专题01 集合与常用逻辑用语（讲义，全国通用）数学学业水平考试合格考总复习

专题01 集合与常用逻辑用语目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：集合的含义与表示 考点二：集合间的基本关系 考点三：集合的基本运算 考点四：充分条件与必要条件 考点五：全称量词与存在量词 进阶分级训练 1、了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； 2、能在自然语言和图形语言的基础上，用符号刻画集合； 3、了解全集与空集的含义； 4、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 5、理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集； 6、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 7、能使用Venn图表达集合的基本关系及基本运算； 8、理解必要条件，充分条件，充要条件的意义； 9、理解全称量词与存在量词的意义. 知识点1 元素与集合 1． 集合的概念 一般地，我们把指定的某些对象的全体称为 集合 ，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个对象叫做这个集合的 元素 ，通常用小写字母a，b，c，…表示. 2． 集合与元素的关系 一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a在集合中A中，就说元素 a 属于 集合A，记作 ，如果元素a在不集合中A中，就说元素a 不属于 集合A，记作 . 3．集合的分类 含有有限个元素的集合叫作 有限集 ，含有无限个元素的集合叫作 无限集 ，不含任何元素的集合叫作 空集 ，记作 . 4．元素与集合 （1）集合中元素的特性： 确定性 、 互异性 、 无序性 . （2）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. （3）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 N N*或（N＋） Z Q R C 知识点2 集合的基本关系 文字语言 符号语言 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] ______ 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的 真子集 且 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有____个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑__空集___的情况，否则会造成漏解. 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 并 集 由所有属于集合A 或属于 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或 x∈B}   A∪B 交 集 由所有属于集合A 且属于 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且 x∈B}     A∩B 补 集 由全集U中 不属于 集合A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且 x∉A}     知识点4 集合的运算性质 1．交集的性质： ①A∩B A；②A∩B B；③A∩A＝ ；   ④A∩＝ ；⑤A∩B = B∩A. 2．并集的性质： ①A∪B A；②A∪B B；③A∪A＝ ；④A∪＝ ；⑤A∪B = B∪A. 3．补集的性质： ①∁U(∁UA)＝ ； ②∁UU＝ ；③∁U＝ ； ④A∩(∁UA)＝ ；⑤A∪(∁UA)＝ ； ⑥∁U(A∩B)＝(∁UA) (∁UB)； ⑦∁U(A∪B)＝(∁UA) (∁UB)． 知识点5 命题的概念 （1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断 真假 的 陈述句 叫做命题． （2）分类：判断为 真 的语句是真命题，判断为 假 的语句是假命题． （3）结构形式：“若，则”“如果，那么”等形式的命题中， 称为命题的条件， 称为命题的结论． 知识点6 充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的定义 一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。 由可推出，记作，并且说是的___充分条件___，是的___必要条件___。 如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。 2．充分性和必要性的关系 在“若，则”中， 若：，则是的充分条件，是的必要条件 若：，则是的充分条件，是的必要条件 也就是说：在“若，则”中， 条件结论，____充分性成立____； 结论条件，____必要性成立___ 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的 充分不必要 条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分 条件 pq且q⇒p p是q的 充要 条件 p⇔q p是q的 既不充分又不必要 条件 pq且qp 知识点7 集合中的包含关系在判断条件关系中的应用 设命题对应集合，命题对应集合 若，即，是的充分条件（充分性成立） 若，即，是的必要条件（必要性成立） 若，即，，是的______充分不必要条件______ 若，即，，是的____必要不充分条件_______ 若，即，，是的______充要条件_________ 知识点8 全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 全称量词 ，并用符号“∀”表示. 含有全称量词的命题，叫做 全称量词命题 . 全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为 ∀x∈M，p（x） . （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 存在量词 ，并用符号“∃”表示. 含有存在量词的命题，叫做 存在量词命题 . 存在量词命题“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为 ∃x∈M，p（x） . 2．全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定 对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题，，它的否定： ，不成立 ． 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定 对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题，，它的否定： ，不成立 ． 存在量词命题的否定是全称量词命题． （3）在书写这两种命题的否定时，相应地 存在量词 变为全称量词，全称量词变为 存在量词 ． 考点精讲讲练 考点一：集合的含义与表示 例题1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）集合，若，则的取值可能 .（写出一个满足题意的答案即可） 【答案】 【分析】计算集合再求出参数的值. 【详解】若，满足，，所以可以是中任意一个，可以是， 故答案为：.（答案不唯一） 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的表示方法，以及集合相等的概念，逐项分析判定，即可求解. 【详解】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确； 对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于C中，集合表示由两个元素构成的数集； 集合表示由点作为元素，构成的单元素数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集， 集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 故选：A. 1．集合，集合A用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解，即可. 【详解】由， 可得， 即，又 所以， 故选：C 2．下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合相等的条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，集合中只有一个元素，所以A错误， 对于B，集合的元素是点，所以B错误， 对于C，由，解得或， 所以，故C正确， 对于D，集合中有二个元素，，所以D错误， 故选：C. 3．若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断元素是否满足集合的条件，再确定元素和集合的从属关系. 【详解】集合表示不大于的数构成的集合，而，元素、. 故选：. 4．若，则a的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系，结合互异性即可求解. 【详解】若，则，此时集合为，这与集合中的元素满足互异性相矛盾，不符合题意舍去； 若，则，此时集合为，符合要求； 若，则无实数解. 综上可知： 故选：A. 5．已知a，，若，则为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】利用相等集合的意义，结合集合元素的互异性求解. 【详解】由，得且，由，得，则， 所以. 故选：A 考点二：集合间的基本关系 例题1．（2025高二下·陕西西安·学业考试）设集合，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据子集的定义解题即可. 【详解】因为，，所以，所以. 故选：B 例题2．（2025高二上·北京·学业考试）已知集合.若存在的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集，则的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分析集合的子集的并集是的真子集，则这个集合中所含元素的个数确定的最大值. 【详解】集合的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集， 那么这个集合中至多含有3个元素，比如1、2、3. 那么这个集合可能是：，，，，，，. 故的最大值为7. 故选：C 1．集合的子集个数为（    ）. A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】D 【分析】用列举法表示集合A，求得集合A 中元素的个数，从而求得集合A的子集的个数. 【详解】因为，所以集合A的子集有个. 故选：D. 2．满足的集合A的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】根据已知条件可知集合A中必有1，2，集合A还可以有元素3，4，5且不能都含有，写出集合A的所有情况即可求解． 【详解】因为集合A满足， 则集合A中必有1，2，集合A还可以有元素3，4，5且不能都含有， 满足条件的集合有，，，，，，，共7个． 故选：B． 3．已知集合或，，则（    ） A． B．A⫋B C．B⫋A D． 【答案】C 【分析】合数轴即可判断. 【详解】在数轴上标记两个集合， 知⫋. 故选：C 4．已知集合，，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将集合中的元素的性质表达式化简成统一的形式，通过其表示的数集的范围即可判断集合之间的关系. 【详解】对于，； 对于，； 对于，. 因，则，则表示偶数，故易得. 故选：D. 5．已知集合，集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据子集的定义即可求解. 【详解】， 由于，故， 故选：B 考点三：集合的基本运算 例题1．（2025高二下·湖南·学业考试）集合，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解. 【详解】，而， 所以. 故选：D 例题2．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到，根据补集和并集概念进行求解 【详解】由题得，因为，所以. 又，所以. 故选：B. 例题3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义可求得的值. 【详解】由，，且，则得. 故选：B. 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的概念进行运算. 【详解】因为，，所以. 故选：A 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解出绝对值不等式得到集合，再根据并集定义求结论 . 【详解】由可得，则， 又，则. 故选：B. 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用补集的定义求解. 【详解】集合，则. 故选：C. 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解. 【详解】依题意，，则或， 而，所以. 故选：B 5．已知全集，集合，集合，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的运算法则可得答案. 【详解】由及， 可得：， 又因为， 所以. 故选：B 考点四：充分条件与必要条件 例题1．（2025高二下·浙江·学业考试）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据条件，利用不等式的性质及特殊值法结合充分条件与必要条件的定义，即可求解. 【详解】若，则有，所以； 若，比如，但是 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 例题2．（2025高二下·湖南·学业考试）已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式得，再结合选项及充分、必要条件的定义判断各选项即可. 【详解】由，则，解得， 则是使得成立的一个既不充分也不必要条件， 是使得成立的一个必要不充分条件， 是使得成立的一个充分不必要条件， 是使得成立的一个充要条件. 故选：C. 例题3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据余弦函数的性质，分别判断充分性与必要性是否成立即可. 【详解】若，则，充分性不成立； 若，则，即必要性成立； 所以，“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 1．已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】如果，则有，即充分性成立； 如果，则有，但不能推出， 比如，满足，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式，再利用充分条件和必要条件的概念进行判断. 【详解】因，当时；当时，，故或； 又或 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件，必要条件的定义判断. 【详解】时，不一定满足，充分性不成立； 而，即时一定满足，必要性成立. 则是的必要不充分条件. 故选：B 4．设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于两个集合来说，根据充分条件是找子集，必要条件是找集合，即可得到答案. 【详解】若集合是集合的必要条件，则， 所以在选项中使得成立的一个必要条件只有， 故选：A 5．设，则“”的充要条件是（ ） A．不都为1 B．都不为1 C．不都为0 D．中至少有一个为1 【答案】B 【分析】将整理得到，从而得到且. 【详解】， ， ， ， ， 且，即都不为1， 故选：B. 考点五：全称量词与存在量词 例题1．（2025高二下·湖南·学业考试）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的定义即可得出答案． 【详解】D含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题， ABC含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题. 故选：D 例题2．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知命题，则是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用命题的否定的求法求出即可. 【详解】因为命题是全称命题， 所以是，故D正确. 故选：D. 例题3．（2025高二上·辽宁·学业考试）已知命题，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据存在性量词的否定直接得出结果. 【详解】由题意知，为：. 故选：B 1．命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的否定形式可直接求得结果. 【详解】命题为全称量词命题，其否定为：，. 故选：C. 2．设命题，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定的定义求解即可. 【详解】根据存在量词命题的否定的规定， 由命题，， 可得，. 故选：B. 3．已知命题：一组对角相等的四边形是平行四边形，则（    ） A．是假命题，的否定为：一组对角相等的四边形不是平行四边形 B．是真命题，的否定为：一组对角相等的四边形不是平行四边形 C．是假命题，的否定为：存在一个一组对角相等的四边形不是平行四边形 D．是真命题，的否定为：存在一个一组对角相等的四边形不是平行四边形 【答案】C 【分析】先判断命题的真假，再根据全称量词命题的否定形式写出命题的否定. 【详解】一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，是假命题．的否定为：存在一个一组对角相等的四边形不是平行四边形． 故选：C 4．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用存在量词命题为真，结合一元二次不等式有解求出范围，再求其补集即可. 【详解】由命题“为真，得，解得， 因此命题“”为假命题，则， 所以实数的取值范围是， 故选：D 5．已知命题“”为假命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据存在量词命题为假命题，可得：方程无实数根，进而利用判别式进行求解即可. 【详解】命题“”为假命题，则方程无实数根， 当时，，符合题意， 当时，即，解得：； 综上：. 故选：A． 训练 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集可得，进而可求交集. 【详解】因为全集，，可得， 且集合，所以. 故选：A. 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，利用并集的定义即可求解. 【详解】由题可得：，所以； 故选：A 3．已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把全集和集合中的元素用列举法表示出来，再根据集合的补集的概念，即可求解. 【详解】由题意，， ，所以. 故选：B. 4．关于的不等式“”是“”成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式结合充分，必要条件定义可得答案. 【详解】，则由可得， 但由，得不到，则“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：B 5．已知集合，且，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据题意可对和分类讨论，再由集合元素的互异性即可求得结果. 【详解】由可知或； 当时，即，此时，不能满足题意； 当时，解得或（舍）， 时，，满足题意， 故. 故选：D 6．已知集合，，则的真子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先解不等式解出集合，然后根据交集的定义求出，最后根据真子集个数的公式即可求解. 【详解】由题意可知，所以，故的真子集个数为个. 故选：C 7．“ ” 是 “ ”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义可判断. 【详解】因为，所以， 反之满足，但是不满足， 所以“ ” 是 “ ”的充分不必要条件. 故选：B. 8．已知命题，总有，则命题的否定为（    ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定概念即可求解． 【详解】全称命题的否定规则为：全称命题，它的否定， 所以对于命题，总有， 根据全称命题的否定规则，它的否定是：，使得． 故选：A． 9．已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 10．命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为（   ） A．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数 B．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数 C．存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数 D．不存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数 【答案】B 【分析】根据特称命题的否定是全称命题判断即可. 【详解】命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为“对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数”. 故选：B 11．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】由题意得，，则． 故选：B． 12．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后根据交集和补集的定义可求. 【详解】， 而，故， 故， 故选：D. 13．已知命题；命题，则以下为真命题的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据不等式的解法，可判定命题为假命题，再由方程的解，可判定命题为真命题，结合选项，即可求解. 【详解】由不等式，可得或，解得或， 所以命题为假命题，则为真命题， 又由，解得或或，所以命题为真命题，则为假命题， 故选：B. 14．若“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由判别式即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得：， 所以实数的取值范围为， 故选：A 15．已知集合，集合. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）依据题意并结合补集的定义求解集合即可. （2）将给定条件转化为子集问题，分类讨论参数范围求解即可. 【详解】（1）当时，， 令，解得， 所以，故或. （2）由得到， （i）当时，， 因为，所以，解得. （ii）当时， 因为，所以，解得. （iii）当时， 因为，所以，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：集合的含义与表示 考点二：集合间的基本关系 考点三：集合的基本运算 考点四：充分条件与必要条件 考点五：全称量词与存在量词 进阶分级训练 1、了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； 2、能在自然语言和图形语言的基础上，用符号刻画集合； 3、了解全集与空集的含义； 4、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 5、理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集； 6、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 7、能使用Venn图表达集合的基本关系及基本运算； 8、理解必要条件，充分条件，充要条件的意义； 9、理解全称量词与存在量词的意义. 知识点1 元素与集合 1． 集合的概念 一般地，我们把指定的某些对象的全体称为 ，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个对象叫做这个集合的 ，通常用小写字母a，b，c，…表示. 2． 集合与元素的关系 一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a在集合中A中，就说元素 a 集合A，记作 ，如果元素a在不集合中A中，就说元素a 集合A，记作 . 3．集合的分类 含有有限个元素的集合叫作 ，含有无限个元素的集合叫作 ，不含任何元素的集合叫作 ，记作 . 4．元素与集合 （1）集合中元素的特性： 、 、 . （2）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. （3）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 N*或（N＋） Z Q R C 知识点2 集合的基本关系 文字语言 符号语言 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] ______ 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的_________ 且 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有__ __个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑__ ___的情况，否则会造成漏解. 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 并 集 由所有属于集合A 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或 x∈B}   交 集 由所有属于集合A 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且 x∈B}     补 集 由全集U中 集合A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且 x∉A}     知识点4 集合的运算性质 1．交集的性质： ①A∩B A；②A∩B B；③A∩A＝ ；   ④A∩＝ ；⑤A∩B B∩A. 2．并集的性质： ①A∪B A；②A∪B B；③A∪A＝ ；④A∪＝ ；⑤A∪B B∪A. 3．补集的性质： ①∁U(∁UA)＝ ； ②∁UU＝ ；③∁U＝ ； ④A∩(∁UA)＝ ；⑤A∪(∁UA)＝ ； ⑥∁U(A∩B)＝(∁UA) (∁UB)； ⑦∁U(A∪B)＝(∁UA) (∁UB)． 知识点5 命题的概念 （1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断 的 叫做命题． （2）分类：判断为 的语句是真命题，判断为 的语句是假命题． （3）结构形式：“若，则”“如果，那么”等形式的命题中， 称为命题的条件， 称为命题的结论． 知识点6 充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的定义 一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。 由可推出，记作，并且说是的 ，是的 。 如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。 2．充分性和必要性的关系 在“若，则”中， 若：，则是的充分条件，是的必要条件 若：，则是的充分条件，是的必要条件 也就是说：在“若，则”中， 条件结论， ； 结论条件， 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的 条件 p⇒q且qp p是q的 条件 pq且q⇒p p是q的 条件 p⇔q p是q的 条件 pq且qp 知识点7 集合中的包含关系在判断条件关系中的应用 设命题对应集合，命题对应集合 若，即，是的充分条件（充分性成立） 若，即，是的必要条件（必要性成立） 若，即，，是的 若，即，，是的 若，即，，是的 知识点8 全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“∀”表示. 含有全称量词的命题，叫做 . 全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为 . （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“∃”表示. 含有存在量词的命题，叫做 . 存在量词命题“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为 . 2．全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定 对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题，，它的否定： ． 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定 对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题，，它的否定： ． 存在量词命题的否定是全称量词命题． （3）在书写这两种命题的否定时，相应地 变为全称量词，全称量词变为 ． 考点精讲讲练 考点一：集合的含义与表示 例题1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）集合，若，则的取值可能 .（写出一个满足题意的答案即可） 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 1．集合，集合A用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 2．下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 3．若集合，则（   ） A． B． C． D． 4．若，则a的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．已知a，，若，则为（   ） A． B．0 C．1 D． 考点二：集合间的基本关系 例题1．（2025高二下·陕西西安·学业考试）设集合，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 例题2．（2025高二上·北京·学业考试）已知集合.若存在的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集，则的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．集合的子集个数为（    ）. A．3 B．4 C．5 D．8 2．满足的集合A的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 3．已知集合或，，则（    ） A． B．A⫋B C．B⫋A D． 4．已知集合，，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点三：集合的基本运算 例题1．（2025高二下·湖南·学业考试）集合，则（  ） A． B． C． D． 例题2．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 例题3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知全集，集合，集合，则 （    ） A． B． C． D． 考点四：充分条件与必要条件 例题1．（2025高二下·浙江·学业考试）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题2．（2025高二下·湖南·学业考试）已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 例题3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 1．已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．设，则“”的充要条件是（ ） A．不都为1 B．都不为1 C．不都为0 D．中至少有一个为1 考点五：全称量词与存在量词 例题1．（2025高二下·湖南·学业考试）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 例题2．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知命题，则是（    ）． A． B． C． D． 例题3．（2025高二上·辽宁·学业考试）已知命题，则是（   ） A． B． C． D． 1．命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．设命题，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知命题：一组对角相等的四边形是平行四边形，则（    ） A．是假命题，的否定为：一组对角相等的四边形不是平行四边形 B．是真命题，的否定为：一组对角相等的四边形不是平行四边形 C．是假命题，的否定为：存在一个一组对角相等的四边形不是平行四边形 D．是真命题，的否定为：存在一个一组对角相等的四边形不是平行四边形 4．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．已知命题“”为假命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 训练 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 4．关于的不等式“”是“”成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知集合，且，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．已知集合，，则的真子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．“ ” 是 “ ”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知命题，总有，则命题的否定为（    ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 9．已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 10．命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为（   ） A．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数 B．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数 C．存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数 D．不存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数 11．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 12．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 13．已知命题；命题，则以下为真命题的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 14．若“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．已知集合，集合. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $