7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 （5大考点+6大题型）（讲义+精练） -2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 一、四个公理 3 二、直线与直线的位置关系 3 三、直线与平面的位置关系 4 四、平面与平面的位置关系 4 五、等角定理 4 03 探究核心题型 5 题型一：共面、共线、共点问题的证明 5 题型二：判定空间两条直线是异面直线 7 题型三：截面问题 8 题型四：平面的基本性质 9 题型五：等角定理 10 题型六：异面直线所成的角 11 04 好题赏析（一题多解） 13 05 数学思想方法 14 ①数形结合 14 ②转化与化归 14 ③分类讨论 15 06 课时精练（真题、模拟题） 17 基础过关篇 17 能力拓展篇 19 1、借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义． 2、了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题． 一、四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据 推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据 （2）此推论是判定若干平面重合的依据 （3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据 推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面； 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据 （2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点） （3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 二、直线与直线的位置关系 位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面 图形 符号 a∥b 公共点个数 1 0 0 特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在如何一个平面内 三、直线与平面的位置关系 位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线） 图形 符号 ∥ 公共点个数 无数个 1 0 四、平面与平面的位置关系 位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直 图形 符号 ∥ ， 公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 五、等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 题型一：共面、共线、共点问题的证明 【例题1】如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线． 【例题2】如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明，，相交于一点． 【解题总结】 共面、共线、共点问题的证明 （1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内． （2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． （3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 【变式1】中，，，，是的中点，是的中点，是的中点.如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得.证明：、、、共面.    【变式2】如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【变式3】在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是、边上的点，且．    (1)求证：、、、四点共面； (2)若四面体为棱长为6的正四面体，求四边形的周长． 题型二：判定空间两条直线是异面直线 【例题3】取正方体六个表面的中心，构成正八面体，如图所示，正八面体的12条棱中异面直线的对数为（   ）      A．16 B．24 C．32 D．48 【例题4】已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（    ） A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．不确定 【解题总结】 判定空间两条直线是异面直线的方法如下： （1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线． （2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面． 【变式4】若为异面直线，且它们之间的距离为，则空间中与，均异面且距离也均为的直线的条数为（    ） A．0条 B．1条 C．多于1条，但为有限条 D．无数条 【变式5】如图，正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（    ）．    A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线相交，直线平面 C．直线与直线平行，直线平面 D．直线与直线异面，直线平面 【变式6】如图，三棱柱中，点分别为的中点，则下列说法错误的是（   ）.    A．四点共面 B．与是异面直线 C．∠=∠ D．三线共点 题型三：截面问题 【例题5】在棱长为6的正方体中，点分别为的中点，，点在棱上，若，则平面截正方体，所得截面多边形的周长 ． 【例题6】如图所示正方体的棱长为2，E是棱的中点，则由，A，E三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为 . 【解题总结】 （1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． （2）作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 【变式7】如图所示正方体中棱长为1，是棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为 ． 【变式8】E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1、C1D1的中点，则过A、E、F三点的截面的图形是 .    【变式9】在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为 . 题型四：平面的基本性质 【例题7】（多选题）下列命题是真命题的是（    ） A．若的三条边所在的直线分别交平面于三点，则三点共线 B．若直线是异面直线，直线是异面直线，则直线是异面直线 C．若三条直线两两平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面 D．对于三条直线，若，则 【例题8】（多选题）下列结论错误的有（    ） A．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． B．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线． C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． D．没有公共点的两条直线是异面直线． 【解题总结】 平面具有三大基本性质：一、任意三点不共线则确定一个唯一平面；二、任意两条平行直线确定一个唯一平面；三、过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面。这些性质揭示了平面作为二维空间的基本构成单元，其存在与确定的唯一性。 【变式10】（多选题）（25-26高三上·河北·开学考试）下列命题正确的有（    ） A．一条直线和一个点确定一个平面 B．直线与平面垂直，在平面内存在无数条直线与直线相交 C．直线与平面相交，平面内存在无数条直线和直线异面 D．平面与平面垂直，若直线与平面垂直，则直线与平面平行 【变式11】（多选题）如图，正四棱台中，下列说法正确的是（    ）    A．和异面 B．和共面 C．平面平面 D．平面与平面相交 【变式12】（多选题）在空间，已知直线及不在上两个不重合的点A、B，过直线作平面，使得点A、B到平面的距离之比为1:2，则这样的平面不可能有（    ） A．无数个 B．1个 C．2个 D．3个 题型五：等角定理 【例题9】如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点，且，则 ． 【例题10】已知异面直线所成角的大小为，直线且，则 . 【解题总结】 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【变式13】过正方体的顶点在空间作直线，使与平面和直线所成的角都等于，则这样的直线共有 条． 【变式14】如图，在过点A的三条不共面的射线上，，则△EFG与△BCD的面积之比为 ． 【变式15】如图，在长方体中，点是（靠近点）的一个三等分点，点是的中点，为直线与平面的交点，则 . 题型六：异面直线所成的角 【例题11】在正方体中，点在棱上，过点作平面的平行平面，记平面与平面的交线为，则与所成角的大小为 ． 【例题12】如图，已知三棱柱中，底面，，，则异面直线与所成角的大小为    【解题总结】 （1）点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判断，常借助正方体为模型． （2）求异面直线所成的角的三个步骤 一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． 二证：证明作出的角是异面直线所成的角． 三求：解三角形，求出所作的角． 【变式16】如图，在四面体中，，直线与直线所成的角为，､分别为､的中点.则直线和直线所成角的大小为 . 【变式17】正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是中点，N为线段中点，则直线与直线所成角的余弦值为 ． 【变式18】在正方体中，过点作直线与异面直线和所成的角均为，则的取值范围为 . 1．中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，ABCD是正方形，平面ABCD，，点E，F是PC，AD的中点． 若要经过点E和棱AB将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长； 若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由． 2．如图，正方体中，分别在棱，，上，且相交于点 求证：DP，RQ，BC三线共点． 若正方体的棱长为2，且分别是线段的中点，求三棱锥的体积． ①数形结合 1．若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是  A．l与，都不相交 B．l与，都相交 C．l至多与，中的一条相交 D．l至少与，中的一条相交 2．三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n不可能是    A．4 B．5 C．6 D．7 3．在正方体中，E，F，G，H分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E，F，G，H四点共面的是（    ） A． B． C． D． ②转化与化归 4．如图，在三棱柱中，E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是      A．E，F，G，H四点共面 B． C．EG，FH，三线共点 D． 5．如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，且，E是棱PD的中点，设平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，在正方体中，过对角线的一个平面交于 E，交于 F，给出下面几个命题：以上命题中真命题的个数为    ①四边形一定是平行四边形； ②四边形有可能是正方形； ③平面有可能垂直于平面； ④设与DC的延长线交于M，与DA的延长线交于N，则M､N､三点共线； ⑤四棱锥的体积为定值． A．2 B．3 C．4 D．5 ③分类讨论 7．若一条直线和一个平面平行，则称此直线与平面构成一个“平行线面对”．在一个正方体中，由经过两个顶点的直线和经过四个顶点的平面所构成的“平行线面对”的个数是 A．48 B．44 C．36 D．24 8．如图，S是圆锥的顶点，AB是底面圆的直径，，M是线段AS上的点不与端点A，S重合，N是底面圆周上的动点，则直线BS与MN不能（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直 9．对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线 基础过关篇 1．如图，正方体中，分别为棱的中点，连接，对空间任意两点，若线段与线段都不相交，则称两点可视，下列选项中与点可视的为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．已知是空间三条不同的直线，则下面命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则共面 D．若共点，则共面 3．已知正三棱锥，，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．下列命题中，是真命题的是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．四边相等，四个角也相等的四边形是正方形 5．下列关于空间中不重合的两条直线说法中错误的是（    ） A．这两条直线可能既共面，又共点 B．这两条直线可能既不共面，又不共点 C．这两条直线可能共面但不共点 D．这两条直线可能共点但不共面 6．若一直线上有两点到一个平面的距离都等于2，则该直线与这个平面的位置关系是（    ） A．直线在平面内 B．直线平行平面 C．直线与平面相交 D．直线与平面相交或平行 7．下列说法其中正确的是（    ） A．四边相等的四边形是菱形． B．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 C．如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行． D．两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b的位置关系可能是异面直线，也可能是相交直线． 8．在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）如图所示，G､H､M､N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线、是异面直线的图形有（    ） A．   B．   C．   D．   10．（多选题）已知空间中三条不同的直线，，和平面，且，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与相交，则与相交 D．若与相交，则与相交 11．直线为异面直线，直线为相交直线，则直线的位置关系是 ． 12．三条直线两两相交可以确定 个平面． 13．已知在正方体中，分别为、的中点，，．求证：四点共面. 14．（1）已知是空间四边形，分别是的中点，求证：． （2）在正方体中，分别是正方形和的中心；求证：直线与为异面直线． 能力拓展篇 1．在正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．已知为异面直线，平面平面，若直线满足，则下列说法一定错误的是（    ） A． B．与相交，且交线平行于 C．，且交线平行于 D．， 3．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，则下列说法正确的是（　　） A．直线与直线垂直 B．直线与平面所成角为 C．过三点的截面是等腰梯形 D．点到平面的距离为 4．四面体各面所在平面将空间分成几部分?（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 5．已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 6．已知直三棱柱的所有棱长均为2，则直线与直线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．三个平面把空间分成m部分，m的所有可能取值组成集合Q，则Q中所有元素之和为（   ） A．18 B．19 C．25 D．30 8．如图，在棱长为1的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 9．（多选题）如图所示，已知A、B、C、D、E、F分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（    ）    A．直线AB B．直线BC C．直线CD D．直线DA 10．（多选题）如图，在正方体中，对角线与平面交于点，则（　　） A．直线与所成的角为 B．平面 C． D．为的垂心 11．下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是 ， 12．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，动点F沿着线段从点B移动到点．给出下列四个结论： ①恒为钝角      ②直线与直线AB为异面直线 ③          ④三棱锥体积为定值 其中所有正确结论的序号是 ． 13．如图，正方体的棱长是，点分别是两条棱的中点． (1)求证：四边形（图中阴影部分）是一个梯形； (2)求四边形的面积． 14．如图所示，在棱长为的正方体中，分别是的中点． (1)求证：∥平面． (2)求证：平面． (3)求的长． 15．如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点. (1)求异面直线与所成角的大小. (2)求证:点在直线上； 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 一、四个公理 3 二、直线与直线的位置关系 3 三、直线与平面的位置关系 4 四、平面与平面的位置关系 4 五、等角定理 4 03 探究核心题型 5 题型一：共面、共线、共点问题的证明 5 题型二：判定空间两条直线是异面直线 9 题型三：截面问题 13 题型四：平面的基本性质 17 题型五：等角定理 21 题型六：异面直线所成的角 25 04 好题赏析（一题多解） 29 05 数学思想方法 32 ①数形结合 32 ②转化与化归 34 ③分类讨论 38 06 课时精练（真题、模拟题） 40 基础过关篇 40 能力拓展篇 47 1、借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义． 2、了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题． 一、四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据 推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据 （2）此推论是判定若干平面重合的依据 （3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据 推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面； 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据 （2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点） （3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 二、直线与直线的位置关系 位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面 图形 符号 a∥b 公共点个数 1 0 0 特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在如何一个平面内 三、直线与平面的位置关系 位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线） 图形 符号 ∥ 公共点个数 无数个 1 0 四、平面与平面的位置关系 位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直 图形 符号 ∥ ， 公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 五、等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 题型一：共面、共线、共点问题的证明 【例题1】如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线． 【解析】由题意得平面， 又，平面， 所以平面， 由基本事实3可得，点在平面和平面的交线上， 所以三点共线． 【例题2】如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明，，相交于一点． 【解析】（1）证明：连接，，如图所示， 因为为正四棱台，所以， 又E，F，G，H分别为棱，，，的中点，所以，， 则，所以E，F，G，H四点共面，因为，所以，所以为梯形，则与必相交． （2）因为为梯形，则与必相交． 设，因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 又平面平面， 所以，则，，交于一点． 【解题总结】 共面、共线、共点问题的证明 （1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内． （2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． （3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 【变式1】中，，，，是的中点，是的中点，是的中点.如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得.证明：、、、共面.    【解析】取的中点，的中点，连接、、， 因为、分别为、的中点，所以，， 翻折前，中，，，， 是的中点，是的中点，是的中点， 则，，，，， 翻折后，则有，，， 因为，为的中点， 所以，， 所以，四边形为平行四边形， 所以，， 因为为的中点，所以，， 故四边形为平行四边形， 所以，，故，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以、、、共面. 【变式2】如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【解析】在正方体中，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 由分别是的中点，得，则，即四点共面， 而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 则，即点在直线上，所以直线交于同一点. 【变式3】在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是、边上的点，且．    (1)求证：、、、四点共面； (2)若四面体为棱长为6的正四面体，求四边形的周长． 【解析】（1）如图，连接， 因为、分别是、的中点，所以，又， 所以，所以， 所以、、、四点共面； （2）因为四面体为棱长为6的正四面体，又，则， ∴， 因为、分别是、的中点，则， ∴ ， ∴ . 题型二：判定空间两条直线是异面直线 【例题3】取正方体六个表面的中心，构成正八面体，如图所示，正八面体的12条棱中异面直线的对数为（   ）      A．16 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【解析】先任选一条棱，余下的11条棱中与它异面的有4条， 故共有对异面直线． 故选：B． 【例题4】已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（    ） A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．不确定 【答案】C 【解析】由，是异面直线，则异面或相交，又，故异面或相交. 故选：C 【解题总结】 判定空间两条直线是异面直线的方法如下： （1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线． （2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面． 【变式4】若为异面直线，且它们之间的距离为，则空间中与，均异面且距离也均为的直线的条数为（    ） A．0条 B．1条 C．多于1条，但为有限条 D．无数条 【答案】D 【解析】过公垂线段中点的双曲面上的直线满足要求． 故选：D. 【变式5】如图，正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（    ）．    A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线相交，直线平面 C．直线与直线平行，直线平面 D．直线与直线异面，直线平面 【答案】A 【解析】对于A，连接；由正方体的性质可知， 又是的中点，所以直线与直线垂直； 在正方体中因为，面，面，则面， 又，面，面，则面， 又面，所以平面平面， 又平面，所以直线平面，故A正确； 对于B，连接，则，直线平面， 又平面，且平面，且， 所以直线与直线异面，不相交，故B不正确； 对于C，以为原点，建立如图空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则 所以，不存在实数使， 故直线与直线不平行，故C不正确； 对于D，因为面，面，面，， 故直线与直线异面是正确的， 又，， 所以，所以直线与平面不垂直，故D不正确； 故选：A 【变式6】如图，三棱柱中，点分别为的中点，则下列说法错误的是（   ）.    A．四点共面 B．与是异面直线 C．∠=∠ D．三线共点 【答案】C 【解析】因为分别为的中点，所以，； 所以，所以四点共面，A正确. 因为平面，平面且，平面，所以与是异面直线，B正确. 由，且可知，四边形是梯形， 若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出， 所以C不一定正确. 如图： 设，则，又平面，所以平面； 同理可得平面，即一定在平面与平面的交线上， 因为平面平面，所以，即三线共点.故D正确. 故选：C 题型三：截面问题 【例题5】在棱长为6的正方体中，点分别为的中点，，点在棱上，若，则平面截正方体，所得截面多边形的周长 ． 【答案】 【解析】 如图，连接,设， 因为E、F分别为AB、BC的中点，所以，所以平面， 因为平面平面，连接GH，所以， 设平面，连接SO，则CG、OS、AH三者平行且相等， 在平面中，，，，， 所以，从而三点共线，即也在平面EFG内，连接，则截面多边形为， 易计算得，，，又根据对称性，截面多边形的周长为． 故答案为：． 【例题6】如图所示正方体的棱长为2，E是棱的中点，则由，A，E三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为 . 【答案】 【解析】延长与的延长线交于点，连接交于点，连接，如图所示， 则由，A，E三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为 棱的中点,且，在中，为中位线，， 又由题意得，且，，又，，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， 所得截面图形的周长为. 故答案为：. 【解题总结】 （1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． （2）作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 【变式7】如图所示正方体中棱长为1，是棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为 ． 【答案】 【解析】延长相交于点，连接交于点，连接， 则四边形即为所求截面图形,如图， 因为为的中点，由相似比可知为的中点， 则，因为，分别为，中点， 所以， 所以，， 同理，， 所以周长为. 故答案为：. 【变式8】E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1、C1D1的中点，则过A、E、F三点的截面的图形是 .    【答案】五边形 【解析】作直线EF分别与直线DC、DD1相交于P、Q， 连接AP交BC于M，连接AQ交A1D1于N，连接NF、ME， 则五边形AMEFN即为过A、E、F三点的截面； 故答案为：五边形. 【变式9】在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为 . 【答案】/ 【解析】如图，取、、分别为、、的中点， 、分别为、的中点，则且， 在直三棱柱中，且， 因为、分别为、的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，且， 且、分别为、的中点，则， 所以，四边形是等腰梯形， 当不是中点时，不平行平面， 则四边形不是等腰梯形，等腰梯形有且仅有一个， 取的中点，连接、， ，，且点为的中点， 则且， 所以，四边形为平行四边形，可得， 同理可得， 所以，、、均为等边三角形， . 故答案为：. 题型四：平面的基本性质 【例题7】（多选题）下列命题是真命题的是（    ） A．若的三条边所在的直线分别交平面于三点，则三点共线 B．若直线是异面直线，直线是异面直线，则直线是异面直线 C．若三条直线两两平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面 D．对于三条直线，若，则 【答案】AC 【解析】对于A，设平面平面，因为平面平面，所以，同理，所以，三点共线，故A是真命题； 对于B，如图，在正方体中，取所在直线为直线， 所在直线为直线所在直线为直线， 满足直线异面，直线异面，而，故B是假命题； 对于C，经过一组相交直线或一组平行直线，有且仅有一个平面，故C为真命题； 对于D，在正方体中，取所在直线为直线 所在直线为直线所在直线为直线，满足，而直线异面，故D为假命题． 故选：AC． 【例题8】（多选题）下列结论错误的有（    ） A．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． B．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线． C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． D．没有公共点的两条直线是异面直线． 【答案】BCD 【解析】对于A，当两两相交的三条直线不经过同一点，如图1，根据推论，这三条直线可以确定一个平面; 当两两相交的三条直线经过同一点且不共面，如图2，则确定一个平面， 确定一个平面，确定一个平面.共确定3个平面. 所以两两相交的三条直线最多可确定3个平面.故A正确； 对于B，由基本事实3，两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过A点的公共直线，而不是任意一条过点的直线都是两平面的交线，故B错误； 对于C，若这三个公共点共线，两平面可能相交，但不一定重合，故C错误； 对于D，没有公共点的两条直线可能平行也可能异面.故D错误 故选：BCD. 【解题总结】 平面具有三大基本性质：一、任意三点不共线则确定一个唯一平面；二、任意两条平行直线确定一个唯一平面；三、过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面。这些性质揭示了平面作为二维空间的基本构成单元，其存在与确定的唯一性。 【变式10】（多选题）（25-26高三上·河北·开学考试）下列命题正确的有（    ） A．一条直线和一个点确定一个平面 B．直线与平面垂直，在平面内存在无数条直线与直线相交 C．直线与平面相交，平面内存在无数条直线和直线异面 D．平面与平面垂直，若直线与平面垂直，则直线与平面平行 【答案】BC 【解析】对于A，当点在直线外时，直线与该点可确定一个平面，当点在直线上时，直线与该点不能确定一个平面，故A错误； 对于B，平面内所有过垂足的直线均与相交于，这样的直线有无数条，B正确； 对于C，设直线与平面的交点为，平面内所有不经过点的直线都与直线异面，这样的直线有无数条，故C正确； 对于D，直线还有可能在平面内，D错误. 故选：BC. 【变式11】（多选题）如图，正四棱台中，下列说法正确的是（    ）    A．和异面 B．和共面 C．平面平面 D．平面与平面相交 【答案】ABD 【解析】对于A，在四棱台中，， 所以与确定平面， 因为与相交，且与平面相交，由所以和异面，故A正确； 对于B，在正四棱台中，， 所以与确定平面，所以和共面，故B正确； 对于C，因为面，而面，面，面， 由基本事实3可知，平面与平面相交，故C错误； 对于D，因为在正四棱台中，， 所以与可以确定一个平面， 又因为，所以与交于一点设为， 所以，而平面，所以平面， 又，而平面，所以平面， 由基本事实3可知，平面与平面相交，故D正确. 故选：ABD 【变式12】（多选题）在空间，已知直线及不在上两个不重合的点A、B，过直线作平面，使得点A、B到平面的距离之比为1:2，则这样的平面不可能有（    ） A．无数个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】BD 【解析】线段与的位置关系有以下四种， 如图，当线段与异面时，有两种情况， 其中为线段与平面的交点，， 在线段的延长线上，且， 当线段与平行时，此时A、B到平面的距离之比为，故这样的平面为0个， 当线段与相交，交点为，且时，此时过直线作平面，可作无数多个平面，使得A、B到平面的距离之比为1:2， 当线段与相交，交点为，且时，此时可作0个平面，使得A、B到平面的距离之比为1:2， 故选：BD 题型五：等角定理 【例题9】如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点，且，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以，，， 又平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 又，平面，所以平面平面， 且三棱锥和三棱锥高之比也为， 由等角定理得，， 所以， 由， 可得， 所以. 故答案为：. 【例题10】已知异面直线所成角的大小为，直线且，则 . 【答案】或 【解析】由题意知，，，且异面直线，所成角为， 由等角定理及异面直线所成角为锐角或直角， 所以为异面直线，所成的角或补角， 所以或. 故答案为：或. 【解题总结】 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【变式13】过正方体的顶点在空间作直线，使与平面和直线所成的角都等于，则这样的直线共有 条． 【答案】2 【解析】在正方体中，与平面垂直，再根据等角定理，问题可以转化为过点A与、都成的直线有几条． 考虑到，夹角为，所以同一平面的角平分线与，的夹角大小为， 因为，从而存在两条直线满足条件．而，的外角为120度，所以不存在外角平分线满足条件． 综上，满足条件的直线共2条． 故答案为：2. 【变式14】如图，在过点A的三条不共面的射线上，，则△EFG与△BCD的面积之比为 ． 【答案】/9:25 【解析】由题意，， 故, 则 ，故 , 则 , 由，根据等角定理得 , 故 ， 故答案为： 【变式15】如图，在长方体中，点是（靠近点）的一个三等分点，点是的中点，为直线与平面的交点，则 . 【答案】 【解析】连接，，令平面与平面的交线交分别于点P，N，Q，如图， 在长方体中，四边形、四边形是正方形， 平面平面，平面平面，平面平面， 则，而，且与都是锐角，即， 则，又点是(靠近点)的一个三等分点，即， 点是的中点，而，则，，即， 在正方形中，，则， 连MN，则有平面平面，而直线，必有平面，又平面， 因此，直线，即直线与交于点O，又长方体的对角面是矩形， 即，且，于是得， 所以. 故答案为： 题型六：异面直线所成的角 【例题11】在正方体中，点在棱上，过点作平面的平行平面，记平面与平面的交线为，则与所成角的大小为 ． 【答案】 【解析】因为平面平面，平面平面， 平面平面，则， 则与所成角大小等于与所成角的大小， 因为平面平面，所以， 又，且平面，所以平面， 又平面，故，所以，即与所成角的大小为． 故答案为： 【例题12】如图，已知三棱柱中，底面，，，则异面直线与所成角的大小为    【答案】 【解析】根据直三棱柱的特征， 补全可得如图所示的正方体， 易知，为直线与所成角， 连接，则为等边三角形， 所以， 所以直线与所成角的大小为. 故答案为：. 【解题总结】 （1）点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判断，常借助正方体为模型． （2）求异面直线所成的角的三个步骤 一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． 二证：证明作出的角是异面直线所成的角． 三求：解三角形，求出所作的角． 【变式16】如图，在四面体中，，直线与直线所成的角为，､分别为､的中点.则直线和直线所成角的大小为 . 【答案】75°或15° 【解析】因为､分别为､的中点，取中点， 所以，， 因为直线与直线所成的角为， 所以或，又因为，所以， 所以或， 所以直线和直线所成角为或. 故答案为：或. 【变式17】正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是中点，N为线段中点，则直线与直线所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【解析】连接，由、分别为、中点，则， 则直线与直线所成角即为直线与直线所成角，即， 又，，， 则， 即直线与直线所成角的余弦值为. 故答案为：. 【变式18】在正方体中，过点作直线与异面直线和所成的角均为，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】如图，因为，所以或其补角为异面直线和所成的角. 因为，所以是等边三角形，所以， 过点作直线的平行线，则当与的角平分线平行时，取得最小值为， 故的取值范围为， 故答案为：. 1．中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，ABCD是正方形，平面ABCD，，点E，F是PC，AD的中点． 若要经过点E和棱AB将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长； 若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由． 【解析】解：【方法一】取PD的中点G，连接EG，AG，如图，EG，AG即为所求画线． 理由如下： 中，， 正方形ABCD中，， 所以，则A、B、E、G四点共面， 平面ABEG为过点E和棱AB的平面， 截面四边形ABEG是直角梯形， 其中，，，， 所以截面周长为 【方法二】取PD的中点G，连接EG，AG，如图，EG，AG即为所求画线． 理由如下： 因为，平面PCD，平面PCD， 所以平面PCD， 又平面ABE，设平面平面，则 中，E为PC中点，则G为PD中点， EG，AG即为所求画线， 截面四边形ABEG是直角梯形， 其中，，，， 所以截面周长为 在PD上取点H，使，连接EH，FH，EH，FH就是应画的线． 理由如下： 如图所示，以点A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面BEF的法向量为，由得，取， 设平面，设，则， ，则由，得，解得 即H是PD的三等分点，连接EH，FH，即EH，FH就是应画的线．   2．如图，正方体中，分别在棱，，上，且相交于点 求证：DP，RQ，BC三线共点． 若正方体的棱长为2，且分别是线段的中点，求三棱锥的体积． 【解析】证明：因为，所以，， 所以平面ABCD，平面， 因为平面平面， 所以O在BC上， 所以DP，RQ，BC三线共点． 解：由知DP，BC共面，且交于点O， 为AB中点，，，同理，，     ①数形结合 1．若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是  A．l与，都不相交 B．l与，都相交 C．l至多与，中的一条相交 D．l至少与，中的一条相交 【答案】D  【解析】 解：与，可以相交，如图： 该选项错误； B．l可以和，中的一个平行，如上图， 该选项错误； C．l可以和，都相交，如下图： 该选项错误； D．“l至少与，中的一条相交”正确， 假如l和，都不相交； 和，都共面； 和，都平行； ，和共面，这样便不符合已知的和异面； 该选项正确． 故选： 2．三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n不可能是    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B  【解析】解：按照三个平面中平行的个数来分类： 三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4部分； 两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成6部分；   三个平面中没有平行的平面： 三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成7部分； 三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8部分；   三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6部分；   综上，可以为4、6、7、8部分，不能为5部分， 故选： 3．在正方体中，E，F，G，H分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E，F，G，H四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B  【解析】 解：对于选项A，点E，F，H确定一个平面，该平面与底面交于FM， 而点G不在直线FM上， 故E，F，G，H四点不共面； 对于选项B，连结底面对角线AC， 则由中位线定理可知，，又， 则， 故E，F，G，H四点共面； 对于选项C，显然E，F，H所确定的平面为正方体的底面， 而点G不在该平面内， 故E，F，G，H四点不共面； 对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，可得一个正六边形， 即点E，G，H确定的平面，该平面与正方体正面的交线为PQ， 而点F不在直线PQ上， 故E，F，G，H四点不共面． 故选： ②转化与化归 4．如图，在三棱柱中，E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是      A．E，F，G，H四点共面 B． C．EG，FH，三线共点 D． 【答案】D  【解析】 解：选项A，如图， 连接EF， 是的中位线， ，且，四边形是平行四边形， ，，，F，G，H四点共面，故A、B正确； 对于选项C，如图，延长EG，FH相交于点 ，平面， 平面， ，平面， 平面， 平面平面， ，，FH，三线共点，故C正确； 对于选项D，，当时，，故D错误． 故选 5．如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，且，E是棱PD的中点，设平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B  【解析】解：延长AB，DC，设则平面平面，平面平面， ，则平面ABE，平面PCD，又平面平面， 得，即， 又，所以，由，且，知C为线段DQ的中点． 又E为PD的中点，所以点F为的重心，所以 故选： 6．如图所示，在正方体中，过对角线的一个平面交于 E，交于 F，给出下面几个命题：以上命题中真命题的个数为    ①四边形一定是平行四边形； ②四边形有可能是正方形； ③平面有可能垂直于平面； ④设与DC的延长线交于M，与DA的延长线交于N，则M､N､三点共线； ⑤四棱锥的体积为定值． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C  【解析】 解：因为平面与平面平行，截面与它们交于，BF， 可得，同理可得， 所以四边形是一个平行四边形，故①正确； 如果是正方形，则 又因为，，，平面， 所以平面 又因为平面，所以E与A重合，此时不是正方形，故②错误； 当两条棱上的交点是中点时，四边形为菱形，平面， 此时四边形垂直于平面，故③正确； 由与DC的延长线交于M，可得，且 又因为平面，平面ABCD，所以平面，平面 又因为平面，平面ABCD，所以平面平面， 同理平面平面， 所以BM，BN都是平面与平面ABCD的交线，所以B，M，N三点共线，故④正确； 由于，平面， 则E，F到平面的距离相等且为定值，三角形的面积为定值， 所以四棱锥的体积为定值，故⑤正确． 故选 ③分类讨论 7．若一条直线和一个平面平行，则称此直线与平面构成一个“平行线面对”．在一个正方体中，由经过两个顶点的直线和经过四个顶点的平面所构成的“平行线面对”的个数是 A．48 B．44 C．36 D．24 【答案】A  【解析】解：当该直线为棱所在直线时，有3个面与其构成“平行线面对”，共对；        当该直线为面对角线所在直线时，有1个面与其构成“平行线面对”，共12对；        当该直线为体对角线所在直线时，无． 综上，共48对，故选 8．如图，S是圆锥的顶点，AB是底面圆的直径，，M是线段AS上的点不与端点A，S重合，N是底面圆周上的动点，则直线BS与MN不能（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直 【答案】C  【解析】 解： 当N不与A或B重合时，SB是平面SAB内的一条直线， MN是平面SAB外的一条直线，且M不在SB上，可知BS与MN异面； 当N与B重合时，可知MN与BS相交； 当N与A重合时，可知SB与MN垂直． 直线BS与MN不能平行． 故选： 9．对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线 【答案】C  【解析】 对于任意的直线l与平面，分两种情况： ①l在平面内，l与m是共面直线，则存在直线或； ②l不在平面内，且，则平面内任意一条直线都垂直于l； 若l于不垂直，则它的射影在平面内为一条直线， 在平面内必有直线m垂直于它的射影，则m与l垂直； 若，则存在直线 综上，对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l垂直， 故选： 基础过关篇 1．如图，正方体中，分别为棱的中点，连接，对空间任意两点，若线段与线段都不相交，则称两点可视，下列选项中与点可视的为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【解析】A选项：四边形是平行四边形，与相交，故A错； C选项：四边形是平行四边形，与相交，故C错； D选项：四边形是平行四边形，与相交，故D错； 利用排除法可得选项B正确. 故选：B. 2．已知是空间三条不同的直线，则下面命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则共面 D．若共点，则共面 【答案】B 【解析】当且时，可能相交、异面或平行，故A错； 当且时，根据平行线的性质有，故B对； 当且时，则，但未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错； 当共点时，未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D错. 故选：B 3．已知正三棱锥，，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取中点，连接，，则， 所以（或补角）即为异面直线与所成角， 因为，，则，， 由余弦定理可得， 所以异面直线AF与BD所成角的余弦值为. 故选：D. 4．下列命题中，是真命题的是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．四边相等，四个角也相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】对于A，两组对边分别相等的四边形可以是空间四边形，故A不正确； 对于B，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，故B不正确； 对于C，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C正确； 对于D，四边相等，四个角也相等的四边形可以是空间四边形，故D不正确. 故选：C. 5．下列关于空间中不重合的两条直线说法中错误的是（    ） A．这两条直线可能既共面，又共点 B．这两条直线可能既不共面，又不共点 C．这两条直线可能共面但不共点 D．这两条直线可能共点但不共面 【答案】D 【解析】设是空间中不重合的两条直线， 对于A，若直线相交于一点，则这两条直线可能既共面，又共点，故A说法正确； 对于B，若直线是异面直线，则这两条直线既不共面，又不共点，故B说法正确； 对于C，若直线是平行直线，这两条直线共面但不共点，故C说法正确； 对于D，若直线相交于一点，则直线一定共面，故D说法错误. 故选：D 6．若一直线上有两点到一个平面的距离都等于2，则该直线与这个平面的位置关系是（    ） A．直线在平面内 B．直线平行平面 C．直线与平面相交 D．直线与平面相交或平行 【答案】D 【解析】由题，设直线为，平面为， 要使一条直线的两点到一个平面的距离为2，则由线面位置关系可得， 当时，可满足题意， 当与相交时，在面的异侧各有一个点可满足题意， 当时，无法满足题意， 故直线与平面相交或平行． 故选：D． 7．下列说法其中正确的是（    ） A．四边相等的四边形是菱形． B．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 C．如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行． D．两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b的位置关系可能是异面直线，也可能是相交直线． 【答案】D 【解析】选项A：只有平面内四边相等的四边形才是菱形， 空间内四边相等的四边形可以构成立体图形，故A错误； 选项B：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行， 那么这两个角相等或互补，故B错误； 选项C：若平面内无数条直线均平行，则两个平面可以平行或相交，故C错误； 选项D：两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交， 则直线a，b的位置关系可能是异面直线，也可能是相交直线，故D正确； 故选：D 8．在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画出图象如下图所示 根据正方形的性质可知 所以是直线与所成角 由于三角形是等边三角形 所以 即直线与所成的角的大小为 故选： 9．（多选题）如图所示，G､H､M､N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线、是异面直线的图形有（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BD 【解析】对于A，由G，M均为所在棱的中点，根据三棱柱的性质易得，不为异面直线； 对于B，在题图中， 三点在同一个平面内，直线显然与确定的平面相交， 故直线，是异面直线； 对于C，连接，由N，H均为所在棱的中点，所以，且， 易得四边形GMNH为梯形，则GH与MN相交，不是异面直线． 对于D，在题图中， 三点在同一个平面内，直线显然与确定的平面相交， 故直线，是异面直线. 故选：BD． 10．（多选题）已知空间中三条不同的直线，，和平面，且，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与相交，则与相交 D．若与相交，则与相交 【答案】AD 【解析】对A：因为，，则.故A成立； 对B：若，，则或.故B错误； 对C：若，与相交，则与相交或与异面，故C错误； 对D：若，与相交，则与相交.故D成立. 故选：AD 11．直线为异面直线，直线为相交直线，则直线的位置关系是 ． 【答案】相交或平行或是异面直线 【解析】在正方体中，令棱所在直线分别为，如图， 当棱所在直线为时，； 当棱所在直线为时，相交； 当棱所在直线为时，是异面直线， 所以直线的位置关系是相交或平行或是异面直线. 故答案为：相交或平行或是异面直线 12．三条直线两两相交可以确定 个平面． 【答案】1或3 【解析】（1）三条直线共面时，则确定1个平面； （2）三条直线不共面时，则三条直线必交于一点，此时每两条直线确定1个平面，共确定3个平面. 则三条直线两两相交可以确定1个或3个平面. 故答案为：1或3 13．已知在正方体中，分别为、的中点，，．求证：四点共面. 【解析】证明：因为是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以在一个平面内，即四点共面． 14．（1）已知是空间四边形，分别是的中点，求证：． （2）在正方体中，分别是正方形和的中心；求证：直线与为异面直线． 【解析】（1）取BC的中点为P，连接，如图所示， 由三角形的中线性质可知， 在中． （2）连接，如图所示， 因为平面，平面，，且平面， 所以与是异面直线． 能力拓展篇 1．在正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，设，连接，设． 易得，且， 所以四边形为平行四边形，则， 所以或其补角为异面直线与所成的角． 设正方体的棱长为1，则． 因为，且，所以， 所以， 所以，则． 故异面直线与的夹角为． 故选：A 2．已知为异面直线，平面平面，若直线满足，则下列说法一定错误的是（    ） A． B．与相交，且交线平行于 C．，且交线平行于 D．， 【答案】D 【解析】A：如图，可满足题干要求：   ； BC：如图，可满足题干要求：   ； D：若，则，与为异面直线矛盾，故D错误， 故选：D． 3．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，则下列说法正确的是（　　） A．直线与直线垂直 B．直线与平面所成角为 C．过三点的截面是等腰梯形 D．点到平面的距离为 【答案】D 【解析】因为正方体的棱长为2，如图 以所在的直线分别为轴、轴，轴建立空间直角坐标系， 则． 则， 因为， 所以与不垂直，即直线与直线不垂直，故A错误. 易知平面的一个法向量为，又， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 而，所以直线与平面所成角不是，故B错误. 取棱的中点为，连接，则． 因为，，所以，所以， 可得过三点的截面是四边形， 由得四边形为平行四边形，故C错误. ， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 所以点到平面的距离，故D正确． 故选： D. 4．四面体各面所在平面将空间分成几部分?（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【解析】将四面体的各面延展成平面后，则四面体的内部是一个空间； 将平面，平面，平面延展后，在平面的下方会分割出一个空间， 也就是说平面对应一个空间， 同理，平面，平面，平面也各对应一个空间，这样的空间共有4个； 将上述三个平面延展后，在顶点A的上方，也分割出一个空间，也就是顶点A对应一个空间， 同理，顶点也各对应一个空间，这样的空间共有4个； 将四面体的各面延展后，棱对应几何体外部的一个空间， 同理，其余的5条棱也各对应一个空间，这样的空间共有6个. 因此四面体的各面延展成平面后，可将空间分成部分. 故选：C 5．已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】B 【解析】延长，交的延长线于， 连接，交于， 延长，交的延长线于， 连接，交于， 最后依次连接， 所得截面，即为所求. 故选：B 6．已知直三棱柱的所有棱长均为2，则直线与直线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由直三棱柱往下延伸再作一个高相等的直三棱柱，如图： 由于可得四边形是平行四边形， 所以，即或其补角是直线与直线所成角， 由直三棱柱的所有棱长均为2， 所以， 由余弦定理得：， 即直线与直线夹角的余弦值为. 故选：A 7．三个平面把空间分成m部分，m的所有可能取值组成集合Q，则Q中所有元素之和为（   ） A．18 B．19 C．25 D．30 【答案】C 【解析】当3个平面互相平行时：空间被分成4部分，即， 当2个平面互相平行时：第3个平面与这2个平面相交， 此时空间被分成6部分，即， 当3个平面相交于同一条直线时：空间被分成6部分，即， 当3个平面相交于3条直线时：这3条交线互相平行， 此时空间被分成7部分，即， 当3个平面相交于1点时：此时空间被分成8部分，即， 所以， 所以Q中所有元素之和为. 故选：. 8．如图，在棱长为1的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接MD，取其中点Q，连接， 由题意可得， ，且， 所以是直线AM和CN的夹角或补角，， 所以. 所以，即直线AM和CN夹角的正弦值为. 故选：C 9．（多选题）如图所示，已知A、B、C、D、E、F分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（    ）    A．直线AB B．直线BC C．直线CD D．直线DA 【答案】CD 【解析】如图所示的正方体中，A、B、C、D、E、F分别是所在棱的中点， 正方体中有且，四边形为平行四边形，有且， 又，，所以且， 所以为梯形，故直线与相交，A错误； 正方体中，因为，所以，故B错误； 因为平面平面，平面，平面， 所以直线与直线无公共点， 又，，所以直线与直线不平行， 即直线与直线是异面直线，故C正确； 因为平面，平面，，故直线与异面，D正确. 故选：CD 10．（多选题）如图，在正方体中，对角线与平面交于点，则（　　） A．直线与所成的角为 B．平面 C． D．为的垂心 【答案】BD 【解析】对于A，因为，故、所成的角为或其补角， 由正方体可得为等腰直角三角形，故， 故直线与所成的角即为，A错误． 对于B，如图，连接， 由正方体可得平面， 又平面，所以． 因为，平面，所以平面， 而平面，所以．同理． 又，平面，所以平面，B正确． 对于C，设正方体的棱长为，则． 因为平面，所以， 解得，所以，C错误． 对于D，因为平面，且为正三角形，， 所以为的中心，即为的垂心，D正确． 故选：BD． 11．下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是 ， 【答案】①②③ 【解析】 在①中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 所以，因为，所以是平行四边形， 所以， 所以，∴四点共面． 在②中， 取的中点N，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 可得交于直线延长线上一点， ∴四点共面，设为， 在正方体中：，∴四点共面，设为. ∵都经过不共线的三点，∴与重合，∴四点共面． 在③中，分别是所在棱的中点，所以，所以， ∴四点共面． 在④中， 连接，如图，∵平面平面且， ∴直线与为异面直线．∴四点不共面． 故答案为：①②③ 12．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，动点F沿着线段从点B移动到点．给出下列四个结论： ①恒为钝角      ②直线与直线AB为异面直线 ③          ④三棱锥体积为定值 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】③④ 【解析】对于①，由正方体的性质可知，当F与重合时，为直角，①错误； 对于②，易知，所以直线与直线为共面直线，②错误； 对于③，因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以，③正确 对于④，因为，又平面，平面，所以平面， 又在上，所以到平面的距离为定值， 又三角形也为定值，所以三棱锥体积为定值， ④正确. 故答案为：③④ 13．如图，正方体的棱长是，点分别是两条棱的中点． (1)求证：四边形（图中阴影部分）是一个梯形； (2)求四边形的面积． 【解析】（1）如图所示，连接， 因为点、分别是、的中点，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形是一个梯形. （2）因为正方体的棱长为，所以，，， 如图②所示，， 而梯形的高， 可得梯形的面积为. 14．如图所示，在棱长为的正方体中，分别是的中点． (1)求证：∥平面． (2)求证：平面． (3)求的长． 【解析】（1）因为在正方体中，， 又平面，不在平面内， 所以∥平面； （2）连接，分别是的中点，可知相交于， 由中位线性质可得：， 又平面，不在平面内， 所以平面. （3）由（2）知， 则. 15．如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点. (1)求异面直线与所成角的大小. (2)求证:点在直线上； 【解析】（1）根据正方体的性质可知 是异面直线与所成的角或其补角 分别是的中点 是等腰直角三角形 即异面直线与所成角的大小为 （2），平面 平面 平面 平面 平面平面 即 点在直线上 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $