精品解析：河南省平顶山市鲁山县第六教研区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年上学期期中联考试卷 九年级数学 考试时间：100分钟；满分：120分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一种零件的长是2毫米，在一幅设计图上的长是40厘米，这幅设计图的比例尺是( ) A. 200：1 B. 2000：1 C. 1：2000 D. 1：200 3. 有一首《对子歌》中写道“天对地，雨对风，大陆对长空”，现有四张书签，除正面写上“天”“地”“雨”“风”四个字外其他均无区别．从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好配成“对子”的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 图形中，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与如图△A1B1C1相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ） A. 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80 6. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否相互平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量其中三个角是否都为直角 7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C D. 8. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 顺次连接下面四边形各边的中点，所得的新四边形不是矩形的是（ ） A. 矩形 B. 正方形 C. 菱形 D. 对角线互相垂直的四边形 10. 如图，矩形的顶点，，与x轴负半轴的夹角为，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转，则第2024秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则_________． 12. 已知点P是线段的黄金分割点（），若的长为4，则的长是________． 13. 如图，、、、分别是、、、的中点．要使四边形是正方形，、应满足的条件是________． 14. 如图，在矩形中，M为边上一点，连接，将沿翻折使得C点恰好落在上的点处，若，，则的长为_________． 15. 如图，由6个小正方形组成2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是____． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，在中，，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接 （1）求证：四边形是平行四边形； （2）探究：当满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 某扶贫单位为了提高贫困户经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）． （1）若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽； （2）该扶贫单位想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 19. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？ （2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 20. 我国法律明确规定，驾驶电动自行车必须年满周岁．未成年人操作电动自行车的熟练程度较低、应急能力较差，再加上缺乏对危险隐患的认知，若遇紧急情况，往往很难准确避险：据统计，摩托车、电动自行车、小汽车是导致交通事故死亡最多的车辆，摩托车、电动自行车驾乘人员死亡事故中约为颅脑损伤致死．为确保安全出行，交警提醒骑车出行必须佩戴头盔．某头盔品牌厂商在某电商平台共有个网店，一个网店平均每月销售个头盔．现准备多开一些网店以提高销售量，试验发现，每多开1个网店，每个网店头盔月销售量就会减少2个，但随着网店数量增加，运营成本也会增加，如果要使每月总销售量增加，且尽可能减少运营成本，那么应多开几个网店？ 21. 如图，在正方形中，点E在对角线上，点F在射线上，且四边形是正方形，连接． （1）求证：． （2）______． （3）著，当点E在上移动时，是否有最小值？若有最小值，求出最小值． 22. 小明与小刚做游戏，在甲、乙两个不透明的口袋中，分别装有完全一样的小球，其中甲口袋中的4个小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的3个小球分别标有数字2，3，4，小明先从甲袋中随意摸出一个小球，记下数字为x，再从乙袋中随机摸出一个小球，记下数字为y． （1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； （2）若x，y都是方程的解时，则小明获胜；若x，y都不是方程的解时，则小刚获胜，它们谁获胜的概率大？请说明理由． 23. 如图，中，，点D在边上，且交于点E． （1）求证：； （2）若，E是中点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期中联考试卷 九年级数学 考试时间：100分钟；满分：120分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，据此判断即可． 【详解】解：A、，时，不是一元二次方程，不符合题意； B、原式整理为：，不是一元二次方程，不符合题意； C、，是一元二次方程，符合题意； D、，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解本题的关键． 2. 一种零件的长是2毫米，在一幅设计图上的长是40厘米，这幅设计图的比例尺是( ) A. 200：1 B. 2000：1 C. 1：2000 D. 1：200 【答案】A 【解析】 【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺”即可求得这幅设计图的比例尺． 【详解】因为2毫米=0.2厘米，则40厘米：0.2厘米=200：1； 所以这幅设计图的比例尺为200：1． 故选A． 【点睛】本题考查了比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算． 3. 有一首《对子歌》中写道“天对地，雨对风，大陆对长空”，现有四张书签，除正面写上“天”“地”“雨”“风”四个字外其他均无区别．从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好配成“对子”的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，在根据概率公式求解可得． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽到的书签正好配成“对子”的有4种结果， 所以抽到的书签正好配成“对子”的概率为， 故选B． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 4. 图形中，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与如图△A1B1C1相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等． 故选B． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，灵活运用夹角相等且两边对应成比例判定三角形相似和掌握数形结合的思想成为解答本题的关键． 5. 某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ） A. 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，即可得解． 【详解】解：由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，故成活的概率约为0.90. 故选：B． 6. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否相互平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量其中三个角是否都为直角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定，根据三个角都为直角的四边形是矩形可得答案． 【详解】解：由三个角都为直角的四边形是矩形， 可知测测量其中三个角是否都为直角可判断一个四边形门框是否为矩形， 故选：D． 7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，由题意可得3月份的售价为万元，4月份售价为万元，由此列方程即可． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x， 由题意得：， 故选：A． 8. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， 由，不能证明，符合题意； 故选：． 9. 顺次连接下面四边形各边的中点，所得的新四边形不是矩形的是（ ） A. 矩形 B. 正方形 C. 菱形 D. 对角线互相垂直四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中位线，特殊四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握中点四边形的特征是解题的关键．分别画出图形，利用中位线依次证明即可． 【详解】解：A中，∵如图，四边形是矩形， ∴不一定垂直于， ∵、、、分别为、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∵不一定垂直于， ∴不一定垂直于， ∴四边形不一定是矩形； 故选项A符合题意； B中，∵如图，四边形是正方形， ∴， ∵、、、分别为、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 故选项B不符合题意； C中，如图，四边形是菱形，同选项B可得四边形是矩形； 故选项C不符合题意； D中，如图，四边形中，，同选项B可得四边形是矩形； 故选项D不符合题意； 故选：A． 10. 如图，矩形的顶点，，与x轴负半轴的夹角为，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转，则第2024秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转变换，矩形的性质等知识，求出，每秒旋转，6次一个循环，，第2024秒时，点D在x轴的正半轴上，由此可得到点D的坐标，熟练掌握点D的变化特点是解决此题的关键． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵每秒旋转，6次一个循环，， ∴第2024秒与起始位置夹角为， ∵与x轴负半轴夹角为， ∴与x轴正半轴夹角为， ∴点D在x轴的正半轴上， ∴， 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 12. 已知点P是线段的黄金分割点（），若的长为4，则的长是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段, 则． 故答案为：． 13. 如图，、、、分别是、、、的中点．要使四边形是正方形，、应满足的条件是________． 【答案】且 【解析】 【分析】依据条件先判定四边形为平行四边形，再根据又，，得出四边形为菱形，再根据，即可得到菱形是正方形． 【详解】应满足的条件是：且， 理由：、、、分别是、、、的中点， 在中，是的中位线， ，， 同理，， 同理，， 则且， 四边形为平行四边形， 又， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， 菱形为正方形， 故答案为：且． 【点睛】此题考查了中点四边形的性质、三角形中位线定理以及正方形的判定，注意三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 14. 如图，在矩形中，M为边上一点，连接，将沿翻折使得C点恰好落在上的点处，若，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用和勾股定理即可解决本题． 【详解】解：由题意得∠B=∠=90°，CD==AB， ∵AD//BC， ∴∠AMB=∠DAM， ∴ ∴， 设CM=x，则，AM=3x 在Rt△ABM中， ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定，矩形的性质，找到全等的三角形是解决本题的关键． 15. 如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是____． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得：空白部分有6个位置，只有在1，2处时，黑色部分的图形是轴对称图形，故黑色部分的图形是轴对称图形的概率是：． 故答案为． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，在中，，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接 （1）求证：四边形是平行四边形； （2）探究：当满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）当是等腰三角形，即时，四边形是矩形，理由见解析； 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理及中点定义可知，，再根据平行四边形的判定即可解答； （2）根据中点定义可知四边形是平行四边形，再利用利用中位线定理及矩形的判定即可解答． 【小问1详解】 证明：∵在中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∵， 即， ∴四边形是平行四边形， 【小问2详解】 解：当是等腰三角形，即时，四边形是矩形，理由如下： ∵点分别是的中点， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了中位线定理，中线的定义，矩形的判定，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解方程的方法与步骤是解本题的关键； （1）配方把方程化为：，再利用直接开平方方法解方程即可； （2）移项把方程化为：，再化为两个一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 18. 某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）． （1）若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽； （2）该扶贫单位想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）长和宽分别为与 （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，能根据几何图形正确列出方程是解题的关键． （1）设，则，根据面积列出方程，求解验根即可； （2）设，则，根据面积列出方程，利用根的判别式判断方程是否有解，并是否符合题意，即可解决． 【小问1详解】 解：设， ∵铁栅栏总长为， ∴， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：鸡场的长和宽分别为与； 【小问2详解】 解：设，则， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， 故这一想法不能实现． 19. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？ （2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 【答案】（1）2s或4s；（2）当t＝或t＝时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【解析】 【分析】（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，依据△PCQ的面积为8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值． （2）分两种情况讨论，依据相似三角形对应边成比例列方程求解即可． 【详解】（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2． 由题意得，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm， 则（6﹣x）•2x＝8， 整理得x2﹣6x+8＝0， 解得x1＝2，x2＝4． 所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2． （2）设t秒后以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则PC＝6﹣t，QC＝2t． 当△PCQ∽△ACB时，＝，即＝， 解得：t＝． 当△PCQ∽△BCA时，＝，即＝， 解得：t＝． 综上所述，当t＝或t＝时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式的求法和一元二次方程的解的情况．关键在于读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程求解． 20. 我国法律明确规定，驾驶电动自行车必须年满周岁．未成年人操作电动自行车的熟练程度较低、应急能力较差，再加上缺乏对危险隐患的认知，若遇紧急情况，往往很难准确避险：据统计，摩托车、电动自行车、小汽车是导致交通事故死亡最多的车辆，摩托车、电动自行车驾乘人员死亡事故中约为颅脑损伤致死．为确保安全出行，交警提醒骑车出行必须佩戴头盔．某头盔品牌厂商在某电商平台共有个网店，一个网店平均每月销售个头盔．现准备多开一些网店以提高销售量，试验发现，每多开1个网店，每个网店头盔月销售量就会减少2个，但随着网店数量增加，运营成本也会增加，如果要使每月总销售量增加，且尽可能减少运营成本，那么应多开几个网店？ 【答案】2个． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意列得一元二次方程是解题的关键．设应增加x个网店，根据销售总量每个网店销售量网店数量列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设应增加x个网店，则增加后共有，每个网店头盔月销售量， ， 即， 整理得， 解得， 网店越多，运营成本就越多，且， 为了尽可能减少运营成本，符合题意， 答：应多开个网店． 21. 如图，在正方形中，点E在对角线上，点F在射线上，且四边形是正方形，连接． （1）求证：． （2）______． （3）著，当点E在上移动时，是否有最小值？若有最小值，求出最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）90° （3）有最小值，最小值为8 【解析】 【分析】（1）证明可得结论； （2）利用全等三角形的性质，正方形的性质解决问题； （3）有最小值．连接， 是直角三角形，，推出，求出的最小值即可解决问题． 【小问1详解】 证明：如图1中， ∵四边形，四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ； 证明：∵四边形是正方形， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：有最小值．连接 ， 是直角三角形，， ， ∵四边形是正方形， , 的值最小时， 的值最小， 根据垂线段最短可知， 当 ，时， 的值最小，最小值为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形． 22. 小明与小刚做游戏，在甲、乙两个不透明的口袋中，分别装有完全一样的小球，其中甲口袋中的4个小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的3个小球分别标有数字2，3，4，小明先从甲袋中随意摸出一个小球，记下数字为x，再从乙袋中随机摸出一个小球，记下数字为y． （1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； （2）若x，y都是方程的解时，则小明获胜；若x，y都不是方程的解时，则小刚获胜，它们谁获胜的概率大？请说明理由． 【答案】（1）答案见解析； （2）小明获胜的概率大；理由见解析． 【解析】 【分析】（1）列表或画树状图把所有情况表示出来； （2）首先解出方程的解，再根据表格或树状图找出符合的情况，最后比较一下得出概率大小． 【小问1详解】 解：所有可能出现的结果列表如下： 2 3 4 1 2 3 4 由表可知共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同． 【小问2详解】 ∵方程的两个根分别为2或3， ∴由表格可知，x，y都是方程的解有，，，共4种，都不是方程的解有，两种， ∴P小明胜，P小刚胜， ∴小明获胜的概率大． 【点睛】本题考查用表格或树状图表示事件发生的情况和解一元二次方程的解．准确且不重复不遗漏的画出树状图是解题的关键． 23. 如图，中，，点D在边上，且交于点E． （1）求证：； （2）若，E是中点，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关定理内容是解题关键． （1）由可得出，再结合公共角相等，即可证出； （2）在中，利用勾股定理可求出的长，结合点E为线段的中点可求出的长，再利用相似三角形的性质，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． 又∵， ∴． 【小问2详解】 解：在中，，， ∴ ∵E是中点， ∴ ∵， ∴，即： 解得： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $