重难点专题 直角三角形的性质与HL判定（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

重难点专题 直角三角形的性质与HL判定 目录 题型一、直角三角形的两个锐角互余 1 题型二、三垂直模型（K字型模型） 5 题型三、锐角互余的三角形是直角三角形 15 题型四、斜边的中线等于斜边的 一半 19 题型五、含30度角的直角三角形 23 题型六、全等的性质和HL综合（HL） 26 题型一、直角三角形的两个锐角互余 例1如图，在中，于点D，平分交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，首先由垂直定义得到，利用角平分线求出，根据三角形内角和定理求得，即可根据，得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵，平分， ∴ ∴ ∵， ∴． 故选C． 【变式1-1】如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，先根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴， 故选：C． 【变式1-2】一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查三角形外角性质，对顶角相等，直角三角形性质，解题的关键是掌握直角三角形性质． 根据三角形内角和定理求出的度数，再利用外角性质求出的度数即可得到结果． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【变式1-3】如图，，若，且，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】此题考查了直角三角形两锐角互余，全等三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据直角三角形两锐角互余得到，然后利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 【变式1-4】一副三角板按如图所示的方式叠放，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握直角三角形的性质，三角形的内角和定理是解本题的关键． 首先根据题意得到，，，再利用直角三角形的两锐角互余可得，，最后利用三角形的内角和定理即可求得． 【详解】解：如图： 由题意得，，， ，， ， 故答案为：． 【变式1-5】如图，中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，求与的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的特征，三角形外角性质；能熟练利用三角形的内角和定理，直角三角形的特征，三角形外角性质进行求解是解题的关键． 由三角形内角和定理，直角三角形的特征得，再由即可求得；由三角形的外角性质得，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 由三角形的外角性质得，． 题型二、三垂直模型（K字型模型） 例2如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝5，EN＝2，则DM＝ ． 【答案】3 【分析】过点C作CF⊥AB于点F，由旋转的性质可得AD＝AC，BE＝BC，利用“一线三等角”证得∠D＝∠CAF，从而可判定△DAM≌△ACF（AAS），则DM＝AF．同理可证，△BFC≌△ENB（AAS），则BF＝EN＝2，再由AB＝5，可得AF，即DM的值． 【详解】解：过点C作CF⊥AB于点F，如图所示： ∵旋转， ∴AD＝AC，BE＝BC， ∵DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，CF⊥AB于点F， ∴∠AMD＝∠AFC＝∠BFC＝∠BNE＝90°， ∴∠D+∠DAM＝90°， ∵∠CAD＝90°， ∴∠CAF+∠DAM＝90°， ∴∠D＝∠CAF， ∴在△DAM和△ACF中， ∴△DAM≌△ACF（AAS）， ∴DM＝AF． 同理可证，△BFC≌△ENB（AAS）， ∴BF＝EN＝2， ∵AB＝5， ∴AF＝3， ∴DM＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式2-1】如图，，点E是线段上一点，，则与相等的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，解题的关键是：熟练掌握同角的余角相等．根据得到，根据，得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 【变式2-2】如图，在中，，直线经过点，于点，于点，且； (1)求证：． (2)判断、、这三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据已知证明，得到，结合直角三角形的两个锐角互余，即可证明； （2）由（1）中的可得，再结合已知条件即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ． 【变式2-3】如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形,熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键．根据已知易得：，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用同角的余角相等可得，从而利用证明，即可解答． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【变式2-4】已知中，，D、A、E三点都在直线l上，且，其中． (1)模型：当时，如图1，猜想、、之间的数量关系为________； (2)拓展：当时，如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； (3)应用：当时，如图3，若，延长，交直线l于点F，，，，求． 【答案】(1) (2)成立，见解析 (3)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意可得可得出，证可得，可得； （2）同（1）证可得，可得出结论； （3）由，得到，得出，由证得，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 【详解】（1）解：的数量关系为：，理由如下： ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： ∵， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2-5】（1）如图1，C、A、E在一条直线上，，，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且，且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，，，连接、，且于点F，与交于点G， ①求证：； ②若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①见解析；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，即可得证； （2）由（1）可得：，，由全等三角形的性质可得，，，，再由梯形和三角形的面积公式计算即可得解； （3）①过点作于，过点作交的延长线于，由（1）可得，，由全等三角形的性质可得，，从而可得， 再证明，即可得证；②由①可得，，从而可得出，结合题意可得，由①可得，由全等三角形的性质可得，求出，再由三角形的面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）由（1）可得：，， ∴，，，， ∴实线所围成的图形的面积； （3）①证明：如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）可得：，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：由①可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 【变式2-6】在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，直接写出、、的关系为：______； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）①已知这两个三角形都是直角三角形且有一组对应边相等，只需要再找一组对应角相等即可，结合已知条件，通过同角的余角相等即可证明，进而可由得证；②由①可知，利用线段的和差关系进一步分析即可证明． （2）参考（1），先证，再利用三角形全等的性质，结合图形中线段之间的和差关系分析即可． （3）参考（1），先证，再利用三角形全等的性质，结合图形中线段之间的和差关系分析即可． 【详解】（1）证明：①∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； （2）、、的关系为：； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴； 故、、的关系为：． （3）、、的关系为：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴； 故、、的关系为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等和三角形全等的判定与性质，熟练掌握用证明三角形全等是解题的关键． 题型三、锐角互余的三角形是直角三角形 例3 如图，在中，于点D，E是上的一点，且． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，题的关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据条件证明即可得出结论； （2）根据（1）中的结论得出相等的角，然后利用直角三角形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长交于点， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数． （2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到的度数，进而得出的度数即可得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， ． ， 是直角三角形． 【变式3-2】已知，如图，为的高，E为上一点，交于F，且有，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余． （1）通过“”证明即可． （2）因为，易得，结合，由锐角互余的三角形是直角三角形，即可作答． 【详解】（1）证明：∵为的高， ∴． 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴，即． ∵在中，， ∴在中，， ∴， ∴． 【变式3-3】如图，和都是等腰直角三角形，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可证，进而问题可求证； （2）由（1）知，则有，然后可得，进而问题可求证． 【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形， ， ， ． 在与中，， ， ． （2）证明：由（1）知， ． ， ， ， ． 题型四、斜边的中线等于斜边的 一半 例4已知，在中，，作平分． (1)求证：； (2)点为的中点，点为的中点，连接，，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形性质及判定、直角三角形性质， （1）先证明，结合得出，即可证明结论； （2）连接，根据直角三角形性质得出，由等腰三角形性质得出，进而证明，即可证明结论． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ； （2）连接， ，点为的中点， ， ∵点为的中点，， ∴， ， ∵点为的中点， ∴， ∴． 【变式4-1】已知：如图，，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为4． 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质和等边三角形的判定和性质； （1）连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再根据等腰三角形的性质证明即可； （2）先证明是等边三角形，再根据求解即可． 【详解】（1）证明：连接、， ∵，是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【变式4-2】已知：如图，在中，是边上的高，是边上的中线，是的平分线，与的垂直平分线相交于点．求证： (1)平分； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意，得，只需证明即可证明平分； （2）根据，得，结合，得到即可得证． 本题考查了直角三角形中线的性质，余角的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等量代换，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）证明：∵是边上的高， ∴， ∵是的平分线，与的垂直平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型五、含30度角的直角三角形 例5如图，在中，，点D在上，，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，30度角的性质． 根据等边对等角得到，根据30度角的性质得到，根据等角对等边得到，进而可求的长． 【详解】∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式5-1】如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据角平分线的定义得，从而利用含角的直角三角形的性质可得，然后根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，最后利用等量代换可得的周长为，即可解答． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴的周长 ， 则周长是． 故选：D． 【点睛】本题考查含角的直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握含角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式5-2】如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形以及等边三角形的性质，解答本题的关键是掌握直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半．设，则，利用等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， 设，则， ∵，． ∴， ∴，， ∴． 故答案为：5． 【变式5-3】如图，在中，的垂直平分线交边于点E．若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含的直角三角形的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可求得，继而求得，则可求得的度数，然后由含的直角三角形的性质，求得答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型六、全等的性质和HL综合（HL） 例6如图，在中，平分于点，点在的延长线上，交延长线于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质． 由“”可证，可得，由角的数量关系可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴ (）， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】如图，在中，，将沿折叠至，，连接平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F， 则， 由折叠可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴ 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式6-2】如图1，在五边形中，，，连接，且，． (1)求证：； (2)如图2，若，为边上的中线，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相关的性质定理，正确作出辅助线为解题关键 （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质证明； （2）延长交于点G，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，根据垂直的定义证明 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：延长交于点G， ， ，又， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， ， 【变式6-3】【模型探究】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)【探究发现】 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是______； (2)【反思感悟】 问题：如图，在四边形中，，是上一点，，．则与的数量关系是______；依据是______； (3)【拓展迁移】 问题：如图，在三角形中，，是上一点，，且．求的值． 【答案】(1) (2)，全等三角形的对应边相等 (3)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，，即可得证； （2）证明和都是直角三角形，再证明，即可得解； （3）过点作于点，由题意可得为直角三角形，证明为等腰直角三角形，得出，同（1）证明：，得出，，即可得解． 【详解】（1）解：，与之间满足的数量关系是：，理由如下： 于点，于点， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 故答案为：； （2）解：∵，， ， ， 和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， 与的数量关系是；依据是全等三角形的对应边相等， 故答案为：；全等三角形的对应边相等； （3）解：过点作于点，如图所示： 在中，， 是直角三角形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 在中，，且， 同（1）证明：， ∴，， ∴， ∴． 【变式6-4】已知，在四边形中，，． (1)如图1，连接．若，求证：． (2)如图2，点，分别在线段，上，且满足，求证． (3)若点在的延长线上，点在的延长线上，连接，，，仍然满足．请在图3中补全图形，根据图形直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、四边形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）延长至点，使，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质证明； （3）在延长线上找一点，使得，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质、四边形内角和为解答． 【详解】（1）证明：， ∴， ∵， ， 在和中， ， ； （2）证明：延长至点，使，连接，如图2， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， 在和中， ， ； （3）解：如图3，． 理由如下：在延长线上找一点，使得，连接， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式6-5】如图1，已知A，E，F，C在同一条直线上，，过E，F分别作，，． (1)求证：平分； (2)若的边沿方向移动，其余条件不变，如图2，上述结论是否仍成立？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定； （１）由可得出，结合即可证出，根据全等三角形的性质可得出，结合对顶角相等及，即可证出，再根据全等三角形的性质即可得出，即平分； （２）同（１）可证出，，再根据全等三角形的性质可得出，即平分． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：平分成立，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【变式6-6】如图，在中， 在外部取一点，连接，且平分， (1)如图，求证：； (2)如图，当时，将沿翻折，点落在点处，连接，若，试探究线段与线段的数量关系，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（）过作于，于，于，设与相交于点，可证，得到，，，即得，再证明，得到，由等腰三角形的性质可得，即得到，进而由余角性质和角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理即可求证； （）先证明是等边三角形，得到，，在上截取，连接，作交于，连接，设与相交于点，可证是等边三角形，得到，可证明，得到，，进而证明，得到，再证明，得到，即得，即得到，即可求证． 【详解】（1）证明：如图，过作于，于，于，设与相交于点， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ，， ∴， 即； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ， ∵， ∴， 在上截取，连接，作交于，连接，设与相交于点， ∵， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴， 由（）可知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，折叠的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 2 / 39 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 重难点专题」 直角三角形的性质与HL判定 o目录预览核心知晓 目录 题型一、直角三角形的两个锐角互余 …1 题型二、三垂直模型(K字型模型) 2 题型三、锐角互余的三角形是直角三角形 5 题型四、斜边的中线等于斜边的一半… > 题型五、含30度角的直角三角形 8 题型六、全等的性质和HL综合(L) 。核心解题法提升能力⊙ 题型一、直角三角形的两个锐角互余 例1如图，在ABC中，AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC交AD于点E,若 ∠EBD=30°，∠BAC=70°，则∠DAC=() B D A.60° B.50° C.40° D.45° 【变式1-1】如图，在ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC,交AC于点E.若 ∠BAD=34°，则∠AEB的度数为() D C A.56° B.60° C.62 D.65 【变式1-2】一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是_一· 1/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 309 145° 【变式1-3】如图，△ABC DBE,若AC⊥BE,且∠ABE=20°，则∠D的度数为 【变式1-4】一副三角板按如图所示的方式叠放，则的度数是 4500 30°0 【变式1-5】如图，ABC中，AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,已知 LB=48°，∠BAC=72°，求∠CAD与∠DHE的度数. D 题型二、三垂直模型(K字型模型) 例2如图，在△4BC中，∠4CB为钝角，把边4C绕点A沿逆时针方向旋转90得AD,把边BC绕点 B沿顺时针方向旋转90°得BE,作DMLAB于点M,ENLAB于点N,若AB=5,EN=2,则DM=一 B 【变式2-1】如图，∠B=∠C=90°，点E是线段BC上一点，AE⊥DE,则与∠1相等的角是() 2/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 2 E A.∠D B.∠2 C.∠A D.∠B 【变式2-2】如图，在ABC中，AC=BC,直线MN经过点C,AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E,且 AD=CE; MD C E (1)求证：AC⊥BC. (②)判断AD、BE、DE这三条线段之间的数量关系，并说明理由. 【变式2-3】如图，在RIAABC中，直角顶点A在直线1上，AB=AC,过点B、C分别作直线1的垂线， 垂足分别为D、E.求证：△ABD≌△CAE, 【变式2-4】己知ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线1上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其 中0°<a<180°. B B B A 图1 图2 图3 (I)模型：当a=90°时，如图1，猜想DE、BD、CE之间的数量关系为 3/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)拓展：当0°<a<90°时，如图2，(1)中结论是否仍然成立？请说明理由； (3)应用：当90°<a<180°时，如图3，若∠BAD>∠CAE,延长BC,交直线1于点F,BC=3CF, SABD=2,SCEF=1,求SMBC 【变式2-5】(1)如图1，C、A、E在一条直线上，∠BAD=90°，AB=AD,BC⊥CA于点C,DE⊥AE于 点E.求证：BC=AE. (2)如图2，EA⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积. (3)如图3，∠BAD=LCAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC、DE,且BC⊥AF于点F,DE与 AF交于点G, ①求证：DG=GE; ②若BC=21,AF=12,求△ADG的面积. B B E G D h E P A G E 图1 图2 图3 【变式2-6】在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E· M D M M E B B 图1 图2 图3 (I)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①aADC兰aCEB;②DE=AD+BE; (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，直接写出DE、AD、BE的关系为：； (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关 系，并加以证明。 题型三、锐角互余的三角形是直角三角形 例3如图，在ABC中，∠ABC=459,AD1BC于点D,E是AD上的一点，且DE=DC. E D (I)求证：BE=AC; (②)判断BE与AC的位置关系，并说明理由. 【变式3-1】如图，在ABC中，∠A=30,LB=60°，CE平分∠ACB交AB于点E. F A E D B (1)求∠AEC的度数； 5111 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)若CD⊥AB于点D,CDF=75°.判断△CFD的形状，并说明理由. 【变式3-2】己知，如图，AD为ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD ,求证： B D (I)△ADC≌△BDF; (2)BE⊥AC. 【变式3-3】如图，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，求证： (1)AE BD (2)AE⊥BD. 6/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型四、斜边的中线等于斜边的一半 例4已知，在RIA ACB中，∠ACB=90°，作CD1AB,AF平分∠CAB. M D (1)求证：CE=CF; (②)点N为EF的中点，点M为AC的中点，连接MW,MD,求证：MN=MD. 【变式4-1】已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点. E D (I)求证：EF⊥BD; (2)若∠BAD=30°，AC=8,求BD的长. 【变式4-2】已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90,CH是AB边上的高，CM是AB边上的中线，CG 是∠ACB的平分线，与AB的垂直平分线相交于点D.求证： D HG M B 7/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)CG平分∠HCM; (2)CM DM 题型五、含30度角的直角三角形 例5如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120,点D在BC上，AC⊥AD,AD=3,则BC的长为(） A.3 B.6 C.9 D.12 【变式5-1】如图，ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB,BP平分∠ABC,∠ABP=15°，过点P作 MN∥BC,分别交AC、AB于M、N,设AB=12,则△AMN周长是() A M B A.12 B.14 C.16 D.18 【变式5-2】如图，ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE L AB于点E,DF⊥AC于点F.若 AB=10,则BE+CF=一· A D 【变式5-3】如图，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E.若BE=2,∠B=15°，则 AC= 8/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 题型六、全等的性质和HL综合(HL) 例6如图，在ABC中，AD平分∠BAC,AH⊥BC于点H,点E在DA的延长线上，EF⊥BC交BC 延长线于点F,AH=DF,AB=DE,若∠DAC+nZACB=90°，则N= E B D HCF 【变式6-1】如图，在ABC中，LBAD=30°，将△ABD沿AD折叠至△ADB',LACB=2a,连接 B'C,B'C平分∠ACB,则∠AB'D的度数是() A.60°+ 2 B.60°+a C.90°-a 2 D.90°-a 【变式6-2】如图1，在五边形ABCDE中，∠E=90°，BC=DE,连接AC、AD,且AB=AD,AC⊥BC. 图1 图2 (I)求证：AC=AE; (2)如图2，若LABC=LCAD,AF为BE边上的中线，求证：AF⊥CD, 9/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式6-3】【模型探究】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，所以称 为“一线三垂直”模型.当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形. 图1 图2 图3 ()【探究发现】 如图1，在等腰直角ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于点D,BE LDE于 点E,则AD,BE与DE之间满足的数量关系是： (②)【反思感悟】 问题：如图2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，P是BC上一点，PA=PD,AB+BP=BC,则CD与 BP的数量关系是；依据是； (3)【拓展迁移】 问题：如图3，在三角形ABC中，∠B=∠C=45°，P是AC上一点，PE=PD，,且∠EPD=90°.求 AE+AP PC 的值 【变式6-4】已知，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC. B B 图1 图2 图3 (I)如图1，连接BD.若∠BAD=90°，求证：AD=CD. (2)如图2，点P,Q分别在线段AD,DC上，且满足PQ=AP+CQ,求证∠PBQ=∠ABP+∠QBC. (3)若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，连接BP,BQ,PO,仍然满足PQ=AP+CQ.请在 图3中补全图形，根据图形直接写出∠PBQ与∠ADC的数量关系， 10/11