精品解析：湖北省监利市2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题

2026届高三年级10月份联考 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式计算即可. 【详解】原式等价于， 解集为， 故选:A. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义直接求解. 【详解】依题意，或，而， 所以. 故选：B 3. 已知幂函数为偶函数，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及性质求解. 【详解】由幂函数定义得，解得或， 当时，，定义域为，不为偶函数，不满足题意； 当时，，定义域为，且，故为偶函数. 故选：C 4. 已知抛物线的焦点为，准线为，为上一动点，且在轴上方，为上一动点，且轴，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，表示出点的坐标，再利用抛物线的定义列式求解. 【详解】设点，由轴，得，且， 又，则，又，所以. 故选：A 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. -54 B. -24 C. 27 D. 54 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出二项式的展开式通项公式，进而求出指定项的系数. 【详解】的展开式通项为， 令，得的系数为. 故选：D 6. 直线与圆（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 位置关系不确定 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线所过的定点，再判断该定点与圆的位置关系即可. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径， 直线，由，解得， 即直线过定点，由， 则位于圆的内部，所以直线与圆相交. 故选：C 7. 棱长为1的正方体中，分别为的中点，过三点的截面将正方体分成两部分，则其中体积较小的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出几何图形并确定体积较小部分的几何体的结构特征，再利用台体的体积公式计算得解. 【详解】在正方体中，延长交延长线于，连接， 由是的中点， ，得是的中点，又， 则与的交点必为的中点，而平面平面， 即几何体是三棱锥被平行于底面的平面所截而成， 因此截面将正方体分成体积较小的部分为三棱台， 三棱台的体积为. 故选：D 8. 函数在区间上的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简可得，，令，换元结合二次函数性质可求出的最大值. 【详解】，. 令，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，取最大值，最大值为. 故选： B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则 （ ） A. B. 在复平面内，对应的点位于第四象限 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复数模、共轭复数及复数的几何意义判断AB；利用复数的除法、乘法计算判断CD. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，，复数在复平面内对应的点位于第四象限，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 10. 记甲组样本数据，乙组样本数据，若这两组样本数据的样本平均数相等，则（ ） A. 甲组样本数据的中位数等于乙组样本数据的中位数 B. 甲组样本数据的方差小于乙组样本数据的方差 C. 去掉后，甲组样本数据的极差减小 D. 去掉后，乙组样本数据的平均数增大 【答案】BCD 【解析】 【分析】举例说明判断A；由两组样本平均数相等可得，利用方差的定义作差计算判断B； 求出去掉前后和极差、平均数分别判断CD. 【详解】对于A，不妨令甲组样本数据为0，2，4，5，9，此时甲组样本数据的中位数为4， 乙组样本数据的中位数为，二者不相等，A错误； 对于B，由两组样本平均数相等，得， 则，因此甲组样本数据方差， 乙组样本数据方差， ，即，B正确； 对于C，去掉前的极差为，去掉后的极差为，则，极差减小，C正确； 对于D，去掉前的平均数为，去掉后的平均数为，平均数增大，D正确. 故选:BCD 11. 已知函数，则（ ） A. 有且仅有一个极值点 B. 当时，存在两个零点 C. 若存在两个零点，则这两个零点之积大于0 D. 若存在两个零点，则这两个零点之和大于0 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用极值点的意义判断A；将零点问题转化为两个函数图象交点，再作出图象判断CD；利用零点的意义列式计算判断D. 【详解】函数的定义域为，求导得， 对于A，令，得，解得，而， 可得或， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故有且仅有一个极值点为，故A正确； 对于B，函数存在两个零点等价于曲线与有两个交点， 当时，作出函数与的图象，如图，它们存在两交点， 当时，可看作将向左平移而得，由图可知两者必存在两个交点，故B正确； 对于C，当时，由图象知，两交点位于轴两侧，此时两个零点异号，它们的积小于0，故C错误； 对于D，两个零点为，则，即有， 由，得，则， 因此，，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设等差数列满足，，则的首项为________________. 【答案】18 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及通项公式列式计算. 【详解】. 故答案为：18 13. 设，则________. 【答案】 【解析】 【分析】两边平方可得而代入即可得解. 【详解】对于等式，两边平方可得， 又，所以， 因为， 所以. 故答案为:. 14. 已知为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，其上一点满足，点满足，则______________. 【答案】或8 【解析】 【分析】分点在双曲线左支和右支讨论即可. 【详解】当点在双曲线左支时， 设，则，由勾股定理知， 由解得，于是.取中点， 由中位线性质可知，故，而， 故由余弦定理得，由知， 故.当点在双曲线右支时， 显然有，取中点中，由中位线性质可知， 故中，显然，故由余弦定理知， 由知，故. 故答案为：或8. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，三棱锥中，平面平面，. （1）求的长度； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间向量模的坐标表示求解. （2）求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 作，垂足分别为，由平面平面，平面平面， 平面，平面，则平面，平面， 由，得，， 过点作，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，所以. 【小问2详解】 记平面的法向量为，则，取，得， 平面的法向量为，则， 则，所以二面角的正弦值为. 16. 在平面直角坐标系中，已知满足，且. （1）求的面积； （2）设的角平分线交于点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量模及夹角的坐标表示及三角形面积公式列式计算得解. （2）根据给定条件，利用三角形面积公式建立方程求解. 【小问1详解】 依题意，，， 则，而，则， 所以的面积. 【小问2详解】 由的角平分线将的面积分为两部分，得， ，于是， 即，解得， 所以的长为. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率不为0的直线交于两点. （1）若是上一动点，求的周长和的离心率； （2）探究该结论是否成立，若成立，求出直线的方程；若不成立，说明理由. 【答案】（1）周长为6，离心率； （2） 假定成立，则直线的方程为， 设，由，得， 则，则或， 且，设的中点为， 则，而， 由，得，则， 整理得，此方程无解， 所以结论不成立. 【解析】 【分析】（1）根据给定方程求出，进而求出离心率，再结合椭圆定义得出的周长. （2）设并与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合建立方程求解. 【小问1详解】 椭圆的长短半轴长，半焦距， 所以椭圆的离心率，的周长为. 【小问2详解】 略 18. 甲、乙、丙三名同学进行乒乓球比赛，经约定，进行如下4场比赛决定胜负关系： ① 乙、丙两名同学进行本场比赛，败者落入败者组； ② 甲与第①场比赛胜者比赛，败者落入败者组； ③ 败者组两人进行比赛，败者记为第三名； ④ 第②、③场比赛胜者进行比赛，胜者记为第一名，败者记为第二名. 设每场比赛双方获胜的概率均为. （1）求乙在败者组比赛中被淘汰的概率； （2）求甲最终获胜的概率； （3）从最终三人获得名次的数学期望的角度分析，该比赛规则是否对甲有利？ 【答案】（1） （2） （3）对甲有利 【解析】 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算求解. （2）应用独立事件概率乘积公式及互斥事件和概率公式计算求解. （3）根据甲的最终获得名次的数学期望与乙或丙获得名次的数学期望比较判断即可. 【小问1详解】 在全局比赛中，由于每场比赛双方获胜的概率均为， 由于比赛规则对于乙和丙是对称的，因此他们获得任一特定名次的概率是相等的， 记事件：甲在败者组比赛中被淘汰，事件：乙或丙在败者组比赛中被淘汰， 事件发生的概率，甲需要在②，③两场比赛中连续失败，则， 由事件与事件互为对立事件，且乙与丙获得任一特定名次的概率是相等的， 所以乙在败者组比赛中被淘汰的概率为. 【小问2详解】 甲最终获胜有如下两种情况：第②，④场比赛甲全胜，此时概率为； 第②场比赛甲失败，第③，④场比赛甲胜利，此时概率为， 所以甲最终获胜的概率为. 【小问3详解】 设甲获得的最终名次为， 由（2），（1）得，，则， 因此； 设乙或丙获得的最终名次为，而乙与丙获得任一特定名次的概率是相等的， 因此， 又，则甲的最终获得名次的数学期望比乙或丙更靠前，所以该比赛规则确实对甲有利. 19. 设函数，且是以1为首项，公比为的等比数列. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的极值点个数； （3）证明：对任意，总存在满足的实数，使得时，. 【答案】（1）； （2）极值点个数为1； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再代入得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程即可； （2）先根据等比数列得出，再求出导函数，分和时多次求导得出函数单调性进而得出函数的极值点即可； （3）令，得出,分和时求函数单调性结合零点存在定理即可证明. 【小问1详解】 时，，， ， 故曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 根据题意可得， 故，， 令, 则， 且关于的一元二次方程的判别式， 当时，在上恒成立， 即在上单调递增，，， 则由零点存在定理可知在区间内存在唯一零点， 则在上单调递减，在上单调递增， 此时的极值点个数为1， 当时，在上恒成立，即在上单调递减， 同理在区间内存在唯一零点， 则在上单调递增，在上单调递减， 此时的极值点个数为1， 综上，的极值点个数为1； 【小问3详解】 令，则，即， 由于方程的判别式，且， 故恒成立， 则的唯一实数解为， 则原题等价于对任意，方程除外，仍存在一个根， ①当时，，当且仅当时取等号， 设在上满足题意，对任意，需满足， 由于，则恒成立， 由于，故需，即， 设， ， 故单调递增，又，， 根据零点存在性定理，存在唯一的使得， 取，则， 对任意，有， 此时，且，故，故该情况得证， ②当时，，当且仅当时取等号， 设在上满足题意，对任意，需满足， 由于，则需恒成立， 设，， 故单调递减， 同理，根据零点存在性定理，存在唯一的使得， 取，则，对任意，有， 此时，且，故， 故该情况得证， 综上所述，对任意，总满足的实数， 使时，，即证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级10月份联考 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数为偶函数，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 4. 已知抛物线的焦点为，准线为，为上一动点，且在轴上方，为上一动点，且轴，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. -54 B. -24 C. 27 D. 54 6. 直线与圆（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 位置关系不确定 7. 棱长为1的正方体中，分别为的中点，过三点的截面将正方体分成两部分，则其中体积较小的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 函数在区间上的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则 （ ） A. B. 在复平面内，对应的点位于第四象限 C. D. 10. 记甲组样本数据，乙组样本数据，若这两组样本数据的样本平均数相等，则（ ） A. 甲组样本数据的中位数等于乙组样本数据的中位数 B. 甲组样本数据的方差小于乙组样本数据的方差 C. 去掉后，甲组样本数据的极差减小 D. 去掉后，乙组样本数据的平均数增大 11. 已知函数，则（ ） A. 有且仅有一个极值点 B. 当时，存在两个零点 C. 若存在两个零点，则这两个零点之积大于0 D. 若存在两个零点，则这两个零点之和大于0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设等差数列满足，，则的首项为________________. 13. 设，则________. 14. 已知为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，其上一点满足，点满足，则______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，三棱锥中，平面平面，. （1）求的长度； （2）求二面角的正弦值. 16. 在平面直角坐标系中，已知满足，且. （1）求的面积； （2）设的角平分线交于点，求的长. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率不为0的直线交于两点. （1）若是上一动点，求的周长和的离心率； （2）探究该结论是否成立，若成立，求出直线的方程；若不成立，说明理由. 18. 甲、乙、丙三名同学进行乒乓球比赛，经约定，进行如下4场比赛决定胜负关系： ① 乙、丙两名同学进行本场比赛，败者落入败者组； ② 甲与第①场比赛胜者比赛，败者落入败者组； ③ 败者组两人进行比赛，败者记为第三名； ④ 第②、③场比赛胜者进行比赛，胜者记为第一名，败者记为第二名. 设每场比赛双方获胜的概率均为. （1）求乙在败者组比赛中被淘汰的概率； （2）求甲最终获胜的概率； （3）从最终三人获得名次的数学期望的角度分析，该比赛规则是否对甲有利？ 19. 设函数，且是以1为首项，公比为的等比数列. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的极值点个数； （3）证明：对任意，总存在满足的实数，使得时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $