2.3.2抛物线的简单几何性质（第2课时）（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的轨迹问题及实际应用，通过回顾抛物线定义与标准方程导入，以典例“点M到焦点与直线距离关系”引出轨迹方程求解，结合变式训练衔接定义与性质应用，搭建从概念到解题的学习支架。 亮点在于以“数学思维”引导轨迹问题推理（如利用定义直接列方程），“数学眼光”抽象实际问题（如隧道、拱桥建立坐标系），“数学语言”构建模型解决问题。小结步骤化梳理方法，助力学生系统掌握，教师可高效备课，学生提升应用与探究能力。

第二章 圆锥曲线 2 抛物线 2.3.2 抛物线的简单 几何性质（第二课时） 北师大版2019·选择性必修第一册 学 习 目 标 2 3 掌握与抛物线有关的轨迹问题. 会利用抛物线定义求解相关问题. 能利用抛物线方程解决一些实际问题. 1 读教材 阅读课本P72-P73，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“抛物线的简单几何性质”吧！ 1.如何求抛物线的轨迹方程？ 2.解决抛物线的实际应用问题一般步骤有哪些？ 新课引入 一、抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合 (或轨迹) 叫作抛物线. 这个定点F叫作抛物线的焦点, 这条定直线l叫作抛物线的准线. 二、抛物线的标准方程 我们把方程叫做抛物线的标准方程. 它表示焦点在轴正半轴上，焦点是，准线是的抛物线. 学习过程 01 03 02 目录 1 求抛物线有关的轨迹问题 3 题型训练 2 抛物线的实际应用问题 典例1：已知点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程. 解：如图，点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2， 即“点M到点F(4,0)的距离等于它到直线l':x+4=0的距离”. 由此可知，点M的轨迹是以F(4,0)为焦点， 以直线l':x+4=0为准线的抛物线. 故点M的轨迹方程是y2=16x. 新知探究 知识点一、求抛物线有关的轨迹问题 根据题目中的数量关系，利用曲线的定义直接列方程确定点M的轨迹方程. 数量关系 列方程 6 变式训练 变式1：已知点M到点A(-2，0)的距离比点M到直线x=3的距离小1，求点M的轨迹方程. 解： 由已知可发现动点M满足：到点A的距离与到直线x=2的距离相等， ∴该抛物线方程为y2=-8x. ∴动点M的轨迹方程是以A(-2，0)为焦点，直线x=2为准线的抛物线， 变式训练 变式2：已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段PM的中点为．求点的轨迹方程； 解： 设的坐标为，则的坐标为 又点在抛物线上， 故即 学习过程 01 03 02 目录 1 求抛物线有关的轨迹问题 3 题型训练 2 抛物线的实际应用问题 新知探究 典例1：某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图(单位:m)，某卡车载一集装箱，车宽3m，车与集装箱总高4.5m，此车能否安全通过隧道？说明理由. 知识点二、抛物线的实际应用问题 解： 将点A的坐标代入上式，得9=6p，即2p=3. 设抛物线的标准方程为x2=-2py(p＞0). ∴抛物线的标准方程为x2=-3y. 如图，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(3，-3). 新知探究 典例1：某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图(单位:m)，某卡车载一集装箱，车宽3m，车与集装箱总高4.5m，此车能否安全通过隧道？说明理由. 知识点二、抛物线的实际应用问题 解： ∴抛物线的标准方程为x2=-3y. 将x=1.5代入抛物线的标准方程，得y=-0.75， 则5-0.75=4.25＜4.5 . 这说明，即使集装箱处于隧道的正中位置， 车与集装箱的总高也会高于BD，∴此车不能安全通过隧道. 求解抛物线的实际应用问题的基本步骤： 提分笔记 1、建立适当的坐标系，设出合适的抛物线标准方程. 2、通过计算求出抛物线标准方程，求出所要求出的量. 3、还原到实际问题中,从而解决实际问题. 变式训练 变式1：如图，是抛物线型拱桥，当水面在𝑙时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米. 解： (1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？ 如图建立平面直角坐标系，设抛物线型拱桥的方程为（） 由题意，可知抛物线经过点，代入抛物线方程可得，即得， 所以抛物线方程为. (2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？（计算结果保留至小数点后一位，参考数据：） 变式训练 变式1：如图，是抛物线型拱桥，当水面在𝑙时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米. 由于船体宽12米，则当船体恰好能通过时，令米， 代入抛物线方程中，则，解得米， 即拱顶与船顶的最近距离为4.5米. 解： 又因船在水面上部分高为1.5米，故拱顶离水面6米. 在抛物线方程中，令，则， 故，所以水面宽度至少应为13.9米. 学习过程 01 03 02 目录 1 求抛物线有关的轨迹问题 3 题型训练 2 抛物线的实际应用问题 题型探究 例1： 求抛物线有关的轨迹问题范围 题型1 解： D 若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 因为点到直线和它到点的距离相等， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 设其方程为，则，可得， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 题型探究 例2： 求抛物线有关的轨迹问题范围 题型1 解： B 已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离， 则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线， 则曲线的方程为． 故选：B． 题型探究 例1：如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. 解： 抛物线的实际应用问题 题型2 (1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； (1)依题意，设该抛物线的方程为， 因为点在抛物线上，所以，， 所以该抛物线的方程为； 题型探究 例1：如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. 解： 抛物线的实际应用问题 题型2 (2)设车辆高为h，则，故， 代入抛物线方程，得，解得， 所以通过隧道的车辆限制高度为4.0米. (2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？ 一、求抛物线有关的轨迹问题 课堂小结 二、抛物线的实际应用问题 求解抛物线的实际应用问题的基本步骤： 1、建立适当的坐标系，设出合适的抛物线标准方程. 2、通过计算求出抛物线标准方程，求出所要求出的量. 3、还原到实际问题中,从而解决实际问题. 感谢聆听! $