专题10.3 二项式定理（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题10.3 二项式定理（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 求二项展开式的特定项】 3 【题型2 求二项展开式的特定项系数】 3 【题型3 两个二项式之积问题】 4 【题型4 三项展开式问题】 4 【题型5 二项式系数和与系数和问题】 4 【题型6 二项式系数的最值问题】 5 【题型7 奇次项与偶次项的系数和】 5 【题型8 整除和余数问题】 6 【题型9 近似计算问题】 6 【题型10 杨辉三角】 7 1、二项式定理 考点要求 真题统计 考情分析 (1)能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 2023年天津卷：第11题，5分 2023年上海卷：第10题，4分 2024年北京卷：第4题，4分 2024年天津卷：第11题，5分 2024年上海卷：第6题，4分 2025年北京卷：第12题，5分 2025年天津卷：第11题，5分 2025年上海卷：第4题，4分 从近几年的高考情况来看，二项式定理是高考的重点、热点内容，每年都有考查，主要考查二项展开式的通项、展开式的特定项或特定项的系数以及各项系数和等问题，往往以选择题或填空题的形式考查，难度不大，复习时需要加强这方面的练习，解题时要学会灵活求解. 知识点1 二项式定理 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 .(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, …,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：. (2)二项展开式的规律 ①二项展开式一共有(n+1)项. ②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. ③每一项中a和b的幂指数之和为n. 2．二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 知识点2 展开式中的通项问题 1．求二项展开式的特定项的解题策略 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可. 2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略 (1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 知识点3 二项式系数的和与各项系数的和问题 1．赋值法 “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法. 2．系数之和问题的解题策略 若，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项之和为 ，偶数项系数之和为. 3．展开式的逆用 根据所给式子的特点结合二项式展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解. 知识点4 二项式系数最大项问题 1．二项式系数最大项的确定方法 当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第和第项的二项式系数开式中第最大，最大值为或. 【方法技巧与总结】 1．. 2．. 【题型1 求二项展开式的特定项】 【例1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）展开式的常数项为（   ） A．6 B．12 C．15 D．20 【变式1-1】（2025·江西·模拟预测）展开式中的第项是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）二项式的展开式中常数项是（    ） A． B． C．28 D．56 【变式1-3】（2025·内蒙古赤峰·三模）展开式中的常数项为（   ） A． B． C．250 D．1250 【题型2 求二项展开式的特定项系数】 【例2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）的展开式中第三项的系数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·广西柳州·模拟预测）二项式的展开式中，含的项的系数是（   ） A． B．10 C． D．5 【变式2-2】（2025·湖南长沙·三模）二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 【变式2-3】（2025·吉林·模拟预测）设为非零实数，若二项式展开式中含与的项系数相等，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【题型3 两个二项式之积问题】 【例3】（2025·河北·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·四川广安·模拟预测）已知的展开式中项的系数为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·湖南·三模）的展开式中的常数项是（    ） A．12 B．8 C． D． 【变式3-3】（2025·江西新余·模拟预测）的展开式中的系数为（   ） A．90 B． C． D．50 【题型4 三项展开式问题】 【例4】（2025·浙江·二模）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．120 C．240 D．360 【变式4-1】（2025·江西·二模）在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．60 D．30 【变式4-2】（2025·广东佛山·三模）若的展开式中的常数项为31，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式4-3】（2025·河北保定·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．20 【题型5 二项式系数和与系数和问题】 【例5】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为81，则其展开式中的系数是（   ） A．4 B．8 C．32 D．64 【变式5-1】（2025·北京昌平·二模）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式5-2】（2025·山东聊城·二模）若的展开式中的系数为12，则其展开式中所有项的系数的和为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【变式5-3】（2025·山东·三模）若，则的值为（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【题型6 二项式系数的最值问题】 【例6】（2025·四川成都·二模）的展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【变式6-1】（2025·安徽·二模）已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 【变式6-2】（2025·新疆·三模）二项式的展开式中系数的最大值是 ． 【变式6-3】（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知二项式的展开式中，第三项的二项式系数是第二项二项式系数的2倍，项的系数是 项系数的4倍，则展开式中系数最大的项是 ． 【题型7 奇次项与偶次项的系数和】 【例7】（2025·重庆·模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·河南开封·二模）若 则 （    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·四川巴中·三模）在展开式中，的偶数次幂的项的系数和为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·广东江门·一模）已知，则的值是（    ） A．680 B． C．1360 D． 【题型8 整除和余数问题】 【例8】（2025·河南许昌·模拟预测）若，则被8整除的余数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式8-1】（2025·甘肃白银·三模）98除的余数是（   ） A．1 B．9 C．3 D．6 【变式8-2】（2025·重庆·模拟预测）若能被整除，则的最小正整数取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式8-3】（2025·甘肃庆阳·三模）中国南北朝时期的著作《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设为整数，若和同时除以所得的余数相同，则称和对模同余，记为 若， ，，则（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2025 【题型9 近似计算问题】 【例9】（2025·湖南·二模）某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 【变式9-1】（2025·北京西城·二模）某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高二下·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【变式9-3】（2025·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 【题型10 杨辉三角】 【例10】（2025·山东泰安·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．在第行中，最大 C． D． 【变式10-1】（24-25高二下·广东中山·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 【变式10-2】（25-26高三上·福建·开学考试）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（   ） A． B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．记杨辉三角中第行的第个数为，则 【变式10-3】（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（    ） A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 一、单选题 1．（2025·广东清远·一模）在的展开式中，的系数为（    ） A．10 B． C．40 D． 2．（2025·广东·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．30 C．45 D．15 3．（2025·湖南永州·模拟预测）的展开式中，的系数为（   ） A．80 B．40 C． D． 4．（2025·全国·模拟预测）若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（    ） A．160 B． C．20 D． 5．（2025·陕西汉中·模拟预测）若，则（    ） A．244 B．1023 C． D．1 6．（2025·甘肃白银·三模）已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（    ） A．252 B．210 C．120 D．10 7．（2025·江苏南通·模拟预测）的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·河北唐山·模拟预测）在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A．一共有5项 B．第3项为 C．所有项的系数和为0 D．所有项的二项式系数和为32 10．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·全国·模拟预测）关于展开式中，则（    ） A．展开式的各项系数和为 B．展开式中项的系数为120 C．展开式中含的各项系数之和为100 D．展开式中不含字母的各项的系数之和为1 三、填空题 12．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为 ． 13．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为 ． 14．（2025·北京·高考真题）已知，则 ； ． 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）求除以8的余数． 16．（24-25高二下·浙江杭州·期末）在的展开式中，第项为常数项． (1)求的值和该常数项的值； (2)求展开式中所有项的系数之和． 17．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 18．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知二项展开式． (1)求的值； (2)求的值． 19．（24-25高二下·吉林·期中）已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7:6. (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)若，求的值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.3 二项式定理（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 求二项展开式的特定项】 3 【题型2 求二项展开式的特定项系数】 4 【题型3 两个二项式之积问题】 5 【题型4 三项展开式问题】 7 【题型5 二项式系数和与系数和问题】 8 【题型6 二项式系数的最值问题】 10 【题型7 奇次项与偶次项的系数和】 11 【题型8 整除和余数问题】 13 【题型9 近似计算问题】 15 【题型10 杨辉三角】 16 1、二项式定理 考点要求 真题统计 考情分析 (1)能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 2023年天津卷：第11题，5分 2023年上海卷：第10题，4分 2024年北京卷：第4题，4分 2024年天津卷：第11题，5分 2024年上海卷：第6题，4分 2025年北京卷：第12题，5分 2025年天津卷：第11题，5分 2025年上海卷：第4题，4分 从近几年的高考情况来看，二项式定理是高考的重点、热点内容，每年都有考查，主要考查二项展开式的通项、展开式的特定项或特定项的系数以及各项系数和等问题，往往以选择题或填空题的形式考查，难度不大，复习时需要加强这方面的练习，解题时要学会灵活求解. 知识点1 二项式定理 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 .(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, …,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：. (2)二项展开式的规律 ①二项展开式一共有(n+1)项. ②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. ③每一项中a和b的幂指数之和为n. 2．二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 知识点2 展开式中的通项问题 1．求二项展开式的特定项的解题策略 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可. 2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略 (1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 知识点3 二项式系数的和与各项系数的和问题 1．赋值法 “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法. 2．系数之和问题的解题策略 若，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项之和为 ，偶数项系数之和为. 3．展开式的逆用 根据所给式子的特点结合二项式展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解. 知识点4 二项式系数最大项问题 1．二项式系数最大项的确定方法 当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第和第项的二项式系数开式中第最大，最大值为或. 【方法技巧与总结】 1．. 2．. 【题型1 求二项展开式的特定项】 【例1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）展开式的常数项为（   ） A．6 B．12 C．15 D．20 【答案】C 【解题思路】应用二项式定理写出展开式通项，进而求常数项. 【解答过程】由题意得，二项展开式的通项为，， 令，则. 故选：C. 【变式1-1】（2025·江西·模拟预测）展开式中的第项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据展开式通项公式写出第项即可. 【解答过程】由题意可得二项式展开式的通项为：， 将代入上式，可得：， 所以展开式中的第项是：. 故选：A. 【变式1-2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）二项式的展开式中常数项是（    ） A． B． C．28 D．56 【答案】C 【解题思路】写出展开式的通项，即可求出展开式中常数项. 【解答过程】由题意， 在中，展开式的通项为， 令，解得， ∴展开式中常数项是. 故选：C. 【变式1-3】（2025·内蒙古赤峰·三模）展开式中的常数项为（   ） A． B． C．250 D．1250 【答案】A 【解题思路】先写出展开式的通项，然后令的指数为，得到的值，即可求解. 【解答过程】展开式的通项为， 令，得， 所以常数项为. 故选：. 【题型2 求二项展开式的特定项系数】 【例2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）的展开式中第三项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用二项式定理即可求出答案. 【解答过程】的展开式中第三项为， 所以所求系数为. 故选：C. 【变式2-1】（2025·广西柳州·模拟预测）二项式的展开式中，含的项的系数是（   ） A． B．10 C． D．5 【答案】A 【解题思路】利用二项式展开式的通项公式即得. 【解答过程】的展开式的通项为， ， 则含的项的系数是. 故选：A. 【变式2-2】（2025·湖南长沙·三模）二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 【答案】C 【解题思路】求出展开式的通项，从而可得第5项的系数． 【解答过程】二项式展开式的通项公式， 当时，第5项系数为210． 故选：C. 【变式2-3】（2025·吉林·模拟预测）设为非零实数，若二项式展开式中含与的项系数相等，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】在二项展开式的通项公式，根据与的项系数相等，求得实数的值. 【解答过程】二项式的展开式的通项公式为， 根据与的项系数相等， 则， 解得. 故选：C. 【题型3 两个二项式之积问题】 【例3】（2025·河北·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【解答过程】的展开式通项为， 因为， 的通项为， 令，可得； 的展开式通项为， 令，可得. 所以，展开式中的系数为. 故选：D. 【变式3-1】（2025·四川广安·模拟预测）已知的展开式中项的系数为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由，进而结合展开式中的通项列方程求解即可. 【解答过程】由， 而展开式中的通项为， ， 令，得；令，得， 则的展开式中项的系数为 ，解得. 故选：A. 【变式3-2】（2025·湖南·三模）的展开式中的常数项是（    ） A．12 B．8 C． D． 【答案】B 【解题思路】求出的通项公式，得到，，从而得到的展开式中常数项的值． 【解答过程】的通项公式为， 当时，．当时，， 故的展开式中常数项的值为． 故选：B． 【变式3-3】（2025·江西新余·模拟预测）的展开式中的系数为（   ） A．90 B． C． D．50 【答案】B 【解题思路】先确定二项式的通项，再根据乘法分配律计算得展开式中的系数即可. 【解答过程】二项式的通项为， 展开式中系数为. 故选：B. 【题型4 三项展开式问题】 【例4】（2025·浙江·二模）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．120 C．240 D．360 【答案】B 【解题思路】根据展开式中每一项的生成过程，结合组合数公式，即可求解. 【解答过程】要得到这一项，相当于从6个含有三项的因式中的3个因式取，1个因式取，2个因式取， 即这一项为. 故的系数为. 故选：B. 【变式4-1】（2025·江西·二模）在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．60 D．30 【答案】C 【解题思路】求出展开式的通项，再根据的次数确定的次数，最后求出的系数. 【解答过程】根据二项式定理，可得展开式的通项为（）. 要求的系数，则的次数，此时. 同样根据二项式定理，展开式的通项为（）. 要得到，则令，解得. 当，时，的系数为 在的展开式中，的系数为60. 故选：C. 【变式4-2】（2025·广东佛山·三模）若的展开式中的常数项为31，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】根据二项式定理，写出指定项的系数，结合题意，建立方程，可得答案. 【解答过程】依题意，，所以，即． 故选：C. 【变式4-3】（2025·河北保定·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．20 【答案】B 【解题思路】根据二项式定理展开式计算即可. 【解答过程】先求展开式中含，的项， 易知，显然其不含， 含的项分别为：，， 所以在的展开式中， 的系数为. 故选：B. 【题型5 二项式系数和与系数和问题】 【例5】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为81，则其展开式中的系数是（   ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】C 【解题思路】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【解答过程】由题意，展开式中二项式系数之和为16，则，即， 即二项式为，因为的展开式中各项系数之和为81， 令可得，，解得， 此时二项式为，其展开式的通项公式为 ，， 令，得，所以展开式中的系数是. 故选：C. 【变式5-1】（2025·北京昌平·二模）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】利用赋值法即可求解. 【解答过程】令得：， 令得：， 所以， 故选：D. 【变式5-2】（2025·山东聊城·二模）若的展开式中的系数为12，则其展开式中所有项的系数的和为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】C 【解题思路】先根据已知系数列式求出，再应用赋值法计算系数和即可. 【解答过程】的展开式中的系数为，所以， 所以令，所以展开式中所有项的系数的和为48. 故选：C. 【变式5-3】（2025·山东·三模）若，则的值为（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【答案】A 【解题思路】利用赋值法可得：令可得；令可得：，即可得出结果. 【解答过程】因为， 令可得； 令可得：； 故. 故选：A. 【题型6 二项式系数的最值问题】 【例6】（2025·四川成都·二模）的展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】B 【解题思路】根据二项式系数的对称性可直接判断结果. 【解答过程】易知的展开式的各项系数分别为， 由二项式系数的对称性可知系数最大的项为第四项. 故选：B. 【变式6-1】（2025·安徽·二模）已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 【答案】C 【解题思路】根据二项式系数和可得，即可根据通项特征，列举比较可得最大值. 【解答过程】由已知，故，故通项为（，1，…，8），故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数， 故最大，因此第七项的系数最大， 故选：C． 【变式6-2】（2025·新疆·三模）二项式的展开式中系数的最大值是 ． 【答案】32 【解题思路】设第项系数最大，由第项系数不小于第项和第项系数，列不等式组解之可得项数即可得解． 【解答过程】展开式第项系数为，设第项系数最大，则 ，解得，∴， ∴系数的最大值是：． 故答案为：32. 【变式6-3】（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知二项式的展开式中，第三项的二项式系数是第二项二项式系数的2倍，项的系数是 项系数的4倍，则展开式中系数最大的项是 ． 【答案】 【解题思路】根据二项式系数及项的系数的关系求出，由展开式通项公式列出不等式组得解. 【解答过程】由题意，，即，解得， 因为，， 所以，解得或（舍去）， 因为， 设第项系数最大，则， 即，解得， 因为为正整数，所以， 所以展开式中系数最大的项为. 故答案为：. 【题型7 奇次项与偶次项的系数和】 【例7】（2025·重庆·模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，由赋值法可得. 【解答过程】设， 则， ， 因此，. 故选：C. 【变式7-1】（2025·河南开封·二模）若 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】使用赋值法，当分别取和时，得到和，联立解得. 【解答过程】令，得①； 令，得②； 得：. 故选：C. 【变式7-2】（2025·四川巴中·三模）在展开式中，的偶数次幂的项的系数和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，分别令、，将所得等式联立可得的值. 【解答过程】设， 令可得， 令可得， 上述两式子相加得，，故， 展开式中，的偶数次幂的项的系数和为. 故选：D. 【变式7-3】（2025·广东江门·一模）已知，则的值是（    ） A．680 B． C．1360 D． 【答案】B 【解题思路】利用赋值法，分别令和，将得到的两式相加，结合等比数列的求和，即可求得答案. 【解答过程】令，则，即 令，则， 即， 两式相加可得， 故选：B. 【题型8 整除和余数问题】 【例8】（2025·河南许昌·模拟预测）若，则被8整除的余数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解题思路】令得，令得，两式相减即可得，即 利用二项式定理即可求解. 【解答过程】令得，令得， 两式相减得 ， 所以，因为 ，，因为能被8整除， 所以 被8整除的余数为4. 故选：C. 【变式8-1】（2025·甘肃白银·三模）98除的余数是（   ） A．1 B．9 C．3 D．6 【答案】A 【解题思路】将转化为，写出其二项展开式，即可求解. 【解答过程】， 故98除的余数是1． 故选：A. 【变式8-2】（2025·重庆·模拟预测）若能被整除，则的最小正整数取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】将合理变形，再利用二项式定理展开，进而得到的取值即可. 【解答过程】由题意得, ， 而一定能被整除， 只需保证能被整除即可，而， 得到， 故， 而一定能被整除，只需保证能被整除即可， 若使最小，则满足，解得，故C正确. 故选：C. 【变式8-3】（2025·甘肃庆阳·三模）中国南北朝时期的著作《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设为整数，若和同时除以所得的余数相同，则称和对模同余，记为 若， ，，则（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2025 【答案】C 【解题思路】利用二项式定理化简为，展开可得到被10除余3，由此能求出的值． 【解答过程】因为， 又 所以 所以a除以10的余数就等于除以10的余数，即为3， 而给定的五个数中，只有2023除以10后余数为3，所以. 故选：C. 【题型9 近似计算问题】 【例9】（2025·湖南·二模）某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 【答案】D 【解题思路】利用等比数列的通项公式、二项展开式计算可得答案. 【解答过程】存入大额存款元，按照复利计算， 可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 可得， 故选：D. 【变式9-1】（2025·北京西城·二模）某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据二项式定理即可估算近似值. 【解答过程】由题意可知 故选：C. 【变式9-2】（24-25高二下·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【答案】C 【解题思路】利用二项式定理进行估值即可. 【解答过程】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C. 【变式9-3】（2025·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 【答案】B 【解题思路】根据复利可知每年末本息和构成等比数列，利用等比数列通项公式及二项式定理求解即可. 【解答过程】存入大额存款10万元，按照复利计算， 每年末本利和是以10为首项，为公比的等比数列， 所以本利和． 故选：B． 【题型10 杨辉三角】 【例10】（2025·山东泰安·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．在第行中，最大 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据定义计算判断A，根据组合数的性质计算判断B，C，D. 【解答过程】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，第100行中第50个数是，又，故B错误； 对于选项C，第2025行中第1013个数和第1014个数分别为和， 因，故，故C正确； 对于选项D，因为 ， 则，故D错误； 故选：C. 【变式10-1】（24-25高二下·广东中山·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 【答案】D 【解题思路】A选项，分别得到第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数，第9行的第8个数，得到A正确；B选项，第2023行中第1012个数为，第1013个数为，结合组合知识得到B正确；C选项，先得到，得到；D选项，第15个数与第16个数之比为. 【解答过程】A选项，第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28， 它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确； B选项，第2023行是二项式的展开式的系数， 故第2023行中第1012个数为，第1013个数为，又，B正确； C选项，“杨辉三角”第n行是二项式的展开式的系数，所以， ，C正确； D选项，第34行是二项式的展开式的系数， 所以第15个数与第16个数之比为，D错误． 故选：D． 【变式10-2】（25-26高三上·福建·开学考试）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（   ） A． B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．记杨辉三角中第行的第个数为，则 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用组合数的性质判断AB；利用二项式定理推理判断CD. 【解答过程】对于A， ， A正确； 对于B，第2025行的第1013个数和第1014个数分别为，而，B正确； 对于C，第行所有数字的平方和， 第行的中间一项的数字是展开式中项的系数， 而， 又展开式中项的系数为， 因此，C正确； 对于D，因为，所以，D不正确. 故选：D. 【变式10-3】（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（    ） A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 【答案】D 【解题思路】由杨辉三角及二项式定理、组合数性质求对应行列数字及相关行的数字之和. 【解答过程】在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，A错误； 由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数字之和为，则第9行数字之和必大于256，B错误； 第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为，所以，C错误； 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，D正确． 故选：D. 一、单选题 1．（2025·广东清远·一模）在的展开式中，的系数为（    ） A．10 B． C．40 D． 【答案】C 【解题思路】根据二项式展开的通项公式求解． 【解答过程】展开式的通项公式为， 令，则， 所以展开式中的系数是. 故选：C． 2．（2025·广东·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．30 C．45 D．15 【答案】A 【解题思路】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【解答过程】的展开式中，有， 则的系数为，的系数为， 所以的展开式中，的系数为． 故选：A． 3．（2025·湖南永州·模拟预测）的展开式中，的系数为（   ） A．80 B．40 C． D． 【答案】D 【解题思路】利用多项式乘以多项式的规则及分类计数原理可求解. 【解答过程】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项，其为， 故的系数为. 故选：D. 4．（2025·全国·模拟预测）若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（    ） A．160 B． C．20 D． 【答案】B 【解题思路】先根据二项式系数和求出，求出展开式通项，令得，代入通项即可求出常数项. 【解答过程】因为的展开式的二项式系数和为64，即，解得， 则的展开式通项为， 令得，所以的常数项为 . 故选：B． 5．（2025·陕西汉中·模拟预测）若，则（    ） A．244 B．1023 C． D．1 【答案】A 【解题思路】利用换元法结合二项展开式的通项公式可求. 【解答过程】设，则原恒等式可化为， 令，则， 而展开式的通项公式为， 故，故， 故选：A. 6．（2025·甘肃白银·三模）已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（    ） A．252 B．210 C．120 D．10 【答案】B 【解题思路】根据二项式系数之和公式求出m， 结合通项公式进行求解即可. 【解答过程】因为展开式的所有二项式系数之和为32， 所以， 所以的通项公式为 ， 当或6时，展开式的系数最大，其系数最大值为， 故选：B. 7．（2025·江苏南通·模拟预测）的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意求出，写出二项展开式的通项，即可求得二项式系数最大的项. 【解答过程】因为，所以，二项展开式的通项为 ， 故二项展开式中，二项式系数最大的项为. 故选：A. 8．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令计算可判断A；利用展开式的通项公式计算可判断B，令计算可判断C；令结合C选项计算可判断D. 【解答过程】对于A，令，得，即，故A错误； 对于B，展开式的通项公式为， 所以，故B错误； 对于C，令，得， 即，故C正确； 对于D，令，得， 即， 因为， 所以， 因为， 所以不成立，故D错误. 故选：C. 二、多选题 9．（2025·河北唐山·模拟预测）在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A．一共有5项 B．第3项为 C．所有项的系数和为0 D．所有项的二项式系数和为32 【答案】CD 【解题思路】利用展开式的通项公式和赋值法可求解. 【解答过程】因为的展开式共有6项，所以A不正确； 通项公式为，令可得第三项为，B不正确； 令可得所有项的系数和为0，C正确； 所有项的二项式系数和为，D正确. 故选：CD. 10．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解题思路】观察二项式展开式两边的次数可得，即可判断A；由赋值法，令得即可判断B；求出展开式中与的系数，结合得即可判断C；由赋值法，令求解即可判断D. 【解答过程】对于A，等式右边最高次数为7，故，A正确； 对于B，令，则，B正确； 对于C，的系数为 ，C错误； 对于D，令 则，D错误. 故选：AB. 11．（2025·全国·模拟预测）关于展开式中，则（    ） A．展开式的各项系数和为 B．展开式中项的系数为120 C．展开式中含的各项系数之和为100 D．展开式中不含字母的各项的系数之和为1 【答案】AB 【解题思路】令求得各项系数和判断A，结合组合数的运算根据二项式定理的定义求出系数判断B，结合组合数及二项式定理求出各项系数并求和判断C，将问题转化为的各项系数和，令即可求解判断D. 【解答过程】A：令，即可得出展开式的各项系数和为，所以A正确． B：可以看成在5个因式“”的乘积中，在其中一个因式选择“”， 再在剩下的4个因式“”中有两个因式中选择“”，两个因式中选择“”， 所以项的系数为，所以B正确． C：含的各项系数之和为，所以C错误． D：展开式中不含字母的各项的系数之和即为的各项系数和， 令，即可得出展开式的各项系数和为，所以D错误． 故选：AB． 三、填空题 12．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为 ． 【答案】 【解题思路】根据二项式定理相关知识直接计算即可. 【解答过程】展开式的通项公式为， 当时，， 即展开式中的系数为. 故答案为：. 13．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【解题思路】利用通项公式求解可得. 【解答过程】由通项公式， 令，得， 可得项的系数为. 故答案为：. 14．（2025·北京·高考真题）已知，则 ； ． 【答案】； 【解题思路】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值. 【解答过程】令，则， 又， 故， 令，则， 令，则，故 故答案为：；. 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）求除以8的余数． 【答案】7 【解题思路】由，应用二项式定理将其展开即可得. 【解答过程】因为， 所以． 由上面的展开式可知，除以8的余数是7. 16．（24-25高二下·浙江杭州·期末）在的展开式中，第项为常数项． (1)求的值和该常数项的值； (2)求展开式中所有项的系数之和． 【答案】(1)，常数项的值为 (2) 【解题思路】（1）利用二项展开式的通项公式，结合条件，得到，可得，即可求解； （2）通过赋值，令，即可求解. 【解答过程】（1）因为的展开式的通项公式为， 由题知时，，得到，解得， 所以常数项的值为. （2）由（1）知，令，得到， 所以展开式中所有项的系数之和为. 17．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）结合题意建立方程，求解参数即可. （2）求出展开式的通项，再结合赋值法求解常数项即可. （3）结合题意建立不等式，得到，再求出系数最大的项即可. 【解答过程】（1）因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得. （2）由已知得， 其展开式的通项为，令，解得， 则展开式的常数项为. （3）由已知得展开式的通项为， 则第项的系数为，设第项的系数最大， 则，解得， 因为是整数，所以， 此时系数最大的项为. 18．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知二项展开式． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用赋值法可得系数和的值，即可求解； （2）先构造二项式展开，再得相应系数的正负，然后去绝对值,即可用赋值法求对应系数和. 【解答过程】（1）已知， 令，可得， 令，可得， 所以． （2）展开式的通项为． 当r为偶数时，； 当r为奇数时，． 所以． 令，则， 即． 19．（24-25高二下·吉林·期中）已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7:6. (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）求得展开式的通项公式为，根据第5项与第3项的系数之比为，累成方程，求得的值； （2）根据二项展开式的性质，可得展开式中的底6项的二项式系数最大，结合通项公式，即可求解； （3）根据二项展开式的通项公式，得到二项展开式中项的系数的正负，化简得到，令，即可求解. 【解答过程】（1）解：由二项式展开式的通项公式为， 因为第5项与第3项的系数之比为，可得， 即，解得或（舍），所以. （2）解：由（1）知二项式， 根据二项展开式的性质，可得展开式中的底6项的二项式系数最大， 所以展开式中二项式系数最大的项为. （3）解：由（1）知，二项展开式的通项为， 当时，展开式的项的系数为负； 当时，展开式的项的系数为正， 所以 令，可得， 即. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $