重难点专题01 指数 4大题型（专项训练）数学苏教版高一必修第一册

重难点专题01 指数 重难点一 根式与分数指数幂的互化 解决这些分数幂与根式互化的问题，需掌握分数指数幂的定义： 对于 1、求下列各式的值： ． 2、化简： ． 3、求下列各式的值：                 ． 题型小结：这些题目核心考查分数指数幂与根式的互化规则，只需牢记和负指数幂的定义即可轻松解决。 重难点二 指数幂的运算 要化简这些式子，需运用分数指数幂的运算性质： 1、同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）； 2、幂的乘方，底数不变，指数相乘； 3、乘法公式（如平方差公式）等。 1、计算          ． 2、           ． 3、化简：          ． 4、计算：． 化简：． 6、化简或求值： ； ． 7、若，求的值 若，，求的值． 题型小结：这些题目综合考查了分数指数幂的乘、除、乘方运算及乘法公式的应用，熟练掌握运算性质和公式是解题关键。 重难点三 指数运算求值题 要解决这两个问题，我们可以利用完全平方公式和立方差公式，结合已知条件进行推导。 1、若则(    ) A. B. C. D. 2、已知实数满足，下列选项中正确的是(    ) A. B. C. D. 3、已知，则等于(    ) A. B. C. D. 4、若，则          ． 5、已知，，求的值； 已知，为正实数，求的值； 已知，求的值．  6、已知，求下列各式的值： ； ． 7、已知，求的值 已知，求的值． 题型小结：1、熟练掌握分数指数幂与根式互化规则、指数运算性质（同底数幂乘除、幂的乘方），以及完全平方、立方和 / 差公式。 2、已知求更高次幂，用 “平方展开法” 递推；已知根式和求整数幂，直接平方建立联系。 重难点四 指数运算解方程 要解方程，需利用分数指数幂的运算性质，将方程转化为熟悉的代数形式求解。 1、已知若，是的两个解，则(    ) A. B. C. D. 2、如果关于的不等式的解集是，那么等于(    ) A. B. C.   D. 3、已知，是方程的两根，则(    ) A. B. C. D. 4、若，，则以，为根的一元二次方程是(    ) A. B. C. D. 5、解下列方程． ；    ；    ． 6、解下列方程． ； ． 7、求下列方程的解集： ． 题型小结：1、指数变形核心：熟练运用负指数幂、分数指数幂的定义，将复杂指数式转化为易解形式。 2、换元法关键：针对含的方程，通过设）将指数方程降为代数方程，简化计算。 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题01 指数 重难点一 根式与分数指数幂的互化 解决这些分数幂与根式互化的问题，需掌握分数指数幂的定义： 对于 1、求下列各式的值： ． 【答案】解：； ； ．  【解析】本题考查根式的求解，对各项逐一求解，即可得到答案． 2、化简： ． 【答案】解：， ， ，． 【解析】本题主要考查分数指数幂的运算，利用及，可直接写结果． 3、求下列各式的值：                 ． 【答案】解：由题意得 ； ； 因为，所以，故 ．  【解析】本题主要考查了根式的运算性质，利用根式的运算性质计算即可． 题型小结：这些题目核心考查分数指数幂与根式的互化规则，只需牢记和负指数幂的定义即可轻松解决。 重难点二 指数幂的运算 要化简这些式子，需运用分数指数幂的运算性质： 1、同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）； 2、幂的乘方，底数不变，指数相乘；3、乘法公式（如平方差公式）等。 1、计算          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题重点考查指数幂的运算，属于基础题． 利用对数和指数幂的运算性质即可求解． 【解答】 解：． 故答案为． 2、           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查分数指数幂的运算，属于基础题． 解题时直接根据公式计算即可． 【解答】 解：． 故答案为：． 3、化简：          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查指数幂的计算，注意根据乘积中各项的次数关系来配凑因式，从而达到化简的目的，属于中档题． 在等式的左边乘以，利用平方差公式可逐步化简得到． 【解答】 解：原式 ． 故答案为． 4、计算：． 化简：． 【答案】解析原式  ． 原式 ． 【解析】本题考查分数指数幂的计算，是基础题 6、化简或求值： ； ． 【答案】解： ； ． 【解析】本题考查指数与指数幂的运算，根据分数指数幂的运算公式化简即可； 根据指数幂的运算性质计算即可． 7、若，求的值 若，，求的值． 【答案】解：， 所以； 原式 ．  【解析】本题考查幂指数的运算性质，属于基础题． 题型小结：这些题目综合考查了分数指数幂的乘、除、乘方运算及乘法公式的应用，熟练掌握运算性质和公式是解题关键。 题型三 指数运算求值题 要解决这两个问题，我们可以利用完全平方公式和立方差公式，结合已知条件进行推导。 1、若则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解决本题的关键． 将已知等式两边平方，利用完全平方公式化简求出的值，原式分子分母除以变形后，将代入计算即可． 【解答】 解： 两边平方得， 即， 所以，原式， 故选C． 2、已知实数满足，下列选项中正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查指数和指数幂的运算，考查运算求解能力，属于中档题． 根据，运用完全平方式和立方和公式进行运算即可求解． 【解答】 解：由题意，， 则，即，故A正确； ，故B错误； 因为，而， 所以，故C正确； ，故D正确． 故选：． 3、已知，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】AB  【解析】【分析】 本题考查分数指数幂的运算，属于基础题． 推导出，由此能求出的值． 【解答】解：， ， ． 故选：． 4、若，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查幂指数运算，及平方运算和开方运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 利用幂指数运算，及平方运算和开方运算，即可求出结果． 【解答】 解：，，， 两边平方得：，， ， ， 则， 若，则． 故答案为：． 5、已知，，求的值； 已知，为正实数，求的值； 已知，求的值． 【答案】解：原式； 因为， ， 所以； 由可得， 即， 又，令，则， 解得，即．  6、已知，求下列各式的值： ； ． 【答案】  解：将两边平方，得， 故； 将两边平方，得， 故，，， ，，． 【解析】本题考查了指数与指数幂的计算， 将两边平方，即可得解； 由平方规律易知，则，根据即可得解． 7、已知，求的值 已知，求的值． 【答案】解：由得，则． 又， 所以． 所以原式． 由得． 所以原式．  【解析】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算， 题型小结：1、熟练掌握分数指数幂与根式互化规则、指数运算性质（同底数幂乘除、幂的乘方），以及完全平方、立方和 / 差公式。 2、已知求更高次幂，用 “平方展开法” 递推；已知根式和求整数幂，直接平方建立联系。 重难点四指数运算解方程 要解方程，需利用分数指数幂的运算性质，将方程转化为熟悉的代数形式求解。 1、已知若，是的两个解，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查韦达定理以及指数方程的求解，属于中档题． 令，则，是的两个解，通过韦达定理得到，进而通过指数的运算，即可得到答案． 【解答】 解：令，则，， 方程可转化为  ，是的两个解， 则，是的两个解， 则，即， 所以． 故选A． 2、如果关于的不等式的解集是，那么等于(    ) A. B. C.   D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题，关键是掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系和根与系数的关系． 根据不等式的解集求出和的关系，再根据指数运算求出结果． 【解答】 解：根据题意，若不等式的解集是， 则与是方程的两个根，则有 解得，， ． 故选B． 3、已知，是方程的两根，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题． 由根与系数关系得，，再根据即可求出． 【解答】 解：，是方程的两根， ，， ， 故选：． 4、若，，则以，为根的一元二次方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 此题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，属于中档题． 由，，结合完全平方公式求出，然后利用根与系数的关系可求得结果 【解答】 解：，， 而， ，， 以，为根的一元二次方程为． 故选：． 5、解下列方程． ；    ；    ． 【答案】解：因为，所以，所以， 所以方程的解集为  因为，所以，  所以，所以，  所以方程的解集为． 因为，所以，  所以，  所以或，  所以或， 所以方程的解集为． 【解析】本题考查简单的指数方程的解法． 根据指数的性质进行计算可得答案； 根式化为分数指数幂，两边化为同底数的幂相等，根据指数相等可得结果； 化为关于的一元二次方程，解得或，进一步可得结果． 6、解下列方程． ； ． 【答案】解：由得， 所以，解得， 所以原方程的解集为． 由得， 得， 得，解得． 所以原方程的解集为． 【解析】本题考查了指数方程的解法． 方程两边化为以为底数的幂值，即可计算得结果； 化为关于的一元二次方程，解得，从而可得结果． 7、求下列方程的解集： ． 【答案】解：， ， 的解集为； ， 的解集为； ，即， ， 的解集为； ， ， ， 的解集为． 【解析】本题主要考查指数的运算性质，考查根式与分数指数幂的互化． 直接根据指数的运算性质进行求解； 将根式化为分数指数幂后再根据指数的运算性质进行求解； 直接根据指数的运算性质进行求解； 直接根据指数的运算性质进行求解． 题型小结：1、指数变形核心：熟练运用负指数幂、分数指数幂的定义，将复杂指数式转化为易解形式。 2、换元法关键：针对含的方程，通过设）将指数方程降为代数方程，简化计算。 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $