专题4.2 整式（高效培优讲义）数学浙教版2024七年级上册

专题4.2 整式 教学目标 1.理解整式、单项式、多项式的概念，能准确判断一个代数式是否为整式，区分单项式与多项式； 2.掌握单项式的系数、次数，多项式的项、常数项、次数的定义，能正确指出单项式的系数和次数，确定多项式的项、常数项及最高次项的次数； 3.能将多项式按某一字母的降幂或升幂排列，规范书写整式； 4.理解整式与代数式的从属关系（整式是特殊的代数式），明确整式与分式的区别。 教学重难点 教学重点 （1） 整式、单项式、多项式的概念辨析（核心是判断标准：不含分母或分母中不含字母）； （2） 单项式系数与次数的确定（系数含符号、π 为常数；次数是所有字母指数和） （3）多项式项、常数项及次数的确定（项含符号；次数是最高次项的次数）。 教学难点 （1）单项式系数的理解：①单独一个字母（如 a）的系数是 1，单独一个负字母（如 -b）的系数是 - 1，学生易忽略 “1”；②含 π 的单项式（如 2πr），学生易误将 π 当作字母计算次数； （2）多项式次数的判断：学生易混淆 “多项式次数” 与 “所有字母指数和”， （3）复杂实际情境下的整式表示 （4）“单独一个数或字母是单项式” 的抽象理解 知识点01 单项式的概念 1.单项式定义 （1）定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。 说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式. 2、 单项式的系数： 单项式中的数字因数叫这个单项式的系数. 说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8； （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号 如的系数是；的系数是； （3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1； （4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2. 3、单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 说明： （1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0； （2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次； （3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数； 4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。 例如：可以写成或 5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数. 【即学即练】 1．下列式子中，是单项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，据此可得答案． 【详解】解：由单项式的定义可知，四个选项中，只有B选项中的式子是单项式， 故选：B． 2．单项式的系数和次数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】此题考查了单项式有关概念，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，灵活掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键． 根据单项式系数、次数的定义来求解即可． 【详解】解：系数为，次数为， 故选：． 3．按一定规律排列的代数式：，则第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式的规律题，根据所给各多项式，观察系数及次数的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：第一个单项式为，，，…， 则第个单项式是：， 第二个单项式为：，，，… 则第个单项式是：， 则多项式第个代数式是：， 故选：A 知识点02 多项式的概念 1、定义： 几个单项式的和叫多项式. 2、多项式的项： 多项式中的每个单项式叫做多项式的项. 3、多项式的次数： 多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数. 4、多项式的项数： 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数. 5、常数项： 多项式里，不含字母的项叫做常数项. 【即学即练】 1．下列各式中是多项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查多项式，根据多项式的定义解决此题．根据“数与字母的积是单项式”与“几个单项式的和叫做多项式”找出其中的多项式即可． 【详解】解：A．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故A不符合题意． B．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故B不符合题意． C．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故C不符合题意． D．根据多项式的定义，是多项式，故D符合题意． 故选：D． 2．关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．各项系数分别是：，，9 C．常数项是9 D．各项分别是，，9 【答案】D 【分析】本题考查多项式，根据多项式的项，项数，次数，系数逐一进行判断即可． 【详解】解：多项式，有三项，分别，，9，其中常数项为9，次数为4，各项系数分别是：，，9； 综上，错误的是D选项； 故选D． 3．多项式是（   ） A．二次三项式 B．三次三项式 C．二次二项式 D．三次二项式 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式的项数与次数，熟练掌握多项式的项数与次数是解题的关键；因此此题可根据多项式的项数与次数进行求解即可． 【详解】解：多项式是三次三项式， 故选B． 知识点03 整式的概念 （1）单项式和多项式统称为整式。 （2）单项式或多项式都是整式。 （3）整式不一定是单项式。 （4）整式不一定是多项式。 （5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 【即学即练】 1．下列代数式是整式的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握单项式和多项式定义，是解题的关键．单项式和多项式统称为整式，先判断那些是单项式和多项式，然后得出答案即可． 【详解】解：①是单项式，因此是整式； ②分母含，不是多项式，因此不是整式； ③是单项式，因此是整式； ④分母含，不是多项式，因此不是整式； ⑤分母为常数，是多项式，因此是整式； ⑥分母含和，不是多项式，因此不是整式； ⑦是单项式，因此是整式； ⑧是多项式，因此是整式； 综上分析可知：整式有5个． 故选：C． 题型01.单项式的判断 【典例1】代数式0，，，，，中，单项式个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查单项式的定义，根据单项式的定义求解即可． 【详解】解：单项式有：0，，，， 故选：D． 【变式1】下列各式中，单项式有（   ） ①      ②      ③          ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式，这是判断是否是单项式的关键． 根据单项式的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：①符合单项式的定义，故此选项是正确的，符合题意； ② 符合单项式的定义，故此选项正确，符合题意； ③不符合单项式的定义，故此选项错误，不符合题意； ④不符合单项式的定义，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】下列代数式中，是单项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的识别．根据单项式的定义即可逐项判断． 【详解】解：∵由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式， ∴是单项式，仅B满足条件， 故选：B． 【变式3】在式子，，4， ，，，中，单项式的个数为（ ） A．6个 B．4个 C．5个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的概念，掌握单项式的判断方法是解题关键．单项式是指由数字或字母乘积的形式，单独的一个数字或字母也是单项式，由此即可获得答案． 【详解】解：在式子，，4， ，，，中，单项式有，4， ，，，共5个， 故选：C． 题型02 单项式的系数、次数 【典例2】单项式的系数和次数分别是（  ） A．，3 B．，3 C．，3 D．，4 【答案】B 【分析】此题考查了单项式的系数和次数，单项式的系数是数字部分（包括常数），次数是所有变量的指数之和，据此求解即可． 【详解】单项式的系数和次数分别是，3． 故选：B． 【变式1】代数式的次数是（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式次数的定义，单项式中所有字母的指数之和叫做该单项式的次数，据此求解即可． 【详解】解：代数式的次数是， 故选：C． 【变式2】单项式的系数为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的系数，解决本题的关键特别注意单项式的系数也包括前面的符号． 单项式前面的数字因数即为单项式的系数，据此即可得出答案． 【详解】解：的系数为：， 故选：A ． 【变式3】已知单项式的次数是7，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了单项式，解决本题的关键是掌握单项式次数的概念． 单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，根据单项式次数的概念解答即可． 【详解】解：∵单项式 的次数是7， ． 故选：B． 题型03 写出满足某些特征的单项式 【典例3】写一个系数为，只含字母m，n的三次单项式 ． 【答案】或（任选其一即可） 【分析】本题考查了单项式的定义，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． 根据单项式的定义作答即可． 【详解】解：写一个系数为，只含字母m，n的三次单项式：或． 故答案为：或（任选其一即可）． 【变式1】写出一个同时满足下列条件的单项式：①只含有字母x和y；②次数是3；③系数是2．你写的单项式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的定义，正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键．本题直接利用单项式的次数与系数确定方法分析得出答案． 【详解】解：①只含有字母x和y；②次数是3；③系数是2，符合条件的单项式不唯一， 例如：． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】写出一个只含一个字母，且系数为2，次数为3的单项式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是单项式的定义，根据单项式系数、次数的定义写出结论即可． 【详解】解：只含一个字母，且系数为2，次数为3的单项式是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】一个单项式满足下列两个条件：（1）含有两个字母；（2）次数是3，系数是．请你写出符合上述条件的一个单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的概念和单项式的次数和系数，单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和，熟记概念是解题的关键． 根据单项式系数，次数的定义来求解即可． 【详解】解：∵（1）含有两个字母；（2）次数是3，系数是， ∴满足条件的单项式为：． 故答案为：（答案不唯一）． 题型04 单项式规律题 【典例4】观察按一定规律排列的单项式，，，，，，…，则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了与单项式有关的规律探索，观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【详解】解：∵x ，， ， ，，，…， ∴系数的规律为，指数的规律为， ∴第n个单项式为：． 故选C． 【变式1】按一定规律排列的单项式：，则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，根据题意可知，第个单项式的系数为，字母为，指数为，故第个单项式是． 【详解】解：第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， 第5个单项式为， ……， 以此类推可知，第个单项式是 故选：C． 【变式2】观察下列单项式：，根据你发现的规律，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式规律题，先确定前几个单项式的系数、指数的变化特点，即可得出答案． 【详解】解：第一个单项式为：； 第二个单项式为：； 第三个单项式为：， 第四个单项式为：， 第n个单项式为： 故选：C． 【变式3】观察下列单项式的特点：．第8个单项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式规律探究．根据给定的单项式，抽象概括出相应的规律，即可求解．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 【详解】解：从可以观察得出第个单项式为. 当时， 故选： ． 题型05 多项式的判断 【典例5】下列式子：，，，，，，，．其中是多项式的有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的知识，几个单项式的和叫做多项式，结合各式进行判断即可． 【详解】解：下列式子：，，，，，，，．其中，，，是多项式，共4个． 故选B． 【变式1】在下列代数式，，，，，中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的定义“几个单项式的和为多项式”．根据多项式的定义即可判断． 【详解】解：代数式，，，，，中，多项式有，，，即多项式有3个， 故选：B． 【变式2】整式，，，，，中，多项式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是多项式，掌握多项式的定义是解本题的关键．根据定义判断即可． 【详解】解：多项式有，，，共3个 故选：B． 【变式3】下列式子：，，，，0中，多项式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查多项式的判断，根据几个单项式的和的形式，叫做多项式，进行判断即可． 【详解】解：在，，，，0中，多项式有，，共3个； 故选B． 题型06 多项式的项、项数或次数 【典例6】关于多项式，下列说法正确的是（   ） A．它是三次六项式 B．它的最高次项是 C．它的一次项是 D．关于的二次项系数是 【答案】D 【分析】本题考查的是多项式的项与次数的含义，根据多项式的项和次数的定义，确定各个项和各个项的系数，注意要带有符号． 【详解】解：A、多项式是四次六项式，故本选项错误. B、多项式的最高次项是，故本选项错误. C、多项式的一次项是和，故本选项错误. D、多项式的二次项系数是，故本选项正确． 故选：D． 【变式1】对于多项式，下列说法正确的是（    ） A．最高次项是 B．二次项系数是 C．是五次四项式 D．常数项是7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式的概念逐一判断即可． 【详解】解：A. 最高次项是，原说法正确，符合题意； B. 二次项系数是，原说法错误，不符合题意； C. 是三次四项式，原说法错误，不符合题意； D. 常数项是，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【变式2】下列关于多项式的说法中，正确的是（   ） A．它是五次三项式 B．二次项系数是0 C．最高次项是 D．常数项是1 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式的概念逐项分析即可． 【详解】解：A．多项式是三次三项式，故不正确； B．多项式的二次项系数是1，故不正确；     C．多项式的最高次项是，故正确；     D．多项式的常数项是，故不正确；     故选：C． 【变式3】对于多项式，下列说法错误的是（    ） A．它是二次三项式 B．最高次项的系数是2 C．它的常数项是5 D．它的项分别是，，5 【答案】D 【分析】本题考查多项式的相关概念.多项式是几个单项式的和，每个单项式就是多项式的项；多项式的次数是次数最高项的次数；常数项是不含字母的项.据此对选项进行判断. 【详解】解：A、是二次三项式，故A不符合题意； B、最高次项是系数是2，故B不符合题意； C、的常数项是5，故C不符合题意； D、由三项构成分别为，，5，该选项将的符号漏掉写成了，故D符合题意. 故选：D. 题型07 多项式系数、指数中字母求值 【典例7】如果多项式是关于的三次三项式，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式的项数，次数的求解，代数式求值，根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数． 【详解】解：多项式是关于的三次三项式， ，， ，， ． 故选：B． 【变式1】若多项式是关于x的三次二项式，则 ， ． 【答案】 3 2 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项，多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数．根据多项式的性质进行解答即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的三次二项式， ∴，， ∴，． 故答案为：3；2． 【变式2】多项式是关于x的二次三项式，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了多项式的次数的定义，熟记定义是解题关键．根据多项式的次数的定义“组成多项式的单项式中的最高次数就是这个多项式的次数”，求出m的值即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴的次数是2，即，且， ∴m的值为2． 故答案为：2． 【变式3】如果是一个三次四项式，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查多项式的项数和次数．根据多项式的项数：单项式的个数，次数：最高次项的次数，列式计算即可． 【详解】解：的次数为，的次数为，的次数为2，是常数项， 由是一个三次四项式， 得：， 解得：． 故答案为：2． 题型08 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 【典例8】把多项式，按的升幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了将多项式按某个字母升幂排列，熟练掌握多项式的项与次数是解题关键．多项式共有四项，再求出每项中字母的指数，由此即可得． 【详解】解：多项式共有四项，其中，中字母的指数为2，中字母的指数为0，中字母的指数为1，中字母的指数为3， 所以把多项式，按的升幂排列为． 故选：A． 【变式1】多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把一个多项式按照某一字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按照这个字母降幂排列．本题考查多项式的降幂排列，掌握方法并注意符号不变才能正确求解． 【详解】解：依题意，按字母的降幂排列为 故选：C 【变式2】观察多项式排列规律，则内应填（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多项式概念，通过观察可知，此多项式中的各项除常数项外均为四次项，且按b升幂排列，由此可以确定括号的内容． 【详解】解：∵多项式中的各项除常数项外其余均为四次项，且按b升幂排列， ∴符合此条件的为． 故选：C． 【变式3】把整式按字母降幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是多项式的降幂排序，解题关键是熟知降幂排序的定义．按字母 降幂排列即按照 的指数从高到低进行排序． 【详解】解：整式 按 的指数降幂排列为 ． 故答案为：． 题型09 整式的概念 【典例9】下列式子中，不是整式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的识别，单项式和多项式统称为整式，由此逐项判断即可． 【详解】解：A．是多项式，是整式，不符合题意； B．是多项式，是整式，不符合题意； C．是单项式，是整式，不符合题意； D．不是整式，符合题意． 故选：D． 【变式1】在代数式：中，整式有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】D 【分析】本题考查整式的判断．整式包括单项式和多项式，用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式．根据定义判断即可． 【详解】解：所给代数式中： 是单项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 分母中含字母，不是整式； 综上可知，整式有7个， 故选D． 【变式2】在代数式中，整式的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查整式，根据整式的定义（单项式和多项式统称为整式，分母中不含字母），逐一判断各代数式是否为整式． 【详解】解：是多项式，属于整式； 是单项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 是单项式，属于整式； 的分母含字母，不是整式； 是单项式，属于整式． 综上，整式共有5个． 故选：C． 【变式3】在代数式，，，，，中，整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了整式的识别，解题的关键在于准确理解整式的定义，即分母中不含变量的代数式为整式，并能正确判断每个代数式是否符合这一条件．根据整式的定义（分母不含字母的代数式），逐一判断各代数式是否为整式． 【详解】解： ：多项式，无分母，是整式； ：常数项，属于单项式，是整式； ：多项式，无分母，是整式； ：常数项，属于单项式，是整式； ：分母含字母，是分式，不是整式； ：分母为数字，可化简为，是多项式，属于整式． 综上，整式共有5个， 故选：C． 一、单选题 1．单项式的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，单项式的系数是除了字母以外的所有数字因素，据此即可解答． 【详解】解：单项式中除了字母以外的数字因素是， ∴它的系数为， 故选：C． 2．下列说法错误的是（ ） A． 是二次三项式 B．的次数是 6 C．的系数是 D．3 是单项式 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的命名，单项式的概念、次数和系数，解决此题的关键是熟练掌握单项式的次数计算；根据各个知识点一一判断即可； 【详解】A． ∵多项式每一项的最高次数是2，∴ 是二次三项式，故此项正确；     B． 根据单项式次数是所有字母的指数和：的次数是，故此项错误； C．根据单项式系数的定义可知 的系数是 ，故此项正确； D． 根据单项式的定义：3 是单项式，故此项正确； 故选：B． 3．下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的次数是5次 C．是三次二项式 D．的常数项为1 【答案】C 【分析】本题考查了单项式、多项式的相关概念，根据单项式、多项式的相关概念逐项分析即可得解，熟练掌握相关概念是解此题的关键． 【详解】解：A、的系数是，故原说法错误，不符合题意； B、的次数是3次，故原说法错误，不符合题意； C、是三次二项式，故原说法正确，符合题意； D、的常数项为，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 4．多项式的次数及项数分别是（   ） A．4，3 B．4，2 C．2，3 D．2，2 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式的定义，根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得答案． 【详解】解：多项式的次数和项数分别是4，3， 故选：A． 5．已知多项式是关于的二次三项式，则k的值为（   ） A．2 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，根据多项式的次数为2可得，根据多项式的项数为3可得，据此求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴， ∴， 故选：C． 6．把多项式按x的降幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查将多项式进行升降幂排列，根据题意，按照x的降幂进行排列即可． 【详解】解：由题意把多项式按x的降幂排列，得； 故选B． 7．按一定规律排列的单项式：，，，，，，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式变化规律，找到变化规律是解题的关键．分别从符号、指数两个方面找规律，再计算． 【详解】解：，，，，， 第n个单项式是 故选：C． 二、填空题 8．写出一个同时满足以下两个条件的单项式：①与是同类项；②系数和次数互为相反数．这个单项式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了同类项，单项式，相反数．根据同类项的定义、单项式的系数、次数的定义解答即可． 【详解】解：满足条件的单项式是， 故答案为：． 9．多项式是 次 项式，按字母的降幂排列为 ． 【答案】 四 四 【分析】本题考查多项式定义，熟记多项式定义是解决问题的关键． 根据多项式定义、多项式次数求解即可得到答案． 【详解】解：次数由最高次项决定：次数是，次数是，次数是， 则是四次四项式， 按的指数从高到低排列：， 故答案为：四；四；． 10．多项式是 次 项式． 【答案】 三 三 【分析】本题考查了多项式的概念，多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；组成该多项式中的单项式的个数就是多项式的项数．掌握多项式的相关概念是解题的关键．根据多项式的项、次数的相关知识解答即可． 【详解】解：∵多项式中，的次数为，的次数为，常数项的次数为， ∴最高次数为，故为三次多项式， ∵共有项， ∴是三项式， ∴多项式是三次三项式． 故答案为三；三 11．多项式的次数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查多项式的次数，熟练掌握多项式的定义是解题关键； 根据多项式次数的定义，次数最高的项的次数即为该多项式的次数解题即可． 【详解】解：多项式 的项中， 的次数是 3， 的次数是 ， 的次数是 1， 是 常数项，因此最高次数是 3，故该多项式的次数是 3． 故答案为：3． 12．已知多项式是五次三项式，是该多项式二次项的系数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，根据多项式为五次三项式，确定第二项的次数为，求出，再识别二次项及其系数，求出，最后代入计算． 【详解】解：多项式 是五次三项式， 因此最高次项的次数为， 第一项 的次数为， 第三项 的次数为， 故第二项 的次数必须为， 即 ， 解得， 二次项是次数为的项，即第三项，其系数为 ， 故， 因此，． 故答案为：． 13．观察下列单项式：，，，，…，则第个单项式是 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律题，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．根据已知单项式发现，系数为的次方，的次数是连续的奇数，的次数是连续的偶数，即可得到答案． 【详解】解：第1个单项式：， 第2个单项式， 第3个单项式， 第4个单项式， …… 观察发现，第个单项式是． 故答案为： 14．当 时，代数式不含项． 【答案】 【分析】本题考查多项式系数中的字母求值． 根据题意可得，解方程即可． 【详解】解：∵代数式不含项， ∴， ∴． 故答案为： ． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 整式 教学目标 1.理解整式、单项式、多项式的概念，能准确判断一个代数式是否为整式，区分单项式与多项式； 2.掌握单项式的系数、次数，多项式的项、常数项、次数的定义，能正确指出单项式的系数和次数，确定多项式的项、常数项及最高次项的次数； 3.能将多项式按某一字母的降幂或升幂排列，规范书写整式； 4.理解整式与代数式的从属关系（整式是特殊的代数式），明确整式与分式的区别。 教学重难点 教学重点 （1） 整式、单项式、多项式的概念辨析（核心是判断标准：不含分母或分母中不含字母）； （2） 单项式系数与次数的确定（系数含符号、π 为常数；次数是所有字母指数和） （3）多项式项、常数项及次数的确定（项含符号；次数是最高次项的次数）。 教学难点 （1）单项式系数的理解：①单独一个字母（如 a）的系数是 1，单独一个负字母（如 -b）的系数是 - 1，学生易忽略 “1”；②含 π 的单项式（如 2πr），学生易误将 π 当作字母计算次数； （2）多项式次数的判断：学生易混淆 “多项式次数” 与 “所有字母指数和”， （3）复杂实际情境下的整式表示 （4）“单独一个数或字母是单项式” 的抽象理解 知识点01 单项式的概念 1.单项式定义 （1）定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。 说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式. 2、 单项式的系数： 单项式中的数字因数叫这个单项式的系数. 说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8； （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号 如的系数是；的系数是； （3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1； （4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2. 3、单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 说明： （1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0； （2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次； （3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数； 4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。 例如：可以写成或 5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数. 【即学即练】 1．下列式子中，是单项式的是（    ） A． B． C． D． 2．单项式的系数和次数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．按一定规律排列的代数式：，则第个代数式是（    ） A． B． C． D． 知识点02 多项式的概念 1、定义： 几个单项式的和叫多项式. 2、多项式的项： 多项式中的每个单项式叫做多项式的项. 3、多项式的次数： 多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数. 4、多项式的项数： 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数. 5、常数项： 多项式里，不含字母的项叫做常数项. 【即学即练】 1．下列各式中是多项式的是（   ） A． B． C． D． 2．关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．各项系数分别是：，，9 C．常数项是9 D．各项分别是，，9 3．多项式是（   ） A．二次三项式 B．三次三项式 C．二次二项式 D．三次二项式 知识点03 整式的概念 （1）单项式和多项式统称为整式。 （2）单项式或多项式都是整式。 （3）整式不一定是单项式。 （4）整式不一定是多项式。 （5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 【即学即练】 1．下列代数式是整式的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型01.单项式的判断 【典例1】代数式0，，，，，中，单项式个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列各式中，单项式有（   ） ①      ②      ③          ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】下列代数式中，是单项式的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】在式子，，4， ，，，中，单项式的个数为（ ） A．6个 B．4个 C．5个 D．3个 题型02 单项式的系数、次数 【典例2】单项式的系数和次数分别是（  ） A．，3 B．，3 C．，3 D．，4 【变式1】代数式的次数是（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【变式2】单项式的系数为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式3】已知单项式的次数是7，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．7 题型03 写出满足某些特征的单项式 【典例3】写一个系数为，只含字母m，n的三次单项式 ． 【变式1】写出一个同时满足下列条件的单项式：①只含有字母x和y；②次数是3；③系数是2．你写的单项式是 ． 【变式2】写出一个只含一个字母，且系数为2，次数为3的单项式是 ． 【变式3】一个单项式满足下列两个条件：（1）含有两个字母；（2）次数是3，系数是．请你写出符合上述条件的一个单项式 ． 题型04 单项式规律题 【典例4】观察按一定规律排列的单项式，，，，，，…，则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】按一定规律排列的单项式：，则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】观察下列单项式：，根据你发现的规律，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式3】观察下列单项式的特点：．第8个单项式为（    ） A． B． C． D． 题型05 多项式的判断 【典例5】下列式子：，，，，，，，．其中是多项式的有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【变式1】在下列代数式，，，，，中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】整式，，，，，中，多项式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】下列式子：，，，，0中，多项式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型06 多项式的项、项数或次数 【典例6】关于多项式，下列说法正确的是（   ） A．它是三次六项式 B．它的最高次项是 C．它的一次项是 D．关于的二次项系数是 【变式1】对于多项式，下列说法正确的是（    ） A．最高次项是 B．二次项系数是 C．是五次四项式 D．常数项是7 【变式2】下列关于多项式的说法中，正确的是（   ） A．它是五次三项式 B．二次项系数是0 C．最高次项是 D．常数项是1 【变式3】对于多项式，下列说法错误的是（    ） A．它是二次三项式 B．最高次项的系数是2 C．它的常数项是5 D．它的项分别是，，5 题型07 多项式系数、指数中字母求值 【典例7】如果多项式是关于的三次三项式，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】若多项式是关于x的三次二项式，则 ， ． 【变式2】多项式是关于x的二次三项式，则m的值为 ． 【变式3】如果是一个三次四项式，那么 ． 题型08 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 【典例8】把多项式，按的升幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】观察多项式排列规律，则内应填（　　） A． B． C． D． 【变式3】把整式按字母降幂排列为 ． 题型09 整式的概念 【典例9】下列式子中，不是整式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在代数式：中，整式有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式2】在代数式中，整式的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3】在代数式，，，，，中，整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 一、单选题 1．单项式的系数是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（ ） A． 是二次三项式 B．的次数是 6 C．的系数是 D．3 是单项式 3．下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的次数是5次 C．是三次二项式 D．的常数项为1 4．多项式的次数及项数分别是（   ） A．4，3 B．4，2 C．2，3 D．2，2 5．已知多项式是关于的二次三项式，则k的值为（   ） A．2 B． C． D．无法确定 6．把多项式按x的降幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．按一定规律排列的单项式：，，，，，，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．写出一个同时满足以下两个条件的单项式：①与是同类项；②系数和次数互为相反数．这个单项式是 ． 9．多项式是 次 项式，按字母的降幂排列为 ． 10．多项式是 次 项式． 11．多项式的次数是 ． 12．已知多项式是五次三项式，是该多项式二次项的系数，则的值为 ． 13．观察下列单项式：，，，，…，则第个单项式是 14．当 时，代数式不含项． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $