精品解析：四川省成都市郫都区2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

郫都区2025-2026学年度上期期中考试 高二数学 说明： 1．本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟． 2．所有试题均在答题卡相应的区域内作答． 第I卷（选择题共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知向量，若与共线，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可设，即，解得. 故选：C 2. 据统计，2023年12月成都市某区域一周指数按从小到大的顺序排列为：45，50，51，53，53，57，60，则这组数据的25百分位数是（ ） A. 45 B. 50 C. 51 D. 53 【答案】B 【解析】 【分析】按百分位数求解步骤可得. 【详解】由这组数据共个，因为不是整数， 所以这组数据的25百分位数为第个数据，即：. 故选：B. 3. 在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量可求得异面直线与所成角，即可得答案 【详解】设正方体的棱长为，以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示: 则, 所以, 所以, 所以, 异面直线与所成角为90°，其余弦值为0. 故选：C. 4. 已知轴上一点到点与点距离相等，则点的竖坐标为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设点的坐标，根据空间两点距离公式列方程求解. 【详解】由题：设，点到点与点的距离相等， 所以， ，， 解得：， 则点的竖坐标为 故选：A 5. 某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表： 根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（ ） A. 身高在区间的男生比女生多人 B. B组中男生和女生占比相同 C. 超过一半的男生身高在以上 D. 女生身高在组人数有人 【答案】D 【解析】 【分析】根据直方图即可求得抽取男生的总人数也就是女生的总人数，然后根据扇形统计图乘以对应的百分比即可求解. 【详解】解析：抽取的男生总人数为（人）， 因为抽取的样本中，男生、女生人数相同， 所以抽取的女生总人数为人， 由直方图可知，身高在区间的男生人数为12人， 由扇形统计图可知，身高在区间的女生人数为（人）， 则身高在区间的男生比女生少3人，选项A错误； B组中男生和女生占比不相同，选项B错误； 男生身高在以上的占比为，则选项C错误； 女生中E组的人数为（人），则选项D正确； 故选：D. 6. 已知随机事件A，B，C中，与相互独立，与对立，且，，则（ ） A. 0.4 B. 0.58 C. 0.7 D. 0.72 【答案】B 【解析】 【分析】由公式可知只需求出即可，结合对立减法公式以及独立乘法公式即可求解. 【详解】，， 所以. 故选：B. 7. 两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，两边同时平方，利用向量的数量积运算，结合题意化简得到，进而得出结果. 【详解】由题意知， ， 所以， 又异面直线a、b所成的角为， 即， 所以， 所以或， 故选：B 8. 阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为根据上述材料，解决下面问题：直线是两个平面与的交线，则（ ）是的一个方向向量． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出平面与的法向量，再结合向量知识得到直线的方向向量. 【详解】同理可得平面与的一个法向量为和， 设直线的一个方向向量为， 则， 不妨取，则， 故选：A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分） 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12”，则下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙对立 B. 甲、丙互斥 C. 甲、乙相互独立 D. 乙、丙相互独立 【答案】BC 【解析】 【分析】先列举出各事件包含的基本事件，并求其概率，对于AB：根据互斥、对立事件的定义分析判断；对于CD：根据独立事件概率乘法公式分析判断. 【详解】由题意可知，先后抛掷两枚骰子出现点数的所有可能情况为36种， 甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”记为事件A， 则，可得； 乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7” 记为事件B， 则，可得； 丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12” 记为事件C， 则，可得； 对于A：因为，可知事件甲、乙不是互斥事件，更不可能为对立事件，故A错误； 对于B：因为，即事件甲、丙不可能同时发生，所以事件甲、丙互斥，故B正确； 对于C：因为，则，即，所以甲、乙相互独立，故C正确； 对于D：因，则，即，所以乙、丙不相互独立，故D错误； 故选：BC. 11. 在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 当平面时，不可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 C. 当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为 D. 当时，的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】在空间直角坐标系中，由向量法结合向量垂直判断A；由几何关系得出与平面所成线面角，得，求出点P的轨迹长判断B；由得点P在上，利用几何关系可得的面积最值在端点及中点位置判断C；将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理求解判断D. 【详解】对于A，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 则，，设平面的一个法向量为， 所以，令，则，即平面的法向量为， 若平面，则，即， 由，则，即P为中点时，有平面，且，A错误； 对于B，因为平面，连接，则即为与平面所成角， 若与平面所成角为，则，所以， 即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，B正确； 对于C，因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为， 设的中点为H，由图形的变化可得当点P在DH和运动时，所得截面对称相同， 于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为，C错误； 对于D，如图，将平面与平面沿展成平面图形， 线段即为的最小值，利用余弦定理得， 所以，D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 第II卷（非选择题共92分） 注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在一次射击训练中，某运动员5次射击的环数依次是，则该组数据的方差__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据平均数公式和方差公式计算可得. 【详解】因为平均数， 所以方差. 故答案为： 13. 已知点，，，则点C到直线的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】先算出直线的方向向量，再借助空间向量计算即可得. 【详解】设点到直线的距离为，因为，， 所以，故. 故答案为： 14. 九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为____________. 5 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意先求出满足题意的总情况有种，再求出满足有多少种，然后利用古典概率知识即可求解. 【详解】由题意九宫格的中间位置填，位置填偶数，位置填奇数， 因为每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于， 所以、位置填或， 先从中任意选出一个数填入位置，则有个结果， 若填， 则填，填，填，填，填，填，填； 或填，填，填，填，填，填，填； 共包含个结果； 所以总的结果个数为个 其中符合的情况有，，，，，共个， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. ． （1）用向量表示向量，并求； （2）求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 ， 则 ， 所以. 【小问2详解】 由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 16. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组． （1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数； （2）估计抽出的100名志愿者年龄的众数、中位数； （3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人．求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率． 【答案】（1），150 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由直方图频率和为1，列方程求，再根据直方图求500名志愿者中年龄在的人数； （2）由众数及中位数的计算公式即可求解； （3）由分层抽样的等比例抽取的性质求出6名志愿者的分布，再应用古典概型的概率求法求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 【小问1详解】 由直方图知：，可得， ∴估计500名志愿者中年龄在的人数为. 【小问2详解】 由频率分布直方图可得众数为， 前两个小矩形的面积为，第三个小矩形的面积为， 所以中位数在内，为. 【小问3详解】 由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为， 知6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自， 不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者分别为， 则抽取两人的基本事件有， ，共15种， 恰好来自同一组的基本事件有，，共4种， ∴抽取2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 17. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F． （1）求证：PA∥平面EDB； （2）求证：PB⊥平面EFD； （3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）连接AC，交BD于O，连接EO，通过证明PA//EO 可证明结论； （2）通过证明DE平面PBC，可得，结合可得平面； （3）由题意易知是平面与平面的夹角，且，分别求出的值，利用，即可求出答案. 【小问1详解】 连接AC，交BD于O，连接EO. 因O，E分别为中点，则， 又平面EDB，平面EDB， 则面； 【小问2详解】 因四边形ABCD正方形，则BC， 又底面平面，则BC 因平面，，则平面. 又平面，则， 因，E是PC的中点，则. 又平面，，则平面PBC， 因平面PBC，则，又，平面，， 则平面； 【小问3详解】 由（2）及平面可知， 故是平面与平面的夹角， 不妨设，∴， 在中，，，， 又面，∵面，∴, 在中，， ∴，故平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 18. 某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成．如图所示，部件是由元件与元件组成的串联电路，已知元件，正常工作的概率都为，且元件工作是相互独立的． （1）求部件正常工作的概率； （2）为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案： 方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联； 方案二：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？ 【答案】（1） （2）选择方案二可以使部件正常工作的概率最大． 【解析】 【分析】（1）利用事件的基本关系与相互独立事件的乘法公式计算即可； （2）利用和事件与积事件的关系结合对立事件的乘法公式计算两方案的概率，作差比较大小即可. 【小问1详解】 记事件分别表示元件正常工作，则， 事件表示正常工作， 由元件工作是相互独立的，则． 【小问2详解】 设方案一、二正常工作的概率分别为，设新增的两个元件为， 记事件分别表示新增的两个元件正常工作，则． 事件分别表示元件不正常工作，由于四个元件工作相互独立， 则 ． 所以； 所以， 所以选择方案二可以使部件正常工作的概率最大． 19. 在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，平面平面． （1）求证：； （2）如图，且，求点到平面的距离； （3）设四棱锥的外接球球心为，点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质即可求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据点到平面的距离的向量法公式求解， （3）根据几何体的结构特征可求得球心的坐标，然后求解平面法向量，即可利用向量的夹角求解. 【小问1详解】 ∵四边形为正方形，∴， 又平面，平面，∴平面 又平面，平面平面， ∴ 【小问2详解】 如图所示，取中点，连接，则， ∵平面，平面，平面， ∴，， ∴以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 于是，，， 设平面的法向量为， 则，得，取 ∴点M到平面PBC的距离为 【小问3详解】 ∵，且平面为正方形， ∴点在平面上的射影是的中心，可设，且， ∴，解得，即 设，则 又，设平面的法向量为 则，，取 设直线与平面所成角为，则 ， 所以当时，直线与平面所成角的正弦值取最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郫都区2025-2026学年度上期期中考试 高二数学 说明： 1．本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟． 2．所有试题均在答题卡相应的区域内作答． 第I卷（选择题共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知向量，若与共线，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 2. 据统计，2023年12月成都市某区域一周指数按从小到大的顺序排列为：45，50，51，53，53，57，60，则这组数据的25百分位数是（ ） A. 45 B. 50 C. 51 D. 53 3. 在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 已知轴上一点到点与点距离相等，则点的竖坐标为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表： 根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（ ） A. 身高在区间的男生比女生多人 B B组中男生和女生占比相同 C. 超过一半的男生身高在以上 D. 女生身高在组的人数有人 6 已知随机事件A，B，C中，与相互独立，与对立，且，，则（ ） A. 0.4 B. 0.58 C. 0.7 D. 0.72 7. 两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为根据上述材料，解决下面问题：直线是两个平面与的交线，则（ ）是的一个方向向量． A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分） 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 极差不大于的极差 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12”，则下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙对立 B. 甲、丙互斥 C. 甲、乙相互独立 D. 乙、丙相互独立 11. 在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 当平面时，不可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 C. 当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为 D. 当时，的最小值为 第II卷（非选择题共92分） 注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在一次射击训练中，某运动员5次射击的环数依次是，则该组数据的方差__________. 13. 已知点，，，则点C到直线的距离为______. 14. 九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为____________. 5 四、解答题（本大题共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. ． （1）用向量表示向量，并求； （2）求． 16. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组． （1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数； （2）估计抽出的100名志愿者年龄的众数、中位数； （3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人．求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率． 17. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC中点，作EF⊥PB交PB于点F． （1）求证：PA∥平面EDB； （2）求证：PB⊥平面EFD； （3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小． 18. 某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统某个部件由2个电子元件组成．如图所示，部件是由元件与元件组成的串联电路，已知元件，正常工作的概率都为，且元件工作是相互独立的． （1）求部件正常工作的概率； （2）为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案： 方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联； 方案二：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？ 19. 在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，平面平面． （1）求证：； （2）如图，且，求点到平面的距离； （3）设四棱锥的外接球球心为，点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $