专题6.2 直线，射线和线段（高效培优讲义）数学浙教版2024七年级上册

专题6.2 直线，射线和线段 教学目标 1.能准确区分直线、射线、线段的概念，说出三者的本质区别； 2.掌握三者的规范表示方法； 3.能根据要求画出直线、射线、线段，并能用量角器或直尺测量线段长度；​ 4.理解 “两点确定一条直线” 的基本事实，能结合生活实例说明其应用； 5.初步掌握线段的和、差、倍、分计算，理解线段中点的概念，能根据中点性质进行简单推理。 教学重难点 教学重点 1.直线、射线、线段的本质区别：端点数量（0 个、1 个、2 个）、延伸性（向两方无限延伸、向一方无限延伸、不能延伸）、能否度量长度（不能、不能、能）； 2.三者的规范表示方法：尤其是射线的表示（必须以端点字母开头，如射线 AB≠射线 BA）；​ 3.“两点确定一条直线” 的基本事实及应用；​ 4.线段的长度测量、和差计算及中点概念的理解与应用。 教学难点 1.抽象概念的理解：对 “射线向一方无限延伸”“直线向两方无限延伸” 中 “无限” 的感知，初一学生难以通过直观体验完全把握；​ 2.射线表示的易错点：混淆射线的端点顺序（如误将射线 AB 表示为射线 BA），或忽略 “同一端点、不同方向是不同射线”；​ 3.“两点确定一条直线” 的实际应用迁移：能举例说明，但难以主动运用该事实解决简单实际问题；​ 4.线段和差的几何语言与图形的对应：能计算数值，但难以用规范的几何语言描述 “线段 AC=AB+BC” 等关系，或结合图形准确找到和差对应的线段；​ 4.线段中点的逆向应用：已知中点求线段长度容易，但已知线段长度找中点、或涉及 “反向延长线段” 的中点问题容易出错。 知识点01 直线，射线和线段的概念 注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量 基本事实 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 【即学即练】 1．下列说法中，正确的是（　　） A．射线a比直线b短 B．已知C、D为线段上的两点，若，则 C．若，则点C为线段的中点 D．射线与射线是同一条射线 2．如图，跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆，这种做法依据的数学基本事实是 ． 知识点02 线段的性质 （1）两点之间的线段中，线段最短，简称：两点间线段最短。 （2） 基本概念 ①两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 ② 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 （3）双中点模型： C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 【即学即练】 1．如图，从学校A到书店B最近的是①号路线，得出这个结论的根据是（   ）    A．两点确定一条线段 B．两点确定一条直线 C．两点之间，直线最短 D．两点之间，线段最短 2．如图，点C在线段上，点M是的中点，，在线段上取一点N，使得，则线段的长是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 题型01 直线、射线与线段 【典例1】如图，下列说法错误的是（    ）． A．图中共有2条线段 B．直线与直线表示的是同一条直线 C．射线与射线表示的是同一条射线 D．线段与线段表示的是同一条线段 【变式1】如图所示，下列说法不正确的是（         ） A．直线与直线是同一条直线 B．射线与射线是同一条射线 C．线段与线段是同一条线段 D．反向延长线段至C使 【变式2】下列说法正确的是（    ） A．直线和直线表示不同的直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示同一条射线 D．射线比直线短 【变式3】下列说法正确的是（   ） A．射线和射线是同一条射线 B．延长线段和延长线段的含义是相同的 C．延长直线 D．直线与直线是同一条直线 题型02 尺规作图-直线，射线和线段 【典例2】如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请根据下列语句用尺规画图并回答问题．（保留作图痕迹，不写作法） (1)分别画直线、线段． (2)画出射线与射线，两射线相交于点P． (3)连接，延长至E，使得． (4)在线段上找一点Q，使的值最小，这样画图的依据是____． 【变式1】如图，已知线段、．求作：线段，使它等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式2】如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句作图（保留作图痕迹），并回答问题． (1)连接； (2)画射线，并在线段的延长线上用圆规截取； (3)作直线与射线交于点F．观察图形发现，线段，得出这个结论的依据是：　 　． 【变式3】如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)画线段，交于E点； (2)作射线； (3)反向延长至F，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 题型03 两点确定一条直线 【典例3】在如图所示的现象中，体现了直线的基本事实“两点确定一条直线”的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1】如图，经过刨平的木板上的两个点，只能弹出一条笔直的墨线．这一事实可以描述为（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【变式2】经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的黑线，而且只能弹出一条黑线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．过一点，有无数条直线 C．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 D．两点之间的所有连线中，线段最短 题型04 两点间线段最短 【典例4】如图，某景区从景点A到景点B有两条路线，游客为了缩短行走距离选择了路线①，其依据是 ． 【变式1】如图所示的是学校花圃的一角，小明认为走比走折线更近，他的数学依据是 ． 【变式2】如图，某同学用剪刀沿虚线将三角形剪掉一个角，发现四边形的周长比原三角形的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．两点之间，线段最短 B．经过一点，有无数条直线 C．点动成线 D．经过两点，有且只有一条直线 题型05 两点间距离 【典例5】线段，，则、两点之间的距离为（    ） A． B． C．或 D．不小于且不大于 【变式1】点在直线上，若，则为（    ） A．或 B． C． D．无法确定 【变式2是同一直线上的三点，如果线段，，那么两点之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【变式3】甲、乙两人的住处与学校同在一条笔直的街道上，甲住处在离学校3千米的地方，乙住处在离学校5千米的地方，则甲、乙两人的住处相距（    ） A．2千米 B．8千米 C．2或8千米 D．不能确定 题型06 线段的应用 【典例6】某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（   ）张车票 A．6 B．10 C．15 D．20 【变式1】兰州市某公交线路上共设6个车站，则在这条线路上往返行车需要设计车票价有（    ） A．25种 B．15种 C．30种 D．21种 【变式2】如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（    ）种车票，共有（    ）种票价．    A．； B．； C．； D．； 【变式3】2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票． 题型07 线段的简单计算 【典例7】线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 【变式1】如图，线段，，是线段的中点． (1)求线段的长度； (2)在线段上取一点，使得：：，求线段的长． 【变式2】如图，已知，且点是的中点． (1)求的长； (2)若线段上有一点，且，求的长． 【变式3】如图，C为线段上一点，B为线段的中点，且． (1)图中共有 条线段； (2)求线段的长； (3)若点E在直线上，且，求线段的长． 题型08 线段中点的有关计算 【典例8】如图，线段上有两点C，D，，的中点分别为E，F．若，，，求线段的长． 【变式1】已知，C、D为线段上任意两点． (1)如图1，图中共有_____条线段； (2)如图2，若，，，求的长； (3)如图3，M为线段上一点，，C、D分别为中点，求的长． 【变式2】如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点． (1)若，求； (2)若，求． 【变式3】如图点C在线段上，线段，点M，N分别是，的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 一、单选题 1．将一根细木条固定在墙上，最少需要2个钉子，其中的道理可以解释为（   ） A．线段有两个端点 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段可以比较大小 2．下列语句正确的是（    ） A．可以用直线上的一个点来表示该直线 B．画出4厘米长的直线 C．“射线”也可以写成“射线” D．点A一定在直线上 3．已知三点A，B，C，按下列要求画图：画直线，画射线，连接，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，用圆规比较两条线段和的长短，其中正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 5．如图，线段，延长到点，使，若点是线段的中点，则的长为（   ） A． B．2 C． D．6 6．如图，是线段的中点，是延长线上一点，且，若，则线段的长为（   ） A．15 B．18 C．21 D．27 是（　　） A．13 B．3 C．13或3 D．以上都不对 8．已知线段，点在的延长线上，且，则线段等于（   ） A． B． C． D． 9．如图，、是线段上两点，、分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③．其中正确的结论是（   ） A．① B．② C．①③ D．①②③ 二、填空题 10．湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种． 山塘站 欢乐雪域站 欢乐城站 华谊电影小镇站 大王山站 桐溪公园站 植物公园站 学士站 观音港站 11．如图，点，，是数轴上的三个点，，表示的数分别是，，若在的右侧，且，则点表示的数是 ． 12．如图，已知线段，若点M为中点，则线段的长为 ． 三、解答题 13．如图，已知平面上有三个点A，B，C，请按要求画图． (1)画直线； (2)延长到D，使得，连接． 14．如图，已知，两点把线段从左至右依次分成三部分，是的中点，，求线段的长． 15．如图，点是线段的中点，点是线段上的点，把线段分为的两部分．若线段的长为12，求线段的长度． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 直线，射线和线段 教学目标 1.能准确区分直线、射线、线段的概念，说出三者的本质区别； 2.掌握三者的规范表示方法； 3.能根据要求画出直线、射线、线段，并能用量角器或直尺测量线段长度；​ 4.理解 “两点确定一条直线” 的基本事实，能结合生活实例说明其应用； 5.初步掌握线段的和、差、倍、分计算，理解线段中点的概念，能根据中点性质进行简单推理。 教学重难点 教学重点 1.直线、射线、线段的本质区别：端点数量（0 个、1 个、2 个）、延伸性（向两方无限延伸、向一方无限延伸、不能延伸）、能否度量长度（不能、不能、能）； 2.三者的规范表示方法：尤其是射线的表示（必须以端点字母开头，如射线 AB≠射线 BA）；​ 3.“两点确定一条直线” 的基本事实及应用；​ 4.线段的长度测量、和差计算及中点概念的理解与应用。 教学难点 1.抽象概念的理解：对 “射线向一方无限延伸”“直线向两方无限延伸” 中 “无限” 的感知，初一学生难以通过直观体验完全把握；​ 2.射线表示的易错点：混淆射线的端点顺序（如误将射线 AB 表示为射线 BA），或忽略 “同一端点、不同方向是不同射线”；​ 3.“两点确定一条直线” 的实际应用迁移：能举例说明，但难以主动运用该事实解决简单实际问题；​ 4.线段和差的几何语言与图形的对应：能计算数值，但难以用规范的几何语言描述 “线段 AC=AB+BC” 等关系，或结合图形准确找到和差对应的线段；​ 4.线段中点的逆向应用：已知中点求线段长度容易，但已知线段长度找中点、或涉及 “反向延长线段” 的中点问题容易出错。 知识点01 直线，射线和线段的概念 注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量 基本事实 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 【即学即练】 1．下列说法中，正确的是（　　） A．射线a比直线b短 B．已知C、D为线段上的两点，若，则 C．若，则点C为线段的中点 D．射线与射线是同一条射线 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线和射线的概念，线段的和差计算，线段中点的定义，射线和直线不可度量，由此可判断A；根据线段的和差关系及等式的性质即可判断B；根据线段中点的定义即可判断C．根据射线的表示方法即可判断D； 【详解】解；A、射线向一方无限延伸，直线向两方无限延伸，都不可度量，故射线a比直线b短这种说法错误，不符合题意； B、已知为线段上的两点，若，则或，即，原说法正确，符合题意； C、若，只有当点在线段上时，点C为线段的中点，原说法错误，不符合题意； D、射线与射线不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； 故选B． 2．如图，跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆，这种做法依据的数学基本事实是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查的是直线的性质，即两点确定一条直线．熟练掌握性质是解题的关键； 根据公理“两点确定一条直线”来解答即可． 【详解】解：因为“两点确定一条直线”，所以跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆． 故答案为：两点确定一条直线． 知识点02 线段的性质 （1）两点之间的线段中，线段最短，简称：两点间线段最短。 （2） 基本概念 ①两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 ② 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 （3）双中点模型： C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 【即学即练】 1．如图，从学校A到书店B最近的是①号路线，得出这个结论的根据是（   ）    A．两点确定一条线段 B．两点确定一条直线 C．两点之间，直线最短 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了线段的性质，掌握两点之间，线段最短是解题关键． 【详解】解：从学校A到书店B最近的是①号路线，得出这个结论的根据是两点之间，线段最短， 故选：D． 2．如图，点C在线段上，点M是的中点，，在线段上取一点N，使得，则线段的长是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，与线段中点有关的计算，正确理解题意理清线段之间的关系是解题的关键．先根据线段的和差关系求出，由线段中点的定义即可求出求出，再根据线段之间的关系求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵点M是的中点， ∴； ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 题型01 直线、射线与线段 【典例1】如图，下列说法错误的是（    ）． A．图中共有2条线段 B．直线与直线表示的是同一条直线 C．射线与射线表示的是同一条射线 D．线段与线段表示的是同一条线段 【答案】A 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A．图中有线段、线段、线段，共3条线段，故错误，符合题意； B．直线与直线表示的是同一条直线，正确，不符合题意； C．射线与射线表示的是同一条射线，正确，不符合题意； D．线段与线段表示的是同一条线段，正确，不符合题意． 故选：A． 【变式1】如图所示，下列说法不正确的是（         ） A．直线与直线是同一条直线 B．射线与射线是同一条射线 C．线段与线段是同一条线段 D．反向延长线段至C使 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线，射线，线段的定义和描述，解题的关键是掌握相关的定义以及描述的准确性． 利用直线，射线，线段的定义和描述，逐项进行判断即可． 【详解】解：射线与射线端点不同，所以不是同一条射线，该选项错误，符合题意， 其它选项正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】下列说法正确的是（    ） A．直线和直线表示不同的直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示同一条射线 D．射线比直线短 【答案】B 【分析】本题主要考查直线和射线的区别，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．根据直线和射线的定义解答即可． 【详解】解：A、直线和直线表示同一条直线，选项错误，不符合题意； B、过一点能作无数条直线，选项正确，符合题意； C、射线和射线表示不同的射线，选项错误，不符合题意； D、射线、直线都是无限长的，不能比较长短，选项错误，不符合题意． 故选：B． 【变式3】下列说法正确的是（   ） A．射线和射线是同一条射线 B．延长线段和延长线段的含义是相同的 C．延长直线 D．直线与直线是同一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段的性质，掌握相关知识是解题的关键． 根据相关知识逐项分析判断即可， 【详解】解：、射线和射线的端点不同，不是同一条射线，原选项说法错误，不符合题意； 、延长线段和延长线段的含义是不相同的，原选项说法错误，不符合题意； 、直线向两端无限延伸，因此直线不可延长，原选项说法错误，不符合题意； 、直线与直线是同一条直线，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 题型02 尺规作图-直线，射线和线段 【典例2】如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请根据下列语句用尺规画图并回答问题．（保留作图痕迹，不写作法） (1)分别画直线、线段． (2)画出射线与射线，两射线相交于点P． (3)连接，延长至E，使得． (4)在线段上找一点Q，使的值最小，这样画图的依据是____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)图见解析，两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了画直线，射线和线段，线段的尺规作图，两点之间线段最短，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据直线和线段的画法画图即可； （2）根据射线的画法画图即可； （3）以点D为圆心，的长为半径画弧交延长线于点E，则点E即为所求； （4）根据两点之间线段最短可知线段的交点即为点Q． 【详解】（1）解：如图所示，直线、线段即为所求； （2）解：如图所示，射线与射线以及点P即为所求； （3）解：如图所示，点E即为所求； （4）解：如图所示，线段的交点Q即为所求，依据为两点之间线段最短． 【变式1】如图，已知线段、．求作：线段，使它等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握作一条线段等于已知线段的方法． 作射线，在上依次截取，在线段上依次截取，线段即为所求． 【详解】解：作射线，在上依次截取，在线段上依次截取，如图： 线段即为所求． 【变式2】如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句作图（保留作图痕迹），并回答问题． (1)连接； (2)画射线，并在线段的延长线上用圆规截取； (3)作直线与射线交于点F．观察图形发现，线段，得出这个结论的依据是：　 　． 【答案】(1)见解答 (2)见解答 (3)画图见解答；两点之间，线段最短 【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握直线、射线、线段的定义、线段的性质是解答本题的关键． （1）根据线段的定义画图即可． （2）根据射线的定义可画出射线，以点D为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的延长线于点E． （3）根据直线的定义画图即可；根据线段的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：如图，射线和线段即为所求． （3）解：如图，直线即为所求． 观察图形发现，线段，得出这个结论的依据是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 【变式3】如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)画线段，交于E点； (2)作射线； (3)反向延长至F，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，直线，射线，线段，两点之间的距离等知识． （1）根据线段的定义画出图形； （2）根据射线的定义画出图形； （3）在的延长线上截取，在线段上，截取，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段，交于E点，点E即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图，线段即为所求． 题型03 两点确定一条直线 【典例3】在如图所示的现象中，体现了直线的基本事实“两点确定一条直线”的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了直线的性质：两点确定一条直线，熟练掌握直线的性质是解题的关键． 根据直线的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：①平板弹墨线，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ②建筑工人砌墙，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ③固定挂钩架，体现了基本事实“两点确定一条直线”； 所以，在如图所示的现象中，体现了直线的基本事实“两点确定一条直线”的有个， 故选：D． 【变式1】如图，经过刨平的木板上的两个点，只能弹出一条笔直的墨线．这一事实可以描述为（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】B 【分析】本题考查了直线的性质，熟练掌握直线的性质是解题的关键． 根据直线的性质，即可解答． 【详解】解：经过刨平的木板上的两个点，只能弹出一条笔直的墨线．这一事实可以描述为：两点确定一条直线． 故选：B ． 【变式2】经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的黑线，而且只能弹出一条黑线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．过一点，有无数条直线 C．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 D．两点之间的所有连线中，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了直线的性质，掌握“经过两点有且只有一条直线”是解题的关键．根据“经过两点有且只有一条直线”即可得出结论． 【详解】解：∵经过两点有且只有一条直线， ∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线． ∴能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线． 故选：A． 题型04 两点间线段最短 【典例4】如图，某景区从景点A到景点B有两条路线，游客为了缩短行走距离选择了路线①，其依据是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查线段的定义，掌握两点之间线段最短是解题的关键．根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：游客为了缩短行走距离选择了路线①，其依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 【变式1】如图所示的是学校花圃的一角，小明认为走比走折线更近，他的数学依据是 ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了线段的性质，熟知两点之间线段最短是解题的关键．根据“两点之间线段最短”，即可获得答案． 【详解】解：小明认为走比走折线更近，他的数学依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【变式2】如图，某同学用剪刀沿虚线将三角形剪掉一个角，发现四边形的周长比原三角形的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．两点之间，线段最短 B．经过一点，有无数条直线 C．点动成线 D．经过两点，有且只有一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了线段的性质；根据两点之间，线段最短进行解答． 【详解】解：某同学用剪刀沿虚线将三角形剪掉一个角，发现四边形的周长比原三角形的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故选：A． 题型05 两点间距离 【典例5】线段，，则、两点之间的距离为（    ） A． B． C．或 D．不小于且不大于 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离关键是分类讨论A，B，C三点是否在一条直线上． 【详解】解：∵线段，， 若A，B，C共线，则是或； 若A，B，C不共线，则构成一个三角形，第三边大于两边之差，小于两边之和， ∴A、C两点间的距离大于且小于， 综上，A、C两点间的距离应是不小于且不大于， 故选D． 【变式1】点在直线上，若，则为（    ） A．或 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】分两种情况：当点C在线段的右侧时；当点C在线段的左侧时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当点C在点B的右侧时，如图：    ∵， ∴； 当点C在点A的左侧时，如图：    ∵， ∴； 综上所述：为或， 故选：A． 【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况讨论是解题的关键． 【变式2是同一直线上的三点，如果线段，，那么两点之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】分类讨论，确定点的位置即可求解． 【详解】解：如图所示，，，    ∴； 如图所示，，，    ∴； 综上所述，两点之间的距离是或， 故选：． 【点睛】本题主要考查线段的和差，掌握两点之间距离的计算方法是解题的关键． 【变式3】甲、乙两人的住处与学校同在一条笔直的街道上，甲住处在离学校3千米的地方，乙住处在离学校5千米的地方，则甲、乙两人的住处相距（    ） A．2千米 B．8千米 C．2或8千米 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据题意，分两种情况讨论：①甲、乙两人住在学校的同一侧，得到甲、乙两人的住处相距米；②甲、乙两人住在学校的异侧，得到甲、乙两人的住处相距米；从而得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： ①甲、乙两人住在学校的同一侧，得到甲、乙两人的住处相距米； ②甲、乙两人住在学校的异侧，得到甲、乙两人的住处相距米； 故选：C． 【点睛】本题考查线段之间距离的实际应用，读懂题意，分类讨论是解决问题的关键． 题型06 线段的应用 【典例6】某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（   ）张车票 A．6 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题考查线段的计数问题，解题的关键在于将该问题抽象为几何问题解决．将不同站点的车票抽象为线段，再结合线段的计数方法和“起点或终点不一样都算不同的车票”求解，即可解题． 【详解】解：将不同站点的车票抽象为线段，如下图所示： 上图共有线段（条）， 因为起点或终点不一样都算不同的车票， 所以所有不同的车票有（张）， 故选：D． 【变式1】兰州市某公交线路上共设6个车站，则在这条线路上往返行车需要设计车票价有（    ） A．25种 B．15种 C．30种 D．21种 【答案】C 【分析】此题考查了线段之间的总条数，解题的关键是往返车票需要两种车票．根据线段之间的总条数计算即可． 【详解】解：如图所示，兰州市某公交线路上共设6个车站，可看作六个点， 则线段的总条数是， 因为要有往返车票，即两点之间是两种车票，所以应设计（种）． 故选：C． 【变式2】如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（    ）种车票，共有（    ）种票价．    A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【分析】分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制种车票，而有5个起始站，故可以直接列出算式． 【详解】解：，， ∴需印制20种车票，共有10种票价． 故选：C． 【点睛】本题在线段的基础上，考查了排列与组合的知识，解题关键是要理解题意，每个车站都既可以作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站． 【变式3】2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票． 【答案】20 【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可． 【详解】解：5个点中线段的总条数是（种）， ∵任何两站之间，往返两种车票， ∴应印制（种）， 故答案为：20． 【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有个点，则线段的数量有条”． 题型07 线段的简单计算 【典例7】线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 【答案】(1)41 (2)49 【分析】本题考查了线段的和差计算及线段上点的位置关系，解题的关键是根据点C的不同位置（线段上或延长线上）确定线段的长度，再结合线段的比例关系求出相关线段长度，进而得到的长.​ （1）当点C在线段上时，先由和的长度求出的长；根据与的比例关系求出，进而得到；再由与的关系及的长求出；最后根据计算的长． （2）当点C在线段的延长线上时，先由和的长度求出的长；根据与的比例关系求出，进而得到；再由与的关系及的长求出；最后根据计算的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【变式1】如图，线段，，是线段的中点． (1)求线段的长度； (2)在线段上取一点，使得：：，求线段的长． 【答案】(1)10 (2)17 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据已知条件求得，由中点定义知，然后根据求解． 本题考查了线段的和差倍分关系、线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键． 【详解】（1）解：∵线段，， ； （2），：：， ． 又点是的中点，， ， ， 即的长度是． 【变式2】如图，已知，且点是的中点． (1)求的长； (2)若线段上有一点，且，求的长． 【答案】(1)10 (2)2或4 【分析】本题主要考查线段的和差以及线段中点的定义，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解题关键． （1）先根据线段的和差得到，再由线段中点的定义即可求解． （2）先求出的长，再根据线段的和求出的长． 【详解】（1）解：∵， ， 点是的中点， ； （2）解：， ∴， 当点在之间时，； 当点在之间时，； 综上，的长为2或4． 【变式3】如图，C为线段上一点，B为线段的中点，且． (1)图中共有 条线段； (2)求线段的长； (3)若点E在直线上，且，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段两点间的距离，线段中点的有关计算，直线、射线、线段，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据图形，即可解答； （2）先利用线段中点的定义可得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （3）分两种情况：当点E在线段的延长线上时；当点E在线段上时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：图中共有6条线段，分别是：， 故答案为：6； （2）点B为的中点，， ， ， ， 的长为； （3）分两种情况： 当点E在线段的延长线上时，如图： ， ； 当点E在线段上时，如图： ， ； 综上所述：的长为或． 题型08 线段中点的有关计算 【典例8】如图，线段上有两点C，D，，的中点分别为E，F．若，，，求线段的长． 【答案】14 【分析】本题考查的是线段的和差关系，线段的中点的含义，根据线段的和差得到，，根据线段中点的定义得到，，于是得到结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵的中点分别为E，F， ∴，， ∴． 【变式1】已知，C、D为线段上任意两点． (1)如图1，图中共有_____条线段； (2)如图2，若，，，求的长； (3)如图3，M为线段上一点，，C、D分别为中点，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查线段的定义、线段的中点、线段的和差．根据数形结合思想找寻线段间的数量关系是解答的关键． （1）根据线段的定义即可解答； （2）根据，得到，再利用即可求解； （3）由题意求出的长，再根据线段中点的定义求出，根据即可求解． 【详解】（1）解：图中有，共条线段， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵C、D分别为中点， ∴， ∴． 【变式2】如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了两点间的距离，关键是掌握线段中点的定义． （1）因为点、分别是、的中点，所以，，已知，得出，即可求解； （2）因为点、分别是、的中点，所以，，已知，可得的长． 【详解】（1）解：点、分别是、的中点， ，， ， ， ； （2）解：点、分别是、的中点， ，， ， ． 【变式3】如图点C在线段上，线段，点M，N分别是，的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查线段的和差关系，线段中点的有关计算，以及一元一次方程的应用，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． （1）根据线段的和差可得，再根据线段的中点的性质可得和，最后再根据线段得和差可求的答案． （2）设，则，由，点M是的中点得出，根据线段得和差可得关与x的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：， 点M，N分别是的中点， ， ； （2）设， 点N是的中点， ， ，且点M是的中点， 则， 即， 解得． 则． 一、单选题 1．将一根细木条固定在墙上，最少需要2个钉子，其中的道理可以解释为（   ） A．线段有两个端点 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段可以比较大小 【答案】B 【分析】根据直线的性质，分析将细木条固定在墙上最少用2个钉子的原理，从而选择正确选项．本题主要考查了直线的性质，熟练掌握“两点确定一条直线”是解题的关键． 以用2个钉子能将细木条固定在墙上，使其位置确定． 故选：B． 2．下列语句正确的是（    ） A．可以用直线上的一个点来表示该直线 B．画出4厘米长的直线 C．“射线”也可以写成“射线” D．点A一定在直线上 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段的联系与区别，画出直线、射线、线段，两点确定一条直线，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据直线、射线、线段的联系与区别，画出直线、射线、线段，两点确定一条直线，对四句话逐一分析，再作出判断． 【详解】解：直线上的一个点需要用一个大写字母表示，一个大写字母不能表示直线，故A错误； 直线不可度量，可以画出4厘米长的线段，不能说画出4厘米长的直线，故B错误； “射线”表示以为端点的一条射线，“射线”表示以为端点的一条射线，“射线”与“射线”表示两条不同的射线，故C错误； 点A一定在直线上，故D正确， 故选：D． 3．已知三点A，B，C，按下列要求画图：画直线，画射线，连接，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了依据直线、射线、线段的定义作图，正确理解定义区别三者的特点是解题的关键． 根据直线、射线、线段定义判断即可． 【详解】解：A：直线，射线，线段，故A符合题意； B：直线，直线，直线，故B不符合题意； C：直线，射线，线段，故C不符合题意； D：线段，线段，线段，故D不符合题意； 故选：A． 4．如图，用圆规比较两条线段和的长短，其中正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了线段的大小比较. 根据比较线段长短的方法作答即可． 【详解】解：用圆规比较两条线段和的长短，可知. 故选：C． 5．如图，线段，延长到点，使，若点是线段的中点，则的长为（   ） A． B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的相关计算，掌握线段中点的计算方法是关键． 根题意可得，由即可求解． 【详解】解：线段，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， 故选：B ． 6．如图，是线段的中点，是延长线上一点，且，若，则线段的长为（   ） A．15 B．18 C．21 D．27 【答案】C 【分析】本题考查了线段和差的计算，中点的定义，理解图示，掌握线段和差的计算，中点的定义得到是解题的关键． 根据题意得到，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， 故选：C ． 7．已知A、B、C三点位于同一条直线上，线段，，则的长是（　　） A．13 B．3 C．13或3 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和与差，运用分类讨论思想是解题的关键． 由题意先讨论点A、B、C三点之间的位置关系，然后分两种情况讨论：点在线段上，点在线段的延长线上，再分别画出图形，进而根据线段之间的和差关系，得到正确答案． 【详解】解：分两种情况讨论： （1）当点在线段上时， 如图， ， 又，， ； （2）当点在线段的延长线上时， 如图， ， 又，， ； 综上，的长是或， 故选：C． 8．已知线段，点在的延长线上，且，则线段等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和与差，根据题意得出，代入已知条件可得，由此求解即可． 【详解】解：，，， ∴， ， 故答案为：B． 9．如图，、是线段上两点，、分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③．其中正确的结论是（   ） A．① B．② C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了两点间的距离，能够利用线段中点的性质求解一些线段之间的关系是解题关键． 由可得，由中点的意义推得，进一步得，①正确；由得，由中点的意义可得结论，②正确；由中点的意义可得，，代入，整理后可得③正确． 【详解】解： ，， ， 是线段的中点， ， ， ，故①正确； ， ， ， 、分别是线段，的中点， ，， ，故②正确； 、分别是线段，的中点， ，， ， ，故③正确； 综上所述，正确的有①②③． 故选：D． 二、填空题 10．湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种． 山塘站 欢乐雪域站 欢乐城站 华谊电影小镇站 大王山站 桐溪公园站 植物公园站 学士站 观音港站 【答案】 【分析】本题考查了如何求线段的条数的问题，设首尾两站为点，点是线段上的七个点，求出之间的所有线段条数，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设首尾两站为点，点是线段上的七个点， 则图中共有线段条， ∵到与到车票不同， ∴从到的车票共有种， 故答案为：． 11．如图，点，，是数轴上的三个点，，表示的数分别是，，若在的右侧，且，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，线段的和差计算． 先利用点、表示的数计算出，再计算出，然后计算点到原点的距离即可得到点表示的数． 【详解】解：如图， 点，表示的数分别是，， ， ， ， 点表示的数是． 故答案为：． 12．如图，已知线段，若点M为中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，解题的关键是熟知线段长度的数量关系． 先求出的长度，再根据中点定义求出的长，再利用线段的差求的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵点M为中点， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 13．如图，已知平面上有三个点A，B，C，请按要求画图． (1)画直线； (2)延长到D，使得，连接． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了画直线和线段，解决本题的关键是根据直线、线段的特点画图． （1）过点、、C分别画直线和即可； （2）以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接即可． 【详解】（1）解：如下图所示，直线和即为所求作； （2）解：如下图所示， 以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点， 连接． 14．如图，已知，两点把线段从左至右依次分成三部分，是的中点，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点间的距离，先由B、C两点把线段分成的三部分，根据比例求出的长，再根据M是的中点，得出，求出的长，最后由求出线段的长． 【详解】解：∵B、C两点把线段分成的三部分，， ∴，，， ∵M是的中点， ∴， ∴，即， ∴，，，， ∴． 15．如图，点是线段的中点，点是线段上的点，把线段分为的两部分．若线段的长为12，求线段的长度． 【答案】8或10 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键． 由线段中点的定义可得，再分和两种情况，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：点是线段的中点， ， 当时， ， ； 当时， ， ； 综上所述：线段的长度是8或10， 故答案为：8或10． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $