精品解析：云南省保山市昌宁县第二中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试卷

昌宁县第二中学2025~2026学年上学期高三年级9月月考 数学试卷 测试时间：120分钟满分：150分本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将答题卡交回. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号､准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本人题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出指数函数、对数函数值域化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】对数函数为增函数，当时，，则， 指数函数为减函数，当时，，则， 所以. 故选：B 2. 下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本初等函数的单调性和奇偶性的定义，判定各选项中的函数是否满足条件即可. 【详解】对于A中，函数在定义域内既是奇函数又是增函数，A正确； 对于B中，函数是定义域内的非奇非偶函数，B错误； 对于C中，函数是定义域内的奇函数，在和上为增函数，C错误； 对于D中，函数是定义域内的非奇非偶函数，D错误. 故选：A. 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出的图象，结合图象可知在上单调递减，即可得到，再由对数的运算比较的关系，即可得解. 【详解】，作出函数的图象如图： 在上单调递减， ，，即， 又，， ，， . 故选：D. 4. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 5. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各段函数的单调性和分段点处的高低可得关于的不等式组，故可得其取值范围. 【详解】因为在上单调递减，故， 故. 故选：D. 6. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.75 C. 2.25 D. 2.55 【答案】C 【解析】 【分析】利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数. 【详解】根据题意由可得， 两式相除可得，即可得， 两边同时取对数可得，即可得； 即. 故选：C 7. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单调性的定义，在上为增函数，又函数为定义在上的奇函数，所以当时，，当时，即可得解． 【详解】根据题意，在上为增函数， 又函数为奇函数，所以在上也为增函数， 又，所以， 所以当时，， 当时，， 若，则， 又，所以当时，． 故选：D 8. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】 【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果. 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉， 再画出直线，之后上下移动， 可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程有两个解， 也就是函数有两个零点， 此时满足，即，故选C. 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数的值域为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A；求出两个函数的定义域可判断B；利用换元法求出的函数值域可判断C；根据抽象函数定义域的求法可判断D. 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，选项A正确. 对于B，定义域为R，定义域为，定义域不同，不是同一函数，选项B错误. 对于C，令，则， 函数可变形为，对称轴为直线，函数在上为增函数. 当时，，故函数的值域为，选项C正确. 对于D，由函数的定义域为得，，故函数的定义域为，选项D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. C. 是函数的一个周期 D. 方程恰有4个不同的根 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，根据偶函数的性质及函数的对称性判断A，推导出的周期，即可判断C，根据周期性与对称性，作出，的图象与的图象，数形结合即可判断D. 【详解】对于A：令，则是偶函数，即，即， 所以关于对称，故A正确； 对于C：因为是定义在上的奇函数，则， 因为，所以， 即，所以的周期， 显然，则也是函数的周期，故C正确； 对于B：因为，， 所以，， 所以，故B错误； 对于D：因为，，且关于直线对称， 根据对称性可以作出上的图象， 又，可知关于点对称，又可作出上的图象， 又的周期，作出，的图象与的图象， 又，，所以，即， 如图所示：所以与有4个交点，故D正确， 故选：ACD． 11. 已知函数，以下说法正确的有（ ） A. 若的定义域是，则 B. 若的定义域是，则 C. 若恒成立，则 D. 若，则的值域不可能是 【答案】CD 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解集与系数的关系可判断A选项；分析可知对任意的，，列出关于的各种情况，可判断B选项；利用对数运算求出的值，可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，若函数的定义域为， 则关于的不等式的解集为，故，A错； 对于B选项，若函数的定义域为，则对任意的，， 所以，或，B错； 对于C选项，由可得， 即，所以，，C对； 对于D选项，当时，则函数的值域为， 若函数的值域为，则，显然是不可能的，D对 故选：CD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知实数、满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可求最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 故答案为：. 13. 若是函数的极值点，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 14. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）若函数的图象经过点，求解不等式； （2）若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集； （2）根据的定义域将问题转化为时，得出有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 ，则， ，，， ，定义域为， 要解不等式，则，． 又在定义域内是严格增函数， 由，则，解得． 综上所述，不等式的解集为． 【小问2详解】 的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列， 则在方程中，应满足， 由，解得，问题转化为时，方程有实数解． 又，则， 即． 为严格单调函数， ， ，两边同除以得，． 令，由，则， 在有解． 又在上是严格增函数， ，即， 又，则. 16. 厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家把一批产品发给商家时，商家按规定拾取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这批产品： （1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格产品的概率； （2）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2件产品都合格时才接收这些产品，否则拒收． ①求该商家检验出不合格产品件数的均值； ②求该商家拒收这些产品的概率． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由对立事件概率公式及产品合格的概率为，易得从产品中任意取出件进行检验.即可求得至少有件是合格的概率； （2）①根据（1）的结论，得出所有可能取值及其概率后，由数学期望的计算公式计算即可得；②借助概率公式计算即可得. 【小问1详解】 记“厂家任取件产品检验，其中至少有件是合格品”为事件， 则； 【小问2详解】 ①设商家可能检验出不合格产品数为，则的可能的取值为， ， ， ， ； ②记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件， 则商家拒收这批产品的概率， 所以商家拒收这批产品的概率为. 17. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 19. 已知和为椭圆上两点. （1）求C的离心率; （2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】（1） （2）直线的方程为或. 【解析】 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅垂高乘表达面积即可. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以. 【小问2详解】 法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌宁县第二中学2025~2026学年上学期高三年级9月月考 数学试卷 测试时间：120分钟满分：150分本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将答题卡交回. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号､准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本人题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.75 C. 2.25 D. 2.55 7. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数的值域为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. C. 是函数的一个周期 D. 方程恰有4个不同的根 11. 已知函数，以下说法正确的有（ ） A. 若的定义域是，则 B. 若的定义域是，则 C. 若恒成立，则 D. 若，则的值域不可能是 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知实数、满足，则的最小值为__________． 13. 若是函数的极值点，则___________ 14. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）若函数的图象经过点，求解不等式； （2）若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 16. 厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家把一批产品发给商家时，商家按规定拾取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这批产品： （1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格产品的概率； （2）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2件产品都合格时才接收这些产品，否则拒收． ①求该商家检验出不合格产品件数的均值； ②求该商家拒收这些产品的概率． 17. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 19. 已知和为椭圆上两点. （1）求C的离心率; （2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $