第六单元 认识常见的数量关系（一）（知识清单）数学北京版三年级上册（新教材）

第六单元 认识常见的数量关系（一）单元知识清单讲义 知识点一：基础行程问题 核心公式：路程 = 速度 × 时间，速度 = 路程 ÷ 时间，时间 = 路程 ÷ 速度。 应用场景：已知其中两个量，求第三个量。例如：一辆汽车每小时行驶60千米，行驶3小时，求路程，用 千米。 知识点二：相遇问题 核心公式：总路程 = （甲速度 + 乙速度）× 相遇时间，相遇时间 = 总路程 ÷ （甲速度 + 乙速度），甲速度 + 乙速度 = 总路程 ÷ 相遇时间。 特点：两个物体从两地同时出发，相向而行，最终相遇。 知识点三：追及问题 核心公式：追及路程 = （快速度 - 慢速度）× 追及时间，追及时间 = 追及路程 ÷ （快速度 - 慢速度），快速度 - 慢速度 = 追及路程 ÷ 追及时间。 特点：两个物体同向而行，速度慢的在前，速度快的在后，快的追慢的。 知识点四：流水行船问题 核心公式： 顺水速度 = 船速 + 水速 逆水速度 = 船速 - 水速 船速 = （顺水速度 + 逆水速度）÷ 2 水速 = （顺水速度 - 逆水速度）÷ 2 特点：船在水中行驶，水的流速会影响船的实际速度。 知识点五：火车过桥问题 核心公式：火车过桥路程 = 火车长度 + 桥的长度，时间 = （火车长度 + 桥的长度）÷ 火车速度。 特点：火车通过桥时，行驶的总路程是火车自身长度与桥长度之和。 题型一：基础行程问题 【例1】小明骑自行车的速度是每分钟200米，他骑了15分钟，一共骑了多少米？ 【练1】一辆货车行驶的路程是450千米，行驶时间是5小时，它的速度是多少？ 题型二：相遇问题 【例2】甲、乙两地相距300千米，客车从甲地出发，速度是60千米/小时，货车从乙地出发，速度是40千米/小时，两车同时相向而行，几小时后相遇？ 【练2】小红和小丽同时从学校出发，向相反方向走去，小红的速度是50米/分钟，小丽的速度是45米/分钟，10分钟后两人相距多少米？ 题型三：追及问题 【例3】小明和小亮在环形跑道上跑步，小明速度是120米/分钟，小亮速度是100米/分钟，跑道长400米，小明在小亮后面，几分钟后小明能追上小亮？ 【练3】哥哥和弟弟同时从家出发去学校，哥哥速度是80米/分钟，弟弟速度是60米/分钟，哥哥到学校后发现忘带作业，立即返回，在离学校100米处遇到弟弟，家到学校的距离是多少米？ 题型四：流水行船问题 【例4】一艘船在静水中的速度是20千米/小时，水流速度是4千米/小时，这艘船顺水行驶3小时的路程是多少？逆水行驶2小时的路程是多少？ 【练4】一艘船顺水行驶的速度是30千米/小时，逆水行驶的速度是24千米/小时，求船在静水中的速度和水流速度。 题型五：火车过桥问题 【例5】一列火车长200米，以每分钟800米的速度通过一座长1400米的大桥，需要多少分钟？ 【练5】一列火车通过一条长800米的隧道用了100秒，已知火车的速度是10米/秒，求火车的长度。 一、填空题 1．一台彩电售价2990元，买4台大约要花( )元。 2．二（1）班有女生28人，男生17人，每5人一组去植树，可以分成( )个小组。 3．姐姐和弟弟一起折千纸鹤。姐姐折了48只，弟弟折了30只。要使两人的千纸鹤只数同样多，姐姐要给弟弟( )只。 4．计算50×3－120÷4这道题时，( )法和( )法可以同时计算。 5．计算时，要先算( )法，再算( )法，结果是( )。 6．在一个算式里，有加减法，又有乘除法，应先算( )，再算( )；如果算式里有括号的，要先算( )算式。 二、判断题 7．将7－2＝5，5×4＝20合并成一个综合算式是7－2×4。( ) 8．在18－8×2这个算式里，要先算乘法，再算减法。( ) 9．王老师买了3个足球和1个排球，共用去270元，每个排球45元，那么每个足球75元。( ) 10．二年级有女生13人，男生17人。如果每5人一组做实验，可以分6组。( ) 11．用4、7、4可以算出得数是24的综合算式为4×（7－4）。( ) 三、选择题 12．张叔叔要买3张从甲城到乙城的火车票，有三种不同的票，他估算了一下，然后付给售票员1000元，他买的是（    ）的票。 A．特快列车312元/张 B．普通列车198元/张 C．高铁523元/张 13．每辆校车有49个座位，9辆校车一次大约可以坐（    ）个学生。 A．400 B．450 C．500 14．小马虎在计算28－□÷4时，弄错了运算顺序，先算减法后算除法了，结果得数是5，正确的得数是（    ）。 A．15 B．18 C．26 15．刘兵有57元，打算买9根跳绳，还差6元，每根跳绳的价钱是（    ）。 A．（57－6）÷9 B．（57＋6）÷9 C．57÷9＋6 D．57×9＋6 16．有48名同学乘车秋游，有6辆小客车，每辆小客车可坐5人。小美列的算式是48－6×5，她第二步解决的问题是（    ）。 A．6辆小客车坐多少人 B．5辆小客车坐多少人 C．还剩多少人没坐上车 D．还需要多少辆小客车 四、计算题 17．脱式计算。 36×24÷9               859＋57×47 63×（25＋47）               376÷（150－146） 18．看图列式计算。 19．看线段图列式计算。    五、解答题 20．王叔叔在手机上安装了一款健身软件，每行走1千米会得到48个积分，积累200个积分就可以兑换1元话费。王叔叔上周六共行走了4千米，他这天得到的积分够不够兑换1元话费？ 21．在“读经典，我思考”活动中，轩轩从星期三开始读《稻草人》，并且每天记录自己读了多少页（如下图）。 星期三 星期四 星期五 星期六 每天读的页数 38 38 38 46 （1）轩轩一共读了多少页？ （2）《稻草人》这本书一共有224页，还剩下多少页没有看？ 22．学校要购买9张电脑桌，每张售价105元。学校和家具店约定先交300元定金，等全部电脑桌送到后再付余下的钱。最后结账时，学校还要再付多少元？ 23．根据物品价格回答下列问题。 （1）妈妈买1张餐桌和4把椅子，一共要花多少元？ （2）王叔叔带了1000元钱，估一估他带的钱够买一个柜子和一个沙发吗？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 认识常见的数量关系（一）单元知识清单讲义 知识点一：基础行程问题 核心公式：路程 = 速度 × 时间，速度 = 路程 ÷ 时间，时间 = 路程 ÷ 速度。 应用场景：已知其中两个量，求第三个量。例如：一辆汽车每小时行驶60千米，行驶3小时，求路程，用 千米。 知识点二：相遇问题 核心公式：总路程 = （甲速度 + 乙速度）× 相遇时间，相遇时间 = 总路程 ÷ （甲速度 + 乙速度），甲速度 + 乙速度 = 总路程 ÷ 相遇时间。 特点：两个物体从两地同时出发，相向而行，最终相遇。 知识点三：追及问题 核心公式：追及路程 = （快速度 - 慢速度）× 追及时间，追及时间 = 追及路程 ÷ （快速度 - 慢速度），快速度 - 慢速度 = 追及路程 ÷ 追及时间。 特点：两个物体同向而行，速度慢的在前，速度快的在后，快的追慢的。 知识点四：流水行船问题 核心公式： 顺水速度 = 船速 + 水速 逆水速度 = 船速 - 水速 船速 = （顺水速度 + 逆水速度）÷ 2 水速 = （顺水速度 - 逆水速度）÷ 2 特点：船在水中行驶，水的流速会影响船的实际速度。 知识点五：火车过桥问题 核心公式：火车过桥路程 = 火车长度 + 桥的长度，时间 = （火车长度 + 桥的长度）÷ 火车速度。 特点：火车通过桥时，行驶的总路程是火车自身长度与桥长度之和。 题型一：基础行程问题 【例1】小明骑自行车的速度是每分钟200米，他骑了15分钟，一共骑了多少米？ 答案： 米 解析：根据“路程 = 速度 × 时间”，速度是200米/分钟，时间是15分钟，所以路程为 米。 【练1】一辆货车行驶的路程是450千米，行驶时间是5小时，它的速度是多少？ 答案： 千米/小时 解析：根据“速度 = 路程 ÷ 时间”，路程是450千米，时间是5小时，所以速度为 千米/小时。 题型二：相遇问题 【例2】甲、乙两地相距300千米，客车从甲地出发，速度是60千米/小时，货车从乙地出发，速度是40千米/小时，两车同时相向而行，几小时后相遇？ 答案： 小时 解析：根据“相遇时间 = 总路程 ÷ （甲速度 + 乙速度）”，总路程是300千米，甲速度60千米/小时，乙速度40千米/小时，速度和为 千米/小时，所以相遇时间为 小时。 【练2】小红和小丽同时从学校出发，向相反方向走去，小红的速度是50米/分钟，小丽的速度是45米/分钟，10分钟后两人相距多少米？ 答案： 米 解析：两人反向而行，总路程 = （小红速度 + 小丽速度）× 时间，速度和为 米/分钟，时间10分钟，所以相距 米。 题型三：追及问题 【例3】小明和小亮在环形跑道上跑步，小明速度是120米/分钟，小亮速度是100米/分钟，跑道长400米，小明在小亮后面，几分钟后小明能追上小亮？ 答案： 分钟 解析：追及路程是跑道长400米，速度差为 米/分钟，根据“追及时间 = 追及路程 ÷ 速度差”，可得 分钟。 【练3】哥哥和弟弟同时从家出发去学校，哥哥速度是80米/分钟，弟弟速度是60米/分钟，哥哥到学校后发现忘带作业，立即返回，在离学校100米处遇到弟弟，家到学校的距离是多少米？ 答案： 米 解析：哥哥比弟弟多走了 米（哥哥到学校再返回100米，弟弟离学校还有100米，所以路程差是200米），速度差是 米/分钟，追及时间为 分钟。弟弟走的路程是 米，家到学校的距离是 米。 题型四：流水行船问题 【例4】一艘船在静水中的速度是20千米/小时，水流速度是4千米/小时，这艘船顺水行驶3小时的路程是多少？逆水行驶2小时的路程是多少？ 答案：顺水路程千米，逆水路程千米 解析：顺水速度 = 船速 + 水速 = 千米/小时，顺水路程为 千米；逆水速度 = 船速 - 水速 = 千米/小时，逆水路程为 千米。 【练4】一艘船顺水行驶的速度是30千米/小时，逆水行驶的速度是24千米/小时，求船在静水中的速度和水流速度。 答案：船速千米/小时，水速千米/小时 解析：船速 = （顺水速度 + 逆水速度）÷ 2 = 千米/小时；水速 = （顺水速度 - 逆水速度）÷ 2 = 千米/小时。 题型五：火车过桥问题 【例5】一列火车长200米，以每分钟800米的速度通过一座长1400米的大桥，需要多少分钟？ 答案： 分钟 解析：火车过桥路程 = 火车长度 + 桥的长度 = 米，时间 = 路程 ÷ 速度 = 分钟。 【练5】一列火车通过一条长800米的隧道用了100秒，已知火车的速度是10米/秒，求火车的长度。 答案： 米 解析：火车行驶的路程 = 速度 × 时间 = 米，火车长度 = 行驶路程 - 隧道长度 = 米。 一、填空题 1．一台彩电售价2990元，买4台大约要花( )元。 答案： 12000 分析：根据单价×数量＝总价，用一台彩电的售价2990元乘台数4台，将2990元估算为接近的整千数3000元，再进行估算出结果。据此解答。 详解：2990×4≈3000×4＝12000（元） 所以，买4台大约要花12000元。 2．二（1）班有女生28人，男生17人，每5人一组去植树，可以分成( )个小组。 答案：9 分析：根据题意可知，二（1）班有女生的人数加上男生人数，等于二（1）班的总人数，总人数除以每组的人数，等于可以分成多少个小组，据此解答。 详解：根据分析可得： （个） 因此，可以分成9个小组。 3．姐姐和弟弟一起折千纸鹤。姐姐折了48只，弟弟折了30只。要使两人的千纸鹤只数同样多，姐姐要给弟弟( )只。 答案：9 分析：要使两人的千纸鹤只数同样多，需要把姐姐比弟弟多的只数的一半给弟弟，用姐姐折的只数减弟弟折的只数，再除以2，即等于姐姐要给弟弟的只数，据此即可解答。 详解：（48－30）÷2 ＝18÷2 ＝9（只） 姐姐要给弟弟9只。 4．计算50×3－120÷4这道题时，( )法和( )法可以同时计算。 答案： 乘 除 分析：在四则混合运算中，乘法和除法属于同级运算，加法和减法属于同级运算。在没有括号的情况下，同级运算可以同时计算；据此可解此题。 详解：由分析可知，计算50×3－120÷4这道题时，乘法和除法可以同时计算。 5．计算时，要先算( )法，再算( )法，结果是( )。 答案： 除 加 60 分析：在没有括号的算式里，如果只有加减法或者只有乘除法，都要从左往右按顺序计算。在没有括号的算式里，既有乘除法，又有加减法的要先算乘除法，再算加减法，算式里有括号要先算括号里的，再算括号外面的。 详解： ＝52＋8 ＝60 计算时，要先算除法，再算加法，结果是60。 6．在一个算式里，有加减法，又有乘除法，应先算( )，再算( )；如果算式里有括号的，要先算( )算式。 答案： 乘除 加减 括号里面的 分析：根据四则混合运算法则，没有括号的加减乘除混合运算，先算乘除后算加减，然后按照从左到右的顺序计算；带括号的加减乘除混合运算，先算括号里面的算式，再算括号外面的算式；据此解答即可。 详解：在一个算式里，有加减法，又有乘除法，应先算乘除，再算加减；如果算式里有括号的，要先算括号里面的算式。 二、判断题 7．将7－2＝5，5×4＝20合并成一个综合算式是7－2×4。( ) 答案：× 分析：根据题意可知，原题要求将两个分步算式合并为一个综合算式，若直接写成 7－2×4，根据运算顺序，先算乘法，再算减法，2×4＝8，再计算7－8，不够减，合并的综合算式不正确；为了保证先算减法，必须把7减去2加上括号，通过括号确保先进行减法，再进行乘法，据此解答。 详解：根据分析可得： 将7－2＝5，5×4＝20合并成一个综合算式是（7－2）×4。 因此，原题中合并后的算式缺少括号，导致运算顺序错误，答案为错误。 故答案为：× 8．在18－8×2这个算式里，要先算乘法，再算减法。( ) 答案：√ 分析：在没有括号的算式里，只有加、减法或只有乘、除法，要从左往右计算；在没有括号的算式里，如果既有乘、除法，又有加、减法，要先算乘、除法，再算加、减法，由此解答。 详解：18－8×2 ＝18－16 ＝2 所以，在18－8×2这个算式里，要先算乘法，再算减法。原题说法正确。 故答案为：√ 9．王老师买了3个足球和1个排球，共用去270元，每个排球45元，那么每个足球75元。( ) 答案：√ 分析：1个排球45元，用270减45即可求出3个足球的总价，最后用这个差除以3即可求出1个足球的价格，据此解答。 详解：（270－45）÷3 ＝225÷3 ＝75（元） 王老师买了3个足球和1个排球，共用去270元，每个排球45元，那么每个足球75元，这句话说法正确。 故答案为：√ 10．二年级有女生13人，男生17人。如果每5人一组做实验，可以分6组。( ) 答案：√ 分析：先用女生人数加上男生人数，求出学生总人数。用学生总人数除以每组人数，求出分成的组数。 详解：（13＋17）÷6 ＝30÷5 ＝6（组） 这些学生可以分成6组，题干说法正确。 故答案为：√ 点睛：本题根据加法和除法的意义列式解决问题，注意列算式时要根据算式意义添上小括号。 11．用4、7、4可以算出得数是24的综合算式为4×（7－4）。( ) 答案：× 分析：根据题意计算4×（7－4）的值，判断是否等于24，据此解答。 详解：4×（7－4） ＝4×3 ＝12，原题说法是错误的。 故答案为：× 点睛：本题考查算式的组成，可以通过计算组成的算式判断正确与否。 三、选择题 12．张叔叔要买3张从甲城到乙城的火车票，有三种不同的票，他估算了一下，然后付给售票员1000元，他买的是（    ）的票。 A．特快列车312元/张 B．普通列车198元/张 C．高铁523元/张 答案：A 分析：根据题意可知，每张火车票的价钱×买火车票的张数＝买火车票需要的钱数，依此列式并把每张火车票的价钱看作与它相近的整百数进行估算求出各选项的火车票需要的总钱数，再与1000元进行比较，即可知道张叔叔买的是哪种票。 详解：A．312×3≈300×3＝900（元），900元＜1000元； B．198×3≈200×3＝600（元），600元＜1000元； C．523×3≈500×3＝1500（元），1500元＞1000元。 600元、900元里面只有900元最接近1000元，因此他买的是特快列车312元/张的票。 故答案为：A 13．每辆校车有49个座位，9辆校车一次大约可以坐（    ）个学生。 A．400 B．450 C．500 答案：B 分析：用49乘9可以计算出9辆校车一次可以坐多少个学生，用估算可以计算出一次大约可以坐多少个学生；两位数乘一位数的估算，将两位数用四舍五入的方法，看作整十数进行估算；据此解答。 详解：根据分析： 49×9≈50×9＝450（个） 所以9辆校车一次大约可以坐450个学生。 故答案为：B 14．小马虎在计算28－□÷4时，弄错了运算顺序，先算减法后算除法了，结果得数是5，正确的得数是（    ）。 A．15 B．18 C．26 答案：C 分析：根据运算顺序，先算减法后算除法，除以4结果是5，先用4×5＝20，再用28－20＝8，求出□表示的数，再根据正确的运算顺序计算出结果。 详解：5×4＝20 28－20＝8 28－8÷4 ＝28－2 ＝26 正确的得数该是26。 故答案为：C 15．刘兵有57元，打算买9根跳绳，还差6元，每根跳绳的价钱是（    ）。 A．（57－6）÷9 B．（57＋6）÷9 C．57÷9＋6 D．57×9＋6 答案：B 分析：用刘兵有的钱加上还差的钱，求出买9根跳绳所需要的钱，用买9根跳绳所需要的钱除以9，即可求出每根跳绳的价钱，即（57＋6）÷9，据此解答即可。 详解：（57＋6）÷9 ＝63÷9 ＝7（元） 所以每根跳绳的价钱是7元。 故答案为：B 16．有48名同学乘车秋游，有6辆小客车，每辆小客车可坐5人。小美列的算式是48－6×5，她第二步解决的问题是（    ）。 A．6辆小客车坐多少人 B．5辆小客车坐多少人 C．还剩多少人没坐上车 D．还需要多少辆小客车 答案：C 分析：根据题意，小美列的算式是48－6×5，先算：6辆小客车坐的人数，6×5＝30（人）；再用总人数减去6辆小客车坐的人数求出还剩多少人没坐上车，即48－30＝18（人）；据此解答。 详解：由分析知：第一步先算6辆小客车坐的人数，第二步算的是还剩下没有坐上车的人数。 故答案为：C 四、计算题 17．脱式计算。 36×24÷9               859＋57×47 63×（25＋47）               376÷（150－146） 答案：96；3538 4536；94 分析：（1）先算乘法，再算除法； （2）先算乘法，再算加法； （3）先算小括号里面的加法，再算小括号外面的乘法； （4）先算小括号里面的减法，再算小括号外面的除法。 详解：36×24÷9 ＝864÷9 ＝96 859＋57×47 ＝859＋2679 ＝3538 63×（25＋47） ＝63×72 ＝4536 376÷（150－146） ＝376÷4 ＝94 18．看图列式计算。 答案：108棵 分析：根据题意可知，梨树有36棵，桃树的棵数是梨树的4倍，求桃树比梨树多多少棵，先用36×4求出桃树的棵数，再减去梨树的棵数，即可求出桃树比梨树多多少棵，据此列式计算即可。 详解：36×4－36 ＝144－36 ＝108（棵） 桃树比梨树多108棵。 19．看线段图列式计算。    答案：260份 分析：观察上图可知，科技报是少年报的4倍，少年报的份数乘4等于科技报的份数，然后把两种报纸的份数相加即可解答。 详解：52×4＋52 ＝208＋52 ＝260（份） 五、解答题 20．王叔叔在手机上安装了一款健身软件，每行走1千米会得到48个积分，积累200个积分就可以兑换1元话费。王叔叔上周六共行走了4千米，他这天得到的积分够不够兑换1元话费？ 答案：不够 分析：48个积分接近50积分，如果1千米得50积分，则4千米得4个50积分是200个积分，这时正好换1元话费，但实际每行走1千米会得到48个积分，则4千米不够200积分，所以不能兑换。 详解：48＜50    50×4＝200（个）    48×4＜200 答：，他这天得到的积分不够兑换1元话费。 21．在“读经典，我思考”活动中，轩轩从星期三开始读《稻草人》，并且每天记录自己读了多少页（如下图）。 星期三 星期四 星期五 星期六 每天读的页数 38 38 38 46 （1）轩轩一共读了多少页？ （2）《稻草人》这本书一共有224页，还剩下多少页没有看？ 答案：（1）160页 （2）64页 分析：（1）已知轩轩星期三、星期四、星期五每天读38页，星期六读46页。根据乘法的意义，用38乘3计算出星期三到星期五读的总页数，再加上星期六读的46页，可得轩轩一共读的页数。 （2）已知《稻草人》这本书一共有224页，根据减法的意义，用这本书的总页数减去轩轩已经读的页数，即还剩下多少页没有看。 详解：（1）38×3＋46 ＝114＋46 ＝160（页） 答：轩轩一共读了160页。 （2）224－160＝64（页） 答：还剩下64页没有看。 22．学校要购买9张电脑桌，每张售价105元。学校和家具店约定先交300元定金，等全部电脑桌送到后再付余下的钱。最后结账时，学校还要再付多少元？ 答案：645元 分析：根据题意可知，每张电脑桌的售价乘买的张数求出9张电脑桌的价钱，再减去先交的定金，即等于最后结账时还要付的钱，据此即可解答。 详解：105×9－300 ＝945－300 ＝645（元） 答：学校还要再付645元。 23．根据物品价格回答下列问题。 （1）妈妈买1张餐桌和4把椅子，一共要花多少元？ （2）王叔叔带了1000元钱，估一估他带的钱够买一个柜子和一个沙发吗？ 答案：（1）986元 （2）不够 分析：（1）先计算4把椅子的价钱，即75×4，然后与1张餐桌的价钱相加即可。 （2）先对柜子和沙发的价格之和进行估算，再与王叔叔所带的钱数进行比较。 详解：（1）75×4＋686 ＝300＋686 ＝986（元） 答：一共要花986元。 （2）478＋532≈470＋530＝1000（元） 1000＝1000 答：他带的钱不够买一个柜子和一个沙发。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $