专题13 双曲线重点题型全归纳（压轴题7大类型专项训练）高二数学人教A版2019选择性必修第一册

专题13 双曲线重点题型全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、双曲线的轨迹方程 1 类型二、双曲线中的焦点三角形 3 类型三、双曲线中的距离最值问题 4 类型四、双曲线的渐近线 5 类型五、求双曲线的离心率 6 类型六、求双曲线离心率的范围 7 类型七、双曲线的标准方程及参数问题 9 压轴专练 11 类型一、双曲线的轨迹方程 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为． 2、注意 （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 1．（24-25高二上·江苏·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 3．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知、为直线上的两个定点，，为上的动点．在平面直角坐标系中，、，以为圆心，为半径作圆；以为圆心，为半径作圆，则两圆公共点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 类型二、双曲线中的焦点三角形 双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积． （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题． 1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 2．（24-25高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 3．已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（    ） A． B．8 C． D． 4．（2025高二·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，为其左支上任意一点，点，则周长的最小值为 ． 5．（25-26高二上·全国·课堂例题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ，面积为 . 6．双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，内切圆半径为1，则 . 类型三、双曲线中的距离最值问题 与，（为双曲线上一点，，为双曲线的焦点）的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解． 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 2．设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 4．（23-24高二上·山东潍坊·月考）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 5．已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是 . 6．（25-26高二上·重庆·月考）点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为 . 类型四、双曲线的渐近线 双曲线渐近线求法 （1）根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程． （2）依据条件求出，再结合焦点的位置求出渐近线方程的斜率，从而确定渐近线方程． （3）由于渐近线的斜率和离心率一样都是一个比值，所以可依据条件提供的信息建立关于的等式，进而求出渐近线的斜率，从而得解． 1．若双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线C：的渐近线方程为，点在C上，则C的焦距为（    ） A． B． C． D． 3．已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝（    ） A．1 B． C．－4 D．1或－4 4．（24-25高二下·河北邯郸·期末）已知双曲线（）的两条渐近线的夹角的正切值为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 5．（25-26高二上·全国·单元测试）与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为 ． 6．（25-26高二上·全国·期末）若等轴双曲线C：的焦距为4，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为 ． 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）若双曲线的右支上一点到右焦点的距离最短为，则双曲线为的渐近线方程为 ． 8．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点.若（为坐标原点），且点到直线的距离为，则该双曲线的两条渐近线的夹角为 . 9．设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为 ． 类型五、求双曲线的离心率 求双曲线离心率的常用方法 （1）利用求：若可求得，则直接利用得解； （2）利用求：若已知，则直接利用得解； （3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解． 1．（24-25高二上·广西贵港·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南南阳·月考）已知双曲线C的焦点在y轴上，其渐近线方程为，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 3．（24-25高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是上一点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线C：（，）的左焦点为，右顶点为，过作垂直于轴的直线与两渐近线分别交于点，，若为等边三角形，则的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 5．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 6．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，且则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知，为双曲线C：的左、右焦点，过作直线l与双曲线的右支交于A，B两点，且，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．4 类型六、求双曲线离心率的范围 1、不等式法求离心率范围 （1）利用双曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解； （2）利用双曲线的性质，如:双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等(等式组)求解； （3）利用题目条件中的不等关系，建立不等式（组）求解； （4）利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等关系进行求解； 2、函数法求离心率的范围 （1）根据题干条件，如双曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他单变量函数关系式； （2）结合双曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域； （3）利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围． 3、坐标法求离心率的范围：根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可． 1．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知双曲线.若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江·期中）设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，，且双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山东淄博·月考）已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若，设且，则双曲线离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·安徽·月考）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过C上一点M向y轴作垂线交另一支于N点，若，且，则C的离心率为 ． 7．（25-26高二上·全国·单元测试）已知是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 类型七、双曲线的标准方程及参数问题 1、待定系数法求双曲线标准方程 2、由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。 1．（24-25高二上·四川内江·期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）焦点在y轴上的双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且虚半轴长为2，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南·期中）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 6．（24-25高二上·福建福州·期中）已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·天津·月考）已知双曲线 的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·广西钦州·月考）若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）相距1600m的两个哨所，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是，在哨所听到的爆炸声的时间比在哨所听到时迟．若以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京怀柔·期末）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二下·重庆·期末）已知双曲线两条渐近线的夹角为60°，则（   ） A． B． C． D．或 5．（25-26高二上·河南·期中）双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点是双曲线的一个顶点，为与的交点，，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 9．已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．24 B．15 C．12 D．30 11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点和的直线与双曲线在第一象限交于点P，若的面积是的3倍，则C的渐近线斜率为（   ） A． B． C． D． 12．已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·湖北·月考）双曲线（，）的左、右焦点分别为，.是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为5的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 15．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（    ） A．18 B．10 C．9 D．6 16．（24-25高二下·河南周口·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知双曲线C：分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.连接交双曲线C左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是（    ） A． B．2 C． D．5 18．已知双曲线C：的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若的周长为，则双曲线离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 19．（23-24高二上·河南·期中）已知双曲线为的上顶点，.若在的渐近线上存在一点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·陕西西安·月考）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为 ． 21．（23-24高二上·上海青浦·月考）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ． 22．（24-25高二下·江西宜春·月考）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过C的右焦点F，且，则C的渐近线方程为 ． 23．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 24．（2025高二·全国·专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点，若为锐角，则双曲线离心率的取值范围是 ． 25．（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线的方程为，点，是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是 ． 26．（23-24高二上·广东广州·月考）已知点为圆上的动点，点，延长至，使得，线段的垂直平分线交直线于点，记的轨迹为.则的方程为 . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 双曲线重点题型全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、双曲线的轨迹方程 1 类型二、双曲线中的焦点三角形 5 类型三、双曲线中的距离最值问题 12 类型四、双曲线的渐近线 16 类型五、求双曲线的离心率 21 类型六、求双曲线离心率的范围 27 类型七、双曲线的标准方程及参数问题 32 压轴专练 36 类型一、双曲线的轨迹方程 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为． 2、注意 （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 1．（24-25高二上·江苏·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件利用双曲线的定义、标准方程，求得双曲线的标准方程. 【详解】根据， 可得点到点的距离差的绝对值等于， 结合双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线， ，则，，所以，， 故方程为：， 故选：A. 2．（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义进行求解即可. 【详解】设炮弹爆炸点为， 由题意可知：， 显然点的轨迹是以A，B的焦点的双曲线，因此有， 可得：，于是有， 根据四个选项可知，只有选项D符合， 故选： 3．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点,根据题意建立方程，化简即得点的轨迹方程，同时要注意条件的满足即得. 【详解】设点，则， 化简即得：. 即点的轨迹方程为：. 故选：B. 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆P的半径为r，外切关系可得，，进而得，从而利用双曲线的定义即可求解. 【详解】由圆M：，得圆心，半径， 由圆N：，得圆心，半径． 设圆P的半径为r，则有，． 两式相减得， 所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支， 又，所以C的方程为． 故选：B． 6．已知、为直线上的两个定点，，为上的动点．在平面直角坐标系中，、，以为圆心，为半径作圆；以为圆心，为半径作圆，则两圆公共点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，分析可知，点不在线段（不包括端点）上，对点的位置关系进行分类讨论，结合双曲线的定义可求得动点的轨迹方程. 【详解】如下图所示： 设圆、圆的半径分别为、，则，， 设两圆的一个公共点为，由题意可知，点不能与点或点重合， 若点在线段（不包括端点）上运动时，则， 事实上，，此时点不存在； 当点在以点为端点以的方向为方向的射线上时， 此时，； 当点在以点为端点且以的方向为方向的射线上时， 此时，. 综上，， 所以，动点的轨迹是以点、为焦点的双曲线， 设该双曲线的标准方程为，焦距为， 则，可得， 因此，两圆公共点的轨迹方程为. 故选：A. 类型二、双曲线中的焦点三角形 双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积． （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题． 1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义可求得的周长. 【详解】如图，由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得，又， 所以， 所以的周长为12． 故选：B.    2．（24-25高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理及三角形的面积公式求解． 【详解】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上， 则，， 又， 则， 即， 即， 即的面积是 故选： 3．已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】设，根据圆的性质可知，利用勾股定理结合双曲线的定义可得，得即可求解. 【详解】设，由在以为直径的圆上可得， 所以，四边形为矩形，则， 由双曲线，得， 所以，又由双曲线的定义有， 所以，得， 所以， 即，而， 所以，所以的周长为. 故选：C. 4．（2025高二·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，为其左支上任意一点，点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义得到焦点坐标和，通过分析当，，三点共线（点在图中点处）时，周长最小，计算得到结果； 【详解】如图，的周长，， 因为，所以， 当，，三点共线（点在图中点处）时，周长最小， ，， 此时． 所以答案为：. 5．（25-26高二上·全国·课堂例题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ，面积为 . 【答案】 12 6 【分析】根据双曲线的定义可得，结合求得，即可求得的周长，再利用余弦定理和三角形面积公式可求其面积. 【详解】 根据题意，， 因为， 由， 可得，则的周长为； 在中，根据余弦定理， ， 则， 故 故答案为：12；6. 6．双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，内切圆半径为1，则 . 【答案】10 【分析】解法一：设（，）利用焦半径公式求出、，再由求出，可得答案； 解法二：设，，由双曲线定义可得，内切圆与轴切在双曲线的顶点处，则由求出，再由求出，可得答案； 解法三：设，，求出，由求出，由焦点三角形面积公式可得答案； 解法四：设，，，则得，由余弦定理②，设，求出可得答案. 【详解】解法一： ，所以， ， 设（，），， ， ， 又因为：，则，， ； 解法二：不妨设点在右支上，如下图，设，， 双曲线内切圆的圆心为，连接， ， 设分别与圆相切于点，双曲线右顶点为，连接， 则， 即， 又因为，所以与重合，即， 所以内切圆与轴切在双曲线的顶点处，， 可得，可得 则， ， 所以，， 即：； 解法三：设，，， ，， 则 ，所以， 由焦点三角形面积公式； 解法四：设，，， 则， 即：①， 由余弦定理，得：， ②， 设，则， 得，，则. 故答案为：10. 类型三、双曲线中的距离最值问题 与，（为双曲线上一点，，为双曲线的焦点）的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解． 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【答案】B 【分析】求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得． 【详解】由，得，，， 所以上焦点，则下焦点为，又， 由双曲线的定义得， 由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9．    故选：B． 2．设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义将转化成，数形结合求得最值得解. 【详解】如图，设双曲线的左焦点为， 由双曲线的定义得， 所以的最小值为. 故选：B. 3．已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值． 【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则． 设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即； 同理，点在双曲线的右支上，则，即． 所以． 根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立． 又，则，即． 所以的最小值为10． 故选：C． 4．（23-24高二上·山东潍坊·月考）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，且，通过可求得最小值. 【详解】设，且，， 又， 又或， 所以 即的最小值为，当点为双曲线左顶点时取最小值. 故答案为：. 5．已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是 . 【答案】6 【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【详解】由圆可化为，则，半径为1， 设是的下焦点，则，由双曲线定义可得，如图：    所以，又， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故答案为：6 6．（25-26高二上·重庆·月考）点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】由题意求出直线的交点B为圆心在，半径为1的圆，由双曲线的定义可得，所以，当A，，B三点共线时，最小，过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 【详解】由双曲线的方程可得，焦点，右焦点， 可得，所以， 当A，，B三点共线时，最小， 联立直线的方程，可得， 消参数t可得，可得交点B的轨迹为圆心在，半径为1的圆（除去点）， 所以， 当过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 所以的最小值为9. 故答案为：9    类型四、双曲线的渐近线 双曲线渐近线求法 （1）根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程． （2）依据条件求出，再结合焦点的位置求出渐近线方程的斜率，从而确定渐近线方程． （3）由于渐近线的斜率和离心率一样都是一个比值，所以可依据条件提供的信息建立关于的等式，进而求出渐近线的斜率，从而得解． 1．若双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线定义求出，再由双曲线方程求出其渐近线方程. 【详解】双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4， 则有，得， 所以双曲线的渐近线的方程为. 故选：C 2．已知双曲线C：的渐近线方程为，点在C上，则C的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线渐近线方程得，再把点代入双曲线方程求出的值，最后根据双曲线的性质求出焦距. 【详解】双曲线C：的渐近线方程为，则有，即， 双曲线方程可表示为， 点在C上，有，解得，即，得， 双曲线中为半焦距，则有，得， 所以双曲线C的焦距为. 故选：D 3．已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝（    ） A．1 B． C．－4 D．1或－4 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程即可求解. 【详解】因为双曲线的焦点在y轴上， 所以，，所以，即. 又双曲线的两条渐近线互相垂直，所以， 即，解得或（舍）. 故选：C. 4．（24-25高二下·河北邯郸·期末）已知双曲线（）的两条渐近线的夹角的正切值为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据双曲线渐近线方程求出两条渐近线的斜率，再利用夹角正切公式得出的值，最后根据双曲线离心率公式求解离心率. 【详解】已知双曲线（），其渐近线方差为， 因为，所以，所以， 计算可得或（舍去）， 双曲线得离心率 所以. 故选：C. 5．（25-26高二上·全国·单元测试）与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为 ． 【答案】2 【分析】设所求双曲线方程为，将点代入即可求解. 【详解】设所求双曲线方程为， 将点代入双曲线方程得， 故双曲线方程为，则双曲线的实轴长为2． 故答案为：2. 6．（25-26高二上·全国·期末）若等轴双曲线C：的焦距为4，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为 ． 【答案】 【分析】由题意求出焦点坐标和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解． 【详解】双曲线方程可化为C：，∴渐近线方程为． 又，∴，故焦点坐标为， 取其中一个焦点坐标和一条渐近线，即， ∴一个焦点到一条渐近线的距离为． 故答案为：. 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）若双曲线的右支上一点到右焦点的距离最短为，则双曲线为的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的性质得到，即可求出双曲线方程，从而求出渐近线方程. 【详解】双曲线，则， 又右支上一点到右焦点的距离最短为，即，所以， 又，则， 所以双曲线，则双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 8．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点.若（为坐标原点），且点到直线的距离为，则该双曲线的两条渐近线的夹角为 . 【答案】 【分析】由题意得，进一步得所求为，结合诱导公式、二倍角公式即可求解. 【详解】令双曲线的半焦距为，取的中点，连接，由， 得，，连接，由为的中点，得， 则，，， 因此，即，整理得， 所以，即，所以， 设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则， 所以， 故双曲线的两条渐近线的夹角的正切为. 故答案为：. 9．设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】设，利用双曲线定义分别表示出，利用直线的斜率得到，在解出，在用余弦定理得到与的关系，即解出双曲线的渐近线方程． 【详解】由，得为的中点；又，所以，所以； 设，如下图： 由双曲线的定义得，， 所以，从而， 所以； 由直线的斜率为，得 又， 在中，，即； 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 解得，所以，可得， 因此，可知渐近线方程为. 故答案为： 类型五、求双曲线的离心率 求双曲线离心率的常用方法 （1）利用求：若可求得，则直接利用得解； （2）利用求：若已知，则直接利用得解； （3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解． 1．（24-25高二上·广西贵港·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由焦点到渐近线的距离公式即可求解. 【详解】设双曲线的焦距为，焦点为因为双曲线的渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离为. 因为，所以，，所以双曲线的离心率为. 故选：C. 2．（25-26高二上·河南南阳·月考）已知双曲线C的焦点在y轴上，其渐近线方程为，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据渐近线方程可得，进而可得离心率，注意双曲线的焦点在y轴上. 【详解】因为双曲线C的焦点在y轴上，则其渐近线方程为， 又已知双曲线C的渐近线方程为， 则，所以双曲线的离心率． 故选：D. 3．（24-25高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是上一点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，用表示，结合双曲线定义列式求解. 【详解】设双曲线的焦距为， 由，则，又， 所以点在双曲线的右支上，且，， ，解得. 故选：D. 4．已知双曲线C：（，）的左焦点为，右顶点为，过作垂直于轴的直线与两渐近线分别交于点，，若为等边三角形，则的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得，即，即，整理得即可求解. 【详解】根据题意，不妨取在的上方，    则，，双曲线的渐近线方程为：. 由得： 又为等边三角形，所以， 则，即， 整理得，即， 解得或（舍）， 所以. 故选A. 5．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义式，结合题设条件，推得，设在中，利用余弦定理可得关于的齐次方程，解之即得离心率. 【详解】    如图，根据双曲线的定义得，， 由于，，则， 所以．设由题可得，则， 在中，由余弦定理，可得整理得， 即，因，则可得 . 故选：C． 6．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，且则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由双曲线的定义求得，，结合，利用列出方程求得，再由，求得的关系式，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】因为，设，则， 又由双曲线的定义，得，， 所以，， 又因为，可得，即， 解得， 由，即，可得， 双曲线C的离心率为. 故选：C. 7．已知，为双曲线C：的左、右焦点，过作直线l与双曲线的右支交于A，B两点，且，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据双曲线定义表示，在中利用余弦定理可得，在中利用余弦定理可得的关系，即可得到双曲线离心率. 【详解】由双曲线定义得，，， 设，则由图，， 在中，由余弦定理得，解得， ∴. 在中，由余弦定理得， ∴，故离心率. 故选：B. 8．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先根据双曲线定义依次求出、、和，接着由在和中运用余弦定理列方程即可求解. 【详解】因为，两点在双曲线右支上，根据双曲线定义，可得，， 又，解得，， 又，可得，， 在中，根据余弦定理得， 在中，根据余弦定理得， 因为，所以， 化简整理得，解得. 故选：B. 类型六、求双曲线离心率的范围 1、不等式法求离心率范围 （1）利用双曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解； （2）利用双曲线的性质，如:双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等(等式组)求解； （3）利用题目条件中的不等关系，建立不等式（组）求解； （4）利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等关系进行求解； 2、函数法求离心率的范围 （1）根据题干条件，如双曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他单变量函数关系式； （2）结合双曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域； （3）利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围． 3、坐标法求离心率的范围：根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可． 1．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分或 两种情况，结合求解. 【详解】解：因为双曲线的两条渐近线之间的夹角小于， 所以或 ， 即 或 ，又 ， 所以， 故选：D 2．已知双曲线.若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线斜率与双曲线渐近线斜率关系结合离心率的齐次式即可求出. 【详解】双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点， 故有，即，， 所以，所以. 所以的范围为. 故选：C 3．（23-24高二上·浙江·期中）设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，，且双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的渐近线的斜率小于，即可得出，由此即可求出的取值范围，从而求解 【详解】由题意得，，， 所以， 又因为双曲线的渐近线的斜率小于，得， 所以，即，得，故C正确. 故选：C. 4．（23-24高二上·山东淄博·月考）已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】据双曲线的对称性结合题意可得为等腰三角形，由此可得，进而得到关于的齐次式，即可求解离心率. 【详解】 由题意可知，即为等腰三角形， 故是锐角三角形，只需， 将代入可得， 故在中，，， 则，，化简整理，得， ∴，∴， 又，∴， 故选：B. 5．已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若，设且，则双曲线离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出对应的图象，设双曲线的左焦点为，连接，易得四边形为矩形，根据双曲线的定义找到关于离心率的表达式，求出离心率的取值范围即可． 【详解】 解：如图所示，设双曲线的左焦点为，连接, ，四边形为矩形,因此, 则． ,, 即，则, ,, 则, 故双曲线离心率的取值范围是， 故选：C． 6．（23-24高二上·安徽·月考）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过C上一点M向y轴作垂线交另一支于N点，若，且，则C的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由题意可知：为正方形，结合通径列式求解即可. 【详解】由题意可知：，且，结合对称性可知为矩形， 且，则为正方形，可得， 整理得，解得或（舍去）. 故答案为: . 7．（25-26高二上·全国·单元测试）已知是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件结合圆的弦长公式求得，利用，即，化简即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】如图，设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，    则到渐近线的距离，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以，因为，所以． 故答案为： 类型七、双曲线的标准方程及参数问题 1、待定系数法求双曲线标准方程 2、由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。 1．（24-25高二上·四川内江·期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，求解关于的一元二次不等式得答案． 【详解】解：方程表示双曲线， ，解得或 的取值范围是 故选：D. 2．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）焦点在y轴上的双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且虚半轴长为2，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出，进而求出双曲线方程. 【详解】令双曲线的实轴长为，焦距为，而虚轴长， 依题意，，即，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C 3．以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定双曲线的焦点和顶点，进而可得双曲线方程. 【详解】椭圆的长轴端点为， 椭圆焦点为， 即双曲线的焦点为，顶点为， 所以双曲线方程为. 故选：A. 4．（24-25高二上·河南·期中）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据方程表示双曲线得出或，再结合充分必要定义判断即可. 【详解】方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 5．已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解. 【详解】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 6．（24-25高二上·福建福州·期中）已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的基本性质求出的值求出双曲线方程. 【详解】由题意可知①， 渐近线方程：，交点坐标为， ∴，∴②， 由①②解得，， ∴双曲线：. 故选：C. 7．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据渐近线的倾斜角可得，即可由焦距以及的关系列方程求解. 【详解】由条渐近线的倾斜角为，可知，故， 又和， 解得，故双曲线方程为， 故选：A 8．（24-25高二上·天津·月考）已知双曲线 的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据是边长为的等边三角形，求出和，再根据求解、，即可求得双曲线方程. 【详解】 因为是边长为的等边三角形，所以， ，所以渐近线的斜率， 因为，解得， 所以双曲线的方程为：. 故选：D 1．（24-25高二上·广西钦州·月考）若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程确定且焦点在x轴上，再由双曲线离心率及参数关系确定方程. 【详解】由椭圆方程知：且焦点在x轴上，又双曲线的离心率为，则， 所以，则双曲线的方程是. 故选：D 2．（24-25高二上·全国·课后作业）相距1600m的两个哨所，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是，在哨所听到的爆炸声的时间比在哨所听到时迟．若以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据速度、时间、位移之间的关系，结合双曲线的定义进行求解即可. 【详解】以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则， 设为曲线上任一点， 则， 所以点的轨迹为双曲线的右支，且，， ， 点的轨迹方程为． 故选：B 3．（24-25高二上·北京怀柔·期末）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求“方程表示焦点在轴上的双曲线”的等价条件，结合充要条件的定义判断结论. 【详解】“方程表示焦点在轴上的双曲线”等价于， 即， 所以“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的充要条件. 故选：C. 4．（24-25高二下·重庆·期末）已知双曲线两条渐近线的夹角为60°，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用两直线夹角定义可得渐近线倾斜角的取值，从而可求参数. 【详解】双曲线渐近线方程为， 由两条渐近线的夹角为60°，则渐近线的倾斜角为或 所以斜率或，解得或， 故选：D. 5．（25-26高二上·河南·期中）双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线渐近线方程及两直线平行关系得，进而利用离心率公式求解即可. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为． 因为双曲线的一条渐近线与直线平行，所以渐近线为，且， 所以双曲线的离心率． 故选：A． 6．已知抛物线的焦点是双曲线的一个顶点，为与的交点，，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，得到，由抛物线焦半径公式得到，进而求出，代入双曲线方程，得到，求出渐近线方程. 【详解】由题意得，的一个顶点坐标为， 故， 由于为与的交点，，故，解得， 将代入中得， 将，代入中得， 又，故， 所以的渐近线方程为. 故选；B 7．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可. 【详解】由，得，所以为双曲线的右支， 为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则， 所以．所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 8．（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，半径为，根据给定条件可得，从而得到的轨迹为以为焦点，的双曲线左支，再求轨迹方程即可. 【详解】圆：，圆心，半径 ， 圆：，圆心，半径 ， 设动圆圆心，半径为，由动圆与圆，都外切， 得，则， 因此圆心的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线左支， 即，半焦距，虚半轴长， 所以动圆圆心的轨迹方程是. 故选：B 9．已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义可得，求的最小值相当于求的最小值，当三点共线时能取得最小值. 【详解】因为，所以要求的最小值， 只需求的最小值. 如图,连接交双曲线的右支于点.当点A位于点处时， 最小，最小值为. 故的最小值为.    故选：C 10．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．24 B．15 C．12 D．30 【答案】A 【分析】利用双曲线定义求出的三边长度，根据余弦定理求出三角形的夹角，最后通过三角形正弦定理面积公式求出面积. 【详解】，根据双曲线定义：， ，，， 根据余弦定理：， 则，. 故选：A 11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点和的直线与双曲线在第一象限交于点P，若的面积是的3倍，则C的渐近线斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由直线的方程和得P点坐标，再由P点在C上求出即可由渐近线的定义得解. 【详解】设，因为，，所以直线的方程为， 又，所以，得， 又点P在直线上，所以，则，所以, 所以，解得，故所求渐近线斜率为.    故选：C 12．已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合双曲线的定义，在，通过余弦定理列出等式求解即可； 【详解】由题可知，又因为，所以，， 在中，， 在中，，即， 化简可得，则. 故选：B 13．（24-25高二上·湖北·月考）双曲线（，）的左、右焦点分别为，.是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为5的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由所给条件可转化为中角的正弦值，利用正弦定理由正弦值之比得出边长之比，再由面积 求出边长，利用双曲线定义求得解. 【详解】如图：由题可知，点必落在第四象限，， 设，，，由，求得， 因为，所以，求得，即，， 由正弦定理可得：， 则由得，， 由得， 则，，，， 由双曲线定义可得：，，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 14．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量等式可得，由焦点到渐近距离，结合离心率的意义求得答案. 【详解】设双曲线的半焦距为c，由对称性不妨取渐近线为， 由，得， 则，即，，， 由，得，所以的离心率为. 故选：B 15．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（    ） A．18 B．10 C．9 D．6 【答案】C 【分析】由已知可得四边形为矩形，从而可得，，由双曲线的性质可求得，从而可得，利用勾股定理及双曲线的定义可求得，由三角形面积公式即可得解． 【详解】直线与双曲线交于，两点，若， 则四边形为矩形，所以，，    由双曲线可得，，则， 所以，所以， 又， 所以，解得， 所以． 故选：C． 16．（24-25高二下·河南周口·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，得到直线的方程为，设，根据的面积为，列出方程，求得，得到，由，结合双曲线的定义，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，所以， 过点且倾斜角为的直线的方程为， 设，因为的面积为，所以， 因为点在第一象限，所以，可得， 又由，可得，所以， 又因为，所以， 可得. 故选：A.    17．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知双曲线C：分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.连接交双曲线C左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】A 【分析】设，由双曲线定义表达各边，且，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到答案. 【详解】由题意得，设， 因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，故， 由双曲线定义知，，故， ， 其中， 解得，则，， 因为，所以， 在中，由余弦定理得 ， 解得， 故双曲线C的离心率为. 故选：A 18．已知双曲线C：的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若的周长为，则双曲线离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线定义及焦点三角形周长、焦点弦的性质有，即可求离心率范围. 【详解】 根据双曲线定义知：的周长为，而， 所以，而的周长为， 所以，即，所以，解得， 双曲线离心率的取值范围是. 故选：D. 19．（23-24高二上·河南·期中）已知双曲线为的上顶点，.若在的渐近线上存在一点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆和直线的位置关系列不等式，化简求得双曲线离心率的取值范围. 【详解】设的中点为，，则， 依题意，以为圆心，半径为的圆与渐近线由公共点， 所以， ， 所以. 故选：D    20．（25-26高二上·陕西西安·月考）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设点，根据斜率之积是列出关系式即可. 【详解】设点，则直线，的斜率分别为， 因它们的斜率之积是，则，化简得， 则动点M的轨迹方程为. 故答案为： 21．（23-24高二上·上海青浦·月考）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ． 【答案】/ 【分析】利用双曲线的定义表达式和余弦定理联立方程组，可求得的值，代入三角形的面积公式计算即得. 【详解】 由可得：，如图，设则①， 在中，由余弦定理，，即：② 由①②联立，解得：. 则三角形的面积为. 故答案为：. 22．（24-25高二下·江西宜春·月考）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过C的右焦点F，且，则C的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】由题可得四边形为矩形，则，由，结合，求出，再利用勾股定理即可求解. 【详解】如图，设为C的左焦点，连接，则四边形为平行四边形， 因为以线段MN为直径的圆过F，所以，从而四边形为矩形， 所以． 由双曲线的定义，得，即， 又因为，所以． 由，得，解得， 所以，故C的渐近线方程为． 23．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可得点满足双曲线的定义，且求得，的值，再由求得，则点的轨迹的方程可求． 【详解】解：由点是线段垂直平分线上的点， ， 又， 满足双曲线定义且，， ， 轨迹方程：． 故答案为：． 24．（2025高二·全国·专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点，若为锐角，则双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用得的关系式，然后求得离心率范围. 【详解】设直线的方程为，则其与另一条渐近线的交点为，    由为锐角，可得，即， 化简得，，，所以．故离心率的取值范围为． 故答案为： 25．（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线的方程为，点，是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】设点的坐标为，利用双曲线的定义，可得，于是，转化求解即可． 【详解】由题意可得，，即，则，的坐标分别为，， 由双曲线的定义，得， 又是圆上的点，设圆的圆心为，半径为， 由图可知，， 所以， 当且仅当、、、四点共线（、在之间）时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 26．（23-24高二上·广东广州·月考）已知点为圆上的动点，点，延长至，使得，线段的垂直平分线交直线于点，记的轨迹为.则的方程为 . 【答案】 【分析】先根据中位线求解出，然后利用垂直平分线的性质分析的取值，由此判断出轨迹并求解出轨迹方程. 【详解】连接，如下图所示：      因为为的中点，所以， 由垂直平分线的性质可知：， 所以， 所以的轨迹是以为焦点且实轴长为的双曲线， 所以，所以， 所以轨迹方程为， 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $