专题4.1 列代数式和代数式求值（高效培优讲义）数学浙教版2024七年级上册

专题4.1 列代数式和代数式求值 教学目标 1.理解代数式的概念，能准确判断一个式子是否为代数式； 2.掌握代数式的书写规范（如数字与字母相乘、带分数与字母相乘、除法运算的表示等）； 3.能根据具体情境（文字描述、实际问题）列出代数式，表达数量之间的关系； 4.能解释代数式的实际意义，体会字母表示数的抽象性和概括性。 教学重难点 教学重点 (1)代数式的概念理解（区分代数式与等式、不等式）； (2)代数式的规范书写； (3)根据文字描述或实际情境列出正确的代数式。 教学难点 (1)理解 “字母表示数” 的抽象意义，突破算术思维向代数思维的过渡； (2)准确分析复杂数量关系（如含 “多、少、倍、分、和、差、积、商” 及隐蔽关系）并转化为代数式； (3)解释代数式的实际意义（逆向思维，结合具体情境理解字母和代数式的含义） 知识点01 代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 2.代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。 【即学即练】 1．下列各式最符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式的书写规范：在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式；根据代数式的书写要求逐项判断即可得解，熟练掌握代数式的书写要求是解此题的关键． 【详解】解：A、式子中带分数应写成假分数，即应为，故A错误，不符合题意； B、式子中除法写成分数形式，符合规范，故B正确，符合题意； C、式子中数字1应省略，即应为，故C错误，不符合题意； D、式子中数字应写在字母前且乘号应省略，即应为，故D错误，不符合题意； 故选：B． 2．代数式的意义是（   ） A．乘以m加3 B．m的一半与3的和 C．m与3的差的一半 D．m与3的和的一半 【答案】D 【分析】本题主要考查代数式，利用数学语言表述代数式即可． 【详解】解：表示m与3的和的一半， 故选：D． 3．一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，那么用代数式表示这个三位数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是理解题意． 根据题意正确列式即可． 【详解】解：由题意可知，这个三位数的百位上的数字为，十位上的数字为0，个位上的数字为，即这个三位数是， 故选：D． 4．某校在“献爱心”活动中，中年级捐款a元，比高年级捐款数的2倍少b元，高年级捐款数用式子表示是（   ）元． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式，熟练掌握用字母表示数的方法是解题的关键． 直接根据题意列代数式即可． 【详解】解：∵中年级捐款a元，比高年级捐款数的2倍少b元， ∴高年级捐款数用式子表示是（元）． 故选：D． 5．某商品每件以盈利率出售，后产品滞销又在实际售价的基础上降价，则现在每卖出一件该商品（    ） A．赚钱 B．亏钱 C．不赚不亏 D．缺少条件无法计算 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，设该商品的成本价为元，先按盈利率定价，再降价，计算最终售价并与成本价比较即可判断盈亏． 【详解】解：设该商品的成本价为元， 第一次定价：盈利率，即售价为成本价的倍，故售价为元． 第二次降价：在实际售价基础上降价，即新售价为元． 再比较成本与售价：新售价元高于成本价元，每件盈利元，即盈利． 因此，现在每卖出一件该商品赚钱， 故选A． 6．现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小长方形的长和宽分别为x，y，分别根据两种摆放方式表示出大长方形的长，进而得到对应的等式，从而得到答案． 【详解】解：设小长方形的长和宽分别为x，y， 由方式一和方式二的摆放可知， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了列代数式，正确用两种方式表示出大长方形的长是解题的关键． 7．如图所示：用火柴棒摆出如金鱼的图案，按照这种方法摆下去，摆第n个图形需要用火柴棒的根数为（   ） A． B． C．8n D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现需要的火柴棒的根数依次增加4是解题的关键．先依次求出前几个图形中火柴棒的根数，然后归纳规律，最后运用规律解答即可． 【详解】解：由题图可知， 摆第1个图案需用的火柴棒的根数为； 摆第2个图案需用的火柴棒的根数为； 摆第3个图案需用的火柴棒的根数为； …， 所以摆第n个图案需用的火柴棒的根数为． 故选：A． 题型01 代数式书写的规范性 【典例1】下面式子中符合代数式书写要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式的书写要求：数字要写在字母前面；除号用分数线表示；数字是带分数的化为假分数，实际问题后面要带单位，而且实际问题中单位前面的代数式是加减时要加括号．按照代数式的书写要求逐一对选项进行判断即可． 【详解】解：A、书写正确，故本选项符合题意； B、应写成，故本选项不符合题意； C、应写成，故本选项不符合题意； D、应写成，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】下列代数式的书写格式符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写规范． 逐一分析各选项是否符合要求即可． 【详解】解：A选项“”中，数字与字母相乘时应省略乘号，正确写法为“”，故A错误； B选项“”中，除法运算应写成分数形式“”，而非使用除号，故B错误； C选项“”中，带分数的分数部分大于1，不符合带分数定义，应化简为，故C错误； D选项“”中，字母相乘省略乘号且指数书写正确，符合规范，故D正确； 故选：D． 【变式2】下列代数式符合书写格式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的写法，根据代数式的书写要求，①在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写， ②数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面，③在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式，求解即可． 【详解】解：A、符合书写的格式是，故不符合题意； B、符合书写的格式是，故不符合题意； C、符合书写的格式是，故不符合题意； D、符合书写的格式是，故符合题意； 故选：D． 【变式3】下列式子中，符合代数式书写格式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的书写格式；依次分析各个选项，选出符合代数式的书写格式的选项即可． 【详解】解：A．正确的格式为：，即A项不符合题意， B．正确的格式为：，即B项不符合题意， C．符合代数式的书写格式，即C项符合题意， D．正确的格式为：，即D项不符合题意， 故选：C． 题型02 代数式的意义 【典例2】下列选项中，可以用代数式“”表示的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【分析】本题主要考查代数式的意义，用语言表达代数式的意义．根据代数式可以表述为：与的积，或者3与的积的相反数．数字与字母乘法中，乘号可以省略． 【详解】解：代数式可以表述为：与的积，或者3与的积的相反数．故A、B、D选项错误，C选项正确． 故选：C． 【变式1】代数式的正确含义是（ ） A．乘以减 B．与的积减去 C．与的差的倍 D．的倍减去 【答案】C 【分析】按照代数式的意义和运算顺序：先运算括号内的，再运算括号外的计算即可判断各项． 本题考查了代数式．注意掌握代数式的意义． 【详解】解：代数式的正确含义是与的差的倍． 故选：C． 【变式2】下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是与的差 B．的意义是除以的商 C．的意义是与的立方的和 D．的意义是与的和的 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的意义，根据代数式的意义逐项判断即可，结合实际，根据代数式的特点解答是解题的关键． 【详解】解：、的意义是与的差，原选项叙述正确，不符合题意； 、的意义是除以的商，原选项叙述正确，不符合题意； 、的意义是与和的立方，原选项叙述错误，符合题意； 、的意义是与的和的，原选项叙述正确，不符合题意； 故选：． 【变式3】“腹有诗书气自华，最是书香能致远”，为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法将原价为x元的一批图书以元的价格出售，则下列说法中，能正确表示这批图书的促销方法的是（   ） A．在原价的基础上打9折后再减去10元 B．在原价的基础上打0.9折后再减去10元 C．在原价的基础上减去10元后再打9折 D．在原价的基础上减去10元后再打0.9折 【答案】C 【分析】本题考查代数式的含义，根据式子可知，先减去10元，再打9折． 【详解】解：∵ 表达式表示先计算，即减去10元，再乘以，即打9折． ∴ 在原价的基础上减去10元后再打9折 故选C． 题型03 列代数式(数字问题) 【典例3】一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是．这个两位数用含有字母的式子表示是（   ） A．mn B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，根据题意正确列式是解题关键． 【详解】解：一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是．这个两位数用含有字母的式子表示是， 故选：C． 【变式1】一个三位数，它的个位上的数字是a，十位上的数字是b，百位上的数字是c．这个三位数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式，百位上的数字乘以100加上十位上的数字乘以10，再加上个位数字即可得到答案． 【详解】解：由题意得，这个三位数为， 故选：B． 【变式2】一个两位数，十位上的数字是5，个位上的数字是a，这个两位数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式，根据题意，十位上的数字表示，个位上的数字是，由此即可求解． 【详解】解：一个两位数，十位上的数字是5，个位上的数字是， ∴十位上的数字为，个位上的数字是， ∴这个两位数是， 故选：C ． 【变式3】一个两位数，个位数字为，十位数字比个位数字大3，那么这个两位数可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式；根据个位数字为，十位数字比个位数字大，则十位上的数位，则两位数即可表示出来． 【详解】由于个位数字为，十位数字比个位数字大，则十位数字为， 这个两位数可表示为． 故答案为：． 题型04 列代数式(和倍差问题） 【典例4】苹果的单价为元，香蕉的单价为元，买苹果和香蕉共需（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查了代数式，理解题意并列出代数式是解题的关键． 根据单价和数量，分别计算苹果和香蕉的总价，然后求和． 【详解】解：∵苹果总价为 元，香蕉总价为 元， ∴共需 元． 故选：C． 【变式1】某服装店上新了一款运动服，第一天销售了m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则第二天的销售量是（　　） A．件 B．件 C．件 D．件 【答案】D 【分析】本题考查了根据题意列代数式． 根据题意，第二天的销售量与第一天的销售量关系直接列代数式即可． 【详解】∵第一天销售了m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件， ∴第二天的销售量件． 故选：D． 【变式2】为了进一步推进“双减”政策的落实，提升学校课后服务水平，某校开设了选修课程．参加“学科类选修课程”人，参加“体音美选修课程”的人数比“学科类选修课程”的人数多9人，参加“科技类选修课程”的人数比“体音美选修课程”人数的多5人，则参加“科技类选修课程”的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，能够读懂题意是解题关键； 根据题意，逐步表示出“体音美选修课程”和“科技类选修课程”的人数． 【详解】∵参加“学科类选修课程”的人数为 人， ∴参加“体音美选修课程”的人数为 人， ∵参加“科技类选修课程”的人数比“体音美选修课程”人数的 多 5 人， ∴参加“科技类选修课程”的人数为 ． 故选：B． 【变式3】小明妈妈上月的移动支付账单为元，本月参加线上购物节活动，比上月移动支付账单的3倍还多20元，那么本月的移动支付账单可表示为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键； 根据题意，本月账单是上月账单的3倍加20元，直接用代数式表示即可． 【详解】解：∵上月账单为元，本月比上月的3倍还多20元， ∴本月账单为元， 故选：A． 题型05 列代数式(百分率问题) 【典例5】某品牌电脑原价为元，先降价元，又降低后的售价为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是降价后的价格的计算． 先求得第一次降价后的价格，再求得第二次降价后的价格即可． 【详解】第一次降价后的价格为：元；第二次降价后的价格为：元． 故选：B． 【变式1】某化肥厂第一季度产吨化肥，以后每季度比上一季度增产，则第三季度化肥产量的吨数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查列代数式．根据题意，第二季度的吨数为，第三季度为． 【详解】解：依题意可知：第二季度的吨数为：，第三季度是在第二季度的基础上增加的， 则第三季度化肥产量的吨数为， 故选：B． 【变式2】某班共有个学生，其中女生人数占，那么男生人数是（   ）人． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，百分数的应用，根据男生人数全班人数男生所占的全班的百分比即可求出答案． 【详解】解：因为女生人数占， 所以男生占总数的， 该班的男生人数是， 故选：B． 【变式3】某工厂现有工人名，若现有工人数比两年前减少，则该工厂两年前有工人（    ） A．名 B．名 C．名 D．名 【答案】C 【分析】本题考查列代数式，列代数式的关键是正确理解题意，找到其中的数量关系列出式子．根据题意列出式子即可. 【详解】解：根据题意得，该工厂两年前有工人名， 故选：C． 题型06 列代数式(几何图形问题) 【典例6】如图是L形钢材的截面，5个同学分别列出它的截面面积的算式，你认为正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．①②③ B．②③⑤ C．③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式，分解析图中五种情况，分别列式求出L的面积即可得到答案． 【详解】解：①如图， 的面积左边竖着的长方形的面积下面横着的长方形的面积，故错误； 如图， 的面积上边竖着的长方形的面积下面横着的长方形的面积，故正确； 如图， 的面积两个长方形的面积小正方形面积， 故正确； 如图， 的面积竖着的长方形的面积横着的长方形的面积重叠部分的正方形的面积，故错误； 如图， 的面积长方形的面积由辅助线构成的小长方形的面积，故正确， 综上可得：正确， 故选：B． 【变式1】铜钱是我国的早期货币，外圆内方的构造彰显了数学之美．如图，某铜钱外围是半径为a的圆，内含边长为b的正方形，下列表示铜钱阴影部分面积的代数式是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，用圆的面积减去正方形的面积即可． 【详解】解：由题意，得 铜钱阴影部分面积为：． 故选B． 【变式2】如图，把长和宽分别是a、b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形，则剩余部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式．长方形的面积是，4个小正方形的面积是，则剩余部分的面积是． 【详解】解：根据题意，得． 故选：C． 【变式3】学校操场旁边有一块长为20米，宽为10米的长方形空地，计划在这块空地上规划出一个长方形的菜地，作为劳动实践教育基地，如图所示空地四面需留出宽都是米的小路，中间余下的长方形部分为菜地，则菜地的面积为（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式表达式，根据一块长为20米，宽为10米的长方形空地，且四面需留出宽都是米的小路，则菜地的长为米，菜地的宽为米，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一块长为20米，宽为10米的长方形空地，如图所示空地四面需留出宽都是米的小路， ∴菜地的长为米，菜地的宽为米， 则菜地的面积为平方米， 故选：C 题型07 已知字母的值，求代数式的值 【典例7】若，则代数式的值是（   ） A．1 B．5 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，将直接代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【变式1】若长方形的长为，宽为，当为，为6时，那么长方形的周长为（   ） A．22 B．28 C．48 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了长方形周长，熟练掌握长方形周长公式，是解题的关键． 直接使用长方形周长公式计算． 【详解】解：∵ 长，宽， ∴ 周长． 故选：B． 【变式2】若m、n互为相反数，x、y互为倒数，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了相反数，倒数，求代数式的值． 利用相反数和倒数的定义得，，然后代入计算． 【详解】因为m、n互为相反数，所以； 因为x、y互为倒数，所以． 因此． 故答案为：1． 【变式3】若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值、平方的非负性，乘方的运算，代数式求值；掌握绝对值、平方的非负性及乘方的运算是解题的关键．利用绝对值、平方的非负性求出，的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：． 题型08 已知式子的值，求代数式的值 【典例8】若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查代数式的整体代入求值，观察待求式，发现 可提取公因数2，得到，从而利用已知条件进行代入计算． 【详解】解：∵ ，且已知， ∴ ， 则． 故答案为：1． 【变式1】已知，则代数式的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了代数式求值，观察所求代数式可知，可以将已知条件整体代入求代数式的值． 【详解】解：， ， 故答案为：8． 【变式2】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，在解题时要能灵活应用单项式乘多项式的法则进行计算是本题的关键． 根据题意得移项化简可得，再利用即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式3】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，学会整体代入是解决问题的关键．由可得，整体代入所求代数式 中计算即可． 【详解】解：由，得， 则 ． 故答案为：． 题型09 图形类规律探索 【典例9】“中国结”寓意美满团圆，中间的图案是由小正方形按一定规律组成的，其中第1个图形共有14个小正方形，第2个图形共有19个小正方形，第3个图形共有24个小正方形，……，依此规律，第7个图形中小正方形的总个数为（    ） A．39 B．44 C．64 D．69 【答案】B 【分析】本题考查了图形的规律题，合理分析图形数量变化的规律是解题的关键．根据图形数量的变化寻找一般规律解题即可． 【详解】解：第一个图形可以看作是个正方形， 第二个图形可看作是个正方形， 第三个图形可看作是个正方形； ∴第个图形的小正方形数量为：个； ∴时，（个）． 故选：B． 【变式1】如图是一组有规律的图案．第1个图案中有7个六边形，第2个图案中有13个六边形，第3个图案中有19个六边形，……，按此规律，第2024个图案中六边形的个数为（    ） A．12144 B．12145 C．12146 D．12143 【答案】B 【分析】本题考查的是图形规律探索题．分别找出每个图形中六边形的个数，得到一般规律，即可得解． 【详解】解：第1个图案中六边形有个； 第2个图案中六边形有个； 第3个图案中六边形有个； 所以第个图案中六边形有个． 所以第2024个图案中六边形有个． 故选：B． 【变式2】如图，下列图形是由同样大小的圆点按一定规律排列所组成的，按此规律排列下去，在第19个图形中，圆点的个数是（   ）    A．381 B．356 C．379 D．421 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形中实心圆点的个数得出规律：当n为奇数时，第n个图形中实心圆点的个数为，据此求解可得． 【详解】解：∵第1个图形中圆点的个数， 第2个图形中圆点的个数， 第3个图形中圆点的个数， 第4个图形中圆点的个数， 第5个图形中圆点的个数， 第6个图形中圆点的个数， …… ∴第19个图形中圆点的个数为， 故选：C． 【变式3】观察下列“蜂窝图”按照这样的规律，第2025个图案中“”的个数是（   ） A．6 073 B．6 074 C．6 075 D．6 076 【答案】D 【分析】 本题主要考查了图形的变化规律，第一个有4个“”，第二个有个“”，第三个有个“”，第四个有个“”，⋯，利用这个规律即可求解． 【详解】 解：∵第一个有4个“”， 第二个有个“”， 第三个有个“”， 第四个有个“”， ⋯， ∴则第2025个图形有个“”． 故选：D． 一、单选题 1．列式表示“x的2倍与y的差的平方”，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式的知识点，具体涉及：倍数关系的表示，“差”的运算顺序，“平方”的整体应用．先分别表示“x的2倍”与“y的差”，再对差进行平方运算，得到代数式后与选项对比即可． 【详解】解：根据题意，“x的2倍”即为，“与y的差”为，“的平方”为，选项A为，与构建的代数式一致，符合题意． 故选：A． 2．小益同学购买4本单价为元的笔记本和3支单价为元的水笔，所需钱数为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】此题考查列代数式，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确地表示出来． 水笔的总价加笔记本的总价，可得结论． 【详解】解：根据题意，所需钱数为：元， 故选：D． 3．一个两位数，十位上的数字是9，个位上的数字是a，表示这个两位数的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式． 十位上的数字应该乘10之后再加个位数字． 【详解】解：表示这个两位数的式子是． 故选：A． 4．下面四个选项中，不能表示“”实际意义的是（　　） A．一支铅笔元，3支铅笔和5块橡皮（每块1元）的总价 B．一本笔记本元，3本笔记本比5元多的部分 C．小明每分钟走米，3分钟走的路程加上5米 D．一个长方形长，宽3，面积加上5 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，分别列出各选项中的代数式，与题干中的代数式进行对比，即可得出结果． 【详解】解：A、由题意，可列代数式为元，不符合题意； B、由题意，可列代数式为元，符合题意； C、由题意，可列代数式为米，不符合题意； D、由题意，可列代数式为，不符合题意； 故选：B． 5．如图，小州把纸杯整齐地叠放在一起，若3个纸杯的高度为，8个纸杯的高度为，则将n个这样的纸杯叠放在一起，其高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的知识，解题的关键是根据题意，求出每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，根据题意，可得，即可． 【详解】解：∵3个纸杯的高度为个纸杯的高度为， ∴每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高：， ∴把个这样的杯子叠放在一起，其高度为：， 故选：A． 6．某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售冬装的利润(每件冬装的利润=出厂价一成本)是出厂价的 ，月份将每件冬装的出厂价调低 (每件冬装的成本不变)，销售件数比9月份增加 ，那么该厂月份销售这种冬装的利润总额比9月份的利润总额增长（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利润问题，合理设出参数是解决问题的关键．设9月份每件冬装的出厂价为元，则每件的成本为元，10月份每件冬装的利润为，设9月份销售冬装件，则10月份销售件，则可分别表示两个月的利润，则题目可解． 【详解】解：设9月份每件冬装的出厂价为元，9月份销售冬装件， ∵9月份销售每件冬装的利润是出厂价的， ∴9月份销售每件冬装的利润元， 则每件冬装的成本为元， ∵10月份将每件冬装的出厂价调低，则10月份将每件冬装的出厂价为元， ∴10月份将每件冬装的利润为元， ∵月份销售件数比9月份增加， ∴月份销售件， 则9月份总利润为元，月份总利润为元， ∴10月份销售这种冬装的利润总额比9月份的利润总额增长： ， 故选：B． 7．当时，代数式的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了求代数式的值，将直接代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选C． 8．若代数式的值为8，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式的求值，解题的关键是整体代入． 首先把所求的代数式化简，然后再把已知条件中给出的式子变形，变形后由已知代数式化简后的值代入求得代数式的值． 【详解】解：根据题意得，，则， ， 将代入上式得，原式， 故选：A． 二、填空题 9．如图，三角尺的面积用式子可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不规则图形的面积． 用三角形面积减去圆的面积即可． 【详解】解：三角尺的面积用式子可表示为． 故答案为：． 10．用含有字母的式子填空，草莓的亩产量由增长，就达到 ． 【答案】 【分析】本题考查了百分数的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 根据草莓的亩产量由增长即可列代数式． 【详解】解：∵草莓的亩产量由增长， ∴达到了 故答案为：． 11．（1）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买张成人票和张儿童票，则共需花费 元． （2）某种水果的售价是每千克元，用面值是100元的人民币购买了5千克，应找 元． 【答案】 【分析】本题考查了代数式，理解题意并列出代数式是解题的关键． 根据题意列出代数式即可． 【详解】解：（1）共需花费元， 故答案为：； （2）付款元，应找元． 故答案为：． 12．如图是某月历表，用一个正方形在月历中任意框出4个代表日期的数，请用一个等式表示之间的关系 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了列代数式，利用已知数据得出规律是解题关键．根据已知中数据得出，进而得出之间的关系． 【详解】解：由题意得：， ， 故答案为：. 13．已知，求 ． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值和平方的非负性，代数式求值，解题的关键是掌握以上知识点． 根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，它们的和为零则每个部分必为零，由此求出m和n的值，再代入代数式求解． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入法求解是解题的关键．由已知条件变形得到的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 15．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则的值为 ． 【答案】或1 【分析】=本题考查的是有理数的混合运算，求解代数式的值，绝对值，相反数，倒数的含义，熟记基本概念与整体代入的方法是解本题的关键． 由互为相反数，互为倒数，的绝对值为2，可得，，，再分两种情况分解计算即可． 【详解】解：∵互为相反数，互为倒数，的绝对值为2， ∴，，， 当时，， 当时，； 故答案为：或1． 三、解答题 16．当，时，求下列各代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2)20 【分析】本题主要考查了代数式求值，有理数的混合运算， 对于（1），先直接代入，再根据有理数的混合运算法则计算； 对于（2），将数值代入，再算乘方，然后算加减即可． 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 列代数式和代数式求值 教学目标 1.理解代数式的概念，能准确判断一个式子是否为代数式； 2.掌握代数式的书写规范（如数字与字母相乘、带分数与字母相乘、除法运算的表示等）； 3.能根据具体情境（文字描述、实际问题）列出代数式，表达数量之间的关系； 4.能解释代数式的实际意义，体会字母表示数的抽象性和概括性。 教学重难点 教学重点 (1)代数式的概念理解（区分代数式与等式、不等式）； (2)代数式的规范书写； (3)根据文字描述或实际情境列出正确的代数式。 教学难点 (1)理解 “字母表示数” 的抽象意义，突破算术思维向代数思维的过渡； (2)准确分析复杂数量关系（如含 “多、少、倍、分、和、差、积、商” 及隐蔽关系）并转化为代数式； (3)解释代数式的实际意义（逆向思维，结合具体情境理解字母和代数式的含义） 知识点01 代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 2.代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。 【即学即练】 1．下列各式最符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 2．代数式的意义是（   ） A．乘以m加3 B．m的一半与3的和 C．m与3的差的一半 D．m与3的和的一半 3．一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，那么用代数式表示这个三位数为（  ） A． B． C． D． 故选：D． 4．某校在“献爱心”活动中，中年级捐款a元，比高年级捐款数的2倍少b元，高年级捐款数用式子表示是（   ）元． A． B． C． D． 5．某商品每件以盈利率出售，后产品滞销又在实际售价的基础上降价，则现在每卖出一件该商品（    ） A．赚钱 B．亏钱 C．不赚不亏 D．缺少条件无法计算 6．现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（    ）    A． B． C． D． 7．如图所示：用火柴棒摆出如金鱼的图案，按照这种方法摆下去，摆第n个图形需要用火柴棒的根数为（   ） A． B． C．8n D． 题型01 代数式书写的规范性 【典例1】下面式子中符合代数式书写要求的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列代数式的书写格式符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列代数式符合书写格式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列式子中，符合代数式书写格式的是（    ） A． B． C． D． 题型02 代数式的意义 【典例2】下列选项中，可以用代数式“”表示的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【变式1】代数式的正确含义是（ ） A．乘以减 B．与的积减去 C．与的差的倍 D．的倍减去 【变式2】下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是与的差 B．的意义是除以的商 C．的意义是与的立方的和 D．的意义是与的和的 【变式3】“腹有诗书气自华，最是书香能致远”，为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法将原价为x元的一批图书以元的价格出售，则下列说法中，能正确表示这批图书的促销方法的是（   ） A．在原价的基础上打9折后再减去10元 B．在原价的基础上打0.9折后再减去10元 C．在原价的基础上减去10元后再打9折 D．在原价的基础上减去10元后再打0.9折 题型03 列代数式(数字问题) 【典例3】一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是．这个两位数用含有字母的式子表示是（   ） A．mn B． C． D． 【变式1】一个三位数，它的个位上的数字是a，十位上的数字是b，百位上的数字是c．这个三位数是（　　） A． B． C．D． 【变式2】一个两位数，十位上的数字是5，个位上的数字是a，这个两位数是（   ） A． B． C． D． 【变式3】一个两位数，个位数字为，十位数字比个位数字大3，那么这个两位数可表示为（    ） A． B． C． D． 题型04 列代数式(和倍差问题） 【典例4】苹果的单价为元，香蕉的单价为元，买苹果和香蕉共需（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1】某服装店上新了一款运动服，第一天销售了m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则第二天的销售量是（　　） A．件 B．件 C．件 D．件 【变式2】为了进一步推进“双减”政策的落实，提升学校课后服务水平，某校开设了选修课程．参加“学科类选修课程”人，参加“体音美选修课程”的人数比“学科类选修课程”的人数多9人，参加“科技类选修课程”的人数比“体音美选修课程”人数的多5人，则参加“科技类选修课程”的人数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】小明妈妈上月的移动支付账单为元，本月参加线上购物节活动，比上月移动支付账单的3倍还多20元，那么本月的移动支付账单可表示为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 题型05 列代数式(百分率问题) 【典例5】某品牌电脑原价为元，先降价元，又降低后的售价为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1】某化肥厂第一季度产吨化肥，以后每季度比上一季度增产，则第三季度化肥产量的吨数为（   ）． A． B． C． D． 【变式2】某班共有个学生，其中女生人数占，那么男生人数是（   ）人． A． B． C． D． 【变式3】某工厂现有工人名，若现有工人数比两年前减少，则该工厂两年前有工人（    ） A．名 B．名 C．名 D．名 题型06 列代数式(几何图形问题) 【典例6】如图是L形钢材的截面，5个同学分别列出它的截面面积的算式，你认为正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．①②③ B．②③⑤ C．③④⑤ D．①②③④⑤ 【变式1】铜钱是我国的早期货币，外圆内方的构造彰显了数学之美．如图，某铜钱外围是半径为a的圆，内含边长为b的正方形，下列表示铜钱阴影部分面积的代数式是（   ）    A． B． C． D． 【变式2】如图，把长和宽分别是a、b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形，则剩余部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式3】学校操场旁边有一块长为20米，宽为10米的长方形空地，计划在这块空地上规划出一个长方形的菜地，作为劳动实践教育基地，如图所示空地四面需留出宽都是米的小路，中间余下的长方形部分为菜地，则菜地的面积为（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 题型07 已知字母的值，求代数式的值 【典例7】若，则代数式的值是（   ） A．1 B．5 C．9 D． 【变式1】若长方形的长为，宽为，当为，为6时，那么长方形的周长为（   ） A．22 B．28 C．48 D．14 【变式2】若m、n互为相反数，x、y互为倒数，则 ． 【变式3】若，则的值为 ． 题型08 已知式子的值，求代数式的值 【典例8】若，则 ． 【变式1】已知，则代数式的值是 ． 【变式2】已知，则 ． 【变式3】若，则 ． 题型09 图形类规律探索 【典例9】“中国结”寓意美满团圆，中间的图案是由小正方形按一定规律组成的，其中第1个图形共有14个小正方形，第2个图形共有19个小正方形，第3个图形共有24个小正方形，……，依此规律，第7个图形中小正方形的总个数为（    ） A．39 B．44 C．64 D．69 【变式1】如图是一组有规律的图案．第1个图案中有7个六边形，第2个图案中有13个六边形，第3个图案中有19个六边形，……，按此规律，第2024个图案中六边形的个数为（    ） A．12144 B．12145 C．12146 D．12143 【变式2】如图，下列图形是由同样大小的圆点按一定规律排列所组成的，按此规律排列下去，在第19个图形中，圆点的个数是（   ）    A．381 B．356 C．379 D．421 【变式3】观察下列“蜂窝图”按照这样的规律，第2025个图案中“”的个数是（   ） A．6 073 B．6 074 C．6 075 D．6 076 一、单选题 1．列式表示“x的2倍与y的差的平方”，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．小益同学购买4本单价为元的笔记本和3支单价为元的水笔，所需钱数为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．一个两位数，十位上的数字是9，个位上的数字是a，表示这个两位数的式子是（   ） A． B． C． D． 4．下面四个选项中，不能表示“”实际意义的是（　　） A．一支铅笔元，3支铅笔和5块橡皮（每块1元）的总价 B．一本笔记本元，3本笔记本比5元多的部分 C．小明每分钟走米，3分钟走的路程加上5米 D．一个长方形长，宽3，面积加上5 5．如图，小州把纸杯整齐地叠放在一起，若3个纸杯的高度为，8个纸杯的高度为，则将n个这样的纸杯叠放在一起，其高度为（   ） A． B． C． D． 6．某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售冬装的利润(每件冬装的利润=出厂价一成本)是出厂价的 ，月份将每件冬装的出厂价调低 (每件冬装的成本不变)，销售件数比9月份增加 ，那么该厂月份销售这种冬装的利润总额比9月份的利润总额增长（   ） A． B． C． D． 7．当时，代数式的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 8．若代数式的值为8，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，三角尺的面积用式子可表示为 ． 10．用含有字母的式子填空，草莓的亩产量由增长，就达到 ． 11．（1）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买张成人票和张儿童票，则共需花费 元． （2）某种水果的售价是每千克元，用面值是100元的人民币购买了5千克，应找 元． 12．如图是某月历表，用一个正方形在月历中任意框出4个代表日期的数，请用一个等式表示之间的关系 ． 13．已知，求 ． 14．若，则代数式的值为 ． 15．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则的值为 ． 三、解答题 16．当，时，求下列各代数式的值： (1)； (2)． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $