精品解析：江苏省淮安市2023-2024学年七年级下学期4月期中数学试题

2023-2024学年度第二学期期中考试 初一数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分；请将答案写在答题纸上） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 周末李强和朋友到森林公园游玩，为测量园内湖岸A，B两点之间的距离，如图，李强在湖的一侧选取了一点O，测得，，则A，B间的距离可能是（ ） A. 10m B. 22m C. 30m D. 32m 3. 如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，能判断的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 本届运动会共有24个队、260名运动员参加其中的篮球、排球比赛，其中篮球队每队10名，排球队每队12名．若设参赛的篮球队有x支，参赛的排球队有y支，根据题意，可列方程组（ ） A. B. C. D. 6. 若一个多边形的每个外角都等于，这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 7. 已知，则，的值分别是（ ） A. 8，11 B. C. 8，15 D. ，11 8. 如图，面积为的以每秒的速度沿射线方向平移，平移2秒后所得图形是（点在线段上），若，则图中的四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24 分；请将答案写在答题纸上） 9. 中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米米，将用科学记数法表示为______． 10. 计算：______． 11. 若是一个完全平方式，则正数m的值__________． 12. 如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，则∠ADC的度数_____°． 13. 已知x2+x＝5，则代数式（x+5）（x﹣4）的值为_____． 14. 已知二元一次方程组的解满足，的值是 _____． 15. 如图，C为线段上的一点，分别以为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，图中阴影部分面积为 _______． 16. 如图，点C在直线l外，点A、B在直线l上，点D是的中点，已知，的面积为9，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共9小题，9+8+5+6+7+7+10+10+10=72分） 17. 计算： （1） （2） （3） 18. 解二元一次方程组： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，CD是△ABC的角平分线，点E是AC边上的一点，. （1）求证：； （2），，求∠DEC的度数. 21. 规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定： （1）填空： ， ； （2）记，试说明：． 22. 用二元一次方程（组）解决问题：为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完． （1）求医用口罩和消毒液的单价； （2）由于实际需要，除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为6元的口罩m个．若需购买医用口罩和口罩共1000个，剩余的钱恰好可以买n瓶消毒液，若，则 ． 23. 【认识】如图①，是四边形的一个外角，且． （1）若，则 °． （2）试说明：． 【操作】 （3）如图②，已知，点M、N分别在的边、上．请利用无刻度直尺和圆规在的内部求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 24. 已知关于x，y的二元一次方程（a，b均为常数，且）． （1）当，时，用含x的式子表示y，则__________； （2）若是该二元一次方程的一组解． ①探索a与b的数量关系； ②小明发现无论a，b取何值，方程都有一组公共解，请求出这组解． 25. 【问题情境】 是锐角三角形，点D在线段的延长线上，过点D作直线，点E在线段上（点E不与点A，B，D重合），连接，过点E作交直线m于点F（点F不与点D重合）． 【问题初探】如图1，点E在线段上时，＝ °； 【类比研究】当点E在线段上时，探究与之间满足的数量关系．请在备用图中画出符合条件的图形，并说明理由； 【深入探究】若与的角平分线所在直线相交于点O，试探究的度数，并直接写出你的探究结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期期中考试 初一数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分；请将答案写在答题纸上） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可；本题主要考查了同底数幂的除法，熟练掌握“同底数幂相除，底数不变，指数相减”是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 2. 周末李强和朋友到森林公园游玩，为测量园内湖岸A，B两点之间的距离，如图，李强在湖的一侧选取了一点O，测得，，则A，B间的距离可能是（ ） A. 10m B. 22m C. 30m D. 32m 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边的关系求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解；由题意得，， ∵，， ∴， ∴只有B选项符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 3. 如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可根据同底数幂的除法法则进行计算.同底数幂的除法法则为：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即(，为正整数，且)；利用指数运算法则，将 转化为 ，然后代入已知条件计算． 【详解】解：∵ ，， ∴ ． 故选：C． 4. 如图，能判断的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、D，相等的角不是同位角，也不是内错角，因此不能判断，故不符合题意； B、，能判定，故符合题意； C、，能判定，故不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法． 5. 本届运动会共有24个队、260名运动员参加其中的篮球、排球比赛，其中篮球队每队10名，排球队每队12名．若设参赛的篮球队有x支，参赛的排球队有y支，根据题意，可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据运动会共有24个队、260名运动员参加，可以列出方程组，即可得出结论． 【详解】解：设参赛的篮球队有x支，参赛的排球队有y支，根据题意，得 ， 故选A． 【点睛】本题主要考查列二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是找到题中的等量关系列出方程组． 6. 若一个多边形的每个外角都等于，这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和，根据多边形外角和恒为360°的性质，计算边数即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】∵多边形的外角和为，每个外角为， ∴， ∴这个多边形是五边形， 故选：B． 7. 已知，则，的值分别是（ ） A. 8，11 B. C. 8，15 D. ，11 【答案】B 【解析】 【分析】先等号左边的式子利用多项式的乘法展开，然后左右两边对比系数列出并求解二元一次方程组，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】此题考查了多项式与多项式的乘法、二元一次方程组，熟练掌握多项式与多项式乘法的运算法则、二元一次方程组的求解是解答此题的关键． 8. 如图，面积为的以每秒的速度沿射线方向平移，平移2秒后所得图形是（点在线段上），若，则图中的四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平移的性质．根据平移的性质求出，设的边上的高为，求出，利用四边形的面积为即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得，， 由平移的性质可得， ， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为， 则， 解得， ∴四边形的面积为 故选：C 二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24 分；请将答案写在答题纸上） 9. 中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米米，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用积的乘方的逆运算将原式转化为乘积的幂的形式计算即可；本题主要考查了积的乘方的逆运算，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：1． 11. 若是一个完全平方式，则正数m的值__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据完全平方公式的形式确定中间项系数，结合为正数的条件求解的值． 【详解】解：是完全平方式， ， ， 又为正数， ． 12. 如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，则∠ADC的度数_____°． 【答案】80 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理求出∠B，利用角平分线的定义求出∠BAD，再利用三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠ECB＝90°﹣40°＝50°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠BAC＝30°， ∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝50°＋30°＝80°， 故填：80． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13. 已知x2+x＝5，则代数式（x+5）（x﹣4）的值为_____． 【答案】﹣15． 【解析】 【分析】先根据多项式乘以多项式的法则化简原式，再把已知的式子整体代入计算即可． 【详解】解：原式＝x2﹣4x+5x﹣20＝x2+x﹣20， 当x2+x＝5时，原式＝5﹣20＝﹣15． 故答案为：﹣15． 【点睛】本题考查了整式的乘法和代数式求值，属于基本题型，熟练掌握多项式乘以多项式的法则和整体代入的思想是解题的关键． 14. 已知二元一次方程组的解满足，的值是 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键． ，得，，然后作答即可． 【详解】解：， 得，， ∴的值是4， 故答案为：4． 15. 如图，C为线段上的一点，分别以为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，图中阴影部分面积为 _______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．设，，可得，，根据完全平方公式求出即可． 【详解】解：设，， ∵， ∴， 又∵两正方形的面积之和为20， ∴， 由完全平方公式可得，， ∴， ∴， ∴． ∴阴影部分的面积为8． 故答案为：8． 16. 如图，点C在直线l外，点A、B在直线l上，点D是的中点，已知，的面积为9，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，垂线段最短，三角形面积公式，由题意可得的面积为，设点到直线的距离为，则，求出，再由垂线段最短即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点D是的中点，的面积为9， ∴的面积为， 设点到直线的距离为，则， ∵， ∴， 由垂线段最短可得，的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，9+8+5+6+7+7+10+10+10=72分） 17. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）9 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，整式的运算等知识，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据乘方的意义、负整数指数幂的意义、零指数幂的意义等计算即可； （2）根据积的乘方法则，同底数幂相乘法则，合并同类项法则计算即可； （3）根据完全平方公式，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 18. 解二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）利用加减消元法求出解即可； （2）利用加减消元法求出解即可． 【小问1详解】 解： 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 【小问2详解】 解： 得：， 得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，熟练掌握乘法公式、准确计算是解题的关键．先根据完全平方、平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算展开，再代值计算． 【详解】解： ， 当，时，原式． 20. 如图，CD是△ABC的角平分线，点E是AC边上的一点，. （1）求证：； （2），，求∠DEC的度数. 【答案】 （1）证明：∵CD是△ABC的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴（内错角相等，两直线平行）； （2）110°. 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，从而求出，再利用内错角相等，两直线平行证明即可； （2）根据三角形的外角性质得，可求出，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）∵∠BDC是△ADC的外角 ∴ ∴ ∴ ∴. 故答案为（1）证明见解析；（2）110°. 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，三角形的外角性质，准确识别图形是解题的关键． 21. 规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定： （1）填空： ， ； （2）记，试说明：． 【答案】（1）3,4 （2） 解：∵， ∴； ∵ ， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算，乘方运算，同底数幂的乘法运算，解题的关键掌握各运算法则． （1）利用新定义运算法则进行计算即可； （2）利用新定义法则进行整理，然后利用同底数幂的乘法法则进行证明即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，， ∴； ， ∴； 故答案为：3,4； 【小问2详解】 略 22. 用二元一次方程（组）解决问题：为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完． （1）求医用口罩和消毒液的单价； （2）由于实际需要，除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为6元的口罩m个．若需购买医用口罩和口罩共1000个，剩余的钱恰好可以买n瓶消毒液，若，则 ． 【答案】（1）医用口罩：1.5元/个，消毒液：20元/瓶 （2）120或160 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． （1）设医用口罩和消毒液的单价分别为元/个和元/瓶，根据“某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完”列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）由题意可得，整理可得，在结合，均为正整数，且即可得解． 【小问1详解】 解：设医用口罩和消毒液的单价分别为元/个和元/瓶， 由题意可得：， 解得：， ∴医用口罩和消毒液的单价分别为元/个和元/瓶； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 整理可得：， ∵，均为正整数，且， ∴为的倍数， ∴或． 23. 【认识】如图①，是四边形的一个外角，且． （1）若，则 °． （2）试说明：． 【操作】 （3）如图②，已知，点M、N分别在的边、上．请利用无刻度直尺和圆规在的内部求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）75； （2）∵四边形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （3）如图②，P点即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了四边形的内角和定理，复杂作图，熟练掌握基本性质是解题关键； （1）根据四边形的内角和定理得到，再用邻补角性质得到，即可求解； （2）根据（1）的证明方法进行证明即可； （3）分别作的垂直平分线，相交于点，再以为圆心，为半径画圆，然后在任取一点P，则满足． 【详解】解：（1）∵四边形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 24. 已知关于x，y的二元一次方程（a，b均为常数，且）． （1）当，时，用含x的式子表示y，则__________； （2）若是该二元一次方程的一组解． ①探索a与b的数量关系； ②小明发现无论a，b取何值，方程都有一组公共解，请求出这组解． 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． （1）把，代入关于x、y的二元一次方程得关于x,y的方程，把y用x表示出来即可； （2）①把代入关于x、y的二元一次方程得关于a,b的方程，进行整理即可得到答案； ②把代入原方程变形，根据无论a,b取何值，这些方程都有一个公共的解，求出所求结果即可． 【小问1详解】 解：当，时，得 【小问2详解】 解：①把代入，得，整理得； ②由①可知， ∴原方程化为，即． 当时，无论a取任意值，都有，此时， ∴这组公共解为． 25. 【问题情境】 是锐角三角形，点D在线段的延长线上，过点D作直线，点E在线段上（点E不与点A，B，D重合），连接，过点E作交直线m于点F（点F不与点D重合）． 【问题初探】如图1，点E在线段上时，＝ °； 【类比研究】当点E在线段上时，探究与之间满足的数量关系．请在备用图中画出符合条件的图形，并说明理由； 【深入探究】若与的角平分线所在直线相交于点O，试探究的度数，并直接写出你的探究结果． 【答案】【问题初探】90；【类比研究】或；【深入探究】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角与外角的性质等知识点，熟练通过平行线的性质和三角形内角和为进行角度计算和整体代换是解题关键． 【问题初探】通过平行线的性质，得到，再通过，得到，利用和的内角和即可计算出结果（也可过点E构造平行线，利用内错角求出结果）． 【类比研究】同【问题初探】，通过平行线的性质，得到的一个内角与的一个内角的关系，再借助得到两个三角形中另外一个内角的关系，利用内角和即可计算出结果． 【深入探究】同【类比研究】的方法，观察图象，通过三角形外角的性质和三角形的内角和，构建与【类比研究】和【问题初探】中的结论之间的关系（不同情况关系不同），即可计算出结果． 【详解】解：【问题初探】∵， ∴． ∴． ∵直线， ∴． ∴． 【类比研究】分两种情况讨论． 第一种：，画出符合条件的图形如图所示，理由如下： ∵， ∴，即． ∵直线， ∴． ∵， ∴． ∴． 第二种：，画出符合条件的图形如图所示，理由如下： ∵， ∴． ∵直线， ∴，即． 又， ∴． 【深入探究】由之前的研究可知，共分三种情况： 第一种：点E在线段上，画出图形如图所示，过点O作． ∵， ∴． ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∴． 第二种：点E在线段上，画出图形其示意图如图所示，延长交于点P． ∵是的平分线， 由对顶角相等，得． ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴． 第三种：点E在线段上，画出图形其示意图如图所示，与交于点P． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵， ∴． 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $