（2）所示，作交于点E，交于点D，连接，，，    由折叠可知，， ， ， ，， ， ， 和是等边三角形， ， ∴弓形的面积等于弓形的面积， ∴扇形的面积等于扇形的面积， ∴阴影部分的面积即为的面积； ，则， ， ， ∴阴影部分面积， 故答案为：； （3）解：如图（3），连接，过点C作于H，   ， ， ， ， ∵E是的中点， ， ， ， 设， 则， ， 是直径， ， ， ， ， ，， ，则是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ∴弓形，的面积相等， ∴阴影部分面积为． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、等腰直角三角形判定和性质、解直角三角形、扇形的面积等知识，学会添加常用辅助线，利用特殊角解决问题是解答本题的关键． 48．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．    (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，证明，再证明，，可得，结合，从而可得结论； （2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，证明，，，可得，，求解，而，可得，，，可得，再求解x，利用进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，则，    ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，    ∵O为正方形中心， ∴，，而， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∴，， 而正方形的边长， ∴， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 而， ∴． 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，圆周角定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，扇形面积的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 49．（22-23九年级上·江苏镇江·期中）如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点． (1)求证：与相切； (2)过点B作的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)能，理由见解析 【分析】（1）过点作于点，勾股定理求得可得是的半径，即可得证； （2）作线段的垂直平分线，交于点，作直线，则即为所求，根据作图可得，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可求解； （3）根据弧长公式求得的长，继而求得圆锥的底面半径，连接交于点，过点作 于点，交于点，过点作于点，则与相切，继而求得的半径，比较与的大小，进而比较与圆锥底面半径的大小即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴是的半径， 又， ∴是的切线； （2）如图，作线段的垂直平分线，交于点，作直线，则即为所求， 理由，∵ ， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴是的切线； （3）解：∵ ∴， ∴ 则圆锥的底面圆的半径为 如图，连接交于点，过点作 于点，交于点，过点作于点，则与相切， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由（1）可知之间的距离为， ∴, ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ 设的半径为，则， ∴ 解得 ∴, ∴， ∴， ， ∵， 又， ∴， 即， ∵． ∴能从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面． 【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 50．（20-21九年级上·江苏·阶段练习）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，一段圆弧经过网格的交点为A、B、C． (1)在图中标出该圆弧所在圆的圆心D，连接． (2)在（1）的基础上，完成下列填空： ①写出点的坐标：C______、D______； ②的半径是______结果保留根号； ③若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②；③ 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、弧长公式、全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用性质和定理进行推理和计算是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线性质找出圆的圆心即可； （2）①根据图形和已知点的位置写出坐标即可；根据勾股定理求出即可；求出，根据弧长公式求出弧的长，然后求出底面半径，最后根据圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：①由（1）作图可知：，； 故答案为：，； ②的半径是：． 如图： 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， 弧的长为， 设底面的半径为r， 则，解得：． 扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积是 51．（24-25九年级上·河北·期末）如图，在中，，，O是边上的点，与相切，切点为D，与相交于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)的半径为_________；与相交于点M，求阴影部分的面积； (3)F为上的一个动点（不与点D，E重合），过点F作的切线，分别与边，交于点G，H，连接，．嘉淇认为：随着点F位置的变化，的度数不变．请你判断他说得是否正确，并说明理由； (4)在（3）的条件下，设（），，直接写出y与x之间满足的函数关系． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)2，阴影部分的面积为； (3)他说得正确，理由见解析； (4)与之间满足的函数关系为． 【分析】（1）由切线的性质得到．再证明，得到，即．则可证得结论； （2）证明，得到，即可得的半径，再根据阴影部分的面积，列式计算即可； （3）由切线长定理得到，．再证明，，得到，，则．证明，则，即可判断他说得是否正确； （4）由等腰直角三角形的性质可得，，，则，根据勾股定理，即可得y与x之间满足的函数关系． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切，切点为D， ∴． 在与中， ∴， ∴，即． 又∵是半径， ∴是的切线． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为2， 故答案为：2； ∴阴影部分的面积为． ∴阴影部分的面积为． （3）解：他说得正确，理由如下： 如图，连接， ∵都与相切， ∴，． 又∵，，， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，即的度数不变． （4）解：∵，， ∴， ∵与相切，切点为D， ∴, ∴为等腰直角三角形， ∴， 设（），， 由（3）知，，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴与之间满足的函数关系为． 【点睛】本题考查圆的性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理与性质定理，等腰直角三角形的判定与性质，扇形的面积公式，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理． 52．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）如图1，一扇门，宽度，A到墙角的距离，设，A，在一条直线上，门打开后被与门所在墙面垂直的墙阻挡，边靠在墙的位置． (1)求的度数； (2)打开门后，门角上的点在地面扫过的痕迹为弧，设弧与两墙角线围成区域（如图的面积为，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了弧长公式和扇形面积公式的应用，解题的关键是理解门打开过程中相关线段和角度的变化关系． （1）通过分析门打开前后的线段关系，利用三角函数求出的度数． （2）先确定扇形的半径和圆心角，再根据扇形面积公式和三角形面积公式求出围成区域的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ； （2）解： 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $