专题02 点、直线与圆的位置关系（专项训练）数学鲁教版五四制九年级下册

专题02 点、直线与圆的位置关系（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断点与圆的位置关系 1 题型二、利用点与圆的位置关系求半径（常考点） 1 题型三、点与圆上一点的最值问题（难点） 3 题型四、判断直线与圆的位置关系 7 题型五、利用直线与圆的位置关系求半径的取值范围（常考点） 12 题型六、直线与圆上一点的最值问题（难点） 15 题型七、切线的判定与性质定理综合（常考点） 17 题型八、应用切线长定理求解（常考点） 21 题型九、三角形内切圆（常考点） 29 题型十、三角形外接圆与内切圆综合（重点） 33 题型十一、圆与圆的位置关系（选做） 40 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断点与圆的位置关系 1．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵半径是5，， ∴， ∴点P在圆外， 故选：C． 2．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）已知的半径为3，，则点A和的位置关系是（    ） A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有 ①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内． 【详解】解：的半径为3，， 点A到圆心的距离大于半径， 点在圆外， 故选：B． 3．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为4， ， 点在外， 故选：C． 4．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）是内一点，是上任意一点，若，则的半径为 ． 【答案】 【分析】根据点到圆上的距离分析即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵是内一点，是上任意一点，， ∴的直径为， ∴的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点到圆上的距离，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 题型二、利用点与圆的位置关系求半径（常考点） 5．（21-22九年级上·山东德州·期中）有一长、宽分别为、的矩形，以A为圆心作圆，若、、三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意结合勾股定理可求矩形对角线的长，再根据三点到点A的最大距离为，最小距离为，所以要三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，就应当使的半径大于最小的距离，小于最大的距离，即得出答案． 【详解】解：∵矩形ABCD的长、宽分别为、， ∴矩形的对角线为． ∵三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，点与圆的位置关系．利用数形结合的思想是解题关键． 6．（2021·广东·模拟预测）如图，点A、B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为 ． 【答案】-． 【分析】先证点C在半径为1的⊙B上，可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：∵A（2，0），B（0，2）， ∴OA=OB=2， ∵点C为坐标平面内一点，BC=1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 如图，在x轴上取OD=OA=2，连接CD， ∵M为线段AC的中点，OD=OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM=CD， 当OM最小时，即CD最小，而D，B，C三点共线时， 当C在线段DB上时，OM最小， ∵OB=OD=2，∠BOD=90°， ∴BD=OB=2， ∴CD=2-1， ∴OM=CD=-， 即OM的最小值为-， 故答案为：-． 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最小值时点C的位置是关键． 7．（22-23九年级上·江苏·期中）平面直角坐标系中，以点为圆心的，若该圆上有且仅有两个点到轴的距离等于，则的半径的取值范围是 ． 【答案】 【分析】到轴的距离等于的点在直线或直线上，当上有且仅有两个点到轴的距离等于时，则直线与相离，直线与相交，由此即可求出的半径的取值范围． 【详解】解：如图，到轴的距离等于的点在直线或直线上， 当与直线相切时，设切点为点，则， 此时上只有一个点到轴的距离等于； 当与直线相切时，设切点为点，则， 此时上有三个点到轴的距离等于， 由此可知，当上有且仅有两个点到轴的距离等于时，则直线与相离，直线与相交， 的半径的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查图形与坐标、直线与圆的位置关系等知识，正确理解到轴的距离等于的点在直线上或在直线上是解题的关键． 8．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）在同一平面内，已知点到直线的距离为5，以点为圆心，为半径画圆．探究、归纳： (1)当________________时，上有且只有一个点到直线距离等于3； (2)当________________时，上有且只有三个点到直线距离等于3； (3)随着的变化，上到直线的距离等于3的点的个数有哪些变化？求出相对应的的值或取值范围（不必写出计算过程）． 【答案】(1)2 (2)8 (3)当，无距离等于3的点，当，有且只有一个距离为3的点，当，有且只有两个距离为3的点，当，有三个，当，有四个 【分析】本题主要考查了点与圆的关系，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）根据垂线段最短，则要使上有且只有一个点到直线l的距离等于3，则该点是点O到直线l的垂线段与圆的那个交点，此时圆的半径是； （2）根据点O到直线l的距离为5，要使上有且只有三个点到直线l的距离等于3，则需要在此直线的两侧分别有一条和该直线的距离是3的直线分别和圆相交、相切．此时圆的半径是； （3）结合上述两种特殊情况分、、、、五种情况即可解答． 【详解】（1）解：如图：上有且只有一个点到直线距离等于3，即． 故答案为：2． （2）解：如图：上有且只有三个点到直线距离等于3，即． 故答案为8． （3）（3）当时，上没有点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有1个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有2个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有3个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有4个点到直线l的距离等于3． 题型三、点与圆上一点的最值问题（难点） 9．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，半径为5的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A．60 B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边的中线，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，由直角三角形斜边中线的性质推出，当在的延长线上时，最大，此时最大，由勾股定理求出，得到，即可求出的最大值． 【详解】解：过作，连接， 的坐标是，在中，由勾股定理得： ， ，， ， 当取最大值时，的值最大，当在的延长线上时，最大， 圆的半径是5， ， ， ， 的最大值是40． 故选：B． 10．（23-24九年级下·山东日照·期中）如图，已知正方形的边长为2，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质得到，推出，得到点F在以为直径的半圆上移动，如图，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是B，连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是B， 连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长度最小值为， 故选：A． 【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，点的运动轨迹，勾股定理，最小值问题，正确理解点的运动轨迹是解题的关键． 11．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，中，于点是半径为4的上一动点，连接，若是的中点，连接，则长的最大值为（    ）    A．8 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是点和圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理，明确当取最大值时，的长最大是解题的关键．连接，根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理得到，则当取最大值时，的长最大，求得的最大值，即可求得长的最大值． 【详解】解：连接，   ，， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 当取最大值时，的长最大， 是半径为2的上一动点， 当过圆心时，最大， ，， ， 的半径为4， 的最大值为， 长的最大值为， 故选：． 12．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形的边长为4，点与点是线段与线段上的两个动点，在运动过程中线段与始终保持垂直，则线段的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，求一点到圆上点距离的最值，正确作出辅助线是解题的关键．由于可知，点在以为直径的圆上，设的中点为，当点，，共线时线段的值最小，根据正方形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：于， 点在以为直径的圆上，如图，设的中点为，当点，，共线时线段的值最小， 正方形的边长为4， ，， ， ， 线段的最小值是， 故选：D． 13．（23-24九年级下·山东威海·期中）如图，在矩形中，，点P是矩形内一动点，连接，，，若，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】由可得点P在以中点O为圆心为直径的圆上，连接交圆于一点即为最短距离点，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点P在以中点O为圆心为直径的圆上，如图所示，    ∴连接交圆于点P，如图所示，此时的值最小    ∵矩形中，， ∴，， ∴， 根据勾股定理可得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆上最短距离问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆外一点到圆上最短距离点为与圆心连线的交点． 题型四、判断直线与圆的位置关系 14．（24-25九年级上·山东聊城·期末）在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系,锐角三角函数的定义．计算点到上的高即可判断． 【详解】解：如图，过作于，      ∵，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 中，， ∴与相交， 故选：C． 15．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ） A．点A在上 B．点C在内 C．直线与相切 D．直线与相离 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，作于，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可得，再逐项分析即可得解． 【详解】解：如图，作于， ， ∵， ∴， ∴， ∵以A为圆心作一个半径为3的圆， ∴点A为圆心，故A错误， ∵， ∴点C在外，故B错误； ∵，， ∴直线与相切，故C正确，D错误； 故选：C． 16．（24-25九年级上·重庆·期中）已知圆心到直线的距离为，的半径为，若、是方程的两个根，则直线和的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相离或相交 【答案】D 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，因式分解法解一元二次方程，理解圆与直线的位置关系，掌握因式分解法求一元二次方程的根是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到的值，再根据圆半径与圆心到直线的距离的关系“，相离；，相切；，相交”进行判定即可求解． 【详解】解：若、是方程的两个根， ∴， 解得，， 当时，直线和的位置关系是相交； 当时，直线和的位置关系是相离； 故选：D ． 17．（22-23八年级下·黑龙江绥化·期末）如图已知的半径为，圆心在抛物线上运行，当与轴相切时，圆心的坐标为 ．    【答案】或 【详解】当与轴相切时可求得点的横坐标，代入抛物线解析式可求得点坐标． 【解答】解：∵与轴相切，的半径为， ∴到轴的距离等于半径， ∴点的横坐标为或， 当时，代入可得，此时点坐标为； 当时，代入可得，此时点坐标为； 综上可知点坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及二次函数的性质，此题注意应考虑两种情况．熟悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键． 18．（22-23九年级上·湖北十堰·期中）如图，点A是一个半径为的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两村庄，现要在B，C两村庄之间修一条长为的笔直公路将两村连通， 现测得．问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明． 【答案】此公路不会穿过该森林公园 【分析】过A做于D，根据三角函数求出的长，与圆的半径作比较．若>半径，则公路不会穿过森林，若<半径，则公路会穿过森林． 【详解】解：过A做于D， 则和都是直角三角形， 在中： ∵， ∴， 在中： ∵， ∴， 又∵ ， ∴即， ∴ ， ∴ 此公路不会穿过该森林公园． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系解决实际问题．当圆心到直线的距离大于半径时直线与圆相离，当圆心与直线的距离等于半径时直线与圆相切，当圆心与直线的距离小于半径时直线与圆相交．掌握以上知识是解题的关键． 题型五、利用直线与圆的位置关系求半径的取值范围（常考点） 19．（2020·上海金山·一模）如图，已知中，，，，如果以点为圆心的圆与斜边有公共点，那么⊙的半径的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理计算出AB=13，再利用面积法计算出然后根据直线与圆的位置关系得到当时，以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点． 【详解】解：作CD⊥AB于D，如图， ∵∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴ ∴ ∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点时，r的取值范围为 故选：C 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r． 20．（20-21九年级上·全国·课后作业）在中，，以点为圆心，为半径作圆．若与边只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先用勾股定理计算线段的长，分两种讨论：若与斜边相切时，通过等积法计算的面积，可求得半径的长；若，圆与边也只有一个公共点，据此解题即可. 【详解】如图，过点作于点． ，． ①如果以点为圆心，为半径的圆与斜边相切，则．此时． ②当时，圆与边也只有一个公共点． 综上，或． 故选D． 【点睛】本题考查圆与直线的位置关、勾股定理、三角形的面积公式等，其中涉及分类讨论的数学思想，考点知识综合性较强，难度适中，作出适当的辅助线是解题关键. 21．（22-23九年级上·辽宁大连·期中）已知的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系， 根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：∵的半径是6，点O到直线l的距离为d， ∴直线l与相切或相交， ∴． 故答案为：． 22．（23-24九年级上·全国·课后作业）以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为 ． 【答案】或 【分析】作轴，连结，根据勾股定理计算出，然后根据直线与圆的位置关系即可得到满足条件的的取值为且 ． 【详解】作轴，连结，如图， ∵点的坐标为， ∴，， ∴ ， ∵以点为圆心，为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点， ∴过点或者与轴相切， ∴ 或． 故答案为或． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为：①直线和相交⇔；②直线和相切⇔；③直线和相离⇔．也考查了坐标与图形性质． 题型六、直线与圆上一点的最值问题（难点） 23．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在平面中，已知的半径等于，点在直线上，则圆心到直线的距离（    ） A．等于 B．最小值为 C．最大值为 D．不等于 【答案】C 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系，根据题意可判断直线与相切，熟记直线与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵的半径等于，点在直线上， ∴直线与相切或相交， ∴圆心到直线的距离最大值为， 故选：C． 24．如图，已知直线y＝x－3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最小值是（　   　） A．6 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，可知圆C上点到直线y=x-3的最短距离是，由此求得答案． 【详解】解：∵直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当x=0时，y=-3；y=0时，x=4 ∴OB=3；OA=4 由勾股定理得， ∵C（0，1） ∴ ∴BC=OB+OC=3+1=4 过C作CM⊥AB于M，连接AC，如图， 则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC， ∴5×CM=16， ∴CM=， ∴圆C上点到直线y=x-3的最小距离是 ， ∴△PAB面积的最小值是 ×5×=， 故选：B． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最小距离． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（-4，0），B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（    ） A．              B．                 C．                 D．3 【答案】B 【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2＝OP2−OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短． 【详解】解：如图，连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ． 根据勾股定理知PQ2＝OP2−OQ2， ∵当PO⊥AB时，线段PQ最短， 又∵A（−4，0）、B（0，4）， ∴OA＝OB＝4． ∴AB＝． ∴OP＝AB＝． ∴PQ＝． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题． 26．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）二次函数与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，以点为圆心半径为1的上有一动点D，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，三角形的面积公式，直线和圆的位置关系，求出圆心到的距离是解的关键．连接，过点作于，先求出的坐标，根据面积桥求出到的距离，再确定点到的最小距离，最后即可求出面积的最小值． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 对于抛物线，令，， 解得， ， 令，，则， ， 点， ， ，即点到的距离为， ， 点到的最小距离为， 的面积的最小值， 故答案为：． 题型七、切线的判定与性质定理综合（常考点） 27．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，． (1)求证：是的切线； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，证明，得到，即可得出结论； （2）设与的另一交点为，连接交于点，连接，证明，得到，进一步得到，设，则，根据勾股定理得到，设，则，根据勾股定理得到，解得，再求出，证明，得到，设，则，则，求得，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵与边相切于点D， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：设与的另一交点为，连接交于点，连接，如图： ∵， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得：（负值已舍去）， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 在中，． 28．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，与的边相切于点C，与边分别交于点D、E，，是的直径． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，根据圆周角定理得出，根据平行线的性质得出，根据垂径定理得出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，然后根据等腰三角形的三线合一的性质得出，进而证得，得到，即可证得结论； （2）根据相似三角形的判定和性质得出，，设，代入确定，设，然后根据切线长定理和勾股定理列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分CD， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵是切线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵是切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故的长为6． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，垂径定理，切线长定理，相似三角形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 29．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图1，的直径，和是它的两条切线，点E是圆上一点，过点E的直线与，分别相交于点D，C两点，连接并延长，交点P，． (1)求证： 是的切线； (2)若，求长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）连接，，根据“直径所对的圆周角等于”可得，再根据“直角三角形中，斜边中线等于斜边一半”可得，进而可得，又由于，可得， ，由此可得是的切线． （2）过点D作于Q，由切线的性质可得四边形是矩形， ， ．设，则，，，在中，根据勾股定理列方程求出x的值即可． 【详解】（1）连接，， 是的切线， ， 是的直径， ． ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2）过点D作于Q， ，，都是的切线， ，， ， ∴四边形是矩形， ，， ． 设，则，，， ∵在中，， ， 解得    ， 即  ． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直径所对的圆周角是直角，切线的判定和性质，切线长定理，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键． 30．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与 交于点是的直径，弦的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，过作于点，首先得到平分，由切线得到，然后得出，即可证明是的切线； （2）过点作，垂足为，得四边形为矩形，且，然后得到为等边三角形，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：连接，过作于点 且为的中点 平分 与相切于点 是的切线； （2）解：过点作，垂足为． 得四边形为矩形，且 ， 又 为等边三角形 为等边三角形 ， ． 【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解答此题的关键． 31．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接、，作交于，根据等腰三角形三线合一可知，，平分，结合与半圆相切于点，可推出，得证； （2）由题意可得出，根据，在中利用勾股定理可求得的长度，从而得到的长度，最后根据即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接、，作交于，如图 为等腰三角形，是底边的中点 ，平分 与半圆相切于点 由 是半圆的切线 （2）解：由（1）可知， ， ， 又 ， 在中，， ， 解得： 题型八、应用切线长定理求解（常考点） 32．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（   ） A．17 B．19 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接、、、、、，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、、、、， ∴四边形是正方形， 由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵是的内切圆， 设的半径为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：C． 33．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，，，分别是半径为r的的切线，切点分别A为点A，B，C．已知的周长为，则的正切值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的性质，切线长定理，勾股定理以及解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键．连接并且延长交的延长线于点，连接，根据题意证明，得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：连接并且延长交的延长线于点，连接， ，，分别是半径为r的的切线，切点分别A为点A，B，C， ， ， 的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（舍去）， ． 故选A． 34．（24-25九年级上·广西钦州·期末）如图，⊙O的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点，设，，则y关于x的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过D作交于F，由切线的性质可证四边形是矩形，，根据切线长定理得到，，则，在中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系，再判断其函数图象即可． 【详解】解：过D作交于F， 与切于点A、B， ， 又， ， ∴四边形是矩形， ，， ， ， 切于E，与切于点A、B， ，则， 在中，由勾股定理得：， 整理为， ∴y与x的函数关系式是， y是x的反比例函数， 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，切线长定理，矩形的判定与性质以及勾股定理，求反比例函数的解析式，解题的关键是正确的作出辅助线，综合运用以上知识． 题型九、三角形内切圆（常考点） 35．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是的内切，三个切点分别为点D，E，F．若，．则的面积为 【答案】30 【分析】本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 设半径为，根据切线长定理得到，，，在中，，代入求解即可得到答案，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性质． 【详解】解：设半径为， ∵在中，，是的内切圆， ∴在四边形中，， 四边形为矩形． 又∵， 四边形为正方形． 则， 由切线长定理知：，， ，， 在中，， ． 整理，得：， 解得，负值舍去， ，． ∴． 故答案为：30． 36．（2024·四川自贡·中考真题）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是的切线． 【答案】(1)；；1 (2)见解析 【分析】（1）根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案； （2）证明，推出，，，求得，，根据，列式求得，根据切线的判定定理，即可得到是的切线． 【详解】（1）解：连接，设半径为， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴，，； 在四边形中，， 四边形为矩形， 又因为， 四边形为正方形． 则，则，， 在中，由勾股定理得， ∴，即， 解得， 故答案为：；；1； （2）证明：连接，，，作于点， 设半径为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴是的切线． 【点睛】本题考查切线的判定，切线长定理，全等三角形的判定和性质，三角形的内切圆及勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 37．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了外心和内心的概念，圆周角定理，三角形内角和定理，由点为的外心，，则，故有，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点为的外心，， ∴， ∴， ∵点为的内心， ∴， ∴， 故选：． 38．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点，掌握内心的定义是解题的关键． 连接，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，进而由圆周角定理得，再根据内心的定义可得，据此即可求解． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ∵点是的内心， ， 故选：B． 39．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，中，，，，，是的内切圆，求的半径（用含、、的代数式表示）． （1）小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． 小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． （2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明． 【答案】（1）；；；；（2）相等，证明见解析 【分析】（1）方法一：利用面积法求解；方法二：根据切线长定理，找出、、、的关系，可得答案； （2）利用平方差公式证明即可得到相等． 【详解】解：（1）在中，，，，，是的内切圆，，，分别为切点，的半径为， 方法一：如图，连接，，，，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴； 方法二：∵是的内切圆，，，分别为切点，的半径为， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的内切圆， ∴、、都是的切线，切点分别为点，，， ∴，， ∴， ， ， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：；；；； （2）相等． 证明：∵， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题考查三角形内切圆，切线的性质，切线长定理，矩形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理，等积法，平方差公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 40．（24-25九年级上·山东威海·期末）【阅读材料】 已知，如图1，在面积为的中，，，，内切圆的半径为．连接、、，被划分为三个小三角形． ∵． ∴． 【理解运用】 (1)两条直角边长为3和4，则它的内切圆半径为______； (2)如图2，中，，，求的内切圆的半径； (3)如图3，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为、、，设的半径为，的半径为，若，，，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出斜边的长，再求出的面积，根据材料代入数据计算即可解答； （2）过点作，设，则，利用勾股定理，建立方程，求出，进而求出，再求出的面积，根据材料代入数据计算即可解答； （3）根据材料中内切圆半径的求法，进一步易得的长，但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据切线长定理及勾股定理，先求的长，三角形各边长可知，则的值易得． 【详解】（1）解：∵两条直角边长为3和4， ∴斜边的长为：， ∵出的面积为：， 根据材料： 它的内切圆半径为:； （2）解：如图2，过点作， 则， ∴， 中，，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积为， 根据材料： 的内切圆半径为:； （3）解：， ， ， ． 是的内切圆， ，，， ， ∴设，则， ， ，即（， 解得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了和圆有关的综合性题目，同时涉及到切线的性质、切线长定理、勾股定理等相关知识．这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养以及学习、理解、创新新知识的能力的培养． 题型十、三角形外接圆与内切圆综合（重点） 41．（24-25九年级上·山东·期末）如图，在中，． (1)在图1中作的外接圆；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，点I是内切圆的圆心，当，时，连接，求的长．（可在备用图中画出图形） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，作圆，三角形的外接圆和内切圆的综合应用： （1）根据圆周角定理，得到外接圆的圆心为斜边的中点，利用尺规作垂线和尺规作圆的方法，作图即可； （2）设与各边的切点为D，E，F，连接，设的半径为r，易得四边形为正方形，切线长定理求出，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，设与各边的切点为D，E，F，连接， 则，，． 设的半径为r，则， ∵， ∴为的直径， ∵，，， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 在中，． 42．（22-23九年级上·山东日照·期中）如图，一块等腰三角形钢板的底边长为，腰长为． (1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径： (2)用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？ (3)求这块等腰三角形钢板的内心与外心之间距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)由于三角形是等腰三角形，过作于，根据勾股定理得到，又从这块钢板上截得的最大圆就是三角形的内切圆，根据内切圆的圆心的性质知道其圆心在上，分别连接，然后利用三角形的面积公式即可求解； (2)由于一个圆完整覆盖这块钢板，那么这个圆是三个三角形的外接圆，设覆盖圆的半径为，根据垂径定理和勾股定理即可求解 (3)根据(1)和(2)再利用线段之间的等量关系即可求得． 【详解】（1）解：如图，过作于 ∵ 根据等腰三角形和圆的对称性可得：A、O、D三点共线 ∴， ∴ 设最大圆半径为， 则， ∴ 解得： ； （2）设覆盖圆的半径为，圆心为， ∵是等腰三角形，过作于， ∴ ， ∴在直线上，连接， 在中， 由， ∴； 若以长为半径为，也可以覆盖， ∴最小为． （3）如图，即为内心与外心的距离． ， ， 故这个等腰三角形的内心与外心的距离为． 【点睛】此题分别考查了三角形的外接圆与外心、内切圆与内心、等腰三角形的性质以及勾股定理，综合性较强，解题的关键是熟练掌握外心与内心的性质与等腰三角形的特殊性． 43．（24-25九年级下·江西·期末）如图，在中，，O，I，H分别是它的外心，内心，垂心．试比较的外接圆与的外接圆的大小，证明你的论断． 【答案】的外接圆与的外接圆的大小相等．理由见解析 【分析】本题考查了三角形外心、内心、垂心的性质.关键是根据题意找出四点共圆，五点共圆，判断三角形共圆，利用“传递”的方法证明本题结论． 作关于的对称点 ，连接、、、、、、、，可以得到的外接圆与的外接圆是同一个圆；再证明的外接圆与的外接圆是同一个圆，的外接圆与 的外接圆相等，解答即可． 【详解】解：的外接圆与的外接圆的大小相等．理由： 作关于的对称点 ，连接、、、、、、、， 由三角形外心、内心、垂心的张角公式可知，，，， ∴、、、、五点共圆， 即的外接圆与的外接圆是同一个圆； 根据轴对称可知，， ∴、、、四点共圆， 即的外接圆与的外接圆是同一个圆； ∵，，， ∴， ∴的外接圆与'的外接圆相等； 即的外接圆与的外接圆相等． 44．（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数： (2)若，，，请直接写出与的数量关系； (3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内心，等角对等边等知识点，熟练掌握相关定理，性质，是解题的关键． （1）圆内接四边形的性质，得到的度数，圆周角定理，得到，再利用三角形的内角和定理，求出的度数即可； （2）同法（1）求出的度数，等弧所对的圆周角相等，得到，根据三角形的内角和定理，得到与的数量关系； （3）连接，根据三角形的内心是角平分线的交点，结合三角形的外角和圆周角定理，得到，等角对等边，得到，圆周角定理得到，进而得到，得到． 【详解】（1）解：∵内接于，是上任意一点， ∴四边形为圆内接四边形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）同（1）法可得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3），证明如下： 连接， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 45．（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务 探究三角形的特殊点 通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获． 定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点． 性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上． 如图，已知是锐角三角形，是其外接圆，点是的垂心，分别连接并延长，交于点． 求证：点分别是点关于边的对称点． 证明：如图，连接． ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（依据）， ∴， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 任务： (1)上面日记中“依据”指的是 ； (2)下列说法正确的是 ； A．锐角三角形的垂心在三角形外    B．直角三角形的垂心在直角顶点处 C．钝角三角形的垂心在三角形内    D．等腰三角形的内心和外心重合 (3)请仿照小宇的思路证明点和点关于对称． 【答案】(1)同弧或等弧所对的圆周角相等 (2)B (3)证明过程见详解 【分析】本题主要考查三角形与圆的综合，掌握垂心，内心，外心的定义，同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键． （1）根据图示可得与所对的弧均是，由此即可求解； （2）根据垂心的定义，内心的定义，外心的定义进行判定即可求解； （3）根据材料提示方法证明即可． 【详解】（1）解：根据图示可得，与所对的弧均是， ∴依据是：同弧或等弧所对的圆周角相等； （2）解：根据图示可得， A、锐角三角形的垂心在三角形内部，故原选项错误，不符合题意； B、直角三角形的垂心在直角顶点处，正确，符合题意； C、钝角三角形的垂心在三角形外，故原选项错误，不符合题意； D、等腰三角形的内心是角平分线的交点，等腰三角形的外心是三边垂直平分线的交点，不一定重合，故原选项错误，不符合题意； 故选：B； （3）证明：如图所示，连接，设于交于点， ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（同弧或等弧所对圆周角相等）， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点与点是对应点， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 题型十一、圆与圆的位置关系（选做） 46．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们已经学习过点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，那么圆与圆有什么样的位置关系呢？学习小组的各位同学通过查阅资料，得到圆与圆的位置关系如图． 爱动脑筋的小刚提出了疑问：点与圆的位置关系是根据点到圆心的距离与半径之间的关系进行判断的，直线与圆的位置关系是根据圆心到直线的距离与半径之间的关系进行判断的，那么如何判断两圆之间的位置关系呢？ 学习小组的同学通过不断探究，最终得出了结论： 如图，设两圆的圆心分别为点，，两圆心之间的距离即圆心距为（即），两圆的半径分别为，（假设），则 外离：没有公共点，两圆外离； 外切：有唯一的公共点，两圆外切； 相交：有两个公共点，两圆相交； 内切：有唯一的公共点，两圆内切； 内含：没有公共点，两圆内含． 任务： (1)若两圆的圆心分别为点，，其半径分别为和，且，则两圆的位置关系为_____． (2)若两圆的半径比为，内切时圆心距等于，那么这两圆相交时，圆心距的取值范围是_____． (3)如图3，半径均为的与外切于点．将三角板的直角顶点放在点处，再将三角板绕点旋转，使三角板的两直角边中的一边与相交于点，另一边与相交于点（转动过程中直角边与两圆都不相切），连接．在转动过程中线段的长与半径之间有什么关系？并证明你的结论． 【答案】(1)外离； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查了两圆之间的位置关系，平行四边形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据半径与圆心距进行比较即可求解； （）设两圆的半径分别为，，根据内切时圆心距等于，求出，则两圆的半径分别为，，然后通过两圆相交即可求解； （）连接，，，由半径均为的与外切于点则三点共线，通过角度和差证明四边形是平行四边形即可求解． 【详解】（1）解：∵，半径分别为和， ∴， ∴两圆的位置关系为：外离， 故答案为：外离； （2）解：∵两圆的半径比为， ∴设两圆的半径分别为，， ∵内切时圆心距等于， ∴，解得：， ∴两圆的半径分别为，， ∴两圆相交时，圆心距的取值范围是，即， 故答案为：； （3）解：，理由， 如图，连接，，，      ∵半径均为的与外切于点 ∴三点共线， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 47．（24-25九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，对图形M和图形N，点P是图形M上一点，点Q为图形N上任意一点，若存在一点Q使得P，Q两点之间距离有最小值，记为d．当点P在图形M上运动时，d也随之变化，在变化过程中，若d存在最小值和最大值，分别记为和，则定义图形M和图形N的距离为．已知点，点，的半径为1． (1)［，点A］ ；［，线段］ ； (2)若的半径为r，与没有公共点，若［，］，则r的取值范围是 ； (3)已知点E在上，过点E作x轴的垂线交直线于点F，直接写出［线段，x轴］的取值范围． 【答案】(1)4； (2) (3)［线段，x轴］ 【分析】（1）过点O作于点E，交于点F，根据新定义可得，，，从而得到［，点A］，再由，可得，从而得到点E到的最小距离以及最大距离，即可求解； （2）根据题意可得与相离或内含，然后分两种情况解答即可； （3）设交x轴于点C，设交x轴于点G，H，根据新定义可得，，从而得到［线段，x轴］，过点D作于点W，交于点V，由（1）得：最小值为，最大值为，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点O作于点E，交于点F， ∵点，的半径为1． ∴，，， ∴［，点A］； ∵点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E到的最小距离为，最大距离为， ∴［，线段］； 故答案为：4；； （2）解：∵与没有公共点， ∴与相离或内含； 如图2—1，当与相离时， 此时，， ∵的半径为r，的半径为1，［，］， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图2—2，当与内含时， 此时，， ∵的半径为r，的半径为1，［，］， ∴， ∴， 综上所述，r的取值范围为； （3）解：如图，设交x轴于点C，设交x轴于点G，H， ∵轴，即， ∴，轴， ∴，， ∴［线段，x轴］， 过点D作于点W，交于点V， 由（1）得：最小值为，最大值为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴［线段，x轴］． 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，圆上的点到直线的距离，解直角三角形．理解新定义是解题的关键． 48．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）水平放置的曲轴连杆的工作原理示意图如图所示，连杆在活塞的带动下绕轴匀速转动，连杆拖动气缸中的活塞做直线运动．连杆，连杆． (1)当连杆从位置按顺时针方向转至连杆与首次相切时，求活塞移动的距离． (2)当连杆从位置按顺时针方向旋转时，求活塞移动的距离．（说明：计算结果保留根号．） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了圆的切线的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握切线的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，则，即可求出答案； （2）过点A作于点H，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求出相关线段的长度即可． 【详解】（1）解：∵连杆与相切， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）过点A作于点H， 当连杆从位置按顺时针方向旋转时，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 49．（24-25九年级上·山东日照·期末）如图，的内接等腰是边上的动点（不与B，C重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到，连接交于点． (1)判断与的位置关系，请说明理由； (2)若，在点的运动过程中，求线段长的最大值． 【答案】(1)与相切，见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的证明，旋转的性质，三角形相似的判定与性质，二次函数最值的应用，正确作出辅助线，构造三角形相似是解题的关键， （1）连接并延长交于点，连接，根据直径所对圆周角为直角得到，根据旋转的性质得到，由圆周角定理推出，等量代换得到，利用直角三角形的性质即可证明，即可得出结论； （2）证明，得到，结合三角形外角的性质得到，易证，得到，设，则，可得，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 如图，连接并延长交于点，连接， 是直径， ， 由旋转的性质得， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：由旋转的性质得：，， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 当时，有最大值为． 50．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，内接于，是直径，平分交于点D，交于点E，连接．过点D作交的延长线于点F． (1)证明：是的切线； (2)证明：； (3)若，，______；点O到的距离_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10， 【分析】（1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可； （2）证明，推出，证明是等腰直角三角形，推出，据此即可得出结论成立； （3）过点作于点，过点作于点，由和是等腰直角三角形，求得，，，再利用勾股定理求得，然后由垂径定理结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵为的直径, ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）证明：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：过点作于点，过点作于点， 由（2）得是等腰直角三角形，且， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点O到的距离为． 故答案为：10，． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，正确添加的辅助线是解题的关键． 51．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)取何值时，平分； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由． 【答案】(1)当时，平分； (2)； (3)存在，当时，与相切． 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握圆的性质和相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）由直径所对的圆周角是直角可得，运用勾股定理可得，再证得，可得，利用角平分线性质可得，建立方程求解即可得出答案； （2）过点作于点，利用相似三角形性质可得 ，再运用面积法求得 ，再根据三角形面积即可求得答案； （3）过点作于点，利用相似三角形性质和圆的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意得：，，， ，， 是的直径， ， 在中，， ，， ， ，即， ， ， 当时，平分， ， 解得：， 当时，平分； （2）解：如图，过点作于点， ， ，即， ， ，， ，即， ， ； （3）解：存在某一时刻，使与相切．理由如下： 如图，过点作于点， 由（1）（2）知： ， ，， ， ， ， ， ， ， 与相切， ， ， ， ， ，即， 解得：， 当时，与相切． 52．（24-25九年级上·山东威海·期末）在中，，，以B为圆心作．点P是上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转90°得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若与相切，则的度数是；（直接写答案） (3)连接，，，求线段的最大长度． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）根据已知条件以及旋转的性质，在和中，利用证明，从而证得； （2）由与相切，分为两种情况分别计算； （3）由（1）中证明的，可知，分析当点在的延长线上时，取得最大值． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得：， ， ， 在和中，， ， ； （2）解：分两种情况： ①如图， 由旋转的性质得，， 是等腰直角三角形， ∴， ∵与相切， ， ， ②如图， 由旋转的性质得，由旋转的性质得，， 是等腰直角三角形， ∴， ∵与相切， ， ， 综上所述：当与相切时，的度数为或； （3）解：如图 当点在的延长线上时，取得最大值． 由（1）知， ， ， ， ∴， 即的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的证明，圆的切线性质以及动点问题中线段最值的求解．关键在于做出正确的辅助线，不要遗漏． 53．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知线段、与相切，切点分别为、，，． (1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）． (2)求证：与相切． (3)若，，求的半径． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点； （2）由（1）可得结论； （3）设的半径为，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点，连接、、， ∴， ∵线段、与相切，切点分别为、，， ∴，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是的直径，即点在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴与相切于点， 则即为所作； （2）证明：由（1）知：即，且点在上， ∴与相切； （3）解：设的半径为， 过点作于点，则， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵、、都是的切线， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，切线的判定和性质，切线长定理，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 54．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图所示，矩形在平面直角坐标系中，，边与y轴交于点E，M为边上的点，以M为圆心，为半径作的一部分弧，交于点F，连接，且与弧相切，平分，反比例函数的图象经过点M，交于点N． (1)求反比例函数的解析式及点N的坐标； (2)在直线上是否存在点P，使的值最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，点N的坐标为 (2)存在点，点P的坐标为 【分析】（1）连接，证明，即可得到，然后根据勾股定理求出长，再在中，利用勾股定理求出长，得到点M的坐标，求出反比例函数解析式，即可求得点N的坐标； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质得到，进而得到，求出点G的坐标，进而得到直线的解析式，根据三角形三边关系的应用得到当B，M，P三点共线时，取得最大值，计算解答即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴，， 连接， ∵与弧相切， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， 在中，，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ∵点M在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点的纵坐标为， ∴横坐标为， ∴点N的坐标为； （2）解：∵是矩形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点G的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当点P在直线上，根据三角形三边的关系可得， 当B，M，P三点共线时，取得最大值， 即点P的横坐标为10， 当时，， ∴存在点，此时点P的坐标为． 【点睛】本题考查切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系，待定系数法求函数解析式，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 55．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）【初步探究】（1）如图1，为的直径，点P在的延长线上，在上任取一点C（不与A，B两点重合），连接，．则_________；（填“>”“<”或“=”） 【直接运用】（2）如图2，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求线段长度的最小值； 【构造运用】（3）如图3，是一个边长为200米的等边三角形空地，点P为区域内一点，分别沿、、修三条人行小道，三条人行小道将三角形空地分成了三个区域，用来种植三种不同的花卉，根据设计思路，要使得，求小道的最小值．    【答案】（1） （2）长度的最小值为 （3）小道的最小值为米 【分析】（1）利用三角形三边关系，结合圆的性质可完成证明； （2）取的中点，连接，交半圆于，在半圆上取，连接，，可见，，即是的最小值，再根据勾股定理求出的长，然后减掉半径即可； （3）根据等边三角形的性质得到，求得，设内接于，连接交于，交于，则此时，最小，得到点在上，，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1），，， ， 故答案为：； （2）取的中点，连接，交半圆于，在半圆上任取，连接，，可见，，即是的最小值．    在中，，，， ， ， ． 即长度的最小值为； （3） 是等边三角形， ， ， ， ， 设内接于，连接交于，交于，则此时，最小，   ，， 垂直平分， 点在上，， ， 米， 米， ∴， ∵（米）， （米）， 答：小道的最小值为米． 【点睛】本题考查了圆外一点到圆上的点的最短距离、正方形的性质、勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握圆外一点到圆上的点的最短距离和勾股定理是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 点、直线与圆的位置关系（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断点与圆的位置关系 1 题型二、利用点与圆的位置关系求半径（常考点） 1 题型三、点与圆上一点的最值问题（难点） 2 题型四、判断直线与圆的位置关系 2 题型五、利用直线与圆的位置关系求半径的取值范围（常考点） 4 题型六、直线与圆上一点的最值问题（难点） 4 题型七、切线的判定与性质定理综合（常考点） 5 题型八、应用切线长定理求解（常考点） 6 题型九、三角形内切圆（常考点） 7 题型十、三角形外接圆与内切圆综合（重点） 8 题型十一、圆与圆的位置关系（选做） 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断点与圆的位置关系 1．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．不能确定 2．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）已知的半径为3，，则点A和的位置关系是（    ） A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定 3．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 4．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）是内一点，是上任意一点，若，则的半径为 ． 题型二、利用点与圆的位置关系求半径（常考点） 5．（21-22九年级上·山东德州·期中）有一长、宽分别为、的矩形，以A为圆心作圆，若、、三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径r的取值范围是 ． 6．（2021·广东·模拟预测）如图，点A、B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为 ． 7．（22-23九年级上·江苏·期中）平面直角坐标系中，以点为圆心的，若该圆上有且仅有两个点到轴的距离等于，则的半径的取值范围是 ． 8．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）在同一平面内，已知点到直线的距离为5，以点为圆心，为半径画圆．探究、归纳： (1)当________________时，上有且只有一个点到直线距离等于3； (2)当________________时，上有且只有三个点到直线距离等于3； (3)随着的变化，上到直线的距离等于3的点的个数有哪些变化？求出相对应的的值或取值范围（不必写出计算过程）． 题型三、点与圆上一点的最值问题（难点） 9．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，半径为5的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A．60 B． C． D． 10．（23-24九年级下·山东日照·期中）如图，已知正方形的边长为2，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，中，于点是半径为4的上一动点，连接，若是的中点，连接，则长的最大值为（    ）    A．8 B． C．9 D． 12．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形的边长为4，点与点是线段与线段上的两个动点，在运动过程中线段与始终保持垂直，则线段的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 13．（23-24九年级下·山东威海·期中）如图，在矩形中，，点P是矩形内一动点，连接，，，若，则的最小值为 ．    题型四、判断直线与圆的位置关系 14．（24-25九年级上·山东聊城·期末）在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 15．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ） A．点A在上 B．点C在内 C．直线与相切 D．直线与相离 16．（24-25九年级上·重庆·期中）已知圆心到直线的距离为，的半径为，若、是方程的两个根，则直线和的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相离或相交 17．（22-23八年级下·黑龙江绥化·期末）如图已知的半径为，圆心在抛物线上运行，当与轴相切时，圆心的坐标为 ．    18．（22-23九年级上·湖北十堰·期中）如图，点A是一个半径为的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两村庄，现要在B，C两村庄之间修一条长为的笔直公路将两村连通， 现测得．问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明． 题型五、利用直线与圆的位置关系求半径的取值范围（常考点） 19．（2020·上海金山·一模）如图，已知中，，，，如果以点为圆心的圆与斜边有公共点，那么⊙的半径的取值范围是（      ） A． B． C． D． 20．（20-21九年级上·全国·课后作业）在中，，以点为圆心，为半径作圆．若与边只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 21．（22-23九年级上·辽宁大连·期中）已知的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 22．（23-24九年级上·全国·课后作业）以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为 ． 题型六、直线与圆上一点的最值问题（难点） 23．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在平面中，已知的半径等于，点在直线上，则圆心到直线的距离（    ） A．等于 B．最小值为 C．最大值为 D．不等于 24．如图，已知直线y＝x－3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最小值是（　   　） A．6 B． C．5 D． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（-4，0），B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（    ） A．              B．                 C．                 D．3 26．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）二次函数与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，以点为圆心半径为1的上有一动点D，则面积的最小值为 ． 题型七、切线的判定与性质定理综合（常考点） 27．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，． (1)求证：是的切线； (2)若，求． 28．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，与的边相切于点C，与边分别交于点D、E，，是的直径． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 29．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图1，的直径，和是它的两条切线，点E是圆上一点，过点E的直线与，分别相交于点D，C两点，连接并延长，交点P，． (1)求证： 是的切线； (2)若，求长． 30．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与 交于点是的直径，弦的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 31．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 题型八、应用切线长定理求解（常考点） 32．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（   ） A．17 B．19 C．20 D．22 33．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，，，分别是半径为r的的切线，切点分别A为点A，B，C．已知的周长为，则的正切值为（    ）． A． B． C． D． 34．（24-25九年级上·广西钦州·期末）如图，⊙O的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点，设，，则y关于x的图象大致为（    ） A．B．C． D． 题型九、三角形内切圆（常考点） 35．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是的内切，三个切点分别为点D，E，F．若，．则的面积为 36．（2024·四川自贡·中考真题）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是的切线． 37．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 39．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，中，，，，，是的内切圆，求的半径（用含、、的代数式表示）． （1）小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． 小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． （2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明． 40．（24-25九年级上·山东威海·期末）【阅读材料】 已知，如图1，在面积为的中，，，，内切圆的半径为．连接、、，被划分为三个小三角形． ∵． ∴． 【理解运用】 (1)两条直角边长为3和4，则它的内切圆半径为______； (2)如图2，中，，，求的内切圆的半径； (3)如图3，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为、、，设的半径为，的半径为，若，，，，，求的值． 题型十、三角形外接圆与内切圆综合（重点） 41．（24-25九年级上·山东·期末）如图，在中，． (1)在图1中作的外接圆；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，点I是内切圆的圆心，当，时，连接，求的长．（可在备用图中画出图形） 42．（22-23九年级上·山东日照·期中）如图，一块等腰三角形钢板的底边长为，腰长为． (1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径： (2)用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？ (3)求这块等腰三角形钢板的内心与外心之间距离． 43．（24-25九年级下·江西·期末）如图，在中，，O，I，H分别是它的外心，内心，垂心．试比较的外接圆与的外接圆的大小，证明你的论断． 44．（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数： (2)若，，，请直接写出与的数量关系； (3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 45．（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务 探究三角形的特殊点 通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获． 定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点． 性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上． 如图，已知是锐角三角形，是其外接圆，点是的垂心，分别连接并延长，交于点． 求证：点分别是点关于边的对称点． 证明：如图，连接． ∵点是的垂心，∴，， ∴，，∴， 又（依据），∴， ∴直线和关于对称．∴点和点关于对称． 任务：(1)上面日记中“依据”指的是 ； (2)下列说法正确的是 ； A．锐角三角形的垂心在三角形外    B．直角三角形的垂心在直角顶点处 C．钝角三角形的垂心在三角形内    D．等腰三角形的内心和外心重合 (3)请仿照小宇的思路证明点和点关于对称． 题型十一、圆与圆的位置关系（选做） 46．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们已经学习过点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，那么圆与圆有什么样的位置关系呢？学习小组的各位同学通过查阅资料，得到圆与圆的位置关系如图． 爱动脑筋的小刚提出了疑问：点与圆的位置关系是根据点到圆心的距离与半径之间的关系进行判断的，直线与圆的位置关系是根据圆心到直线的距离与半径之间的关系进行判断的，那么如何判断两圆之间的位置关系呢？ 学习小组的同学通过不断探究，最终得出了结论： 如图，设两圆的圆心分别为点，，两圆心之间的距离即圆心距为（即），两圆的半径分别为，（假设），则 外离：没有公共点，两圆外离； 外切：有唯一的公共点，两圆外切； 相交：有两个公共点，两圆相交； 内切：有唯一的公共点，两圆内切； 内含：没有公共点，两圆内含． 任务： (1)若两圆的圆心分别为点，，其半径分别为和，且，则两圆的位置关系为_____． (2)若两圆的半径比为，内切时圆心距等于，那么这两圆相交时，圆心距的取值范围是_____． (3)如图3，半径均为的与外切于点．将三角板的直角顶点放在点处，再将三角板绕点旋转，使三角板的两直角边中的一边与相交于点，另一边与相交于点（转动过程中直角边与两圆都不相切），连接．在转动过程中线段的长与半径之间有什么关系？并证明你的结论． 47．（24-25九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，对图形M和图形N，点P是图形M上一点，点Q为图形N上任意一点，若存在一点Q使得P，Q两点之间距离有最小值，记为d．当点P在图形M上运动时，d也随之变化，在变化过程中，若d存在最小值和最大值，分别记为和，则定义图形M和图形N的距离为．已知点，点，的半径为1． (1)［，点A］ ；［，线段］ ； (2)若的半径为r，与没有公共点，若［，］，则r的取值范围是 ； (3)已知点E在上，过点E作x轴的垂线交直线于点F，直接写出［线段，x轴］的取值范围． 48．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）水平放置的曲轴连杆的工作原理示意图如图所示，连杆在活塞的带动下绕轴匀速转动，连杆拖动气缸中的活塞做直线运动．连杆，连杆． (1)当连杆从位置按顺时针方向转至连杆与首次相切时，求活塞移动的距离． (2)当连杆从位置按顺时针方向旋转时，求活塞移动的距离．（说明：计算结果保留根号．） 49．（24-25九年级上·山东日照·期末）如图，的内接等腰是边上的动点（不与B，C重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到，连接交于点． (1)判断与的位置关系，请说明理由； (2)若，在点的运动过程中，求线段长的最大值． 50．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，内接于，是直径，平分交于点D，交于点E，连接．过点D作交的延长线于点F． (1)证明：是的切线； (2)证明：； (3)若，，______；点O到的距离_____． 51．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)取何值时，平分； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由． 52．（24-25九年级上·山东威海·期末）在中，，，以B为圆心作．点P是上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转90°得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若与相切，则的度数是；（直接写答案） (3)连接，，，求线段的最大长度． 53．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知线段、与相切，切点分别为、，，． (1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）． (2)求证：与相切． (3)若，，求的半径． 54．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图所示，矩形在平面直角坐标系中，，边与y轴交于点E，M为边上的点，以M为圆心，为半径作的一部分弧，交于点F，连接，且与弧相切，平分，反比例函数的图象经过点M，交于点N． (1)求反比例函数的解析式及点N的坐标； (2)在直线上是否存在点P，使的值最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 55．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）【初步探究】（1）如图1，为的直径，点P在的延长线上，在上任取一点C（不与A，B两点重合），连接，．则_________；（填“>”“<”或“=”） 【直接运用】（2）如图2，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求线段长度的最小值； 【构造运用】（3）如图3，是一个边长为200米的等边三角形空地，点P为区域内一点，分别沿、、修三条人行小道，三条人行小道将三角形空地分成了三个区域，用来种植三种不同的花卉，根据设计思路，要使得，求小道的最小值．    1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $