专题01 圆的相关概念及其性质（专项训练）数学鲁教版五四制九年级下册

专题01圆的相关概念及其性质（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、理解圆的相关概念（易错） 1 题型二、利用圆的性质来判断结论正误 1 题型三、利用垂径定理求解（常考点） 3 题型四、利用垂径定理解决实际问题（常考点） 8 题型五、利用弧、弦、圆心角关系求解（重点） 14 题型六、利用弧、弦、圆心角关系求证（难点） 20 题型七、利用圆周角定理求解（常考点） 26 题型八、利用圆周角定理推论求解（难点） 34 题型九、利用圆内接四边形的性质求解（常考点） 39 B综合攻坚・能力跃升 题型一、理解圆的相关概念（易错） 1．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，下列说法正确的是（　　） A．线段，，都是的弦 B．线段经过圆心O，线段是直径 C． D．弦把圆分成两条弧，其中是劣弧 【答案】B 【分析】本题考查圆的相关定义，根据弦的定义对A进行判断；根据直径的定义对B进行判断；不能确定，则可对C进行判断；根据劣弧和优弧的定义对D进行判断． 【详解】解：A．线段，都是的弦，不是，所以A选项不符合题意； B．线段经过圆心O，线段是直径，所以B选项符合题意； C．当点D为的中点时，，所以C选项不符合题意； D． 为优弧，所以D选项不符合题意． 故选：B． 2．（23-24九年级上·山东德州·期末）已知线段，过，两点作半径为的圆，能作出圆的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查了两圆相交的性质，根据题意分别以A、B为圆心，以为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意．能找出圆的圆心是解此题的关键． 【详解】解：分别以A、B为圆心，以为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图，    得以C为圆心，以为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③同圆或等圆中，相等的弦所对弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；⑤同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．其中正确的说法有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查弧，弦，圆心角，利用等弧和弦的概念，根据弧，弦与圆心角之间的关系进行判断即可． 【详解】解：①直径是弦，故说法正确； ②弧是圆的一部分，不一定是半圆，故说法错误； ③同圆或等圆中，相等的弦所对弦心距相等，故说法正确； ④在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧有优弧和劣弧两段，不一定相等，故说法错误； ⑤同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，故说法正确； 综上所述，正确的序号是①③⑤． 故选：B． 4．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）淘气没有圆规，用如图所示方法成功画出了圆，他画圆时（   ） A．保持圆心位置不变 B．保持圆的半径不变 C．保持圆心位置和圆的半径不变 D．圆心的位置可以改变 【答案】C 【分析】本题考查了圆的定义．圆是到定点的距离等于定长的所有的点的集合，定点就是圆心，定长就是半径，确定圆的两个要素是圆心和半径，所以要画了个圆就要保持圆心位置不变，圆的半径不变． 【详解】解：A选项：保持圆心位置不变，如果圆的半径发生变化，则不能画出圆，故A选项不符合题意； B选项：保持圆的半径不变，如果圆心的位置发生变化，则不能画出圆，故B选项不符合题意； C选项：保持圆心位置和圆的半径不变，可以画出一个圆，故C选项符合题意； D选项：圆心的位置可以改变，改变了圆心的位置不能画出一个圆，故D选项不符合题意． 故选：C． 5．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，的半径为，双曲线和与圆相交，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图形和性质，由题意可知，双曲线和与圆构成的图形是轴对称图形，即得，据此即可求解，掌握反比例函数的图形和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，双曲线和与圆构成的图形是轴对称图形， ∴， 故选：． 题型二、利用圆的性质来判断结论正误 6．（21-22九年级上·安徽滁州·期末）如图，已知和是的两条等弦，，，垂足分别为，，，的延长线交于点，连接，下列四个说法中：，，，，正确的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质等知识，连接，根据圆心角、弧、弦的关系得，再证明，即可求解，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 【详解】解：连接、，    ∵， ∴，故正确； ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，，故正确； ∵， ∴，故正确， 综上正确，共4个， 故选：D． 7．（24-25九年级上·天津河西·期末）如图，，是的两条弦，如果，于，于，则下面结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理等知识，根据弦、弧的关系及圆周角定理判断求解即可． 【详解】解：∵于E，于F， ∴，， 故A、B正确，不符合题意； ∴， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 只有时，， 故D不正确，符合题意； 故选：D． 8．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，用尺规按照下面步骤作图： ①作线段的垂直平分线； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③以为圆心，长为半径作，分别交于点M，N． 嘉嘉和瑣瑣分别给出了一个结论．嘉嘉：点O是的外心． 瑣瑣：若，则． 对于两人的结论，下列判断正确的是（   ） A．两人的结论都正确 B．两人的结论都不正确 C．嘉嘉的结论正确，瑣瑣的结论不正确 D．瑣瑣的结论正确 ，嘉嘉的结论不正确 【答案】C 【分析】本题考查了作图复杂作图,尺规作图和三角形外心的性质．根据三角形外心的定义对嘉嘉的结论进行判断；利用垂径定理对瑣瑣的结论进行判断． 【详解】解：点是和的垂直平分线的交点， 点是的外心，故嘉嘉的结论正确； ， ∴，不能说明， 和的长度不确定，故瑣瑣的结论不正确． 故选：C． 9．（25-26九年级上·湖北·期中）如图，在中，如果弧是弧的二倍，则下列关于弦与弦之间关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形三边关系定理，准确作出辅助线是解题的关键． 取弧的中点D，连接，，则根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到，又在中，根据三角形三边关系定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，取弧的中点D，连接，， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即, 故选D． 10．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，已知点，，，都在上，，，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角与弧、弦的关系，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解： ， ，故A正确； ， ， ， ，故B正确； ， ，故C错误； ，， ，故D正确； 故选：C． 11．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，是的直径，弦，垂足为，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理． 根据垂径定理得到，，然后根据圆周角定理得，，而对于与的大小关系不能判断． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴，，，故B，D正确，不符合题意； ∴，故A正确，不符合题意； 而无法比较的大小，故C错误，符合题意； 故选：C． 12．（2024·上海长宁·二模）如图，已知点、、、都在上，，，下列说法错误的是(　　) A．弧弧 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系；根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴，，故A正确；， ∴， , ∴，故B正确；, ∴，故C错误； ∵， ∴，故D正确； 故选：C． 题型三、利用垂径定理求解（常考点） 13．（24-25九年级下·东营市·开学考试）如图，已知的半径为5，弦，R是弦上任意一点，则线段的长可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 连接，过点O作于H，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于H，则， 由勾股定理得：，则， ∴在各选项中，线段的长可能是4， 故选：D． 14．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，为的一条弦，垂直平分交于点C，若，则的半径为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．连接，，设的半径为，根据垂径定理得点在半径上，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接，，设的半径为， ∵垂直平分，， ∴点在半径上，， ， 在中，，即． 解得，． 故选：B． 15．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，将半径为的沿折叠，恰好经过与垂直的半径的中点，则折痕长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，在遇到直径与弦垂直时，常常利用垂径定理得出直径平分弦，进而由圆的半径，弦心距及弦的一半构造直角三角形来解决问题，故延长并连接作出辅助线是本题的关键．延长交于点，交于，由与垂直，根据垂径定理得到为的中点，连接，构造直角三角形，根据折叠的性质得出，即可求出的长，根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点，交于， ∵， ∴， ∵恰好经过与垂直的半径的中点，的半径为， ∴， ∵将半径为的沿折叠， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 16．（23-24九年级下·济南市·期中）如图，在中，，，点为上一点，作交于点，点关于的对称点为点，以为半径作恰好经过点，并交直线于点，． （1）点到的距离为 ； （2）的值为 ． 【答案】 4 【分析】本题考查垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）如图，连接并延长交于点，先得出，求出，根据勾股定理即可得出答案； （2）连接．记与的交点为，设，根据勾股定理得出，得出，再求出，再根据勾股定理得出答案即可． 【详解】（1）如图，连接并延长交于点， ∵，两点关于对称， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为4； 故答案为：4； （2）如图，连接．记与的交点为， 设， 在中，， 解得， ∴， ∵，两点关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图1，C，D是半圆上的两点，点P是直径上一点，且满足，则称是的“相望角”，如图， (1)如图2，是的直径，若弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接． ①求证：是的“相望角”； ②设弧的度数为n，请用含n的式子表示弧的“相望角”度数为 ； (2)如图3，若直径，弦，的“相望角”为， ①求弦的长． ②当时，则 ． 【答案】(1)①见解析；②n (2)①；②6或8 【分析】（1）①利用垂径定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，得到，对顶角相等的性质得到，再“相望角”的定义解答即可； ②利用圆周角定理和新定义的规定求得，再利用平角的定义解答即可； （2）①连接，，设与交于点F，利用“相望角”的定义得到，利用垂径定理，等腰三角形的判定与性质得到，则；利用圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质解答即可； ②由①可得：为等腰直角三角形，则，，设，则，，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）①证明：∵是的直径，弦， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的“相望角”； ②解：∵弧的度数为n， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴弧的“相望角”度数为， 故答案为：n； （2）解：①连接，，设与交于点F，如图， ∵的“相望角”为， ∴， ∴， ∵是的直径，弦， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴； ②∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或8． 故答案为：6或8． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 题型四、利用垂径定理解决实际问题（常考点） 18．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为米，的半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理．连接、，交于，根据圆的性质可知：米，，根据垂径定理可知：(米)，，利用勾股定理求出的长度，再用圆的半径减去的长度即为点到弦所在直线的距离． 【详解】解：如下图所示，连接、，交于， 根据圆的性质可知：米，， (米)，， (米)， (米)， 点到弦所在直线的距离是米， 故选：A． 19．（23-24九年级下·淄博市·期末）紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程中需要用到几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图所示．当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图是正确使用该工具时的示意图．如图，为某紫砂壶的壶口，已知，两点在上，直线过点，且于点，交于点．若mm，mm，则这个紫砂壶的壶口半径的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接，在中，利用勾股定理进行求解即可．掌握垂径定理，是解题的关键． 【详解】解：∵直线过点，且于点， ∴， 连接，则， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故选：A． 20．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长． 【答案】10寸 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合为的直径，弦于E，寸，则，根据勾股定理得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：设直径的长为寸， 则半径寸， 为的直径，弦于E，寸， （寸）， 连接OA，则寸， 根据勾股定理得， ∴， 解得， （寸）． 21．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． (1)用尺规作出该圆弧所在圆的圆心； (2)求这钢梁圆弧的半径长． 【答案】(1)图见详解 (2)这钢梁圆弧的半径长为 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）在上取一点E，连接，作线段，的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）设，的垂直平分线交于点C，交于点D．利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：设，的垂直平分线交于点C，交于点D． ， ， ∵， ∴， 在中，则有， 解得， ∴这钢梁圆弧的半径长为． 22．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图（1）所示的以为直径的半圆，为台面截线，半圆与相切于点P，连接与相交于点．水面截线，，． (1)如图（1）求水深； (2)将图（1）中的老碗先沿台面向左作无滑动的滚动到如图（2）的位置，使得、重合，求此时最高点和最低点之间的距离的长； (3)将碗从（2）中的位置开始向右边滚动到图（3）所示时停止，若此时，求滚动过程中圆心运动的路径长． 【答案】(1) (2) (3)圆心运动的路径长为的长度 【分析】本题考查圆的实际应用，涉及垂径定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、弧长公式等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键． （1）连接，由垂径定理及勾股定理求解即可得到答案； （2）连接，过点作，与的延长线相较于点，利用三角形全等的判定与性质，结合勾股定理求解即可得到答案； （3）根据题意可知，滚动过程中圆心运动的路径长为的长度，求出弧对的圆心角带入公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 半圆与相切于点P， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， ； （2）如图，连接，过点作，与的延长线相较于点， ， ， 在和中， ， ， 由（1）知，， ，， ， 在中，由勾股定理可得； （3）如图所示： 由（1）可知，， 在中，， ， ， 由题意可得，圆心运动的路径长为的长度． 23．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，，为桌面截线， ．    (1)作于点，求的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【答案】(1)的长为 (2)水面截线减少了 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理． （1）连接，利用垂径定理得出，由勾股定理计算即可得出答案； （2）过作，连接，由题意得，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出与相减即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 为圆心，，， ， ， ， 在中，， 的长为；    （2）如图，过作，连接， 由题意得：， 在Rt中，， ， ， 水面截线减少了．    题型五、利用弧、弦、圆心角关系求解（重点） 24．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，点A，B，C，D在上，，点是的中点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理．根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，再根据圆周角定理解答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点B是的中点， ∴， 由圆周角定理得，，故C正确． 故选：C． 25．（23-24九年级下·青岛市·期中）如图A、、是上的三点，是劣弧的中点，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的性质等知识，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再由圆心角、弧、弦的关系求出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ∵点B是劣弧的中点， ， ， ， 故选：C． 26．（21-22九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，是的直径，已知，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等弧对等角，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查等弧对等角．熟练掌握等弧等对角是解题的关键． 27．如图，是的直径，，点A在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了最短路线问题，勾股定理，圆周角、圆心角之间的关系，找出的值最小时点所在的位置是解答本题的关键． 作点关于的对称点，连接交于点，此时的值最小，且等于的长，连接，得到，根据勾股定理求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，此时的值最小，且等于的长，连接， ∵ ， ∴． ∵为的中点， ∴ ． 又∵点与点关于对称， ∴ ， ∴． 又∵ ， 根据勾股定理得，即的最小值为． 故选：B. 28．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知是半圆O的直径，，点C在半圆O上，过点A作，垂足为点D，的延长线与弦交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，弧弦圆心角三者关系以及含30度的直角三角形性质，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）通过垂径定理可知，再通过直径算出半径，进而得到，再通过勾股定理计算即可； （2）先证得，进而得到的度数，进而通过含30度的直角三角形性质以及勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 29．如图，是的直径，为上一点，为弧的中点，过点作于点，交过点的切线于点，交弦于点，连接． (1)求证：； (2)若，求弧的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】1）连接，证明，，结合，可得，从而根据等角对等角可得答案； （2）连接，证明，证明，再结合弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：连接 为的切线 ∵， ； （2）解：连接 点为弧的中点 又 弧． 【点睛】本题考查的是切线的性质，等腰三角形的性质，弧，弦，圆心角之间的关系，弧长的计算，三角形的内角和定理等知识，掌握相关知识的联系与运用是解本题的关键． 题型六、利用弧、弦、圆心角关系求证（难点） 30．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，延长交于点．若，，则的直径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，首先证明，设,在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题 【详解】解：如图，连接． ， ，， 点D是弧的中点， ， ， ， ， 设, 在中，则有， 解得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 31．（23-24九年级上·山东威海·期末）将的劣弧沿弦折叠、刚好落在半径的中点C处，已知，则 ． 【答案】 【分析】设折叠后的所在圆的圆心为，的直径为，连接，，过点B作于F，先求出，，则，再根据折叠，得出与是等圆，根据圆周角定理，得出，从而得出，再根据等腰三角形的性质求出，从而求得，然后利用勾股定理求出长，即可求解． 【详解】解：如图，设折叠后的所在圆的圆心为，的直径为，连接，，过点B作于F， ∵C是半径的中点，， ∴，， ∴ ∵将的劣弧BD沿弦BD折叠， ∴与是等圆， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的性质，弦、弧的关系，勾股定理．正确作出辅助线和证明是解题的关键． 32．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知是等圆，内接于，点C，E分别在上．如图， ①以C为圆心，长为半径作弧交于点D，连接； ②以E为圆心，长为半径作弧交于点F，连接； 下面有四个结论： ①； ②； ③； ④． 所有正确结论的序号是 ．    【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，根据作图方法可得，则由三角形三边的关系可得，由此可判断①；根据同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等得到，由此可得，即可判断②；根据同圆或等圆中，同弧所对的圆心角相等得到，即可推出，由此可判断③；证明，得到，同法可证 ，则，即可判断④． 【详解】解：如图，连接． 由作图方法可知， ∵， ∴，故①错误， ∵是等圆，， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵ ∴，故③正确， ∵， ∴， ∴， 同法可证 ， ∴，故④正确． 故答案为：②③④．    33．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，弧、弦、圆心角的关系等，过点作交于点，先根据垂径定理证明，，根据等弧所对的圆心角相等可得，再证，可得，进而推出． 【详解】解：过点作交于点，连接． ，， ， 又 ， ， 在中，， ， ， ， 即， 故答案为：． 34．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，是的直径，点为下方上一点，点为的中点，连接，，，延长，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查的是圆周角定理，垂径定理及勾股定理，等腰三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键． （1）延长交于点，连接．，先根据圆周角定理得出，再由点为的中点可知，故可得出，再由得出，故，进而得出结论； （2）设的半径为，则，再证明是的中位线，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点，连接． 为的直径， ，即． 点为的中点， ， ， ． ， ， ， ． （2）解：设的半径为，则，． ，， 是的中位线， ， ． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， 直径的长为． 35．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，与的边相切于点，与边，分别相交于点，，连接，． (1)求证：； (2)如图2，若平分，连接，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查切线的性质、圆内接四边形的性质、垂径定理及圆周角的性质，熟练掌握切线的性质、圆内接四边形的性质、垂径定理及圆周角的性质是解题的关键； （1）连接并延长，交于点E，连接，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）连接交于点F，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点E，连接，如图所示： ∴， ∴， ∵与的边相切于点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴； （2）证明：连接交于点F，如图所示： 由（1）可知：， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 36．如图，已知为的直径，过上点C的切线交的延长线于点E，于点D．且交于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质首先得出，再利用平行线的判定得出，进而利用圆周角、圆心角定理得出； （2）首先求出，进而得出r的长，即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵切于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径为r， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质定理和圆周角及弧的关系、相似三角形的判定与性质，解题的关键是得出． 题型七、利用圆周角定理求解（常考点） 37．如图，四边形内接于，，．若的半径为6，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理、弧长计算、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握圆周角定理及弧长计算是解题的关键． 先根据圆的内接四边形的性质可得：，再根据三角形内角和定理可得，然后运用圆周角定理可得，最后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为6， ∴的长为． 故选：C． 38．（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）如图在中，是等腰直角三角形，则弦所对的圆周角的度数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据是等腰直角三角形，且半径相等，则．再根据弦所对的圆周角有两种情况讨论求解．本题考查内接四边形对角互补，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是注意一题多解． 【详解】解：根据题意，是等腰直角三角形，且半径相等， ∴． ①当圆周角的顶点在优弧上时， 则圆周角； ②当圆周角的顶点在劣弧上时， 则根据圆内接四边形的性质，和第一种情况的圆周角是互补，等于， 故选：D 39．（24-25九年级下·威海市·期中）在中，，是上一动点，连接，是三边垂直平分线的交点．连接，，若，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外心，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．证明是等腰直角三角形，且，证明是等腰直角三角形，作的垂直平分线l交于点H，则，则，由点E在的垂直平分线上运动得到当点D运动到使得点E到达点H时，即面积最小，即可求出答案． 【详解】解：如图， ∵是三边垂直平分线的交点． ∴，是的外心． ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 作的垂直平分线l交于点H，则 ∴， ∵， ∴点E在的垂直平分线上运动， 当点D运动到使得点E到达点H时，即面积最小， 此时． 故选：D． 40．（24-25九年级上·淄博市·期末）凸四边形内接于，两条对角线相交于E点，．则 ． 【答案】/108度 【分析】根据圆周角定理，圆中平行弦的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆中平行弦的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角性质是解题的关键． 41．如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，，求的直径； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于的方程，由圆周角定理推出． （1）设的半径是，由垂径定理得到，由勾股定理得到，求出，即可得到的直径长； （2）由圆周角定理得到，因此，再利用，得到． 【详解】（1）解：设的半径是，则， ， 直径， ， ， ， ， 的直径为； （2）解：，， ， ， ， ． 42．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，中，，以为直径的分别交，于点E，D，连接，． (1)求证； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理得出，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，即可； （2）先由等腰三角形三线合一的性质得出长度，再由勾股定理得出长度，再利用求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵是直径 ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：∵，，， ，， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ， 解得，． 题型八、利用圆周角定理推论求解（难点） 43．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）如图，在四边形中，，，，则对角线的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，根据，得到在以为圆心，半径为5的圆上，延长交圆于点，连接，则为直径，得到，，根据平行线的性质，结合等边对等角得到，等角对等弦得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，点在以为圆心，半径为5的圆上，如图，延长交圆于点，连接， 则：为直径， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 44．如图，四边形的对角线与边相等，，点在边上，连接，连接，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，平行四边形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键；根据等边对等角以及已知条件得出进而可得 ，即可判断A选项，进而得出，，，四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等即可判断B选项，则是直径，即可得出，即可判断C选项，进而证明四边形是平行四边形，即可判断D选项，即可求解． 【详解】， ． ． ， ， ，故选项A错误． ， ∴ ∴，，，四点共圆， ，故选项B正确． ，，，，四点共圆， 是直径， ，故选项C正确． ， ． ． ， ∴四边形是平行四边形， ． ， ，即． ， ， ． 又， ，故选项D正确． 故选A． 45．（24-25九年级上·武汉市·期末）如图，内接于，点是的中点，是的直径．若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角之间的关系，连接，先根据圆周角定理可得，从而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，从而可得，然后根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据点是的中点，可得，最后根据等腰直角三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：D． 46．（24-25九年级下·池州·期中）如图，一副三角板中的等腰直角三角板放在量角器上，是量角器所在圆的直径，点是圆心，点分别是直角边，斜边与量角器的交点．若直径，点分别对应和刻度线，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质性质、直径所对的圆周角是直角等知识，熟练掌握勾股定理和圆周角定理是解题的关键．连接、，由题意可知，，，进而证明 是等边三角形，得，再由圆周角定理得，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、， 由题意可知，，， 是等边三角形， ， 是量角器所在圆的直径， ， ， 故答案为：． 47．（24-25九年级下·济南·期中）如图，在的边上取点，以为半径作圆，与相切于点，与相交于点，弦与相交于点，点为的中点． (1)若，，求弦的长； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆的切线性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． （1）连接，可得；推出，结合点为的中点，得，据此即可求解； （2）连接，根据题意可推出，得；设，则，可求出，，， 得到；证即可求解； 【详解】（1）解：如图，连接， ， ， 在中，， 又点为的中点， ， ； （2）解：如图，连接， 点为的中点， ， 又 与相切于点， ， ， ， 设，则， ，， 在中，， ， ， ， ． 48．（24-25九年级上·莱芜·期末）如图，在中，，，，是上一个动点，连接，点在上，与相切于点且经过点，与和分别交于点和点，连接． (1)求的长． (2)连接交于点，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）分别求出，，，．证明，可求出， （2）连接，求解，证明，利用相似三角形的性质可得结论； 【详解】（1）解：∵与相切于点， ∴， ，， ， ， ∵， ， ． 为的直径， ． ， ， ，即， ． （2）解：如图，连接． 为的直径， ． ，， ， ， ． ，， ， ． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键． 题型九、利用圆内接四边形的性质求解（常考点） 49．（24-25九年级下·宿州·期中）如图，四边形内接于，过点作交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，先由平行线的性质求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 故选；B． 50．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半以及圆内接四边形对角互补． 先根据圆周角定理求出的度数，再利用圆内接四边形的性质求出的度数． 【详解】 ， ． 四边形是的内接四边形 ． ． 故选：D． 51．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，M，N是上的两个动点，且在弦AB的两侧，若的半径是，，则四边形面积的最大值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，找到使四边形面积最大的点M与点N的位置是解题的关键． 过点O作于点C，交于D，E两点．连接，先证明，得到为等腰直角三角形，求出的长，然后利用，得出当M点运动到D点，N点运动到E点，四边形面积最大值，由此计算，即得答案． 【详解】如图，过点O作于点C，交于D，E两点．连接， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵． ∴当点M到的距离最大时，的面积最大；当点N到的距离最大时．的面积最大．即点M运动到点D，点N运动到点E． 此时四边形面积的最大值 ． 故选D． 52．（24-25九年级上·阜阳·期中）如图，四边形内接于，对角线为的直径，，在的延长线上取一点E，连接，使． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，根据圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理证明，根据圆的内接四边形的性质得，根据平角的定义得，从而得，由等腰三角形的性质得，证明，根据全等三角形的判定与性质得； （2）由（1）求出，在中利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中利用勾股定理，得． 53．（24-25九年级下·淮北·期中）如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F． (1)若，，求的长； (2)连接，如图2，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考出了圆的垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图1：连接，由垂径定理的推理可得，再结合已知条件可得，设，则．然后在运用勾股定理求解即可． （2）如图2，连接交于点H，由（1）知，则，易证可得，即，进而得到，最后由三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质可得即可解答． 【详解】（1）解：如图1：连接， 直径弦， ． ， ， ， ． 设，则． 在中，，即，解得， ∴． （2）解：如图2，连接交于点H， 由（1）知， ． ，， ， ， ， ， ． 54．（24-25九年级上·德州·期中）如图，在⊙O中，是上的点（不与点重合），连接并延长至点，连接并延长至点．连接． (1)求证：． (2)若的面积为27，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为5 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，垂径定理，勾股定理等知识．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． （1）由四边形为圆内接四边形，得到，进而可得，再根据同弧(或等弧)所对圆周角相等得出，由对顶角相等可得，进而证明结论； （2）过点作于点，连接，根据垂径定理可知点O在上，，由求出，设，则．根据在中， ，列方程即可求解． 【详解】（1）证明：点均在上， 四边形为圆内接四边形， ． 又． ∴， ， 又， （2）如图，过点作于点． 为的垂直平分线， 点在上， ． ，即， ，解得． 设，则． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 的半径为5． 55．（24-25九年级下·南阳·期中）如图，已知在等腰三角形中，，过其顶点作外接圆的切线，并使 ，连接交于点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用为的直径，得，则，故平分，即可证明． （2）过点作交于点，结合垂径定理，勾股定理得 ，再证明，把数值代入，计算得，结合三角形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：如图，延长，交于点， 为的直径， ， ∴ ， ∴ ∴平分， ． （2）解：过点作交于点， ． ∵ 则 ， ． 则 ∵ ， ∴ ， 解得， ， ． 56．（24-25九年级上·江西新余·期末）利用素材解决：《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米． 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 图形 任务 （1）如图，我们通过尺规作图作所在圆的圆心，得出结论：不在同一条直线上的______个点确定一个圆． （2）求所在圆的半径． （3）以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，求此桥拱的函数表达式． 【答案】（1）3；（2）所在圆的半径为20米；（3）函数解析式为 【分析】（1）根据线段垂直平分线交点得到圆心，即可求解； （2）根据题意，米，米，，如图所示，连接，设，则（米），在中，由勾股定理即可求解； （3）根据题意可得，设二次函数解析式为，把点代入，运用待定系数法即可求解． 【详解】解：（1）根据题意，线段垂直平分线交点得到圆心， ∴不在同一条直线上的个点确定一个圆， 故答案为：； （2）根据题意，米，米，， 如图所示，连接， ∴， 设，则（米）， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴所在圆的半径是米； （3）以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， ∴， 设二次函数解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∴函数解析式为． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，垂径定理，勾股定理，待定系数法求解析式，掌握垂径定理，二次函数图象的性质及运用是解题的关键． 57．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若． (1)求的度数； (2)若，求的值； (3)在（2）的基础上求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，由垂径定理得到，再利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理得到，进而得到即可求解； （2）由（1）易得，利用含角直角三角形的性质得到的长度，进而求解； （3）由（2）可得到的长度，，利用含角直角三角形的性质得到，再结合，利用勾股定理求出，的长度，进而求出的值． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ，． 又， ， 即， ， ， ． （2）解：， ． ， ． 又， ， ， ． （3）解：由（2）得 ，, . ，， ， ． ， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理，含角直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 58．（24-25九年级下·黄山·期中）如图，是的直径，垂直平分，交于点，交于点，，连接，． (1)求证：为等边三角形； (2)作，垂足为点，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由垂径定理得，可得为等腰三角形，再证明，即可证明为等边三角形． （2）连接，得出，，，根据勾股定理得出和即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径且， ． ， 为等腰三角形． 垂直平分， ． 在中， ， ． 又， ， ， 为等边三角形． （2）解：如图，连接， 为的直径， ， ． ， ， ． ， ， ． 在中， ， ， ， ． 在中，， ． 在中， 【点睛】本题考查的知识点是垂径定理、圆周角定理、垂直平分线的性质、锐角三角函数、等边三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理并能灵活运用特殊三角函数值． 59．（24-25九年级上·淮南·期末）（1）如图①，弦和相交于内一点P，求证：； （2）如图②，P为外一点，过点P的两条直线分别交于点A、B、C、D．求证：； （3）如图③，P为外一点，过点P的两条直线分别交于点A、B、C、D．且为的直径，已知，弧弧，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理以及相似三角形的性质与判定，熟练掌握圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半是解题的关键． （1）连接、，根据同弧所对的圆周角相等可证得，得比例式即可得结论； （2）连接、，证得，得比例式即可得结论； （3）连接、，由，得，进而可证明，得，即，由（2），即可求解． 【详解】（1）证明：连接、， 由圆周角定理， 又， ， ． （2）证明：连接、， 由圆周角定理， 又， ， ． （3）连接、． ， ； 又， ， ， ，即． 由（2）， ．即 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01圆的相关概念及其性质（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、理解圆的相关概念（易错） 1 题型二、利用圆的性质来判断结论正误 1 题型三、利用垂径定理求解（常考点） 2 题型四、利用垂径定理解决实际问题（常考点） 4 题型五、利用弧、弦、圆心角关系求解（重点） 5 题型六、利用弧、弦、圆心角关系求证（难点） 7 题型七、利用圆周角定理求解（常考点） 9 题型八、利用圆周角定理推论求解（难点） 11 题型九、利用圆内接四边形的性质求解（常考点） 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、理解圆的相关概念（易错） 1．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，下列说法正确的是（　　） A．线段，，都是的弦 B．线段经过圆心O，线段是直径 C． D．弦把圆分成两条弧，其中是劣弧 2．（23-24九年级上·山东德州·期末）已知线段，过，两点作半径为的圆，能作出圆的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个   3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③同圆或等圆中，相等的弦所对弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；⑤同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．其中正确的说法有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）淘气没有圆规，用如图所示方法成功画出了圆，他画圆时（   ） A．保持圆心位置不变 B．保持圆的半径不变 C．保持圆心位置和圆的半径不变 D．圆心的位置可以改变 5．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，的半径为，双曲线和与圆相交，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 题型二、利用圆的性质来判断结论正误 6．（21-22九年级上·安徽滁州·期末）如图，已知和是的两条等弦，，，垂足分别为，，，的延长线交于点，连接，下列四个说法中：，，，，正确的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25九年级上·天津河西·期末）如图，，是的两条弦，如果，于，于，则下面结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，用尺规按照下面步骤作图： ①作线段的垂直平分线； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③以为圆心，长为半径作，分别交于点M，N． 嘉嘉和瑣瑣分别给出了一个结论．嘉嘉：点O是的外心． 瑣瑣：若，则． 对于两人的结论，下列判断正确的是（   ） A．两人的结论都正确 B．两人的结论都不正确 C．嘉嘉的结论正确，瑣瑣的结论不正确 D．瑣瑣的结论正确 ，嘉嘉的结论不正确 9．（25-26九年级上·湖北·期中）如图，在中，如果弧是弧的二倍，则下列关于弦与弦之间关系正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，已知点，，，都在上，，，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，是的直径，弦，垂足为，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 12．（2024·上海长宁·二模）如图，已知点、、、都在上，，，下列说法错误的是(　　) A．弧弧 B． C． D． 题型三、利用垂径定理求解（常考点） 13．（24-25九年级下·东营市·开学考试）如图，已知的半径为5，弦，R是弦上任意一点，则线段的长可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，为的一条弦，垂直平分交于点C，若，则的半径为（   ） A．2 B． C．3 D． 15．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，将半径为的沿折叠，恰好经过与垂直的半径的中点，则折痕长为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24九年级下·济南市·期中）如图，在中，，，点为上一点，作交于点，点关于的对称点为点，以为半径作恰好经过点，并交直线于点，． （1）点到的距离为 ； （2）的值为 ． 17．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图1，C，D是半圆上的两点，点P是直径上一点，且满足，则称是的“相望角”，如图， (1)如图2，是的直径，若弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接． ①求证：是的“相望角”； ②设弧的度数为n，请用含n的式子表示弧的“相望角”度数为 ； (2)如图3，若直径，弦，的“相望角”为， ①求弦的长． ②当时，则 ． 题型四、利用垂径定理解决实际问题（常考点） 18．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为米，的半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 19．（23-24九年级下·淄博市·期末）紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程中需要用到几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图所示．当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图是正确使用该工具时的示意图．如图，为某紫砂壶的壶口，已知，两点在上，直线过点，且于点，交于点．若mm，mm，则这个紫砂壶的壶口半径的值为（  ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长． 21．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． (1)用尺规作出该圆弧所在圆的圆心； (2)求这钢梁圆弧的半径长． 22．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图（1）所示的以为直径的半圆，为台面截线，半圆与相切于点P，连接与相交于点．水面截线，，． (1)如图（1）求水深； (2)将图（1）中的老碗先沿台面向左作无滑动的滚动到如图（2）的位置，使得、重合，求此时最高点和最低点之间的距离的长； (3)将碗从（2）中的位置开始向右边滚动到图（3）所示时停止，若此时，求滚动过程中圆心运动的路径长． 23．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，，为桌面截线， ．    (1)作于点，求的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 题型五、利用弧、弦、圆心角关系求解（重点） 24．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，点A，B，C，D在上，，点是的中点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24九年级下·青岛市·期中）如图A、、是上的三点，是劣弧的中点，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 26．（21-22九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，是的直径，已知，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 27．如图，是的直径，，点A在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．2 28．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知是半圆O的直径，，点C在半圆O上，过点A作，垂足为点D，的延长线与弦交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若，求的长． 29．如图，是的直径，为上一点，为弧的中点，过点作于点，交过点的切线于点，交弦于点，连接． (1)求证：； (2)若，求弧的长． 题型六、利用弧、弦、圆心角关系求证（难点） 30．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，延长交于点．若，，则的直径长为（　　） A． B． C． D． 31．（23-24九年级上·山东威海·期末）将的劣弧沿弦折叠、刚好落在半径的中点C处，已知，则 ． 32．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知是等圆，内接于，点C，E分别在上．如图， ①以C为圆心，长为半径作弧交于点D，连接； ②以E为圆心，长为半径作弧交于点F，连接； 下面有四个结论：①；②；③；④．所有正确结论的序号是 ．    33．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”） 34．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，是的直径，点为下方上一点，点为的中点，连接，，，延长，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求直径的长． 35．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，与的边相切于点，与边，分别相交于点，，连接，． (1)求证：； (2)如图2，若平分，连接，求证：． 36．如图，已知为的直径，过上点C的切线交的延长线于点E，于点D．且交于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长．   题型七、利用圆周角定理求解（常考点） 37．如图，四边形内接于，，．若的半径为6，则的长是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）如图在中，是等腰直角三角形，则弦所对的圆周角的度数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 39．（24-25九年级下·威海市·期中）在中，，是上一动点，连接，是三边垂直平分线的交点．连接，，若，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 40．（24-25九年级上·淄博市·期末）凸四边形内接于，两条对角线相交于E点，．则 ． 41．如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，，求的直径； (2)若，求的度数． 42．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，中，，以为直径的分别交，于点E，D，连接，． (1)求证； (2)若，，求的长． 题型八、利用圆周角定理推论求解（难点） 43．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）如图，在四边形中，，，，则对角线的长为（   ） A． B． C． D． 44．如图，四边形的对角线与边相等，，点在边上，连接，连接，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 45．（24-25九年级上·武汉市·期末）如图，内接于，点是的中点，是的直径．若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 46．（24-25九年级下·池州·期中）如图，一副三角板中的等腰直角三角板放在量角器上，是量角器所在圆的直径，点是圆心，点分别是直角边，斜边与量角器的交点．若直径，点分别对应和刻度线，则的长度为 ． 47．（24-25九年级下·济南·期中）如图，在的边上取点，以为半径作圆，与相切于点，与相交于点，弦与相交于点，点为的中点． (1)若，，求弦的长； (2)若，求的值． 48．（24-25九年级上·莱芜·期末）如图，在中，，，，是上一个动点，连接，点在上，与相切于点且经过点，与和分别交于点和点，连接． (1)求的长． (2)连接交于点，求的值． 题型九、利用圆内接四边形的性质求解（常考点） 49．（24-25九年级下·宿州·期中）如图，四边形内接于，过点作交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 50．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 51．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，M，N是上的两个动点，且在弦AB的两侧，若的半径是，，则四边形面积的最大值是（    ） A． B．4 C． D． 52．（24-25九年级上·阜阳·期中）如图，四边形内接于，对角线为的直径，，在的延长线上取一点E，连接，使． (1)求证：． (2)若，求的长． 53．（24-25九年级下·淮北·期中）如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F． (1)若，，求的长； (2)连接，如图2，若，求的度数． 54．（24-25九年级上·德州·期中）如图，在⊙O中，是上的点（不与点重合），连接并延长至点，连接并延长至点．连接． (1)求证：． (2)若的面积为27，求的半径． 55．（24-25九年级下·南阳·期中）如图，已知在等腰三角形中，，过其顶点作外接圆的切线，并使 ，连接交于点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 56．（24-25九年级上·江西新余·期末）利用素材解决：《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米． 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 图形 任务 （1）如图，我们通过尺规作图作所在圆的圆心，得出结论：不在同一条直线上的______个点确定一个圆． （2）求所在圆的半径． （3）以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，求此桥拱的函数表达式． 57．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若． (1)求的度数； (2)若，求的值； (3)在（2）的基础上求的值． 58．（24-25九年级下·黄山·期中）如图，是的直径，垂直平分，交于点，交于点，，连接，． (1)求证：为等边三角形； (2)作，垂足为点，连接，若，求的长． 59．（24-25九年级上·淮南·期末）（1）如图①，弦和相交于内一点P，求证：； （2）如图②，P为外一点，过点P的两条直线分别交于点A、B、C、D．求证：； （3）如图③，P为外一点，过点P的两条直线分别交于点A、B、C、D．且为的直径，已知，弧弧，求的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $