精品解析：湖北省鄂东南教育联盟2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

2025年秋季高三年级期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 0或 D. 0或1 4. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则是的（ ） A 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A. B. 6 C. 36 D. 7. 函数零点的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 3 D. 2 8. 已知，则（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，且的面积为，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的对称中心是 C. 点纵坐标为 D. 的解集为 10. 已知函数，，则（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，有两个极值 C. 若有三个不同零点，则 D. 过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 11. 定义.若函数，在区间上的值域为，则的可能取值为（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则在方向上的投影向量的坐标为___________. 13. 记等差数列的前项和为，若，则___________. 14. 已知，函数，若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，则实数的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求满足条件的最大整数的值. 16 已知向量，函数. （1）求函数的单调增区间及对称中心； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象，若存在使成立，求实数的取值范围. 17. 为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰.（注：4小时内意思是小于或等于4小时） （1）若，求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？ （2）若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数的取值范围. 18. 如图，中，，点在线段上，点与点位于直线的异侧且为等边三角形. （1）若，，求线段的长度； （2）若，求线段的最大值； （3）若为的平分线，求与内切圆半径之比的取值范围. 19 已知函数. （1）当时，证明：在上单调递减； （2）若有两个极值点，满足且，求的取值范围； （3）将函数的图象绕原点逆时针旋转后，得到的曲线仍是函数图象，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季高三年级期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集运算求集合. 【详解】，则. 故选：C. 2. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的代数运算及模长的公式计算即可. 【详解】. 故选：B. 3. 已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 0或 D. 0或1 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数概念与性质列式求解. 【详解】由题意或1. 故选：D. 4. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示求出，进而由向量的坐标运算求出结果. 【详解】∵，， ∴， ∴. 故选：A. 5. 已知，则是的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】令，此时满足，但不满足， 说明是的不充分条件； 若，假设，则：， 这与矛盾， 故假设不成立，成立，说明， 所以是的必要条件， 是的必要不充分条件. 故选：B. 6. 在等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A. B. 6 C. 36 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用韦达定理及等比数列的性质求解. 【详解】∵是方程的两个根， ∴， 由， ∴由. 故选：D. 7. 函数零点的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由题意或，利用三角函数的性质解； 设，利用导数研究的性质，进而可判断方程无实数解. 【详解】或， 或 或， ，或或或； 设，则， ，，， 所以函数在单调递增，在单调递减， 可得，当且仅当取等号， ，与不符，方程无实数解. 故函数只有4个零点. 故选：A. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数可判断函数在单调递增. 解法一：构造函数，可证得在单调递减，则，进而可得答案； 解法二：先证明对数糖水不等式：，可推出，进而可得答案； 解法三：利用对数换底公式结合基本不等式可得，，进而可得答案. 【详解】， 当时，， 故函数在单调递增. 解法一：构造函数， ， 故函数在单调递减， 则. 解法二：对数糖水不等式：. 先证明糖水不等式：， 理由：， 故 . 解法三：， ， . 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，且的面积为，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的对称中心是 C. 点的纵坐标为 D. 的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据周期求得，利用面积公式求得判断C；进而利用求得解析式，利用整体法求得单调递增区间判断A；求得对称中心判断B；解不等式判断D. 【详解】最小正周期，故选项C正确； 由， 令， 当时，单调递增且，此时单调递增， 在上单调递增，故选项A正确； ， 所以函数的对称中心为，故选项B错误； ，故选项D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，，则（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，有两个极值 C. 若有三个不同零点，则 D. 过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】当时，可得恒成立，即可判断A；但时，恒成立，即可判断B；设函数展开整理可判断C；利用导数的几何意义求得切线方程，代入点得，则与图象有3个不同的交点，利用导数研究的性质，即可判断D. 【详解】当时，恒成立， 则函数在上单调递增，故选项A正确； 有2个极值， 但时，恒成立， 此时函数在上单调递增，无极值，故选项B错误； 设函数 ，故选项C正确； 设切点， 则切线方程为：， 代入点得：， 过点且与曲线相切的直线恰有3条与图象有3个不同的交点， ，或， 函数在单调递减，上单调递增，且， ，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 定义.若函数，在区间上的值域为，则的可能取值为（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 5 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的解析式作出图象，结合图象分析值域为时定义域的情况，由此确定出的取值情况. 【详解】，图象开口向下，对称轴为. 当时，由或； 由时，由， 依题意：观察函数与函数的图象，谁的图象在上方就是函数的图象（包含边界）， 如图所示：， 当时，，符合题意， ，， 当，符合题意， 而，故选项BD正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则在方向上的投影向量的坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的概念求解. 【详解】由题意，在方向上投影向量的坐标为. 故答案为：. 13. 记等差数列的前项和为，若，则___________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据下标和性质求出，再根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得. 【详解】因为，所以，所以. 故答案为： 14. 已知，函数，若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出进而得到，原方程转化为，分和，当时，需要分和进行讨论. 【详解】由题意可得，所以，所以原方程即 ，且满足， 当时，，此时符合题意； 当时，或， 若，此时符合题意； 若，则或， 综上所述： . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项，且满足. （1）求数列通项公式； （2）若，求满足条件的最大整数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解法一：利用累乘法求解； 解法二：利用构造法求解； （2）利用裂项相消法求出，进而可得答案． 【小问1详解】 解法一：累乘法 依题意：， 当时，； 当时，符合，故. 解法二：构造法 依题意：，则数列为常数数列， 则. 【小问2详解】 ， 故， 由题意，， 故满足条件的最大整数的值为8. 16. 已知向量，函数. （1）求函数的单调增区间及对称中心； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象，若存在使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标运算及三角恒等变换化简函数的解析式，利用整体法结合正弦函数的性质求解单调增区间和对称中心； （2）根据三角函数图象的变换规律求得，利用整体法结合正弦函数的性质求解的最值，结合条件可求得答案． 【小问1详解】 . 由， 故函数的单调增区间为 由， 故函数对称中心为. 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度， 得的图象， 然后再向下平移1个单位长度，得的图象， 最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变， 得到函数，即. . 所以. 17. 为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰.（注：4小时内意思是小于或等于4小时） （1）若，求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？ （2）若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数的取值范围. 【答案】（1）时，最大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求得，进而得小白鼠血液中药物的浓度，根据二次函数的性质与基本不等式求出最大值； （2）由题意，分段讨论，根据函数的单调性及二次函数的性质求解. 【小问1详解】 时，， 则小白鼠血液中药物的浓度， 当时，， 当即时，； 当时，， 当即时，， 由于，故小白鼠在时，浓度最高，达到. 【小问2详解】 . 当时，可得， 在时单调递减， 则； 当时，可得， ， 则当，即时，， 又，. 18. 如图，中，，点在线段上，点与点位于直线的异侧且为等边三角形. （1）若，，求线段的长度； （2）若，求线段的最大值； （3）若为的平分线，求与内切圆半径之比的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，然后根据数量积的运算求出； （2）解法一：由题意，不妨设，可得，根据三角函数的性质可得最大值； 解法二：建立平面直角坐标系，不妨设，根据向量的坐标运算可得，根据三角函数的性质可得最大值； （3）解法一：由角平分线定理知：，可推得与内切圆半径之比，根据余弦定理可得，从而得的表达式，根据单调性可求得答案； 解法二：不妨设，可推得与内切圆半径之比，由余弦定理得，由得，可得的表达式，利用换元法，结合单调性可得结果. 【小问1详解】 已知，为等边三角形， 若，， 则， 又，则 . 即线段的长度. 【小问2详解】 解法一：是线段中点， 不妨设， 则 ， 当时，， 即线段的最大值为. 解法二：以线段中点为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系， 不妨设，则， ， 当时，， 即线段的最大值为. 【小问3详解】 解法一：已知，为的平分线， 由角平分线定理知：， 不妨设，， 要构成，则. 不妨设与内切圆半径分别为、， ， ， 则，在上单调递增， 所以，即与内切圆半径之比的取值范围为. 解法二：不妨设， 不妨设与内切圆半径分别为， ， 在中，由余弦定理得：， ， 令， 则，在时单调递减， 所以，即与内切圆半径之比的取值范围为. 19. 已知函数. （1）当时，证明：在上单调递减； （2）若有两个极值点，满足且，求的取值范围； （3）将函数的图象绕原点逆时针旋转后，得到的曲线仍是函数图象，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数证明函数单调性； （2）对函数求导，根据分类讨论，判断函数单调性，结合函数的极值点的取值范围计算得到的取值范围； （3）方法一：先根据函数旋转后得到得到的曲线仍是函数图象，得到单调函数，分析函数的单调性，进而得到参数的取值范围；方法二：根据题意转化为交点个数问题，进而得到函数的单调性计算得到参数的取值范围； 【小问1详解】 证明：若，则， 令 故在单调递增，在单调递减，， 即在上恒成立，在上单调递减 【小问2详解】 ，令， ①若，则在上恒成立，在上单调递增，在上最多一个极值点，不符合题意 ②若 故在单调递增，在单调递减， 且 且. 依题意：且 ，， ， 恒成立， 故在单调递增，. 构造函数： 故在单调递增，在单调递减， 综合：. 【小问3详解】 方法一：《教材必修二第53面11题》在函数图象上任取一点， 绕原点逆时针旋转角得到点，其中 若，则 要使旋转后，得到的曲线仍是函数图象， 即对定义域内任意一个的值，都有唯一的与之对应是单调函数， 否则可能出现一个，会求出至少两个，导致至少两个与之对应，与函数定义不符合. ， 故函数只能单调递增，在上恒成立 令， 故单调递增，单调递减， .函数旋转后得到得到的曲线仍是函数图象 方法二：函数的图象绕原点逆时针旋转后，得到的曲线仍是函数图象， 与函数至多有一个交点. 若，则与至多有一个交点与 至多有一个交点是单调函数， ， 故函数只能单调递减，在上恒成立， 令 ， 故在单调递增，单调递减， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $