精品解析：甘肃省武威市凉州区武威第二十中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期九年级数学期中素养评价 （满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 已知方程的两根分别为和，则代数式的值为（ ） A. 19 B. 29 C. 17 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得，，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵方程的两根分别为和， ∴， ， ∴， ∴． 故选：B 2. 一元二次方程的一次项系数是（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式． 根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是． 故选：B 3. 2025年7月15日第三届“齐河三中杯”乒乓球交流赛在欢呼声中圆满落幕．据悉，中学组的x支队伍，每两支队伍之间各赛一场，共进行了45场比赛，问：中学组共有几支参赛队伍？则可列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到等量关系是解题的关键．根据每两队之间都赛一场，设邀请个球队参加比赛，则每一个球队都会比赛场，剔除重复的一半，即可解题． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛， 由题可知，， 故选：C． 4. 关于二次函数，下列说法中正确的是（ ） A. 它的开口方向是向上 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 它的顶点坐标是 D. 当时，y有最大值是5 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：，函数的图象开口向下，故选项A错误； 选项B：，当时，y随x的增大而增大，故选项B正确； 选项C：顶点坐标是，故选项C错误； 选项D：当时，y有最大值，故选项D错误； 故选： 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 本题考查二次函数的图象、性质、最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 5. 若过点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，将点代入得出，再整体代入，即可求解． 【详解】已知抛物线过点，将点坐标代入方程： 当时，，代入得： 整理得： ∴ 故选：A． 6. 抛物线可由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（ ） A. 先向右平移个单位，再向上平移个单位 B. 先向右平移个单位，再向下平移个单位 C. 先向左平移个单位，再向上平移个单位 D. 先向左平移个单位，再向下平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．先根据二次函数的性质得两抛物线的顶点坐标，然后通过顶点的平移可确定抛物线的平移． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵点先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点， ∴把抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位可得抛物线． 故选：D． 7. 用一段米长的铁丝在平地上围成一个一边靠墙的长方形，墙长足够长．设长方形与墙垂直的一边长为米，与墙平行的边留了一个米的门，长方形的面积为平方米，则与的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意可得与墙平行的边长为米，进而根据矩形的面积公式即可列出函数关系式． 【详解】解：由题意可得，与墙平行的边长为米， ∴， 故选：． 8. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意 C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点，熟练掌握关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的特征即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：A． 10. 如图，是由绕点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出，然后利用旋转角的定义即可求解，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转定义可知：旋转角， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知是关于的二次函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，正确求出的值．根据二次函数的定义，得出即可求出的值． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴ 解得， 故答案为：． 12. 已知方程的一个根为2，则另一个根为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：设方程的另一根为， ， ∴， 解得 故答案为：． 13. 将一元二次方程化成的形式，则方程可变形为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式的运用．根据题意得到，，由此即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得，且， 故答案为：且． 15. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：， 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位长度所得抛物线的解析式为：． 故答案为：． 16. 如图，二次函数的图象与直线相交于点和点，对称轴为直线，那么关于的一元二次方程的解为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与一元二次方程的关系，解题的关键是利用二次函数的对称性求出点的横坐标． 一元二次方程的解就是二次函数与直线交点的横坐标，已知一个交点，再根据对称轴求出另一个交点的横坐标． 【详解】解：二次函数的图象与直线的交点横坐标就是方程的解， 已知交点，且二次函数的对称轴为直线， 根据二次函数的对称性，点和点关于对称轴对称， 设点的横坐标为，则，解得， 关于的一元二次方程的解为． 故答案为：． 17. 已知点和点关于坐标原点对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点求出，的值，然后代入求解即可，解题关键是掌握关于原点对称点的坐标规律． 【详解】解：∵点和点关于坐标原点对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 18. 如图在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于A，B两点，把绕点逆时针旋转后得到，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与几何图形结合在一起的应用，旋转前后对应边长度不变是解题的关键．先根据函数图象分别求出、的长度，再通过旋转之后对应边相等可求出点的坐标． 【详解】解：令时，则；令时，则，解得：； ∴， ， 由旋转的性质可知：， ∴的横坐标为6，纵坐标为， ∴点的坐标是． 故答案为． 三、解答题（共66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）先移项，可得，可以通过配方法求出即可； （2）先整体移项，然后分解因式，即方程左边可得出两个一元一次方程相乘，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 或 20. 已知： （1）若将绕点按逆时针方向旋转后得到，画出； （2）写出点对应点的坐标． 【答案】（1） 如图：即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转变换的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据点的位置直接写出坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知关于的方程有两个实数根，，其中，求另一个根和的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程的两根，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该一元二次方程总有实数根； （2）当时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴无论为何值，该一元二次方程总有实数根； （2）等腰三角形的周长为10或11 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及等腰三角形的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式及等腰三角形的定义是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）由题意易得该方程的解为，然后根据等腰三角形的定义可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，则方程为， 解得：， ∴当等腰三角形的腰长是3时，符合三角形三边关系，则该等腰三角形的周长为； 当等腰三角形的腰长是4时，符合三角形三边关系，则该等腰三角形的周长为； 综上所述：该等腰三角形的周长为10或11． 23. 已知抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点、若，求出此时点P的坐标． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）将、两点代入，解得b、c即可得到解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）设点，根据三角形面积公式以及，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得到P点坐标． 【小问1详解】 将、两点代入， ， 解得， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为； 【小问2详解】 、， ， 设点，则， ， 当时，， 解得，， 此时或； 当时，， 此时方程无解； 综上所述，P点坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法，配方法，顶点坐标的求法，坐标系中三角形的面积以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求得解析式． 24. 将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线． （1）请你写出这个新抛物线的函数表达式； （2）判断点是否在这个新抛物线上． 【答案】（1）新抛物线解析式为； （2）点在这个新抛物线上． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的平移规律、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的平移规律． （1）根据二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，即可得解； （2）将点的横坐标代入新抛物线解析式能得到纵坐标即可判断该点在新抛物线上． 【小问1详解】 解：根据二次函数的平移规律可得： 的图象向下平移个单位长度后得到的新抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：将代入新抛物线解析式可得， 即点在抛物线上． 25. 如图，在中,，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理： （1）先根据旋转的性质得到，，，则可计算出，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算出，然后计算即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，所以，然后在中利用勾股定理可计算出的长 【小问1详解】 解：∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中， ∵， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴，，， ∴， 在中，． 26. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是． （1）喷头离地面的高度是多少？ （2）水流喷出的最大高度是多少？ （3）若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？ 【答案】（1） （2） （3）当米时，水流不落在池外 【解析】 【分析】（1）喷头离地面的高度是二次函数与的交点，由此即可求解； （2）水流喷出的最大高度是二次函数的顶点坐标的纵坐标，由此即可求解； （3）水池的半径是当二次函数时，自变量的值，由此即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得，，当时，， ∴喷头离地面的高度是米． 【小问2详解】 解：， ∴二次函数的顶点坐标是， ∴水流喷出的最大高度是米． 【小问3详解】 解：原二次函数变形得，，即，解方程得，，， ∵， ∴，即当米时，水流不落在池外． 【点睛】本题主要考查二次函数一实际问题的综合应用，掌握二次函数图像的特点是解题的关键． 27. 如图，已知二次函数（）图象的顶点坐标为，与x轴其中一个交点坐标为． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，求y的取值范围． （3）当时，请结合图象直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，利用图象求自变量的取值范围，熟练掌握待定系数法和数形结合是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先利用函数解析式得当时，，当时，，再结合函数图象可得答案； （3）先根据二次函数图象得求得抛物线与x轴的交点坐标，然后结合函数图象即可确定x的取值范围． 【小问1详解】 解：∵该抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数表达式为， 将代入得：， 解得， 将代入得：； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 结合函数图象可知，当时，求y的取值范围为； 【小问3详解】 解：∵二次函数的解析式， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵与x轴其中一个交点坐标为， ∴与x轴另一个交点坐标为． 由函数图象可得当时，x的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级数学期中素养评价 （满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 已知方程的两根分别为和，则代数式的值为（ ） A. 19 B. 29 C. 17 D. 2. 一元二次方程的一次项系数是（　　） A. 1 B. C. D. 2 3. 2025年7月15日第三届“齐河三中杯”乒乓球交流赛在欢呼声中圆满落幕．据悉，中学组的x支队伍，每两支队伍之间各赛一场，共进行了45场比赛，问：中学组共有几支参赛队伍？则可列方程为( ) A. B. C. D. 4. 关于二次函数，下列说法中正确的是（ ） A. 它的开口方向是向上 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 它的顶点坐标是 D. 当时，y有最大值是5 5. 若过点，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线可由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（ ） A. 先向右平移个单位，再向上平移个单位 B. 先向右平移个单位，再向下平移个单位 C. 先向左平移个单位，再向上平移个单位 D. 先向左平移个单位，再向下平移个单位 7. 用一段米长的铁丝在平地上围成一个一边靠墙的长方形，墙长足够长．设长方形与墙垂直的一边长为米，与墙平行的边留了一个米的门，长方形的面积为平方米，则与的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（     ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是由绕点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知是关于的二次函数，则__________． 12. 已知方程的一个根为2，则另一个根为______． 13. 将一元二次方程化成的形式，则方程可变形为_______． 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为_____． 15. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线是______． 16. 如图，二次函数的图象与直线相交于点和点，对称轴为直线，那么关于的一元二次方程的解为_____ 17. 已知点和点关于坐标原点对称，则的值为______． 18. 如图在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于A，B两点，把绕点逆时针旋转后得到，则点的坐标是_____． 三、解答题（共66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知： （1）若将绕点按逆时针方向旋转后得到，画出； （2）写出点对应点的坐标． 21. 已知关于的方程有两个实数根，，其中，求另一个根和的值． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该一元二次方程总有实数根； （2）当时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 23. 已知抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点、若，求出此时点P的坐标． 24. 将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线． （1）请你写出这个新抛物线的函数表达式； （2）判断点是否在这个新抛物线上． 25. 如图，在中,，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 26. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是． （1）喷头离地面的高度是多少？ （2）水流喷出的最大高度是多少？ （3）若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？ 27. 如图，已知二次函数（）图象的顶点坐标为，与x轴其中一个交点坐标为． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，求y的取值范围． （3）当时，请结合图象直接写出x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $