2.2 双曲线的简单几何性质提升训练-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

高二上学期北师大版数学选择性必修第一册 第2章 圆锥曲线 §2 双曲线-2.2 双曲线的简单几何性质 能力提升训练 1.（2025郑州一中期中）已知双曲线 的两条渐近线相互垂直， 焦距为12，则该双曲线的虚轴长为( ) A.6 B. C. D. 2.（2025安徽皖南八校摸底）已知双曲线，点在上，过点 作两条渐近线的垂线，垂足分别为,，若，则双曲线 的离心率为 ( ) A. B. C. D. 3.（2025江西赣州赣县区实验学校月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过 的直线与双曲线的右支交于，两点，若的周长为 ，则双曲线离心率的取值范围为( ) A. B. C. D. 4.（2025广东湛江期末）已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，且，则双曲线 的离心率是( ) A. B.3 C. D. 5. （2024成都新都一中期末）如图，已知椭圆 和双曲线有公共的焦点，，， 的离心率分别为，，且在第一象限相交于点 ，则下列说法错误的是( ) ①若，则 ； ②若，则 的值为1； ③的面积 ； ④若 ，则当时， 取得最小值2. A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 6.（多选|2023云南曲靖期末）已知双曲线 的右焦点到渐近线的距离为1，为 上一点，下列说法正确的是( ) A.的离心率为 B.的最小值为 C.若，分别为的左、右顶点，点与点，不重合，则直线，的斜率之积为 D.设的左焦点为，若的面积为，则 7.（2025浙江浙东北联盟期中）已知双曲线，斜率为 的直线与曲线的两条渐近线分别交于,两点，点的坐标为，直线, 分别与渐近线交于,，若直线的斜率也为 ，则双曲线的离心率为___. 8.（2025安徽蚌埠毛坦厂实验中学月考）已知双曲线 的离心率为，为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为 . （1） 求双曲线 的方程; （2） 若点，点为双曲线左支上一点，求 的最小值. 9.（17分）某电厂冷却塔的外形是由双曲线 的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所形成的曲面.如图所示，已知它的最小半径为，上口半径为 ，下口半径为，高为 ，请建立适当的平面直角坐标系. （1） 求此双曲线 的方程. （2） 定义：以（1）中求出的双曲线的实轴为虚轴，以的虚轴为实轴的双曲线 叫作的共轭双曲线，求双曲线 的方程. （3） 令（2）中的双曲线，的离心率分别为，，写出与 满足的一个关系 式，并证明. 参考答案 1.B【解析】 双曲线的渐近线方程为 ,由题意可知 ,可得,所以,则 ,因此,该双曲线的虚轴 长为 . 2.B【解析】 如图,设点,则,即 , 又两条渐近线方程为,即 , 故 （将 整体代入）, 所以 . 3.D【解析】 如图, 根据双曲线定义知,的周长为（为三角形）,而 （ 的最小值为通径长）, 所以,而的周长为 , 所以,即,所以,解得 , 双曲线离心率的取值范围是 . 4.B【解析】 （结合直线倾斜角的范围可得） ,由 ,得, , 因此,而双曲线的渐近线方程为,则 ,所以双曲线 的离心率是 . 5.D【解析】 , , , , ,即 , ； ② 点在第一象限, , ,,即 ； ③ ,由, ,解得 , ,即 , , ， , （【另解】 , , ）； ④因为, . 在 中,根据余弦定理得 , 整理,得,即 （双曲线与椭圆共 焦点，且 ，所以）, , 当且仅当 时取等号. 6.ACD【解析】 由已知可得,（双曲线焦点到渐近线的距离为 ）,所以,则的方程为,离心率为 ； 的最小值为 ； 设,则,, , （可考虑直接利用第三定义, ）； 设 ,由,得,则 . 7. 【解析】 如图,设双曲线的渐近线为,,且 ,直 线,直线, , 联立得解得 不妨 令 , 同理可得,,, , 且,则, . 因为,,三点共线,所以 , 则 , 整理可得 , 同理,由,, 三点共线可得 , 整理可得 , 因为,则,解得,即 ,所以双曲线的离心率 . 8.(1)【答案】由题意知解得 则 , 所以双曲线的方程为 . (2)【答案】 根据双曲线的定义将的最小值转化为 的最小值, 然后根据两点之间线段最短求最小值. 如图,设双曲线的左焦点为,则 , 由双曲线的定义知,则 , 可得 , 当,,三点共线时,最小,且最小值为 . 故的最小值为 . 9.(1)【答案】 如图,以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为 轴,的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系.（2分） 设双曲线的方程为 ,由题意知 ,所以,, ,设 ,则 ,所以 解得 所以双曲线的方程为 .（6分） (2)【答案】 以（1）中求出的双曲线的实轴为虚轴,以的虚轴为实轴的双曲线 的方 程为 .（10分） (3)【答案】 （答案不唯一）与满足的一个关系式为 , （12分） 证明如下： 双曲线的半焦距为 , 所以双曲线的离心率 .（14分） 双曲线的半焦距为 , 所以双曲线的离心率 ,（16分） 所以 , 所以与满足的一个关系式为 .（17分） 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $