第7单元 双曲线 B卷 能力提升-【金试卷】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册同步单元双测卷（北师大版）

第七单元 双曲线 B卷 能力提升 测试时间：120分钟 满分：150分 霸 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的： 1.双曲线2x2一y2=4入的离心率为 A号 B.√3 密 C2或 D,5或写 2.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为 识 ( 封 典 A.-1 B.-4 C.4 3.已知F是双曲线C:x2一 =1的右焦点，P是C上一点，且PF 线 与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为() 内 A.g B司 c号 n 4.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于 不 较小部分与较大部分的比值，其比值为5，把5称为黄金 分制数.已知双曲线广-1的实轴长与焦距的比值恰 (5-1)2m 故 准 好是黄金分割数，则m的值为 A.2√5-2 B.√5+1 答 C.2 D.2√5 5.如图，在圆D中，AB为其一条弦，∠ADB= 120°，C,O是弦AB的两个三等分点，以A为 题 左焦点，B,C为顶点作双曲线T.若T的方程 为 a-6 =1(a>0),则圆D的半径为 ( A.3√2 B.46 3 C.√6 D 丝 6已知FR是双曲线C若- =1(a>0,b>0)的左、右焦点，若 北 C的右支上存在一点M,满足2MF,=3MF2|,则双曲线C经 过二、四象限的渐近线的斜率的取值范围为 ( A.[-2√6,0) B.(-∞，-2√6] C.[-5,0) D.（-∞，-5] 已知点P在椭圆C:无+1(a>b>0)上，点P,E分别为0 的左、右焦点，并满足PF1⊥PF2,OP=PF2,则椭圆C的离 心率为 () A日 以图 C.√3-1 D.3-1 2 8.双曲线的光学性质为：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双 曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研 制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质. 某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图2，其方程 因《a>0,6>0,,E分别为其左右焦点：若从右僵 点F,发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足 ∠BAD=90°，tan∠ABC=- ,则该双曲线的离心率为() 图 图2 爱 B.√5 c D.10 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给 出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的 得2分，有选错的得0分 9.若双曲线C的一个焦点F(5,0),P是双曲线上一点，且渐近线方 程为y=士专，则下列结论正确的是 () A.C的方程为写一。-1 BC的离心率为 C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2 1已知，F,分别是双质线C后一-芳 =1(a>0,b>0)的左、右焦 点，点P在双曲线C上，且|PF,=λ|PF,|,则下列结论正确 的是 A.若A一7，则双曲线离心率的取值范围为膏十) 且若一7，则双曲线离心率的取值范围为1，】 C若A=1,则双曲线离心率的取值范闺为(1，剖 D.若=7，则双曲线离心率的取值范相为[告十) 1.已知P是双曲线号若=1右支上一点，F,上分别是双曲线 的左、右焦点，O为原点，若|OP+OF,=8,则下列结论正确 的是 () A双曲线的离心率为 B双曲线的渐近线为=士手 C.△PF,F,的面积为36 D.点P到该双曲线左焦点的距离是18 12.已知点P为双曲线C-若=1a>06>0)所在平面内点， F(一c,0),F2(c,0)分别为C的左、右焦点，PF2⊥FF2,PF|= R AINI 4c,线段PF,PF分别交双曲线于M,N两点，MF =.设双曲线的离心率为e,则下列说法正确的有 () A.若PF,与双曲线C的渐近线平行，则e=2 B.若入=4，则e=√3十2 C.若u=3,则e=3 D.4=3(2+e) 3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 1.已知F为双曲线C:号-苦-1的左焦点，P,Q为双曲线C同 一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(√13,0)在 线段PQ上，则△PQF的周长为 14.(情境创新)如图，从某个角度观察篮球，可以得 到一个对称的平面图形，篮球的外形轮廓为圆O, 将篮球表面的黏合线看成坐标轴和双曲线，若该 坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八 等分，AB=|BC=CD,设该双曲线的中心 D 在原点，实轴在y轴上，则该双曲线的渐近线方程为 15已知双曲线一1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为，F,离心 率为5，点A(32是双前线上一点，连接A,过点F作B5/ ,交双由线于点B,且BE <IAE.I,则C 16已知双曲线若-茶=1a>0,6>0)的左，有焦点分别为R,K 过F,且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A,B两点， AF2,BF2分别交y轴于P,Q两点，若△PQF,的周长为16，则 当双曲线的实轴长为 时，分取得最大值 (本题第一空2分，第二空3分) 第一部分单元检测卷21 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤， 1.(10分)（开放创新）已知双曲线C:若-兰-16>a>0)的左、 y 右焦点分别为F,F2,从①虚轴长为2√3；②离心率为2；③双 曲线C的两条渐近线夹角为60°中选取两个合适的条件作为已 知条件，并求解下面的问题， (1)求双曲线C的标准方程； (2)若M是双曲线C上的一点，且MF1|=5,求MF2. x 18.(12分)已知双曲线C:4一)y=1,P为双曲线C上任意一点. (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个 常数； (2)若点A(3,0),求PA的最小值. 22第一部分单元检测卷 19.(12分)已知双曲线过点(3，一2)且与椭圆4x2+9y2=36有相 同的焦点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点M在双曲线上，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，且 MF1|=2MF2|,求△MFF2的面积. 2分)已知双曲线实片1(a>0,b>0)的左、右焦点分别 F,F2,P为双曲线右支上一点(P不在x轴上). (1)若∠FPF2=60°，求△FPF2的面积； (2)若该双曲线与椭圆十y=1有共同的焦点且过点Q(2,1), 求△FPF,内切圆圆心的横坐标. 21.(12分)某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中 的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向 主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个 景点距离城市中心O均为3√2km,线路AB段上的任意一点到 景点N的距离比到景点M的距离都多6km,线路BC段上任 意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q 的距离比到景点P的距离都多6km,以O为原点建立平面直 角坐标系xOy. (1)求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程； (2)规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问 如何设置站点G位置？ B M 0 P 22.(12分)（探索创新）双曲线C:x2一y2=2右支上的弦AB过右 焦点F (1)求弦AB的中点M的轨迹方程； (2)是否存在以AB为直径，且过原点O的圆？若存在，求出直 线AB的斜率k的值；若不存在，请说明理由.语6C三痛：南位三-1得-2若-1甲苦-1北方框无0，所以 y=3x 6+1 直线y=3x上不存在，点在C上，D错误.故选BC 11.CD易知C1的长轴长2a=8,短轴长2b=6,焦距为2c=2√a2-b2=2√7.当9<k <16时，C2的焦点在x轴上，其中实轴长2'=2√16-，虚轴长2b'=2√R-9., 焦距为2'=2√a2+b2=2√/16-k+k-9=2√7，故C1的长轴长与C2的实轴长 不相等，C1的短轴长与C2的虚轴长不相等，C1与C2的焦距相等，离心率不相等 故选CD. 12.AB根据题意，逐项分析如下： 选项正误 原因 因为PO=PF2,所以OF2的垂直平分线x=乞与双曲线有交点， 1 L 即有5≥a,则c≥2a,c2>≥4a2,即a2+b2>≥4a2,得6>5a 因为△PO,是面积为2的正三角形，边长为，所以号×cX。 c=2,即 2-8g,连接PF1在△POF中：国为PO=OF=c,∠0F B 180°-∠P05,=120,所以PEl=2+2-2 XcXcX(-2）=Bc 所以a-PE,Pl-E1,故2=2-a2=52=4,即b=2. 2 2 29 A为双曲线的右项点，则|AF=(一a,又PF2⊥x轴，则PF2= 所以AF2≠|PF2. QF1-QF2=QF1-QPI-PF2<PF1-1PF2 D =2a. 故选AB. 13.答案4x士3y=0 解析由满国亏+后-1知，长铂瑞点分别为（一5,0和(50），焦点是（一30》，（3.0》， 由此可知，双曲线的焦点为（一5,0），(5,0)，顶点为（一3,0），(3,0)，所以双曲线方 程为号后-1以清远线方银为红士8y-0 14.答案别=4 ('(答案不唯一) 解析设焦点在y铂上且断近线方程为y=2x的双商我的方程为置-2=以> 0),即y2x2 卿益爱=1>0.所以a2>0).不坊令=1，所以青 n=4 15.答案 号-=1 解析 3=2 女双曲线C的离心率e=23,. 3 2,即c= 2.6-得。C的商连线方银方y=士停。 31,两渐近线 的夫角为60，如因，不与设AB与直线1：=侣套直，垂 足为A,则∠AOB=60°，|AB|=3,OA=3,1OF|=2. 6=2a=5,6=1,即双向线C的标准方程为写-y=1. 16.答案13(1,0) 解析圆C1:(x十4)2+y2=4的圆心为(-4,0)，半径为r1=2;圆C2:(x-4)2+y2 =1的圆心为(4,0)，丰径为2=1.设双曲线2-若=1的左右焦点分别为F( 4,0),F2(4,0),连接PF1,PF2,F1M,F2N,可得|PM2-PN2=(|PF1I2-) -(PF2I2-r2)=(|PF112-4)-(|PF212-1)=PF112-|PF212-3=(|PF11 -|PF21)·(|PF1|+|PF21)-3=2a(|PF1|+|PF2|)-3≥2a·2c-3=2X1× 2X4-3=13,当且仅当P为双曲线的右项点时，取得等号，即|PM2-|PN2的 最小值为13，此时P点坐标为(1,0). 17.解选①. 因为m>0,所以a2=m,b2=2m,c2=a2+b2=3m,所以a=√m,c=√3m. 因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为a十c, 所以m+V5m=(1十m=3十5解件m=3,故C的方程为号苦-1 选②. 由题意得c=3. 若m>0,则a2=m,b2=-2m,c2=a2+b2=3m,所以c=√/3m=3, 解得阳，利C的方程为苦-1 若m<0,则a2=-2m,b2=-m,c2=a2+b2=-3m,所以c=√-3m=3, 解得m=一3，则C的方程为片-了 选③. 因为C上一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，所以2a=4,即a=2. 若m>0,则a2三m,所以a=m=2,解得m=4,则C的方程为-专=1； 若m<0,则a2=-2m,所以a=√一2m=2,解得m=-2, 则C的方程为y一2 42-1. 解椭國方程化为标准方程十61，可知2=64-16=48 ①当双曲线的焦点在x轴上时， 设效面线方程为导芳1@>06>0. 1a2+b2=48, 。5解得《各双曲线的标准方程为行D a3' ☑当双曲线的点在y轴上时，设双由线方程为名-1(a>0,6>0 1a2+b2=48, 好仔低品以向线的排滚方程为吕-后引 b3' 袋上，风由线的架准方维为后管-1花后-1 19.解(1)依题意，知2c=4,c=2. 不坊设双由线C的右焦点F,(2么，0)到新近线y=女，的距高为1， 则2b=2b=1b=1a2=c2-b2=3. √a2+b2c :双由线C的标准方程为写-y=1 (2)在△PFF2中，：OP是边F1F2上的中线且OP=之|FF2=2, .△PF1F2为直角三角形且∠F1PF2=90°. P是双曲线C上一点，.PF1一PF2=2√3， 两边平方，得PF12+|PF22-2PF1IPF2|=12, 又|PF112+|PF212=|F1F212=16,∴.|PF1|PF2|=2. ∴Saw=合PF,IPF,=1. 20.解(1)由题意，易知MF2|=2,F1F2=2√3，且MF2⊥F1F2. 在Rt△MF2F1中，|MF1|=/TMF22+F1F22=4. 由双曲线的定义可知，MF-|MF2=2a,∴.2a=2,即a=l.∴.半焦距c=√3. 又，a2十b2=c2,∴.b=√2.故双曲线C的虚轴长为2√2. (2)由(1)知双曲线C的方程为x2- 21. 设与双曲线C有相同渐近我的双由线的方程为：”-苦-X以≠0》， 将点P(一2,4)的坐标代入上述方程，得入=一4. 故所求双白我的标准方粒为营-著1 21解指国G的标准方程为+潜1a1>6>0)。 根据题意得2a1=10,则a1=5. 又6==号41=4,61=3椭圆G的标准方程为需十苦=1. (2)设双白线的右焦点c,0,将x=(代入双向线方程，得y士MN-2 ",'以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,且AF2|=a十c, a十c=2,即a2+ac=b2=c2-a2,整理得2a2+ac-c2=0,即有e2-e-2=0. 又e>l,.e=2. 又双曲线C2与椭圆C1有公共的焦，点， ∴.c=4,.a2=4,b2=12, “风尚线G的新准方程为号-言-1 22.解（1)依题意，点A(一20,0)，B(20,0),点M的纵坐标为6， 道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多l6km, 则道路MN所在的曲线是以定，点A,B为左、右焦，点，且实轴长为16的双曲线的右 上支的一部分其方程为-361(x>0.0<≤6)， 显然点P(一8,0)，V(8,0),又道路VP段上的任意一点到O的距离都相等， 则道路VP所在的曲线为以O为圆心，OV为半径的圆的下半部分（含端点），其方 程为x2+y2=64(-8≤y0), 1x2y2 所以道路M-N-P的曲线方程为6436=1(x>0,0<y≤6) x2+y2=64(-8≤y≤0 2设0,5C(0,),则cQ气6+(。- 当点Q在道路NP段上时，一8≤yo≤0，x号+y哈=64， 则CQ气√图T-25%≥，当且仅当为=0时取等号： 2 点Q在道路MN段上时.0<≤6，音61，则6=64十 北时1cQ气√原-5+=(w》'+9/。 /3167 当且仅当yo=6时取等号. 是然3167<√881.故点Q位于道路MN段，纵坐标yo=6·横坐标0 2 专： 即点Q到景点C的距离最近时，Q的坐标为（号27,6）， B卷能力提升 1.D当心0时，得-片=1，所以双曲线焦点在x轴，所以a2=2入，6=4玖，2=a2 +=,所以病心奉方后-层-僵=：当0时，降关以=1，所以 双曲线焦点在y轴，所以a2=-4以，b2=-2入，c2=a2十b2=-6入，所以离心率为C E_6成-5.故选D. /a2√-4=2 2.A由双曲线方程mx2十y2-1,知m<0,则双曲线方程可化为y2一 11, m 则a2=1,a=1,b2=-1 m 又虚轴长是实轴长的2倍，b=2.一1=b=4,m= 3,D由a+4得c2所以2.0.将=2代入2-苦1，得y=士3 所以PF=3.又A的坐标是(1,3)， 故△APF的面积为×3X(2-ID=2.故选D. 4.A由题意得，在双曲线中a2=(5-1)2,b2=m,.c2=a2+b2=(√5-1)2+m. 双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分到数，公=手5争 2 (52)-85,即53.5，解得m=25-2.故篷A (5-1)2+m2 参考答案95 5.C设双曲线T的焦距为2c,圆D的半径为R.由题意可知，OA=c,|CO=|BO =a,b2=6,所以￡=2，所以c=2a.又c2=a2+b2,所以a=2,c=22,所以AB|= AB a+c=3Z.在△ADB中，∠ADB=120,则DA=R=5in60°=6.故选C. 6.A由题意，双向线C的渐近线方程为y=土名，其中过二、四象限的渐近线为y 一x,其斜率为-么.M在双由线的右支，设MP,=5,MF2=1,由2MF,= 3MF,|,得2s=3t①，根据双曲线的定义可知s一t=2a②，由①②解得s=6a, t=4a.由于M在双曲线的右支，所以|MF1|=6a≥a十c,5a≥c,两边平方得25a2 c=0+,2如≥0≤24，所以-06[-25.0.战选A 7.C法-知图：由题感知，∠EPF,=受，∠PEP=晋∠PF,=哥 所以e= sin 0 1 sma+sin B sin看十sin专合 =√3-1. 1+3 法二如图，由PF1⊥PF2,得△FPF2为直角三角形，则 OP|=OF2|=c,又|OP|=PF2,∴.PF2|=c, 由|PF1+|PFz|=2a,可得|PF1|=2a-c,则(2a-c)2+ c2=4c2,即c2+2ac-2a2=0,∴.e2+2e-2=0,又0<e<1, 解得e=√3-l.故选C. 8.C易知F1,A,D共线，F1,B,C共线，如图，设AF1=m, |AF2=n,则m-1=2a.由tan∠ABC=-},得tan∠ABF =子又∠FAB=∠FAD=90.所以an∠ABE=AB 7 F 子，即AB到=专m,所以BF=AB-AF=音m- 所以BF,=2a十BF,=2a十专m-n=a十名m,由 A+AB=aF,P得m2+(告)”=(a+n)广m>0标释m=a别n =3a-2a=a,在△AF1F2中，m2+n2=(2c)2,即9a2+a2=4c2,所以e=C=0 21 故选C. 9.AD双曲线C的一个焦点F(5,0),且渐近线方程为y=士号x,可得c=5,焦点在x 铀上，所以名=，因为c=5,又2=a2+,所以6=4a=3,所以C的方程为。 污1A正确：离心率为。=日-号B不正确；做点到新近线的距高为日=4X副 /42+32 =4,C不正确；PF|的最小值为c-a=2,D正确.故选AD. 10.BC若入=7，可得PF2=7PF,根据双曲线的定义可得PF2-PF= 6PF1=2a,则PF1=号≥c-a,解得1<e=名<号，故A错误，B正确：若X 7,可得PF1=7PF2,根据双曲线的定义可得|PF1|-PF2|=6PF2|=2a,则 IPF2=号≥c-a,解得1<e=≤专，故C正确，D错误.故选BC a 11.BD因为双由线秀一6 r2 y2 =1,a=5,b=4,c= y M √，所以=④，A错误：渐近线方程为y 5 士号，B正确；知图，取线段PF的中点M,则 -10F, 01 103￥ |OP+OF1|=8=2OM1,所以|PF2=8,由 -5 |PF1-PF2=10,得|PF1=18,D正确； OSFPE=PF2+PE212-FF212 =82+182-(2√)2 2PF1·PF2 2×18×8 91 ∠rP=-ZF,PF.=g.:△PFR,的南积S=名1PF1· PF,l·sin∠rPF:=2×18×8X4-322,故C错误，故选BD 96参考答案 12.ACD由题意，△PF1F2为直角三角形，点P坐标为(c,士23c),直线PF1的斜率 k=士√3，∠PF1F2=60°.不妨设点P在第一象限，如图. MX F 0 根据题意，逐项分析如下： 选项正误 原因 若PF1平行于浙近线，则b=3,即b=3a,则c2=a2+b2=4a2,得e A 2. a B × 若入=4，则MF1|=c.连接MF2,由∠PF1F2=60°，解得MF2|=3c, .2a=MF2|-|MF1=(3-1)c,得e=3+1. 若A=3,则1：=2.连接NR,由∠PF,=9g,解得NF C 42a=NF,-1NF=2g5得e=5 4√3 :PF=4c=AMFM,=货，点M的生标为（ 一( D 2y3c）又Mr=-eaw-aA=2ac2+D,:1Nr=4 62 a pE-3ac,之-2t-52+0 NF262 3 故选ACD 13.答案32 解析根据题意，得双曲钱C-。1的左焦点F(-√13,0，所以，点A(13,0是 双曲线的右焦点，P,Q为双曲线C右支上的两点，虚轴长为6，所以|PQ=12,双曲 线图象如图所示. y |PF|-PA|=2a=4,① |QF|-|QA|=2a=4,② ①+②得PF|+QF一IPQ=8, 所以△PQF的周长为|PF|+|QF|+|PQ|=8+2PQ =32. 1答案)亨 解析根指题意，茂双由线的方程为兰-若-1(a>0,6>01,则10C=4,因为 |AB=|BC|=CD,所以|CD=2|OC,所以|OD=3OC=3a,即圆O的半径 为，因为生排和双由线与国0的文点格时0的周关入等分，两以（后） 在双白线上代入学-荐1可得号一器-1，部得华=号所以以由我的渐近效 方程为v一士x三士32 15.答案5 92 解析由点A(3W②是双曲线上一点和双曲线的离心率为2y5, 3,得 2-1 ,解 (a2 =e2-1=3 得G3所以c2=4,c=2,所以P2(2,0,A,=3=22+(2-02=B,直 线AF2的斜率为√2，因为BF∥AF2,所以直线BF1的斜率为√2.设直线BF1的倾 斜角为0，则tan0=2,所以cos0=5.连接BF2,在△BF1F2中，由余弦定理得 |BF212=|BF1|2+4c2-2BF1|·2c·cos0,又BF212=(BF1|十2a)2,所以 BF,=,所以B-5 .AF2| 5 16.答案44 解析因为△PQF2的周长为16，所以△ABF2的周长为32，因为AB垂直于x轴， 所以AB1=2D.因为AF,+1BF2+|AB1=32,AF2+|BF2-1AB|=4a, a 所以46 =32-4a,所以62=a(8-a,所以a∈(0,8》，则=8a-a2=-（a十1 a+1-a+1 +a一10)4，当且仅当a+1=是即a=2时等号成主，所以当双曲线的实 +9 轴长为4时 取得最大值4 a+1 1c2=a2+b2 a=1 17.解(1)若选①②，可知 =2 a ,解得65C的标准方程为x2-兰-1 3 2b=2√3 c=2 若选①③，：b>a,. 日后C的标准方程为2-苦-1 .a=1 2b=2√/3 =2 a 若选②③，可知b =tan60°=√3此时无法确定a,b,c,故不能选②③. a2+b2=c2 (2)由双曲线定义知MF1一MF2|=2a=2,,MF1=5,.MF2=3或7. 18.解(1)设P(xy),由题意得双曲线C的两条渐近线方程分别为x一2y=0和x十 2y=0, 则点P(,y)到两条新近线的距离分别为x一2y和x+2y √5 5 x lz-2yl.Iz+2yl=1x2-4y214 5 5 5 5 所以，点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数」 21.#PA=-+y=(红-3+号1=（-号)+号 因为x≥2，所以当x= 号计，PA取将藏小位号即PA的装小值方 解☑)椭圆的方程可化为号+1，则焦点在x轴上，且半焦距为 故可设双曲线的方程为一岁1(a>0,6>0), 32(-2)2 则{a262 a2+b2=5, 保行低8：所以双由我的茶准方框为号-营=1 (2)因为点M在双曲线上，且|MF,|=2MF2,所以点M在双曲线的右支上. 易知MF1I-MF2|=23,所以|MF1=43,|MF2=23. 又|F1F2|=25,所以在△MF1F2中， COFMF-MFMP()(25 2MF MF2 2×4√3×2√3 6, 所以sin∠FMF2=T 61 所以SaFg,=MF,XMF,×sm∠P,MF:=之×45X25×T 6 2/11. 20.解(1)设|PF1|=m,PF2|=n,由双曲线的定义可得m-n=2a, 在△F1PF2中，由余弦定理，得4c2=m2十n2-2mcos60°=(m-n)2十mn=4a2 十mn, 可得mm=402,则△rPF,的面积5=2 mnsin60=5. (2)如图所示，F1(-c,0),F2(c,0), 设内切圆与x轴的切点为H,PF1,PF2与内切圆的切 点分别为A,B. 由双曲线的定义可得PF1一PF2=2a, 由圆的切线长定理知，PA=PB, 故AF1-|BF2|=2a,即HF1|-|HF2|=2a. 设内切圆圆心的横坐标为x,则点H的横坐标为x, 故(x十c)一(c-x)=2a,可得x=a. 由该双曲线与椭圆十y2=1有共同的焦点（士3,0），且过点Q(2,),可得。2+62 -3子这-1解得a-6-1 可得△FPF2内切圆圆心的横坐标为√2. 21.解(1)线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多6 km,线路AB段所在的曲线是以定点M,N为左、右焦，点的双曲线的左支，则其 方程为x2-y2=9(x<0,y≥0)；：线路BC段上任意一点到O的距离都相等，线 路BC段所在的曲线是以O为圆心，以OB为半径的圆，则其方程为x2十y2=9(x 0,y0);'线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6 km,.线路CD段所在的曲线是以定点Q,P为上、下焦点的双曲线的下支，则其方 程为x2一y2=一9(x≥0，y<0).故轨道交通：号线线路示意图所在曲线的方程为 xx++yy=-9. (2)设G(x0y6),则x0<0,y0≥0，由Q(0,3W2),则GQ=√x6+(yo-32), 由(1)得，x号-y哈=9，即GQ|=/2-6√2y0十27 则1c0Q一2(-32）+18当%-32时.cQm=3E 2 则站点为c(-多后，3）时站点G到茶点Q的距高策近 22.解(1)设点A(x1,y1),B(x2y2),M(x,y). 因为双曲线C:x2一y2=2的右焦点为F(2,0),所以①当AB⊥x轴时，x=2,y=0. ②当AB与x轴不垂直时，由x月-y?=2,x号-y=2, 两式相减得(x1十x2)(x1一x2)-（y1十y2)(y1一y2)=0. 又x1+x2=2x,y1十y2=2y,所以x(x1-x2)-y(y1-y2)=0. 国为他=头为-一号 x1一x2 所以x(x-2)-y·y=0,即x2-2x-y2=0. 又点(2,0)满足上式，点A,B在双曲线x2-y2=2的右支上，所以x≥2， 故所求中点M的轨迹方程为x2-2x一y2=0(x≥2). (2)假设存在以AB为直径，且过原，点O的圆. 设A(x1y1),B(x2y2), 当AB⊥x轴时，AF≠|OF,所以可设lAB:y=(x一2)(k≠士1). 由已知得OA⊥OB,所以x1x2十y1y2=0.(￥) 由/x2-y2=2 y=k(x-2),得(1-2)x2+4h2x-4h2-2=0, 4k2 4k2+2 所以1十x2A2-1x2=k2-1 所以12=k2(1-2)(x2-2)=k2[x12-2(x1十x2)+4]=二2 k2-11 462+222=2(+D≠0，与(×)式矛盾， x1x2十y12=k2-1k2-1k2-1 所以不存在以AB为直径，且过原点O的圆. 第八单元抛物线 A卷基础达标 1.A抛物线的标准方程为)y2=ax,则共焦点坐标为（年0）故选A. 2.B因为抛物线y=m.x2的标准方程为x2=1 ，所以共准线方程为y=一初由于 抛物线上一点(，2)到其焦点的距离等于4，由抛物线的定义，可得2十4m4,解得 m=合故选B, 3.A设直线1的方程为3x-2y+c=0(c≠5).因为抛物线y2=2x的焦，点为F (侵0），所以3×号-2X0+c=0, 所以(=-，故直线1的方程是6x一4y-3=0,选A 4.D对于抛物线C:)2=2px(p>0),其准线方程为x=一号，又其与直线y=x-1交 于点A,故可得点A的坐标为（一，-2-1），因为4=2，所以 =2,解 5 得p=2,则抛物线方程为y2=4x.故选D. 5B如图，由题忘可知F10,设A(）,则由把物线的定义 可知AF=装+1.因为B=3-1=2,所以由AF=BF, O F 可得”+1=2，解得0=士2，所以A(1,2)或A(1,-2》.不妨取 A(1,2),则|AB|=√(1-3)2+(2-0)2=√8=2√2.故选B. 6.B在卫星接收天线的轴截面所在平面建立平面直角坐标系，使卫星 y A 接收天线的顶点与原点重合，焦，点在x轴上，如图所示，设抛物线方程 为y2=2px(p>0),由题知点A(1,2.4)在抛物线上，所以2.4=2p, 解得D=2.88,则点P与焦点F的最短距离为？=1.44(m).故选B. 2 7.A,设P(x,y),M(-1,2),N(1,0), PM=(-1-x,2-y),ON=(1,0),PV=(1-x,-y), 所以|1十x=√/(1-x)2+y,整理，得y2=4x. 所以动点P轨迹方程是y2=4x.故选A. 8.C如图，连接PQ,QR,PR,设P,Q,R三点的坐标分别为 （x1y1).(x2y2),(x3,y3）,则x=-4y1,x号=-4y2,x号 =一4y3.抛物线x2=一4y的焦点F的坐标为(0，-1)， ∴S=号0F·l=号ms=20F·✉=2， s,=2o=2ws9+8+s=}(+ x十x)=-(y1十y2十y),:FP+FQ十FR=0,点F是△PQR的重心，y1十 y2+y3=3yr=-3.∴.S+S2+S号=3.故选C. 9.BD因为抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和 yMl=22 yMl=22 v十号=3中w=3-多代入抛物线方程可得8=2(3-号)整理 2√2，所以{ ,即 得p2一6p十8=0，解得p=2或p=4,故选BD. 10.BC对于A,y2=8x的焦点坐标为(2,0)，不满足题意；对于B,x2=8y的焦点坐标 为(0,2，满足题意：对于C,4十片10<m<4可化为 x2 m 4-m =1(0m< 4),表示焦，点在y轴上的双曲线，且该双曲线的半焦距c=√十4一m=2,满足题 对于D,X一1(0<m<4)表示焦点在x轴上的双曲线，不满足题 选BC 1山.AC分两类：a>0a<0,可得y=22y=一2，故选AC 12.ACD对于A由题意，得F(20.因为AF=AM,且M(p,0),所以xA= xF十xM=3 2 ,将其代入抛物线方程y2=2p,得=，所以A(p,）,所 以直线AB的斜率kAB=kAF= 0 =2√6，故A正确；对于B,由选项A的分 析，知直线AB的方程为y=26(x-）,代入y2=2px,得12x2+13px+3p2= 0部得=子或=吉，所以g=吉，所以g=5所以10B=金十万 -写≠OF,故B不正确：对于C,由抛物线的定义及选项A,B的分折，得1AB =a十g十p-品+p品>2，即ABl>4l0F,批C正确：时于D,易如O4 13. =AM1=是OB1=号pBM1=p,则cas∠OAM= oa4MoMe-02+器-2 21 2OA·AM 5√33 >cos∠OBM= lOB1法M21OMe_名+9-p2 2OB·BM 4>0.所以∠0AM<90, W70 ∠OBM<90°，所以∠OAM+∠OBM<180°，故D正确.故选ACD. 18答案(（6o) 解析抛物线方餐化为)-一子4，所以港物线开口向左20一子，号品成焦点 坐标为(-5） 14.答案x=一2 3 解析通解（解直角三角形法）由题易得OF=号，PF=p,∠OPF=∠PQF, 所以a0PF=PaF,所以P附=调即多=专解得p=3,将以C的 准线方程为x=一多 光速解（应用射影定理法）由题易得OF=,PF=p,PF2=OF·FQ,即 2=号X6,解得=3或=0（会去），所以C的准线方程为x=-多 2 15.答案3 解析过点A,B作准线的垂线，垂足分别为D,E,再过点A作AC垂直BE于点 C,设|BC1=a,由于直线AB的倾斜角为30°，因此AB|=2a.设AD|=|CE|=x, 则AD|=|AF|=x,|BF=|BE1=a十x,所以|AB|=|AF+|BF1=x十a十x= 2a,解得=号则1AF=号FB-受于是品-子 16.答案(2,2)y2=8x 解析设M0,焦点坐标F(号0，由焦半径公式得.MF=十号=4，故 0=4一多.因为国心是MF的中点，所以国心的横坐标为22 MF=2,故可知圆与y轴相切于A(0,2),故圆心的纵坐标也为2，故圆心为(2， 2 2),点M的纵坐标为4.将M(4-专，4)代入y2=2px(p>0)得16=2p(4-台) 解得p=4,则抛物线的方程为y2=8. 17.解(1)因为抛物线的准线方程为x=一1，所以=1，得p=2, 所以抛物线的方程为y2=4x. (2)设M(xoyo),因为点M(xoyo)在抛物线上，且|MF|=3, 所以可由抛物线的定义，得MF=x0十号=3，得x0=2. 将(2，yo)代入方程y2=4x,得ya=士2√2， 所以△0FM的面积为2OF1o=2X1X22=瓦. 18.解不妨设点A在第一象限且A(m,n),则B(一m,n),可得m2=2pn,AB⊥y轴， 且OA⊥OB,即△AOB为等腰直角三角形，则OA的斜率为1，即m=,由△AOB 的面积为16，可得2·2m·1=16,解得m=n=4,故p=2,所以抛物线C的方程为 x2=4y. 19.解(1)若选①，根据焦半径公式可如PF=x0十？=0十1，解得p=2, 所以抛物线方程是y2=4x. 若选②，由y0=2x0=2,得P(1,2),代入抛物线方程y2=2px,得22=2pX1,解得 p=2,所以抛物线方程是y2=4x. (2)由(1)知抛物线的焦点为F(1,0),当直线的斜率不存在时，AB=2p=4≠8， 所以直线1的斜率存在且不为0，设直线1：y=k(x一1)，与抛物线方程联立得 k2(x-1)2=4x,化简为k2x2-(2k2十4)x十k2=0, 参考答案97