专题04 直线与圆位置关系的实际应用 （专项训练）数学冀教版九年级下册

专题04 直线与圆位置关系的实际应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用直线与圆的位置关系解决实际问题 1 题型二、转化思想（将实际问题转化为数学中的距离与半径关系问题） 2 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用直线与圆的位置关系解决实际问题 1．淇淇陪弟弟玩积木时，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以为直径的半圆O和边长为的正方形，P，Q分别为半圆O上的点．如图1所示，此时半圆O与水平面恰好切于点P，，延长与半圆O分别交于点E，F．将半圆O向右无滑动滚动，使点D落在半圆O上，此时半圆O与水平面恰好切于点Q，如图2所示． (1)在图1中，求弦的长； (2)在图2中，求的长； (3)在图2中，过点D作半圆O的切线与直线交于点H，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：如图，连接，，与交于点， ∵半圆与水平面相切于点，为半圆的半径，四边形为正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； （2）解：如图，连接，，延长交于点， ∵四边形为正方形，半圆与水平面相切于点，为半圆的半径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴的长为， （3）解：如图，连接，由切线长定理可得， 设，则，由（）得，则， ∴在中，， 即， 解得， ∴， ∴． 2．（2025·河北石家庄·模拟预测）一辆汽车停放于积水路面上，如图1是该汽车轮胎的截面示意图，已知轮胎与地面相切于点（轮胎的形变忽略不计），若轮胎没入积水的最大深度为，轮胎与积水面的接触长度为． (1)求轮胎的半径； (2)如图2，当汽车行驶到坡角为的斜坡上的点时（与坡面相切于点），过轮胎中心作水平地面的垂线与交于点，与斜坡交于点，与水平地面交于点，已知． ①求车轮轮胎中心到水平地面的距离（结果保留根号）； ②直接写出劣弧的长度，并直接比较劣弧与线段的大小（结果保留） 【答案】(1) (2)①；②， 【详解】（1）解：连接交于C， ∵轮胎与地面相切于点 ∴垂直于地面， ∵平行地面， ∴， ∴， 设轮胎的半径为． 在中，，，，， ∴， 解得， ∴轮胎的半径为； （2）解：①∵，， ∴， 又， ∴， 在中，， ， 又 ∴， 又，， ∴， ∴， 即车轮轮胎中心到水平地面的距离； ②， ∵，， ∴． 3．（2025·河北石家庄·三模）图所示的脚踏摇摇凳可以放到办公桌下，脚踩在上面能随意前后晃动，对长期伏案办公的工作人员的下肢有很好的放松作用，上面是可以脚踩的平板，平板下部左右两侧各有一段相同的圆弧支撑如图是脚踏摇摇凳侧面的截面图，其中是平板下部的圆弧支撑，已知当弦平行于地面时，弦到地面的距离是圆半径的一半，． (1)尺规作图：确定所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求圆的半径； (3)求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)圆的半径为 (3) 【详解】（1）解：如图，先过点作的垂线，交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点， 则点即为所求． （2）解：连接， 由题意得，． 由（1）知，于点， ． 设圆的半径为， 则，， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 圆的半径为． （3）解：连接， 可得，， 在中，， ∴， ， ， ， 的长度为． 3．（2024·河北邯郸·模拟预测）粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，C、D是两个加速电极，高速飞行的粒子J在A点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过 时被加速，达到一定的速度在B点引出，粒子注入和引出路径都与相切．已知：，粒子注入路径与夹角，所对的圆心角是． (1)求的度数； (2)通过计算，比较与的长度哪个更长； (3)直接写出粒子J在环形运动过程中，粒子J到的最远距离．（相关数据： ） 【答案】(1) (2)的长度更长，见解析 (3)粒子J到的最远距离是 【详解】（1）解：如图，延长交于G， 由题意得，是的切线， ∴， ∴； （2）解：的长度更长， ∵所对的圆心角为，， ∴的长度约为， ∵， ∴的长度更长； （3）解：如图，过点O作于点E，延长交于点P，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵是的弦，是弦心距，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，当粒子J运动到P点时，离的距离最远， ∴， 即粒子J到的最远距离是． 4．（2024·河北·模拟预测）活动小组自制了一个“不倒翁”，图1是“不倒翁”稳定直立在桌面上的简易截面图，其主要结构如下：为连接不倒翁最顶端和最底端的中心支架，点E，F是底部半圆O上的两点，，连接，，连接交于点K，在与半圆O所围成的弓形部分填充固定重物．已知，为半圆O的直径，． (1)若． ①求填充物部分(弓形)的深度及的长； ②如图2，当支架摆动到使点E落在桌面上时，求支架顶端点A到桌面的距离； (2)小组经过实验发现当时，不倒翁的摇摆效果最佳．现小组决定增加填充物提升的位置，使，并摆动支架，仍使点E落在桌面上，直接写出此时点F比②中点F的位置升高的距离． 【答案】(1)①，的长为；②支架顶端点A到桌面的距离为 (2)此时点F比②中点F的位置升高的距离为 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，的长为； ②如图，过点A作于点G，过点O作于点H， 由题意可知：半圆O与相切于点E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴支架顶端点A到桌面的距离为； （2）解：如图，过点F分别作，垂足分别为Q，T， 由题意可知：半圆O与相切于点E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 设，则有， ∵， ∴， 解得：， ∴点F到的距离为， 在（1）②中，， ∴点F到的距离为， ∵， ∴此时点F比②中点F的位置升高的距离为． 5．（河北沧州·一模）有一个圆球（球心为点），从一个斜坡沿最短路径向下滚动，最终落在左侧的圆柱形坑的坑口上，其示意图如图1所示，点是圆球与坡面的切点．已知坡面与水平面的夹角是，球的半径是． 探究： （1）当球心到坡底的水平距离是时，求球心的高度； （2）在球面上标记一点，使，在球向下滚动的过程中，当的箭头第一次指向竖直向下时，球滚动的距离是多少? 拓展：当球在斜坡上向下滚动的距离是7时，它的高度会降低多少?在图2中画出示意图，并计算； 延伸：当球落在坑口上时，球在水平面以上的部分的高度是，求坑口的半径． 【答案】探究：（1）；（2）；拓展：降低；延伸：坑口的半径为 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵点是圆球与坡面的切点， ∴， ∴， 又∵坡面与水平面的夹角是，， ∴， ∵球的半径是．球心到坡底的水平距离是， ∴，， ∴，即球心的高度为； （2）由（1）可得， ∵， ∴， ∴点旋转的角度为， ∴当的箭头第一次指向竖直向下时，球滚动的距离是， 拓展：解：由（1）可得， 如图， ∵当球在斜坡上向下滚动的距离是7时， ∴， 在中，， 同（1）可得， ∴， ∴． ∴它的高度会降低． 延伸：如图，连接，过点作于点，则， ∵球在水平面以上的部分的高度是，球的半径是． ∴，， ∴． 即坑口的半径为． 题型二、转化思想（将实际问题转化为数学中的距离与半径关系问题） 1．（2025·河北沧州·一模）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（阴影部分，且大、小圆的圆心都是点）面积的方法． (1)小组甲同学说：“我只用一根木条和一个卷尺就可求环形花坛的面积，做法：将木条与小圆相切于点，与大圆交于点，，如图所示．”若测量出，求环形花坛的面积的过程如下所示，请补全； 解：如图，连接，． ∵与小圆相切于点，∴，∴________，． ________________． (2)在（）的基础上，点在上，且是的中点，向上平移木条，直到点，均在大圆上时停止，此时木条与小圆交于点，，如图所示．将木条绕点逆时针旋转得到，与大圆交于点，点的对应点为点． 当大圆的半径为，时，求的长度； 小组乙同学说：“只要测出图中和的长度，也可求出环形花坛的面积．”你认为乙同学的说法正确吗？若正确，请用含，的式子表示环形花坛的面积；若不正确，请说明理由； 连接，．已知大圆的半径为，．在木条旋转过程中，当的度数最大时，请直接写出的度数． 【答案】(1)；；； (2)；正确，见解析；． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵与小圆相切于点， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：；；； （2）连接，， ∵， ∴， ∴的长为； 正确，理由， 连接，，， 由（）可得， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴； 如图，连接，点的运动轨迹是以点为圆心，以长为半径的圆弧， 当与相切时，的度数最大， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即． 2．（2025·河北保定·一模）淇淇清明假期去游乐园玩，她玩了游乐园里的小型摩天轮后编制了一道数学问题：将摩天轮看作，如图1，摩天轮上的12个轿厢看作均匀分布在上的点，摩天轮运行时保持顺时针匀速转动，线段表示上下摩天轮的平台，表示摩天轮的支架，分别过图中两个轿厢的位置，乘客都从图中点位置的轿厢上下摩天轮，摩天轮直径为40米，运转一周用时12分钟，米．（参考数据：） (1) °； (2)如图2，当淇淇到达点处时，与她开始进入轿厢的位置（点）之间恰好相距32米（即线段的长为32米），求淇淇转过的弧的长度； (3)设淇祺进入轿厢分钟时所处位置为点，连接，若与⊙O相切，直接写出此时的值． 【答案】(1)60 (2)弧的长为米 (3)分钟或分钟 【详解】（1）解：∵摩天轮上的12个轿厢看作均匀分布在上的点， ∴相邻的轿厢与圆心形成的圆心角， 则， 故答案为：60； （2）解：如图所示：过点O作， ∵， ∴米，， ∵摩天轮直径为40米， ∴米， 在中，（米）， 则， 故， ∴ 则（米），， ∴弧的长为米； （3）解：依题意，，分别是的切线，连接，如图所示： 依题意，米，， ∵米， ∴在中，， ∴， ∴， 由（1）得相邻的轿厢与圆心形成的圆心角， 即， ∴， ∵运转一周用时12分钟， ∴， ∴当淇祺进入轿厢分钟时所处位置为点， ∴； ∴当淇祺进入轿厢分钟时所处位置为点， ∴（分钟）； 综上：分钟或分钟 3．（2025·河北邯郸·三模）图1是木马玩具底水平放置的示意图，点O是所在圆的圆心．的半径为，已知点A，B之间的水平距离为，且两点距离地面的竖直高度一样高． 建模计算 （1）求点A的竖直高度； 操作理解 （2）将图1的木马玩具沿地面向右作无滑动的滚动，当与相切于点B时，如图2，点A的竖直高度升高了多少？ 拓展探索 （3）在上述操作过程中，直接写出圆心O移动的距离．（参考数据：） 【答案】（1）点A的竖直高度为；（2）点A的竖直高度升高了；（3）圆心O运动的路径长为 【详解】解：（1）连接，过点O作，与交于点C，与交于点D，如图， 由题意得：，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即点A的竖直高度为； （2）当与相切于点B时，过点A作于点E，于点F，如图， ∵与相切于点B， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， 设， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， 即：， ∴当与相切于点B时，A的竖直高度为， ∵， ∴点A的竖直高度升高了； （3）解：如图， 根据题意可得的长即为点O运动的路径长， 由（1）知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长， ∴圆心O运动的路径长为． 4．（2025·河北邯郸·模拟预测）音乐课上，老师带领同学们自制弹拨乐器，将空心不带盖的塑料圆管放置在水平台面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定（图），图为其截面示意图，半径为的与水平台面相切于点，点在上，两木块之间的距离． (1)直接写出的度数； (2)求长方体木块的高； (3)如图，弦交于，且． 操作：将塑料圆管沿切割取下面的部分，得到图中的型塑料管，将拨弦线与型截面平行，并套在型塑料管上便得到自制弹拨乐器． 计算：求每一根拨弦线的长． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵是的切线，切点为， ∴， ∴； （2）解：过点作于，连接，如图， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点在同一直线上， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：长方体木块的高为； （3）解：∵弦交于，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴, ∴， 又∵的长， ∴每一根拨弦线的长为． 一、单选题 1．（2025·河北唐山·二模）某公路急转弯处是一段圆弧，其俯视图如图，汽车在转弯时起点为A，终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，汽车在从A到B行驶的过程中转角为，若圆弧的半径，则这段圆弧的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点A、B的两条切线相交于点C， ， ， ， ， 这段圆弧的长为， 故选：A． 二、填空题 2．（2024·河北唐山·二模）木匠师傅用长， 宽 的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面（圆形桌面可以由一块木板锯成，也可以由拼接的木板锯成），有如下三种方案： 方案一：如图1，直接锯一个半径最大的圆； 方案二：如图2，沿对角线将矩形锯成两个三角形；适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案三：如图3，锯一块矩形拼到矩形下面，利用拼成的木板锯一个最大的圆． （1）方案二比方案一做出的圆形桌面的半径大 ； （2）方案三中所锯最大圆的半径是 ． 【答案】 / 【详解】（1）解：由题意知，直接锯一个半径最大的圆的半径为， 如图2，作于，于，则四边形是正方形， ∴，， ∴， 设正方形的半径为，则， ∵， ∴，即， 解得，， ∴沿对角线将矩形锯成两个三角形；适当平移三角形并锯一个最大的圆的半径为， ∵， ∴方案二比方案一做出的圆形桌面的半径大， 故答案为：； （2）解：设图3圆的半径为，， ∴新拼图形的水平长度为，竖直长度为， ∴所截得的圆的直径最大为或， 当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，； 综上所述，所截得的圆的直径最大为， 故答案为：． 3．（2025·河北邯郸·三模）如图1的螺丝钉由头部直六棱柱和螺纹圆柱组合而成，其俯视图如图2所示．珍珍想用一把刻度尺测量出螺纹直径，已知刻度尺紧贴螺纹刻度尺与相切，经过点A且交于点若测得正六边形的边长为6，长为． （1）计算的长为 ； （2）螺纹的直径为 结果保留根号 【答案】 3 / 【详解】解：（1）连接，，，，过点P作，交的延长线于点H，设与相切于点Q，连接，如图所示： 六边形是正六边形，且边长为6， ，，， 和都是等边三角形， ，， ， ， 设，则，其中， 在中，， ， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去， ， 故答案为：3； （2），， ， 是等边三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ， ， ， 是直角三角形， 与相切于点Q， 是的半径，， 由三角形的面积公式得：， ， 的直径为： 即螺纹的直径为 故答案为： 三、解答题 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）李阿姨正在练习扇子舞，如图1，她握住扇子的端点Q，将扇子绕点Q在平面内逆时针旋转一周．佳佳认真观察扇子的运动，画出示意图（图2），研究其中的数学问题．经测量可得，，扇形从与重合的状态开始绕点Q逆时针旋转，点P的对应点为点M． (1)当点落在弧上时，求的度数，并判断点O是否在直线上； (2)当所在直线与扇形第一次相切时，求点经过的路径的长； (3)连接，当扇形转动一周时，求的取值范围． 【答案】(1)，在 (2) (3) 【详解】（1）解：点O在直线上，理由如下： 如图1，连接， 为等边三角形， ， ， ∴点O在直线上； （2）当扇形 的半径所在直线与扇形第一次相切时，如图2，则， ； ∴点经过的路径的长为； （3）根据题意可知旋转中心为点Q，为定值， ∴当扇形旋转一周时，点M的轨迹是以点Q为圆心，的长为半径的一个圆． 如图3，向两侧延长，分别交大圆Q于点 A，B， ∴，的长分别为 的最小值和最大值． 连接，如图4， 过点O作于点D，交于点E， ∴的取值范围为 5．（2023·河北张家口·模拟预测）粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，是两个加速电极，高速飞行的粒子在点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点引出，粒子注入和引出路径都与相切．已知：，粒子注入路径与夹角，所对的圆心角是． (1)求粒子在环形运动过程中，粒子到的最远距离； (2)比较与的长度哪个更长； (3)若粒子被注入粒子加速器后，三次经过被加速后被引出粒子加速器，求粒子在粒子加速器内飞行距离．（相关数据：） 【答案】(1) (2)的长度更长，见解析 (3) 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，延长交于点，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵是的弦，是弦心距，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当粒子到达点时，离的距离最远，最远距离为； （2）解：的长度更长， 理由：∵所对的圆心角为，且， ∴的长度为：，且， ∵， ∴的长度更长； （3）解：由（1）可得，， ∴圆的周长为：，则绕行两次的周长为：，的长度为：，的长度为：， ∴粒子三次经过被加速后被引出，粒子在加速器内飞行距离为：． 6．（2024·河北石家庄·一模）图中是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，带动点Q使磨盘绕点O转动，，． (1)当点O、P、Q三点共线时，的长为 ． (2)点P由轨道最远处向A滑动，使磨盘转动不超过的过程中： ①与相切于点Q，如图1，求的长； ②从①中相切的位置开始，点P继续向点A方向滑动至点，点Q随之逆时针运动至点，此时，求点Q运动的路径长（结果保留π）（参考数据：，，） 【答案】(1)或 (2)①；② 【详解】（1）解：如图：当点Q在线段上时，    在中，， ， ； 如图：当点Q在的延长线上时，   ， ， 综上，的长为或； （2）解：①如图1，连接， 与相切于点， ，    在中， ， 在中，； ②如图2，连接、，过点作交于点．   ，， 四边形是平行四边形， 交于点 ， ， ， ． 7．（2025·河北石家庄·一模）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图，是水平放置的破裂管道有水部分的截面． (1)请找出截面的圆心O．（尺规作图不写画法，保留作图痕迹．） (2)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深的地方为，求这个圆形截面的半径． 【答案】(1)见解析； (2)这个圆形截面的半径 【详解】（1）解：如图，点O即为所求， （2）解：如图，连接，交于点E，交弧于点D， ∴， 由题意得，， 设半径为，则， 在中，， ∴， 解得， ∴这个圆形截面的半径． 8．（2025·河北沧州·模拟预测）周末淇淇爸爸陪淇淇去游乐场玩，淇淇坐在旋转木马上，淇淇爸爸编制了一道数学题目：如图1和图2为旋转木马示意图，其中圆O为旋转木马，淇淇坐在旋转木马的外侧木马上（看成圆周上的点），淇淇爸爸站在点处给淇淇拍视频，，为圆的切线，与圆交于点．旋转木马的铭牌上显示这个旋转木马直径． (1)如图1，当时，直接写出的形状并计算的长度； (2)如图2，当时，比较与劣弧的长． 【答案】(1)为等腰直角三角形，的长度为 (2)小于劣弧的长 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵，为圆的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 的长度为； （2）解：连接，，如图所示： 为圆的切线， ， ，， ∴， ， ， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， 的长为， ， 小于劣弧的长． 9．（2025·河北石家庄·二模）盾构机中某种零件是由两个厚度均为1cm的圆弧形金属块紧密嵌套而成，装置内部存有一定液体，将该装置放置在水平桌面MN上，其截面示意图如图1所示，液面记为EF，内侧金属壁记为，外侧金属壁记为，当外侧金属壁在MN上无滑动转动一定的角度时，内侧金属壁则向反方向转动相同的角度．已知，其中，内外壁所在圆的圆心均为O，两弧所对的圆心角均为240°，内侧壁的半径为4cm．与桌面的接触点为P． (1)当内侧金属壁转动到如图2所示的位置时，连接AC，BD．求证：． (2)如图3，当内侧金属壁转动至点B，O，P共线时，液面的一端E恰与点A重合，求液面的长． 【答案】(1)见解析 (2)4cm 【详解】（1）证明：如图（1），连接， 由题意知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图（2），连接交于点G，则经过点O， 由题意得：与相切于点P， ∴， 又， ∴， 连接，则， ∴， ∵， ∴ ∴． 10．（2025·河北唐山·二模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． (1)相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为____． (2)求的长． (3)求线段与的长，并比较大小． 【答案】(1) (2) (3)线段 【详解】（1）解：由题意可知：八个方位将圆形八等分， ∴相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为． （2）∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：的长是； （3）∵为的切线， ∴， 由（2）知：， ∴ 如图所示，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 答：线段． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线与圆位置关系的实际应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用直线与圆的位置关系解决实际问题 1 题型二、转化思想（将实际问题转化为数学中的距离与半径关系问题） 2 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用直线与圆的位置关系解决实际问题 1．淇淇陪弟弟玩积木时，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以为直径的半圆O和边长为的正方形，P，Q分别为半圆O上的点．如图1所示，此时半圆O与水平面恰好切于点P，，延长与半圆O分别交于点E，F．将半圆O向右无滑动滚动，使点D落在半圆O上，此时半圆O与水平面恰好切于点Q，如图2所示． (1)在图1中，求弦的长； (2)在图2中，求的长； (3)在图2中，过点D作半圆O的切线与直线交于点H，求的值． 2．（2025·河北石家庄·模拟预测）一辆汽车停放于积水路面上，如图1是该汽车轮胎的截面示意图，已知轮胎与地面相切于点（轮胎的形变忽略不计），若轮胎没入积水的最大深度为，轮胎与积水面的接触长度为． (1)求轮胎的半径； (2)如图2，当汽车行驶到坡角为的斜坡上的点时（与坡面相切于点），过轮胎中心作水平地面的垂线与交于点，与斜坡交于点，与水平地面交于点，已知． ①求车轮轮胎中心到水平地面的距离（结果保留根号）； ②直接写出劣弧的长度，并直接比较劣弧与线段的大小（结果保留） 3．（2025·河北石家庄·三模）图所示的脚踏摇摇凳可以放到办公桌下，脚踩在上面能随意前后晃动，对长期伏案办公的工作人员的下肢有很好的放松作用，上面是可以脚踩的平板，平板下部左右两侧各有一段相同的圆弧支撑如图是脚踏摇摇凳侧面的截面图，其中是平板下部的圆弧支撑，已知当弦平行于地面时，弦到地面的距离是圆半径的一半，． (1)尺规作图：确定所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求圆的半径； (3)求的长度． 3．（2024·河北邯郸·模拟预测）粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，C、D是两个加速电极，高速飞行的粒子J在A点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过 时被加速，达到一定的速度在B点引出，粒子注入和引出路径都与相切．已知：，粒子注入路径与夹角，所对的圆心角是． (1)求的度数； (2)通过计算，比较与的长度哪个更长； (3)直接写出粒子J在环形运动过程中，粒子J到的最远距离．（相关数据： ） 4．（2024·河北·模拟预测）活动小组自制了一个“不倒翁”，图1是“不倒翁”稳定直立在桌面上的简易截面图，其主要结构如下：为连接不倒翁最顶端和最底端的中心支架，点E，F是底部半圆O上的两点，，连接，，连接交于点K，在与半圆O所围成的弓形部分填充固定重物．已知，为半圆O的直径，． (1)若． ①求填充物部分(弓形)的深度及的长； ②如图2，当支架摆动到使点E落在桌面上时，求支架顶端点A到桌面的距离； (2)小组经过实验发现当时，不倒翁的摇摆效果最佳．现小组决定增加填充物提升的位置，使，并摆动支架，仍使点E落在桌面上，直接写出此时点F比②中点F的位置升高的距离． 5．（河北沧州·一模）有一个圆球（球心为点），从一个斜坡沿最短路径向下滚动，最终落在左侧的圆柱形坑的坑口上，其示意图如图1所示，点是圆球与坡面的切点．已知坡面与水平面的夹角是，球的半径是． 探究： （1）当球心到坡底的水平距离是时，求球心的高度； （2）在球面上标记一点，使，在球向下滚动的过程中，当的箭头第一次指向竖直向下时，球滚动的距离是多少? 拓展：当球在斜坡上向下滚动的距离是7时，它的高度会降低多少?在图2中画出示意图，并计算； 延伸：当球落在坑口上时，球在水平面以上的部分的高度是，求坑口的半径． 题型二、转化思想（将实际问题转化为数学中的距离与半径关系问题） 1．（2025·河北沧州·一模）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（阴影部分，且大、小圆的圆心都是点）面积的方法． (1)小组甲同学说：“我只用一根木条和一个卷尺就可求环形花坛的面积，做法：将木条与小圆相切于点，与大圆交于点，，如图所示．”若测量出，求环形花坛的面积的过程如下所示，请补全； 解：如图，连接，． ∵与小圆相切于点，∴，∴________，． ________________． (2)在（）的基础上，点在上，且是的中点，向上平移木条，直到点，均在大圆上时停止，此时木条与小圆交于点，，如图所示．将木条绕点逆时针旋转得到，与大圆交于点，点的对应点为点． 当大圆的半径为，时，求的长度； 小组乙同学说：“只要测出图中和的长度，也可求出环形花坛的面积．”你认为乙同学的说法正确吗？若正确，请用含，的式子表示环形花坛的面积；若不正确，请说明理由； 连接，．已知大圆的半径为，．在木条旋转过程中，当的度数最大时，请直接写出的度数． 2．（2025·河北保定·一模）淇淇清明假期去游乐园玩，她玩了游乐园里的小型摩天轮后编制了一道数学问题：将摩天轮看作，如图1，摩天轮上的12个轿厢看作均匀分布在上的点，摩天轮运行时保持顺时针匀速转动，线段表示上下摩天轮的平台，表示摩天轮的支架，分别过图中两个轿厢的位置，乘客都从图中点位置的轿厢上下摩天轮，摩天轮直径为40米，运转一周用时12分钟，米．（参考数据：） (1) °； (2)如图2，当淇淇到达点处时，与她开始进入轿厢的位置（点）之间恰好相距32米（即线段的长为32米），求淇淇转过的弧的长度； (3)设淇祺进入轿厢分钟时所处位置为点，连接，若与⊙O相切，直接写出此时的值． 3．（2025·河北邯郸·三模）图1是木马玩具底水平放置的示意图，点O是所在圆的圆心．的半径为，已知点A，B之间的水平距离为，且两点距离地面的竖直高度一样高． 建模计算 （1）求点A的竖直高度； 操作理解 （2）将图1的木马玩具沿地面向右作无滑动的滚动，当与相切于点B时，如图2，点A的竖直高度升高了多少？ 拓展探索 （3）在上述操作过程中，直接写出圆心O移动的距离．（参考数据：） 4．（2025·河北邯郸·模拟预测）音乐课上，老师带领同学们自制弹拨乐器，将空心不带盖的塑料圆管放置在水平台面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定（图），图为其截面示意图，半径为的与水平台面相切于点，点在上，两木块之间的距离． (1)直接写出的度数； (2)求长方体木块的高； (3)如图，弦交于，且． 操作：将塑料圆管沿切割取下面的部分，得到图中的型塑料管，将拨弦线与型截面平行，并套在型塑料管上便得到自制弹拨乐器． 计算：求每一根拨弦线的长． 一、单选题 1．（2025·河北唐山·二模）某公路急转弯处是一段圆弧，其俯视图如图，汽车在转弯时起点为A，终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，汽车在从A到B行驶的过程中转角为，若圆弧的半径，则这段圆弧的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2024·河北唐山·二模）木匠师傅用长， 宽 的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面（圆形桌面可以由一块木板锯成，也可以由拼接的木板锯成），有如下三种方案： 方案一：如图1，直接锯一个半径最大的圆； 方案二：如图2，沿对角线将矩形锯成两个三角形；适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案三：如图3，锯一块矩形拼到矩形下面，利用拼成的木板锯一个最大的圆． （1）方案二比方案一做出的圆形桌面的半径大 ； （2）方案三中所锯最大圆的半径是 ． 3．（2025·河北邯郸·三模）如图1的螺丝钉由头部直六棱柱和螺纹圆柱组合而成，其俯视图如图2所示．珍珍想用一把刻度尺测量出螺纹直径，已知刻度尺紧贴螺纹刻度尺与相切，经过点A且交于点若测得正六边形的边长为6，长为． （1）计算的长为 ； （2）螺纹的直径为 结果保留根号 三、解答题 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）李阿姨正在练习扇子舞，如图1，她握住扇子的端点Q，将扇子绕点Q在平面内逆时针旋转一周．佳佳认真观察扇子的运动，画出示意图（图2），研究其中的数学问题．经测量可得，，扇形从与重合的状态开始绕点Q逆时针旋转，点P的对应点为点M． (1)当点落在弧上时，求的度数，并判断点O是否在直线上； (2)当所在直线与扇形第一次相切时，求点经过的路径的长； (3)连接，当扇形转动一周时，求的取值范围． 5．（2023·河北张家口·模拟预测）粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，是两个加速电极，高速飞行的粒子在点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点引出，粒子注入和引出路径都与相切．已知：，粒子注入路径与夹角，所对的圆心角是． (1)求粒子在环形运动过程中，粒子到的最远距离； (2)比较与的长度哪个更长； (3)若粒子被注入粒子加速器后，三次经过被加速后被引出粒子加速器，求粒子在粒子加速器内飞行距离．（相关数据：） 6．（2024·河北石家庄·一模）图中是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，带动点Q使磨盘绕点O转动，，． (1)当点O、P、Q三点共线时，的长为 ． (2)点P由轨道最远处向A滑动，使磨盘转动不超过的过程中： ①与相切于点Q，如图1，求的长； ②从①中相切的位置开始，点P继续向点A方向滑动至点，点Q随之逆时针运动至点，此时，求点Q运动的路径长（结果保留π）（参考数据：，，） 7．（2025·河北石家庄·一模）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图，是水平放置的破裂管道有水部分的截面． (1)请找出截面的圆心O．（尺规作图不写画法，保留作图痕迹．） (2)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深的地方为，求这个圆形截面的半径． 8．（2025·河北沧州·模拟预测）周末淇淇爸爸陪淇淇去游乐场玩，淇淇坐在旋转木马上，淇淇爸爸编制了一道数学题目：如图1和图2为旋转木马示意图，其中圆O为旋转木马，淇淇坐在旋转木马的外侧木马上（看成圆周上的点），淇淇爸爸站在点处给淇淇拍视频，，为圆的切线，与圆交于点．旋转木马的铭牌上显示这个旋转木马直径． (1)如图1，当时，直接写出的形状并计算的长度； (2)如图2，当时，比较与劣弧的长． 9．（2025·河北石家庄·二模）盾构机中某种零件是由两个厚度均为1cm的圆弧形金属块紧密嵌套而成，装置内部存有一定液体，将该装置放置在水平桌面MN上，其截面示意图如图1所示，液面记为EF，内侧金属壁记为，外侧金属壁记为，当外侧金属壁在MN上无滑动转动一定的角度时，内侧金属壁则向反方向转动相同的角度．已知，其中，内外壁所在圆的圆心均为O，两弧所对的圆心角均为240°，内侧壁的半径为4cm．与桌面的接触点为P． (1)当内侧金属壁转动到如图2所示的位置时，连接AC，BD．求证：． (2)如图3，当内侧金属壁转动至点B，O，P共线时，液面的一端E恰与点A重合，求液面的长． 10．（2025·河北唐山·二模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． (1)相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为____． (2)求的长． (3)求线段与的长，并比较大小． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $