专题8.2 两条直线的位置关系（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题8.2 两条直线的位置关系（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 求与已知直线平行、垂直的直线方程】 3 【题型2 两条直线平行及其应用】 4 【题型3 两条直线垂直及其应用】 4 【题型4 直线的交点问题】 5 【题型5 点到直线的距离公式的应用】 6 【题型6 两条平行直线间的距离公式的应用】 6 【题型7 与距离有关的最值问题】 6 【题型8 点、线间的对称问题】 7 【题型9 直线系方程】 8 1、两条直线的位置关系 考点要求 真题统计 考情分析 (1)能根据斜率判定两条直线平行或垂直 (2)能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标 (3)掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 2022年上海卷：第7题，5分 2024年北京卷：第3题，4分 2025年全国一卷：第7题，5分 2025年天津卷：第12题，5分 从近几年的高考情况来看，高考对两条直线的位置关系、距离公式的考查比较稳定，多以选择题、填空题的形式考查，考查内容、频率、题型与难度均变化不大；复习时应加强对两条直线的位置关系、距离公式、对称关系的掌握，灵活求解. 知识点1 两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 知识点2 直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 2．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0， λ∈R，但不包括直线l2. 知识点3 距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 知识点4 点、线间的对称关系 1．六种常用对称关系 (1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y). (2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)，关于y轴的对称点为(-x,y). (3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，关于直线y=- x的对称点为(-y,-x). (4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b-y). (5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y). (6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k). 2．对称问题的求解策略 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解. (2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题. 【方法技巧与总结】 1．判断两条直线位置关系的注意点： (1)斜率不存在的特殊情况；(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论. 2．使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x,y的系数对应相等. 【题型1 求与已知直线平行、垂直的直线方程】 【例1】（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·全国·单元测试）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【题型2 两条直线平行及其应用】 【例2】（2025·宁夏中卫·三模）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 【变式2-1】（2025·上海·三模）设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【变式2-2】（2025·天津和平·二模）若，直线：，直线：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-3】（2025·广东茂名·一模）已知直线，直线，若 ，则实数的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．0 【题型3 两条直线垂直及其应用】 【例3】（2025·陕西西安·二模）已知点，，且直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·河南郑州·模拟预测）已知直线与直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（2024·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知直线与垂直，则实数的值为（   ） A．2 B．-2 C． D． 【题型4 直线的交点问题】 【例4】（2025高二·全国·专题练习）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型5 点到直线的距离公式的应用】 【例5】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式5-2】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（    ） A． B． C． D． 【题型6 两条平行直线间的距离公式的应用】 【例6】（2024·浙江杭州·模拟预测）平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·四川绵阳·模拟预测）若直线：与直线：平行，则这两条直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 【变式6-3】（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知，直线，若，则与之间的距离为 . 【题型7 与距离有关的最值问题】 【例7】（2025·广东佛山·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【变式7-1】（25-26高二上·全国·单元测试）若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高三上·浙江·期中）已知函数（a，且）在区间上有零点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 【变式7-3】（2025·内蒙古赤峰·三模）出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点，，则，两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点满足，是直线上的动点，则的最小值为（） A． B． C． D． 【题型8 点、线间的对称问题】 【例8】（24-25高二下·上海·阶段练习）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）如图已知，，，若光线从点射出，直线反射后到直线上，再经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【题型9 直线系方程】 【例9】（24-25高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【变式9-1】（24-25高二上·安徽合肥·期末）过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【变式9-3】（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 一、单选题 1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）若直线与直线互相平行，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或-1 2．（2025·山西·三模）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·广西桂林·一模）已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东·一模）过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 7．（2025·山东·一模）实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 8．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025高二上·全国·专题练习）（多选）已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线的倾斜角为 B．若，则 C．若，则 D．直线的纵截距为 10．（25-26高二上·全国·单元测试）平行于直线0，且与它距离为的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知直线，下列选项正确的是（   ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．直线过定点 C．当时， D．当时，两直线之间的距离为1 三、填空题 12．（2025·山东济南·模拟预测）已知直线与直线，若，则 ． 13．（2025·云南曲靖·一模）已知直线：与：平行，则与间的距离为 ． 14．（24-25高二上·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 16．（24-25高二上·湖北孝感·期中）求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程； (3)过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 17．（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）已知两条平行直线与之间的距离是． (1)求直线关于直线对称的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线方程． 18．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 19．（24-25高二上·重庆·期中）已知两直线， (1)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)已知两点，，动点在直线运动，求的最小值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2 两条直线的位置关系（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 求与已知直线平行、垂直的直线方程】 3 【题型2 两条直线平行及其应用】 5 【题型3 两条直线垂直及其应用】 7 【题型4 直线的交点问题】 8 【题型5 点到直线的距离公式的应用】 9 【题型6 两条平行直线间的距离公式的应用】 11 【题型7 与距离有关的最值问题】 12 【题型8 点、线间的对称问题】 14 【题型9 直线系方程】 17 1、两条直线的位置关系 考点要求 真题统计 考情分析 (1)能根据斜率判定两条直线平行或垂直 (2)能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标 (3)掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 2022年上海卷：第7题，5分 2024年北京卷：第3题，4分 2025年全国一卷：第7题，5分 2025年天津卷：第12题，5分 从近几年的高考情况来看，高考对两条直线的位置关系、距离公式的考查比较稳定，多以选择题、填空题的形式考查，考查内容、频率、题型与难度均变化不大；复习时应加强对两条直线的位置关系、距离公式、对称关系的掌握，灵活求解. 知识点1 两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 知识点2 直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 2．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0， λ∈R，但不包括直线l2. 知识点3 距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 知识点4 点、线间的对称关系 1．六种常用对称关系 (1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y). (2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)，关于y轴的对称点为(-x,y). (3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，关于直线y=- x的对称点为(-y,-x). (4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b-y). (5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y). (6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k). 2．对称问题的求解策略 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解. (2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题. 【方法技巧与总结】 1．判断两条直线位置关系的注意点： (1)斜率不存在的特殊情况；(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论. 2．使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x,y的系数对应相等. 【题型1 求与已知直线平行、垂直的直线方程】 【例1】（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据恒过定点化简直线方程求出，再根据垂直关系求出所求直线的斜率，列点斜式方程化简即可. 【解答过程】由，得， 直线恒过点． 因为的斜率为， 所以所求直线的斜率为，其方程为，即， 故选：A． 【变式1-1】（2025·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】依题意设直线的方程为，代入求出参数的值，即可得解. 【解答过程】因为直线平行于直线，所以直线可设为， 因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得， 解得，所以直线的方程是. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二上·全国·单元测试）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可知，，所以的斜率之积为，可得到的斜率，再由过点，即可得到答案． 【解答过程】设直线的斜率分别为，由可知，， 由题意可知，，所以，所以． 因为过点，所以由直线的点斜式方程可知的方程为， 即． 故选：C. 【变式1-3】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用两点确定直线的斜率，再利用两垂直直线间的斜率关系，可求出，最后利用点斜式方程可得解. 【解答过程】由题意知，，则直线的斜率, 因为直线与直线垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，则两斜率乘积为， 所以直线的斜率，再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为， 即， 故选：A. 【题型2 两条直线平行及其应用】 【例2】（2025·宁夏中卫·三模）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 【答案】D 【解题思路】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验即可. 【解答过程】依题意得，， 得， 解得或， 若时，直线与直线平行，符合题意； 若时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：或． 故选：D. 【变式2-1】（2025·上海·三模）设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【解题思路】利用两者之间推出的关系可得条件关系. 【解答过程】若，则直线，直线，此时平行， 若平行，则即， 当时，平行， 当时，直线，直线，此时也平行， 故平行时推不出，故“”是“平行”的充分不必要条件， 故选：A. 【变式2-2】（2025·天津和平·二模）若，直线：，直线：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据两直线的位置关系，结合充分条件、必要条件的概念即可求解. 【解答过程】当时，，则； 若，则，解得或. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-3】（2025·广东茂名·一模）已知直线，直线，若 ，则实数的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．0 【答案】C 【解题思路】根据两直线平行时系数的关系求解即可. 【解答过程】根据两直线平行，可知， 解得. 故选：C. 【题型3 两条直线垂直及其应用】 【例3】（2025·陕西西安·二模）已知点，，且直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】借助垂直直线斜率的关系计算即可得. 【解答过程】由题意可得，解得. 故选：A. 【变式3-1】（2025·河南郑州·模拟预测）已知直线与直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】由，计算得或，即可判断. 【解答过程】因为， 所以， 解得或， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 【变式3-2】（2024·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由直线垂直的充要条件即可列式得解. 【解答过程】直线的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线的斜率为， 即且，，所以. 故选：D. 【变式3-3】（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知直线与垂直，则实数的值为（   ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】A 【解题思路】对分类讨论，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系即可求解. 【解答过程】当时，得，此时与不垂直； 当时，若，则，解得. 故选：A. 【题型4 直线的交点问题】 【例4】（2025高二·全国·专题练习）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】联立方程求解即可. 【解答过程】由方程组，得，即交点为． 故选：C． 【变式4-1】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出直线、的交点坐标，根据题意，设直线的方程为，将交点坐标代入直线的方程，求出实数的值，即可得出直线的方程. 【解答过程】联立直线、的方程，，解得， 故直线、的交点坐标为， 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得. 因此，直线的方程为. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用垂直关系求出，再代入方程联立求解交点. 【解答过程】直线与互相垂直,可得，即. 把代入直线，得到. 联立方程组 解得.把代入，得. 所以交点坐标为. 故选：C. 【变式4-3】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【解答过程】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A. 【题型5 点到直线的距离公式的应用】 【例5】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再代入点到直线距离公式即可. 【解答过程】易知直线的斜率为，又过点， 所以其方程为，即， 可得点到直线l的距离为. 故选：C. 【变式5-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】法一：由点线距离公式列方程求参数值；法二：两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求参数值. 【解答过程】法一：因为点，到直线l：的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或； 法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故； 若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则． 经检验，或均符合题意. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】点到直线的距离. 故选：D. 【变式5-3】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】解方程组求得交点坐标，由点到直线距离公式计算出距离． 【解答过程】由得，即， 所以点到直线 的距离为， 故选：A． 【题型6 两条平行直线间的距离公式的应用】 【例6】（2024·浙江杭州·模拟预测）平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据两直线平行求出的值，再由两直线间的距离公式求解. 【解答过程】因为直线与平行， 所以，即， 则，也就是， 所以两直线间的距离为. 故选：D. 【变式6-1】（2025·四川绵阳·模拟预测）若直线：与直线：平行，则这两条直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由直线平行求出参数k，再由两平行直线的距离公式即可求解. 【解答过程】因为直线：与直线：平行， 所以，所以， 所以直线：即， 所以这两条直线间的距离为. 故选：B. 【变式6-2】（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 【答案】 【解题思路】利用平行线之间的距离公式求解即可. 【解答过程】直线和直线互相平行， 故点与点之间距离的最小值即两条直线间的距离， 且两条直线间的距离：. 故答案为：. 【变式6-3】（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知，直线，若，则与之间的距离为 . 【答案】 【解题思路】先通过平行求出，再利用平行线的距离公式求解即可. 【解答过程】由得，解得， 则直线，即 与之间的距离为 故答案为：. 【题型7 与距离有关的最值问题】 【例7】（2025·广东佛山·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解题思路】为直线上的点到原点距离的平方，利用点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】为直线上的点到原点距离的平方， 所以的最小值为原点到直线的距离的平方， 又原点到直线的距离， 所以的最小值为1． 故选：D. 【变式7-1】（25-26高二上·全国·单元测试）若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据动点满足的关系式，结合中点公式可得中点满足的方程，利用点到直线的距离求解. 【解答过程】设的中点的坐标为，则有， 又，分别在直线与上， ∴联立得，两式相加得， ∴，即， 即的中点在直线上移动， ∴到原点距离的最小值即原点到直线的距离． 故选：A. 【变式7-2】（24-25高三上·浙江·期中）已知函数（a，且）在区间上有零点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【解题思路】转换主参变量，利用点到直线的距离公式来求得的最小值. 【解答过程】依题意在区间上有零点， 整理得在上有解， 表示坐标系中，直线（看成参数）上的点， 所以表示原点到直线上的点的距离的平方， 设， 由于，所以当时，取得最小值为， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式7-3】（2025·内蒙古赤峰·三模）出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点，，则，两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点满足，是直线上的动点，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意可知的轨迹关于轴对称，也关于轴对称，进而先研究其在时的函数解析式，并画出其图象，结合对称性可将图象补充完整，数形结合求解即可. 【解答过程】由题意可知，的轨迹关于轴对称，也关于轴对称． 当时，， 即 画出此函数的图象，并结合对称性可得点的轨迹是如图所示的六边形． 由图可知，的最小值为图中点到直线的距离． 故选：A. 【题型8 点、线间的对称问题】 【例8】（24-25高二下·上海·阶段练习）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设点关于直线的对称点为，列出方程组，即可求解. 【解答过程】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 【变式8-1】（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件判断，可设，利用对称性可知与间的距离等于与间的距离，列方程求解即得. 【解答过程】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）. 所以直线的方程为. 故选：D. 【变式8-2】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）如图已知，，，若光线从点射出，直线反射后到直线上，再经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由点关于轴的对称点，设点关于直线的对称点列方程组求出，，从而求出直线，联立，得点坐标，由此能求出光线所在的直线方程． 【解答过程】由题意知，过点和点的直线为，且点， 设光线分别射在上的处， 由于光线从点经两次反射后又回到点， 根据反射规律，则 作出点关于的对称点，作出点关于的对称点， 则 所以共线， 因为，所以， 点关于轴的对称点 设点关于直线的对称点 所以，解得， 所以直线，即 联立，得， 所以直线，即光线L所在的直线方程为 故选：C． 【变式8-3】（24-25高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出点关于直线的对称点为，则线段的长度即为最短总路程，再利用两点间的距离公式进行求解． 【解答过程】设点关于直线的对称点为， 则，解得， ，又点 故“将军饮马”的最短总路程为． 故选：A． 【题型9 直线系方程】 【例9】（24-25高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【答案】D 【解题思路】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可. 【解答过程】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 【变式9-1】（24-25高二上·安徽合肥·期末）过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用直线系方程结合直线平行的条件可得参数，进而即得． 【解答过程】由已知，可设所求直线的方程为：， 即， 又因为此直线与直线平行， 所以：， 解得：， 所以所求直线的方程为：，即． 故选：A． 【变式9-2】（24-25高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【答案】 【解题思路】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解. 【解答过程】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 【变式9-3】（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【答案】 【解题思路】根据直线相交设所求直线为，结合直线过原点求参数，即可得方程. 【解答过程】令所求直线为， 又直线过原点，则， 所以所求直线为. 故答案为：. 一、单选题 1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）若直线与直线互相平行，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或-1 【答案】A 【解题思路】根据平行直线的性质进行求解即可. 【解答过程】因为直线与直线互相平行， 所以有且， 解得， 故选：A. 2．（2025·山西·三模）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】由，得到，求解即可判断. 【解答过程】由，则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2025·广西桂林·一模）已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】据直线方向向量求出斜率，由两直线位置关系求与垂直的直线斜率，点斜式表达方程即可得解. 【解答过程】的方向向量为，则斜率为，因为直线与垂直，所以斜率为 又过点，所以直线方程为，整理可得. 故选：D. 4．（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出，然后由平行线之间的距离求解即可. 【解答过程】直线即直线，与直线平行，则， 故所求即为平行直线与之间的距离， 即所求为. 故选：B. 5．（2024·山东·一模）过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出两条直线的交点，设出所求直线的方程，并求出待定系数即得. 【解答过程】由，解得，则所求方程的直线过点， 设所求直线方程为，于是，解得， 所以所求直线方程为. 故选：D. 6．（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由对称关系求得，再由点到线距离公式求解； 【解答过程】设关于直线的对称点为， 由对称关系可得， 解得． 则点到直线：的距离为． 故选：C． 7．（2025·山东·一模）实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【解题思路】由点到线的距离公式求解最小值，即可求解. 【解答过程】， 其中为两点与距离的平方， 所以其最小值即为到直线距离的平方，即， 所以的最小值为1， 故选：B. 8．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得. 【解答过程】 如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故， 故选：B. 二、多选题 9．（2025高二上·全国·专题练习）（多选）已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线的倾斜角为 B．若，则 C．若，则 D．直线的纵截距为 【答案】BD 【解题思路】本题给了两条含参的直线方程，通过不同条件判断直线的性质或已知直线性质求参数范围. 【解答过程】对于A，当时，直线，斜率，则倾斜角为，故A错误； 对于B，，等价于，解得，故B正确； 对于C，若，则，故，故C错误； 对于D，，当时，，所以直线的纵截距为，故D正确． 故选BD． 10．（25-26高二上·全国·单元测试）平行于直线0，且与它距离为的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】设与直线平行的直线方程为 ，然后由平行直线距离公式可得答案. 【解答过程】由题意，设与直线平行的直线方程为 ，由两平行直线间的距离公式可得 ，解得或，故所求直线方程为 或． 故选：AD. 11．（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知直线，下列选项正确的是（   ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．直线过定点 C．当时， D．当时，两直线之间的距离为1 【答案】AD 【解题思路】对于A，根据两直线垂直，设出直线方程，代入已知点，可得答案； 对于B，整理直线方程，建立方程组，可得答案； 对于C，根据两直线垂直，建立方程，可得答案； 对于D，根据两直线平行，建立方程，求得参数，利用平行线距离公式，可得答案. 【解答过程】对于A，垂直于直线的直线方程为， 将点代入得，故所求直线方程为，故A正确； 对于B，直线化为：，由， 求得直线过定点，故B错误； 对于C，时有：，解得，故C错误； 对于D，当时，，解得， 此时直线， 两平行线间的距离为，故D正确． 故选：AD. 三、填空题 12．（2025·山东济南·模拟预测）已知直线与直线，若，则 ． 【答案】 【解题思路】根据可得出关于的等式，计算可解得的值. 【解答过程】若，则， 所以或． 当时，，重合；当时，符合题意． 故答案为：. 13．（2025·云南曲靖·一模）已知直线：与：平行，则与间的距离为 ． 【答案】 【解题思路】由两直线平行可求得，再由平行线间的距离公式代入计算可得结果. 【解答过程】由与两直线平行可得，解得； 即可得：， 所以与间的距离为. 故答案为：. 14．（24-25高二上·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 ． 【答案】 【解题思路】折痕为点与点的中垂线，得方程，再根据点与原点对称可得答案. 【解答过程】如图：可知折痕为点与点的中垂线， 中点坐标为， 设折痕直线的斜率为，则，得， 故折痕直线方程为，即， 由题意点与原点关于折痕对称， 故得，故. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合； （2）根据两条直线垂直公式计算即可求参. 【解答过程】（1）因为 ，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. （2）因为，所以 解得或. 16．（24-25高二上·湖北孝感·期中）求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程； (3)过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解； （2）根据互相垂线直线的斜率乘积为，从而求解直线方程； （3）分直线过原点、不过原点讨论可得答案. 【解答过程】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的方程为； （2）设与直线垂直的直线方程为； 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为； （3）当直线过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 当直线不过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 综上，所求直线方程为或. 17．（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）已知两条平行直线与之间的距离是． (1)求直线关于直线对称的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解. （2）根据所求直线过已知两直线的交点，以及上的任一点关于对称的点在所求直线上即可求解. 【解答过程】（1）因为直线：与：平行，所以， 又两条平行直线：与：之间的距离是， 所以解得或（舍去）， 即直线：，：， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则，解得或7（舍去）， 故所求直线方程为， （2）设直线关于直线对称的直线为， 由，解得，所以直线经过点， 在上取一点关于对称的点设为， 则有，解得，所以直线经过点， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即：. 18．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【解题思路】（1）将直线的方程整理得，令，解出即可定点，由点到直线的距离公式即可求解； （2）由（1）可得直线过定点，设定点为，当时，点到直线的距离最大，且最大距离，由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求. 【解答过程】（1）将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为． （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 19．（24-25高二上·重庆·期中）已知两直线， (1)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)已知两点，，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1)或； (2)2. 【解题思路】（1）求出直线的交点，再按相等截距是否为0分类，结合直线的截距式方程求解. （2）求出点关于直线对称的点，再结合对称的性质及两点间线段最短求出最小值. 【解答过程】（1）由，解得，则直线交于点， 直线在两坐标轴上截距都为0，且过点，符合题意， 当相等的截距不为0时，设直线方程为，由， 得，方程为， 所以所求直线方程为或. （2）点在直线同侧，令点关于直线对称的点坐标为， 则，解得，因此点关于直线对称的点为原点， ，当且仅当是线段与直线为交点时取等号， 所以的最小值为2. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $