专题10.4 随机事件、频率与概率（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题10.4 随机事件、频率与概率（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 随机事件与样本空间】 3 【题型2 随机事件的关系与运算】 4 【题型3 互斥事件与对立事件的概率】 6 【题型4 频率与概率】 7 【题型5 频率估计概率在统计中的应用】 10 1、随机事件、频率与概率 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别 (2)理解事件间的关系与运算 2023年新高考Ⅱ卷：第12题，5分 2024年北京卷：第18题（1），4分 2024年上海卷：第19题（1）、（2），9分 2025年北京卷：第18题（1），4分 从近几年的高考情况来看，随机事件、频率与概率的考查比较稳定，主要考查以频率估计概率、互斥事件与对立事件等内容，往往以选择题或填空题的形式考查，难度较易；有时以频率估计概率也会在解答题中以一小问的形式出现，与统计等知识结合考查，难度中等. 知识点1 频率与概率 1．频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例 辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率f1000（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， 2．频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 知识点2 随机事件 1．事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 2．事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， (2)多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，…，A∪B∪C∪… (或A+B+C+…)发生当且仅当A，B，C，…中至少一个发生，A∩B∩C∩… (或ABC…)发生当且仅当A，B，C，…同时发生. 知识点3 随机事件的关系与概率 1．互斥事件、对立事件的判断 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件. 2．互斥事件的概率求法 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法： 一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算； 二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1-P(A)求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法比较简便. 【方法技巧与总结】 1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 2．概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即 . 【题型1 随机事件与样本空间】 【例1】（2025高一上·全国·专题练习）下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 【答案】C 【解题思路】根据必然现象和随机现象的定义依次判断即可. 【解答过程】选项A，十字路口遇到红灯，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象； 选项B，标准大气压下，冰水混合物的温度是，事件冰水混合物的温度是不是必然现象； 选项C，三角形的内角和为，这个事件为必然现象； 选项D，一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象． 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一下·全国·周测）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①2020年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④向量的模不小于0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据随机事件及必然事件，不可能事件概念判断即可. 【解答过程】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件． 故选：B． 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 【答案】A 【解题思路】利用随机现象、必然事件、不可能事件的意义逐项判断即得. 【解答过程】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是； 对于B，在标准大气压下水加热到，沸腾是必然事件，B不是； 对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是； 对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不是. 故选：A. 【变式1-3】（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【解题思路】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断即可. 【解答过程】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确. 故选：C. 【题型2 随机事件的关系与运算】 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）若干人站成一排，其中为互斥事件的是（    ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙站排尾” C．“甲站排头”与“乙不站排头” D．“甲不站排头”与“乙不站排头” 【答案】A 【解题思路】利用互斥事件的概念，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果. 【解答过程】对于选项A，因为“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，所以选项A正确， 对于选项B，因为“甲站排头”与“乙站排尾”可以同时发生，所以选项B不正确， 对于选项C，因为“甲站排头”与“乙不站排头” 可以同时发生，所以选项C不正确， 对于选项D，因为“甲不站排头”与“乙不站排头” 可以同时发生，所以选项D不正确， 故选：A. 【变式2-1】（24-25高三上·上海黄浦·期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【解题思路】根据条件，利用互斥事件的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【解答过程】对于选项A，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项A错误， 对于选项B，当朝上面的点数为时，与同时发生，即与不是互斥事件，所以选项B正确， 对于选项C，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项C错误， 对于选项D，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项D错误， 故选：B. 【变式2-2】（24-25高一下·云南昭通·期末）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或2”，事件C表示“向上的点数大于2”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用互斥事件和对立事件的概念，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A中，当向上的点数为3时，事件A与B同时不发生，所以A错误； 对于B中，事件B与C不能同时发生，且事件B与C必有一个发生，所以B正确； 对于C中，当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，所以C错误； 对于D中，当向上的点数是2时，事件A与事件B能同时发生，所以D错误. 故选：B． 【变式2-3】（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据事件关系，即可判断选项. 【解答过程】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确； B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确； D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确. 故选：B. 【题型3 互斥事件与对立事件的概率】 【例3】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据互斥事件，对立事件的概率关系即可计算求解. 【解答过程】由事件互斥，且都不发生为， 则， 又，所以，解得，， 所以. 故选：C. 【变式3-1】（24-25高一下·山东烟台·期末）已知事件A与事件互为对立事件，且，则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】C 【解题思路】根据对立事件的概率之和为1求解即可. 【解答过程】因为事件A与事件互为对立事件， 所以， 故选：C. 【变式3-2】（24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件A和B，其中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】因为A和B是两个随机事件,所以由即可求出结果. 【解答过程】因为A和B是两个随机事件， 所以 则 故选：D. 【变式3-3】（24-25高一下·北京·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】D 【解题思路】利用对立事件概率公式和互斥事件加法公式计算即可. 【解答过程】由和对立，，可得，解得， 又由随机事件和互斥可知， 由， 将代入计算可得. 故选：D. 【题型4 频率与概率】 【例4】（25-26高二上·四川成都·阶段练习）下面说法正确的是（    ） A．设一批产品的次品率，则从中任取10件，必有1件是次品 B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 C．天气预报：“明天降雨概率为90％”，则明天可能不下雨 D．做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 【答案】C 【解题思路】根据概率和频率的定义逐一分析即可. 【解答过程】对于A，次品率描述的是次品的可能情况，从中任取10件，不一定正好1件是次品，故A错误； 对于C，天气预报：“明天降雨概率为”，则明天可能不下雨，故C正确； 对于B和D，概率是多次重复试验中事情发生的频率在某一常数附近，此常数可为概率， 做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则该试验抛一枚硬币出现正面的频率是， 但是抛一枚质地均匀的硬币出现正面的概率是，故B、D错误. 故选：C． 【变式4-1】（25-26高二上·四川南充·阶段练习）下列说法正确的是（    ） ①已知，，那么事件“”有可能不发生；         ②随机试验的频率与概率相等； ③如果一个事件发生的概率为，那么说明此事件必然发生； ④只有不确定事件有概率； ⑤若事件发生的概率为，则． A．⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．②③④⑤ 【答案】A 【解题思路】根据必然事件、可能事件、概率的概念进行判断即可. 【解答过程】对于①： 因为，所以事件“”必然发生，所以①错误； 对于②： 频率是随机试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，概率是事件发生的可能性的稳定值，频率会随着试验次数的变化而变化，只有当试验次数很大时，频率才会接近概率，二者不相等，所以②错误； 对于③： 概率为的事件不是必然事件，必然事件的概率是，所以③错误； 对于④： 确定事件（必然事件和不可能事件）也有概率，必然事件概率为1，不可能事件概率为0，所以④错误； 对于⑤： 任何事件发生的概率都满足，所以⑤正确. 故选：A. 【变式4-2】（2025高三·全国·专题练习）在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表： 降落时距靶心距离（单位：cm） 人数 18 21 39 22 用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（    ） A．0.18 B．0.21 C．0.39 D．0.40 【答案】C 【解题思路】根据题意利用频率估计概率进行计算. 【解答过程】由题可知，样本容量为100人，获得“优秀飞行员”称号的人数为人， 所以随机抽取1人，此人为“优秀飞行员”的概率． 故选：C. 【变式4-3】（2025高一·全国·专题练习）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了5次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（    ） A．朝上的点数是2的概率和频率均为1 B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的概率为1 C．抛掷第6次，朝上的点数一定不是2 D．抛掷60000次，朝上的点数为2的次数大约为10000次 【答案】D 【解题思路】根据频率与概率的概念判断A，由频率与概率的关系判断BD，由概率的概念判断C. 【解答过程】A：由题意知朝上的点数是2的频率为1，概率为，故A错误； B：当抛掷次数很多时，朝上的点数是2的频率在附近摆动，故B错误； C：抛掷第6次，朝上的点数可能是2，也可能不是2，故C错误； D：每次抛掷朝上的点数是2的概率为，所以抛掷60000次朝上的点数为2的次数大约为10000，理论和实际会有一定的出入，故D正确． 故选：D． 【题型5 频率估计概率在统计中的应用】 【例5】（24-25高二上·贵州遵义·期末）我市某高校共有学生30000人，其中女生18000人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）. (1)应收集多少个男生样本数据? (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图，其中样本数据分布区间为：，，，，，，在该校学生中任选一人，试估计该生每周平均体育运动时间不超过7h的概率. 【答案】(1)120 (2) 【解题思路】（1）根据分层抽样比公式进行求解即可； （2）根据频率分布直方图，利用样本频率估计概率得解. 【解答过程】（1）根据分层抽样的方法， 所以男生样本数据个数为； （2）学生每周平均体育运动时间不超过7个小时的概率为：， 所以该校学生每周平均体育运动时间不超过7个小时的概率. 【变式5-1】（24-25高一下·全国·课后作业）某市统计近几年婴儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下： 出生婴儿数 21840 23070 20094 19982 出生男婴数 11453 12031 10297 10242 (1)试计算这几年男婴出生的频率（精确到0.001）； (2)估计该市男婴出生的概率（精确到0.1）． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）根据表中数据计算即可； （2）对（1）中的四组数据取平均值. 【解答过程】（1）男婴出生的频率分别为； （2）由题意知， 所以该市男婴出生的概率约为. 【变式5-2】（24-25高一下·江苏苏州·开学考试）为推动文明城市创建，提升城市整体形象，2018年12月30日盐城市人民政府出台了《盐城市停车管理办法》，2019年3月1日起施行.这项工作有利于市民养成良好的停车习惯，帮助他们树立绿色出行的意识，受到了广大市民的一致好评.现从某单位随机抽取80名职工，统计了他们一周内路边停车的时间t（单位：小时），整理得到数据分组及频率分布直方图如下： 组号 分组 频数 1 6 2 8 3 22 4 28 5 12 6 4    (1)从该单位随机选取一名职工，试估计这名职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率； (2)求频率分布直方图中的值. 【答案】(1) (2)，. 【解题思路】（1）先求出样本中一周内路边停车的时间少于8小时的频率，再利用频率估计所选职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率即可； （2）估计频率分布直方图的性质求. 【解答过程】（1）由已知，所选的名职工中有名职工一周内路边停车的时间少于8小时， 所以样本中一周内路边停车的时间少于8小时的频率为， 记 “从该单位随机选取一名职工，这名职工该周路边停车的时间少于8小时”为事件A， 则， 所以从该单位随机选取一名职工，所选职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率为； （2）由频率分布直方图的性质可得， 所以，. 【变式5-3】（24-25高一下·广东广州·阶段练习）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下： (1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率； (2)根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较． 【答案】(1) (2)新养殖法更加优于旧养殖法. 【解题思路】（1）通过计算旧养殖法的箱产量低于50kg的频率来估计其概率； （2）利用平均数进行比较判断即可. 【解答过程】（1）由频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为 ， 所以事件A的概率估计值为； （2）由频率分布直方图可得 旧养殖法100个网箱的箱产量的平均数为 ， 新养殖法100个网箱的箱产量的平均数为 ， 因为， 所以新养殖法更加优于旧养殖法. 一、单选题 1．（2025·福建福州·模拟预测）已知事件A，B为随机事件，则“A，B为对立事件”是“A，B为互斥事件”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据定义分析：互斥事件：满足，即两事件不能同时发生，对立事件：满足且（样本空间），不仅互斥，还“非此即彼”。 【解答过程】充分性：若是对立事件，必然满足互斥，即“对立事件”可推出“互斥事件”，充分条件成立， 必要性：互斥事件未必是对立事件，即“互斥事件”推不出“对立事件”，必要条件不成立， 综上，“ A, B  为对立事件”是“ A, B 为互斥事件”的充分不必要条件. 故选： A. 2．（24-25高一下·全国·单元测试）某工厂生产的产品合格率是，这说明（   ） A．该工厂生产的10000件产品中不合格的产品一定有1件 B．该工厂生产的10000件产品中合格的产品一定有9999件 C．合格率是，很高，说明该工厂生产的10000件产品中没有不合格产品 D．该工厂生产的产品合格的可能性是 【答案】D 【解题思路】由概率的定义分析即可. 【解答过程】合格率是，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，该工厂生产的产品合格的可能性是. 故选:D． 3．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖. B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率. C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈. D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水. 【答案】B 【解题思路】由概率、频率的概念逐个判断即可. 【解答过程】对于A，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为， 不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误； 对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确； 对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为，是指一位病人被治愈的概率为， 不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C错误. 对于D，“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为0.7，故D错. 故选：B. 4．（2025·四川绵阳·模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（    ）    A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天 B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3 C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时 D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时 【答案】C 【解题思路】利用频率分别直方图、频数、频率、中位数、众数直接求解. 【解答过程】对于A，该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的天数为：天，故A错误； 对于B，估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为，故B错误； 对于C，的频率为，的频率为， 则该学生每日完成作业时间的中位数为，故C正确； 对于D，估计该学生每日完成作业时间的众数为，故D错误； 故选：C. 5．（25-26高一上·河北·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【答案】C 【解题思路】根据白球只有2个不可能摸出3个即可进行解答. 【解答过程】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意； B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意； C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意； D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意. 故选：C. 6．（2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意依次判断各项事件运算对应的含义，即可得. 【解答过程】表示前两次测试成绩均及格，故A错误； 表示后两次测试都没有及格，故B错误； 表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确； 表示三次测试成绩均不及格，故D错误， 故选：C. 7．（2025·四川绵阳·三模）某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．估计这批产品该项质量指标的众数为45 C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60 D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5 【答案】C 【解题思路】利用各组的频率之和为1，求得的值，判定A；根据众数和中位数的概念判定BC；根据频率估计概率值，从而判定D. 【解答过程】，解得，故A正确； 频率最大的一组为第二组，中间值为，所以众数为45，故B正确； 质量指标大于等于60的有两组，频率之和为，所以60不是中位数，故C错误； 由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5，故D正确. 故选：C. 8．（25-26高二上·广东·阶段练习）不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（    ） ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色； ④2张卡片至多一张为红色. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据互斥事件、对立事件的定义，结合题意分析即可. 【解答过程】6张卡片中一次性任意取出2张卡片的情况有：“2张都是红色”、“2张都是蓝色”、“2张都是绿色”、“1张红色和1张蓝色”、“1张红色和1张绿色”、“1张蓝色和1张绿色”. “2张卡片都不是红色”与“2张卡片都为红色”是互斥而不对立事件； “2张卡片恰有1张是红色” 与“2张卡片都为红色”是互斥而不对立事件； “2张卡片至少有1张是红色”与“2张卡片都为红色”不是互斥事件； “2张卡片至多一张为红色” 与“2张卡片都为红色” 是对立事件. 所以事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为2. 故选：. 二、多选题 9．（2025·河南信阳·模拟预测）若将100枚硬币（均为正反两面）平放在桌面上，开始时有8枚硬币反面向上，重复执行以下操作：每次操作任选其中3枚硬币翻面（1枚硬币可重复翻面），若经过次上述操作后，所有硬币均为反面向上，则的值可以为（   ） A．45 B．54 C．63 D．72 【答案】BD 【解题思路】根据开始时有8枚硬币反面向上，任选其中3枚硬币翻面，得出要使100枚硬币均为反面向上，至少需要进行32次操作即可解题. 【解答过程】考虑92个正面向上的硬币，将其编号为1，2，…，92，通过30次操作可将编号1~90的硬币翻至反面向上， 第31次操作时将编号为91（或92）以及任意另外两枚反面向上的硬币翻面， 则此时恰有3枚硬币正面向上，第32次操作时将3枚正面向上硬币翻面，即可保证所有硬币均为反面向上. 因此，要使100枚硬币均为反面向上，至少需要进行32次操作. 当所有硬币反面向上后，若将其中3枚硬币连续进行两次操作，所有硬币仍反面向上. 因此，若要保证所有硬币反面向上，操作的次数必然为偶数次. 故选：BD. 10．（2025·安徽合肥·模拟预测）粉笔盒中只装了白红黄蓝绿5支不同颜色的粉笔，老师上课时随机使用了3支，下列结论中正确的是（   ） A．事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至少1支用到”为互斥事件 B．事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至多1支用到”为对立事件 C．白色与红色粉笔都用到的概率为 D．白色与红色粉笔至少1支用到的概率为 【答案】BD 【解题思路】根据题意，由互斥事件的定义，可判定A错误；根据对立事件的定义，可得判定B正确，利用列举法，结合古典摡型的概率计算公式，可判定C错误，D正确. 【解答过程】记白、红、黄、蓝、绿颜色的粉笔分别为：， 对于A中，“都入选”与“至少1支入选”可以同时发生，所以A错误； 对于B中，对于是否入选所有事件类型有：都入选，入选不入选，不入选入选和都不入选，所以事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至多1支用到”为对立事件，所以B正确； 对于C中，设从5支中随机选3支，则有，，，，，，，，，，共10种选法， 其中都入选的选法有3种，故所求概率，所以C错误； 对于D中，由至少1支入选的选法有9种，故所求概率，所以D正确． 故选：BD． 11．（2025·江苏镇江·模拟预测）为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了4道选择题和2道填空题，每位参赛者从6道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取1道题作答.设事件为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（    ） A．与互斥；与互斥 B．不管第几次抽取，抽到选择题的概率都相同 C． D． 【答案】BC 【解题思路】根据互斥事件的定义判断A，由简单随机抽样的性质判断B，根据古典概型的概率公式判断CD. 【解答过程】由题意可知第1次抽到选择题与第2次抽到选择题可能同时发生， 所以与不是互斥事件，同理与也不是互斥事件，A说法错误； 从6道题中不放回地随机抽取三次，满足简单随机抽样，每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，B说法正确； 第二次抽到选择题且第三次也抽到选择题的概率,C说法正确； 第1次抽到选择题或第2次抽到选择题的概率,D说法错误； 故选：BC. 三、填空题 12．（25-26高二上·四川眉山·开学考试）在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率为 ． 【答案】0.45 【解题思路】根据给定条件，利用频率的定义求解. 【解答过程】正面向上的频率为：. 故答案为：. 13．（24-25高二·上海·课堂例题）若事件A和B互斥，且，，则 ． 【答案】0.8 【解题思路】先利用互斥事件的概率加法公式求出，再由即得. 【解答过程】因事件A和B互斥，则， 解得，故. 故答案为：0.8. 14．（24-25高二·上海·课堂例题）观察下列现象： ①在标准大气压下水加热到100℃，沸腾； ②导体通电，发热； ③异性电荷，相互排斥； ④实心铁块丢入水中，铁块浮起； ⑤买一张福利彩票，中奖； ⑥掷一枚硬币，反面朝上； 其中是随机现象的有 ． 【答案】⑤⑥ 【解题思路】根据随机现象的定义逐个分析判断 【解答过程】对于①，在标准大气压下水加热到100℃，沸腾，是必然现象， 对于②，导体通电，发热，是必然现象， 对于③，异性电荷，相互排斥，是不可能现象， 对于④，实心铁块丢入水中，铁块浮起，是不可能现象， 对于⑤，买一张福利彩票，中奖，是随机现象， 对于⑥掷一枚硬币，反面朝上，是随机现象， 故答案为：⑤⑥. 四、解答题 15．（24-25高二·上海·课堂例题）判断下列事件中，哪些是确定的事件，哪些是不确定的事件？ (1)在空地上抛一石块，石块会下落； (2)明天上午八时到九时之间，你会接到一个推销电话； (3)买一张福利彩票，会中奖． 【答案】(1)确定事件 (2)不确定事件 (3)不确定事件 【解题思路】（1）由确定事件的定义判断即可； （2）由不确定事件的定义判断即可； （3）由不确定事件的定义判断即可. 【解答过程】（1）在空地上抛一石块，由于引力作用，石块一定会下落，故该事件是必然事件，即该事件也是确定事件； （2）明天上午八时到九时之间，你可能会接到一个推销电话，也可能不会接到一个推销电话，即该事件是不确定事件； （3）买一张福利彩票，可能会中奖，有可能不会中将，即该事件是不确定事件. 16．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）把分别写在10张形状大小一样的卡片上，并随机抽取1张．设事件：出现奇数，事件：出现被3除余2的数．写出下面两个事件的对应子集： (1)事件、事件至少有一个发生； (2)事件、事件恰好有一个发生． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意将事件一一列出，然后求它们的并事件即可； （2）根据题意将事件一一列出，然后求它们的交事件即可； 【解答过程】（1）由题意可知出现奇数所有可能为， 出现被3除余2的数的可能为， 所以A、B至少有一个发生为； （2）由（1）知事件，事件， 所以A、B同时发生为. 所以事件、事件恰好有一个发生为. 17．（25-26高二上·广东佛山·期中）甲、乙2名同学最近100次投篮的情况如下： 甲 乙 投中 50 60 不投中 50 40 由频率估计概率，解答下列问题. (1)分别估计甲、乙2名同学的投篮命中率. (2)规定：甲、乙各投篮2次为1局比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局.甲、乙每次投中与否相互独立，估计甲、乙两人平局的概率. (3)在（2）的规则下，估计甲、乙在两局内分出胜负的概率. 【答案】(1)甲同学的投篮命中率为,乙同学的投篮命中率为 (2) (3) 【解题思路】（1）利用投篮命中的频率估计概率即可； （2）根据独立性事件同时发生的概率公式及互斥事件的加法概率公式即可求解； （3）先求出两局都平局的概率，再利用对立事件法即可求解. 【解答过程】（1）甲同学的投篮命中率为， 乙同学的投篮命中率为. （2）甲、乙两人平局有三种情况： 甲、乙都投中了2次，其概率为， 甲、乙都投中了1次，其概率为， 甲、乙都投中了0次，其概率为. 所以甲、乙两人平局的概率为. （3）由（2）可知一局比赛中平局的概率为，所以两局都平局的概率为， 所以甲、乙在两局内分出胜负的概率为. 18．（24-25高一·全国·随堂练习）设某人向一个目标连续射击3次，用事件表示随机事件“第i次射击命中目标”（，2，3），指出下列事件的含义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析． 【解题思路】（1）根据事件交的定义说明； （2）根据事件的交与补的定义说明； （3）根据事件并与补的定义说明； （4）根据事件补与交的定义说明． 【解答过程】（1）表示第1次和第2次都击中目标； （2）表示第3次未击中目标， 表示第1次和第2次都击中目标且第3次未击中目标； （3）表示第1次或第2次击中目标，事件第1次和第2次都未击中目标； （4）表示第()次未击中目标， 表示3次都未击中目标． 19．（24-25高一下·全国·课后作业）为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：kg），并将所得数据分组（每组包含左端值，不包含右端值），画出频率分布直方图，如图所示． (1)根据直方图作频率分布表； (2)估计数据落在中的概率为多少； (3)将上面捕捞的100条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数． 【答案】(1)答案见解析 (2)0.47 (3)2000 【解题思路】（1）根据小矩形面积为各组频率求出频率列表即可； （2）数据落在中的概率即为之间矩形面积之和； （3）根据分层抽样的比例关系即可得到答案. 【解答过程】（1）根据频率分布直方图可知，频率=组距（频率/组距），故可得下表 分组 频率 0.05 0.20 0.28 0.30 0.15 0.02 （2），所以数据落在中的概率约为0.47. （3）设水库中鱼的总条数约为条，则， 即，所以水库中鱼的总条数约为2000条. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.4 随机事件、频率与概率（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 随机事件与样本空间】 3 【题型2 随机事件的关系与运算】 4 【题型3 互斥事件与对立事件的概率】 4 【题型4 频率与概率】 5 【题型5 频率估计概率在统计中的应用】 6 1、随机事件、频率与概率 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别 (2)理解事件间的关系与运算 2023年新高考Ⅱ卷：第12题，5分 2024年北京卷：第18题（1），4分 2024年上海卷：第19题（1）、（2），9分 2025年北京卷：第18题（1），4分 从近几年的高考情况来看，随机事件、频率与概率的考查比较稳定，主要考查以频率估计概率、互斥事件与对立事件等内容，往往以选择题或填空题的形式考查，难度较易；有时以频率估计概率也会在解答题中以一小问的形式出现，与统计等知识结合考查，难度中等. 知识点1 频率与概率 1．频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例 辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率f1000（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， 2．频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 知识点2 随机事件 1．事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 2．事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， (2)多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，…，A∪B∪C∪… (或A+B+C+…)发生当且仅当A，B，C，…中至少一个发生，A∩B∩C∩… (或ABC…)发生当且仅当A，B，C，…同时发生. 知识点3 随机事件的关系与概率 1．互斥事件、对立事件的判断 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件. 2．互斥事件的概率求法 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法： 一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算； 二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1-P(A)求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法比较简便. 【方法技巧与总结】 1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 2．概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即 . 【题型1 随机事件与样本空间】 【例1】（2025高一上·全国·专题练习）下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 【变式1-1】（24-25高一下·全国·周测）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①2020年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④向量的模不小于0． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 【变式1-3】（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【题型2 随机事件的关系与运算】 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）若干人站成一排，其中为互斥事件的是（    ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙站排尾” C．“甲站排头”与“乙不站排头” D．“甲不站排头”与“乙不站排头” 【变式2-1】（24-25高三上·上海黄浦·期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2-2】（24-25高一下·云南昭通·期末）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或2”，事件C表示“向上的点数大于2”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【变式2-3】（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 互斥事件与对立事件的概率】 【例3】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·山东烟台·期末）已知事件A与事件互为对立事件，且，则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【变式3-2】（24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件A和B，其中，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一下·北京·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【题型4 频率与概率】 【例4】（25-26高二上·四川成都·阶段练习）下面说法正确的是（    ） A．设一批产品的次品率，则从中任取10件，必有1件是次品 B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 C．天气预报：“明天降雨概率为90％”，则明天可能不下雨 D．做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 【变式4-1】（25-26高二上·四川南充·阶段练习）下列说法正确的是（    ） ①已知，，那么事件“”有可能不发生；         ②随机试验的频率与概率相等； ③如果一个事件发生的概率为，那么说明此事件必然发生； ④只有不确定事件有概率； ⑤若事件发生的概率为，则． A．⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．②③④⑤ 【变式4-2】（2025高三·全国·专题练习）在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表： 降落时距靶心距离（单位：cm） 人数 18 21 39 22 用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（    ） A．0.18 B．0.21 C．0.39 D．0.40 【变式4-3】（2025高一·全国·专题练习）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了5次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（    ） A．朝上的点数是2的概率和频率均为1 B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的概率为1 C．抛掷第6次，朝上的点数一定不是2 D．抛掷60000次，朝上的点数为2的次数大约为10000次 【题型5 频率估计概率在统计中的应用】 【例5】（24-25高二上·贵州遵义·期末）我市某高校共有学生30000人，其中女生18000人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）. (1)应收集多少个男生样本数据? (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图，其中样本数据分布区间为：，，，，，，在该校学生中任选一人，试估计该生每周平均体育运动时间不超过7h的概率. 【变式5-1】（24-25高一下·全国·课后作业）某市统计近几年婴儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下： 出生婴儿数 21840 23070 20094 19982 出生男婴数 11453 12031 10297 10242 (1)试计算这几年男婴出生的频率（精确到0.001）； (2)估计该市男婴出生的概率（精确到0.1）． 【变式5-2】（24-25高一下·江苏苏州·开学考试）为推动文明城市创建，提升城市整体形象，2018年12月30日盐城市人民政府出台了《盐城市停车管理办法》，2019年3月1日起施行.这项工作有利于市民养成良好的停车习惯，帮助他们树立绿色出行的意识，受到了广大市民的一致好评.现从某单位随机抽取80名职工，统计了他们一周内路边停车的时间t（单位：小时），整理得到数据分组及频率分布直方图如下： 组号 分组 频数 1 6 2 8 3 22 4 28 5 12 6 4    (1)从该单位随机选取一名职工，试估计这名职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率； (2)求频率分布直方图中的值. 【变式5-3】（24-25高一下·广东广州·阶段练习）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下： (1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率； (2)根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较． 一、单选题 1．（2025·福建福州·模拟预测）已知事件A，B为随机事件，则“A，B为对立事件”是“A，B为互斥事件”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（24-25高一下·全国·单元测试）某工厂生产的产品合格率是，这说明（   ） A．该工厂生产的10000件产品中不合格的产品一定有1件 B．该工厂生产的10000件产品中合格的产品一定有9999件 C．合格率是，很高，说明该工厂生产的10000件产品中没有不合格产品 D．该工厂生产的产品合格的可能性是 3．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖. B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率. C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈. D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水. 4．（2025·四川绵阳·模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（    ）    A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天 B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3 C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时 D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时 5．（25-26高一上·河北·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 6．（2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川绵阳·三模）某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．估计这批产品该项质量指标的众数为45 C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60 D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5 8．（25-26高二上·广东·阶段练习）不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（    ） ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色； ④2张卡片至多一张为红色. A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（2025·河南信阳·模拟预测）若将100枚硬币（均为正反两面）平放在桌面上，开始时有8枚硬币反面向上，重复执行以下操作：每次操作任选其中3枚硬币翻面（1枚硬币可重复翻面），若经过次上述操作后，所有硬币均为反面向上，则的值可以为（   ） A．45 B．54 C．63 D．72 10．（2025·安徽合肥·模拟预测）粉笔盒中只装了白红黄蓝绿5支不同颜色的粉笔，老师上课时随机使用了3支，下列结论中正确的是（   ） A．事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至少1支用到”为互斥事件 B．事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至多1支用到”为对立事件 C．白色与红色粉笔都用到的概率为 D．白色与红色粉笔至少1支用到的概率为 11．（2025·江苏镇江·模拟预测）为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了4道选择题和2道填空题，每位参赛者从6道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取1道题作答.设事件为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（    ） A．与互斥；与互斥 B．不管第几次抽取，抽到选择题的概率都相同 C． D． 三、填空题 12．（25-26高二上·四川眉山·开学考试）在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率为 ． 13．（24-25高二·上海·课堂例题）若事件A和B互斥，且，，则 ． 14．（24-25高二·上海·课堂例题）观察下列现象： ①在标准大气压下水加热到100℃，沸腾； ②导体通电，发热； ③异性电荷，相互排斥； ④实心铁块丢入水中，铁块浮起； ⑤买一张福利彩票，中奖； ⑥掷一枚硬币，反面朝上； 其中是随机现象的有 ． 四、解答题 15．（24-25高二·上海·课堂例题）判断下列事件中，哪些是确定的事件，哪些是不确定的事件？ (1)在空地上抛一石块，石块会下落； (2)明天上午八时到九时之间，你会接到一个推销电话； (3)买一张福利彩票，会中奖． 16．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）把分别写在10张形状大小一样的卡片上，并随机抽取1张．设事件：出现奇数，事件：出现被3除余2的数．写出下面两个事件的对应子集： (1)事件、事件至少有一个发生； (2)事件、事件恰好有一个发生． 17．（25-26高二上·广东佛山·期中）甲、乙2名同学最近100次投篮的情况如下： 甲 乙 投中 50 60 不投中 50 40 由频率估计概率，解答下列问题. (1)分别估计甲、乙2名同学的投篮命中率. (2)规定：甲、乙各投篮2次为1局比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局.甲、乙每次投中与否相互独立，估计甲、乙两人平局的概率. (3)在（2）的规则下，估计甲、乙在两局内分出胜负的概率. 18．（24-25高一·全国·随堂练习）设某人向一个目标连续射击3次，用事件表示随机事件“第i次射击命中目标”（，2，3），指出下列事件的含义： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（24-25高一下·全国·课后作业）为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：kg），并将所得数据分组（每组包含左端值，不包含右端值），画出频率分布直方图，如图所示． (1)根据直方图作频率分布表； (2)估计数据落在中的概率为多少； (3)将上面捕捞的100条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $