精品解析：四川省成都列五中学2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

2025-2026学年四川省成都市成华区列五中学九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住：化简后的方程：含有“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行判断即可． 【详解】解：A、未知数最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； B、只有当时，才是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2. 下面四条线段中成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例． 【详解】解：、由于，所以不成比例，不符合题意； 、由于，所以不成比例，不符合题意； 、由于，所以成比例，符合题意； 、由于，所以不成比例，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查线段成比例的知识，解题的关键是只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例． 3. 把写成比例式，写错的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质及应用，解题的关键是利用“比例式中两内项之积等于两外项之积”，将每个选项的比例式转化为乘积式，与已知条件对比，判断其正确性． 根据比例基本性质，对每个选项分别计算“两内项之积”和“两外项之积”；若积等于，则该比例式正确；若积不等于，则该比例式错误． 【详解】解：根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，逐一分析选项： A、对于，内项为和，外项为和，则内项积，外项积； ∵， ∴此比例式正确，该选项不符合题意． B、对于，内项为和，外项为和，则内项积，外项积； ∵， ∴此比例式正确，该选项不符合题意． C、对于，内项为和，外项为和，则内项积，外项积； ∵， ∴此比例式正确，该选项不符合题意． D、对于，内项为和，外项为和，则内项积，外项积； 不一定相等 ∴此比例式错误，该选项符合题意． 故选：D． 4. 用配方法解方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先移项，两边都加上，可得形如即可． 【详解】移项，得， 两边加上，得， 即． 故选：B． 5. 如果一个多边形的内角和是它外角和的倍，那么这个多边形的边数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形的外角和定理以及这个多边形的内角和是它外角和的倍，可以求出这个多边形的内角和，再设这个多边形的边数为，然后根据多边形内角和定理，列方程求解出多边形的边数． 【详解】解：由多边形外角和定理可知，这个多边形的内角和为， 设这个多边形的边数为， 则， 解得：， 这个多边形的边数是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和定理、多边形的外角和定理进行求解是解决本题的关键． 6. 已知四边形为平行四边形，下列说法正确的是（　　） A. 若，则该四边形为矩形 B. 若，则该四边形为菱形 C. 若，则该四边形为矩形 D. 若，则该四边形为正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：A. 若，则该四边形为菱形，不符合题意； B. 若，则该四边形为矩形，不符合题意； C. 若，则该四边形为矩形，符合题意； D. 若，则该四边形为菱形，不符合题意， 故选：C． 7. 菱形中，对角线、交于点O，，，则菱形的高长度为（ ） A. B. C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，孰练掌握菱形的相关性质，勾股定理是解决本题的关键． 根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：在菱形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8. 如图，在平行四边形中，的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质证得AD∥BC，AD=BC，再根据角平分线的定义和平行线的性质以及等角对等边证得AF=AB=3，BC=5，再根据平行线分线段成比例和比例性质求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠AFB=∠CBF， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠ABF=∠AFB， ∴AF=AB=3，又FD=2， ∴BC=AD=AF+FD=5， ∵AD∥BC， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理、比例性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 已知，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，将 拆分为 是解题的关键．利用已知比例 ，将所求表达式 拆分为 ，然后代入计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：． 10. 若矩形矩形，，，则矩形与矩形的相似比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的相似比等于对应边的比值．根据题意，与是对应边，直接计算比值即可． 【详解】解：矩形矩形， 与为对应边， 相似比． 故答案为：． 11. 比例尺为1∶4000000的地图上，两城市间的图上距离为3cm，则这两城市间的实际距离为________km． 【答案】120 【解析】 【分析】根据比例尺公式：比例尺=图上距离/实地距离，得到：实地距离=图上距离/比例尺计算即可. 【详解】 ． 故答案为 【点睛】本题考查比例尺的运用.熟练掌握比例尺公式是解题的关键. 12. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，已知，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，先求得，根据平行线分线段成比例得出，代入数据即可求解，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 13. 如图，菱形的边长为4，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交于点，连接，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接BE，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得BE=AE=， 再得∠EBC=90°，利用勾股定理即可求出CE的长度． 【详解】解：连接BE，如图： 由题意可知，MN垂直平分AB， ∴AE=BE， ∴，则∠AEB=90°， 在等腰直角三角形ABE中，AB=4， ∴BE=AE=， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC， ∴∠EBC=∠AEB=90°， 在Rt△BCE中，由勾股定理，则 ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到∠EBC=∠AEB=90°． 14. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根；同时，二次项系数不能为零． 【详解】解：方程是一元二次方程，因此二次项系数，即． ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 综上，的取值范围为且． 故答案为：且． 15. 设、是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系；利用方程根的定义将高次项降次，再结合根与系数的关系求解． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ ，即 ． 则 ． 代入 ，得 ． 原式 ． 由根与系数的关系，方程 的两根之和为 ． ∴ 原式 ． 故答案为：． 16. 如图，已知，两条直线交于点O，且与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 证明求出，证明求出，即可得解． 【详解】解：， ， ，即， 解得， ， ， ，即， 解得， ， 故答案为：． 17. 如图，已知矩形，，，点E是对角线上一动点，点F是线段上一动点且满足，则的最小值______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 利用建系法，以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立直角坐标系，分别表示出点E、F的坐标，进而再利用二次根式求最值． 【详解】解：以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立直角坐标系，过E点作于点G，如图， ，， ，， 设F点坐标为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，F点坐标为，， ， 整理，得：， 的最小值可看作是点到点的距离与点到点的距离之和的最小值， 点关于x轴的对称点的坐标为， ， 故答案为：． 18. 如图，在矩形中的边上取一点E，将沿翻折，使得C恰好落在边上点F处，在上取一点G，使得，连接并延长交直线于点H，当为等腰三角形时，则的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】分三种情况进行讨论：若为等腰三角形，且时，若为等腰三角形，且时，若为等腰三角形，且时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】解：分三种情况讨论： ①若为等腰三角形，且时，如图1， ∵是由折叠得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， 连接， 则， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴， 过点G作于点M， ∵，， ∴， 又∵， 设，， 在中，， ∴， 即， ∴， ∴； ②若为等腰三角形，且时，如图2， ∵， ∴， ∵是由折叠得到， ∴， ∴， ∴， 与题意不符， ∴此种情况不可能； ③若为等腰三角形，且时，如图3， ∵， ∴， ∵是由折叠得到， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 连接， 由①知， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M为的黄金分割点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是数形结合，分情况讨论，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）（配方法）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解决问题的关键． （1）先把方程变形为，再把方程两边开方得到，然后解两个一次方程即可； （2）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； （3）先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； （4）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为2，求另一个根和k的值． 【答案】（1） 证明： ， ， ， 即， 不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）另一个根为，k的值为 【解析】 【分析】根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，由偶次方的非负性，可得出，进而可得出，即，由此可证出：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； 将代入原方程，可得出，解之可得出k的值，得到方程，再用因式分解法求解另一个根，即可求出结论． 本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程以及一元二次方程的解，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；将代入原方程，求出k的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入原方程得：， 解得：， 原方程为， 解得 方程的另一个根为，k的值为 21. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得．连接．过点作，交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）证四边形是平行四边形，再证，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，由菱形性质可证为等边三角形，可得，再由勾股定理求出，根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是矩形， ， 又， ， ∵四边形是菱形， ， 为等边三角形， ， ， ， ． 22. 上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔每个售价应定为60元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得： 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元，依题意，得： ， 整理，得 解得 因为尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为60元． 23. 在坐标系中，直线与x轴交于点A与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于，点M是直线上的动点． （1）求直线的解析式； （2）如图，点M在运动过程中，当时，求点M的坐标； （3）若点N在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点M，使以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）M的坐标为或 （3）存在，M坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）先求出点A，B的坐标，然后再用待定系数法求直线的解析式即可； （2）先求出由题意可得，那么或，然后解方程即可求出点M的纵坐标，然后利用的解析式，求得点M的横坐标即可； （3）分类讨论，利用两点距离公式求解即可． 【小问1详解】 解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，得：， 解得：； 当时，得：， ，， 设直线的解析式为， 将点，分别代入得：， 解得：， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：，，， ，，， ， ， 点M在直线上， 或， ①当时， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ； ②当时， 得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， ， 综上所述，点M的坐标为或； 【小问3详解】 解：平面内存在一点M，使得以点A、B、M、N四点为顶点形成的四边形是菱形；理由如下： 设，相交于点E，则，，设， ①当四边形是菱形，如图1 ，即， ， ， 或； ②当四边形是菱形，如图2， 此时，即， ， 解得：， ； ③当四边形是菱形时，过点M作轴于点Z，如图3， 此时，即， ， 解得：不合题意，舍去或， ； 综上所述，M坐标为或或或 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象及性质，菱形的性质，中点公式，勾股定理，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 24. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）是否存在实数k，使成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由； （2）求使的值为整数的实数k的整数值． 【答案】（1） ，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ，， ， 若成立， 解方程得 ， ， ， 这与矛盾， ∴不存在这样k的值； （2），或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，代数式的推理变形过程是解答本题的关键． （1）由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得，，然后把，的值代入中，即可求得k的值； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，根据的值为整数，以及k的取值范围即可确定k的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得 ， 的值为整数， 即的值为整数， 或，或，或，或，或， 解得或，，，，， ， ，或． 25. 如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N． （1）若点D是BC的中点， ①若AP：PD＝2：1，求AM：AB的值 ②证明：； （2）若点D是BC上任意一点，试证明：． 【答案】（1）①； ②证明：延长AD至点Q，使DQ＝AD，连BQ、CQ， ∵DQ=AD，BD=DC， 四边形ABQC是平行四边形． ∴PM∥BQ，PN∥CQ， ∴，， ∴；（注：像第（1）题那样作辅助线也可以．） （2）证明：过点D作DE∥PM交AB于E， ∴， 又∵PM∥AC，∴DE∥AC， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 【解析】 【分析】（1）①过点D作DE∥PM交AB于E，由点D为BC中点与AP：PD=2：1，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AM：AB的值； ②延长AD至点Q，使DQ=AD，连BQ、CQ，易得四边形ABQC是平行四边形，由平行四边形的性质可得PM∥BQ，PN∥CQ，继而可得； （2）过点D作DE∥PM交AB于E，即可得，又由PM∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得，继而求得． 【详解】（1）①过点D作DE∥PM交AB于E， ∵PM∥AC，∴DE∥AC， . ∵点D为BC中点， ∴点E是AB中点，且， ∴； ②略 （2）略 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质与判定．注意掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法是解此题的关键． 26. 如图，正方形的边在坐标轴上，点B的坐标为．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接，过P点作的垂线，与过点Q平行于y轴的直线相交于点D．与y轴交于点E，连接．设点P运动的时间为． （1）的度数为______，点D的坐标为______（用t表示）； （2）求当为何值时，为等腰三角形？ （3）探索周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值． 【答案】（1）， （2）当为4秒或秒时，为等腰三角形 （3）周长不随时间t的变化而变化，为定值8 【解析】 【分析】（1）证明，得到为等腰直角三角形，据此求解即可； （2）由于，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到．由于底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的t值． （3）如图，将绕点按顺时针方向旋转，得到，再证可得，然后运用正方形的周长公式即可解答． 【小问1详解】 解：由题可得：， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴点D的坐标为， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：①若，则． ． ， ． 点与点重合． 点与点重合．与条件“轴”矛盾， 这种情况应舍去． ②若，则． ． ． 在和中， ． ，． ． 点与点重合（）． 点与点重合（）． 点， ． 此时． ③若， 在和中， ． ． ， ． ． ， ． 延长到点，使得，连接，如图②所示． 在和中， ． ，． ， ， ． ． ． 在和中， ． ． ． ． ， 解得， 当为4秒或秒时，为等腰三角形． 【小问3详解】 解：的周长不随时间的变化而变化． ∵， ∴， 如图，将绕点按顺时针方向旋转，得到， ∴ ， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴的周长． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识，考查了分类讨论的思想，考查了利用基本活动经验解决问题的能力，综合性非常强．熟悉正方形与一个度数为的角组成的基本图形（其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交）是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年四川省成都市成华区列五中学九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 下面四条线段中成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 把写成比例式，写错的是( ) A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果一个多边形的内角和是它外角和的倍，那么这个多边形的边数为（ ）． A. B. C. D. 6. 已知四边形为平行四边形，下列说法正确的是（　　） A. 若，则该四边形为矩形 B. 若，则该四边形为菱形 C. 若，则该四边形为矩形 D. 若，则该四边形为正方形 7. 菱形中，对角线、交于点O，，，则菱形的高长度为（ ） A. B. C. 12 D. 13 8. 如图，在平行四边形中，的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 已知，则的值是______． 10. 若矩形矩形，，，则矩形与矩形的相似比为______． 11. 比例尺为1∶4000000的地图上，两城市间的图上距离为3cm，则这两城市间的实际距离为________km． 12. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，已知，，，则的长为_____． 13. 如图，菱形的边长为4，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交于点，连接，则的长为____________． 14. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 15. 设、是方程的两个实数根，则的值为______． 16. 如图，已知，两条直线交于点O，且与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，，，，则的长为______． 17. 如图，已知矩形，，，点E是对角线上一动点，点F是线段上一动点且满足，则的最小值______． 18. 如图，在矩形中的边上取一点E，将沿翻折，使得C恰好落在边上点F处，在上取一点G，使得，连接并延长交直线于点H，当为等腰三角形时，则的值为_______． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）（配方法）． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为2，求另一个根和k的值． 21. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得．连接．过点作，交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积． 22. 上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 23. 在坐标系中，直线与x轴交于点A与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于，点M是直线上的动点． （1）求直线的解析式； （2）如图，点M在运动过程中，当时，求点M的坐标； （3）若点N在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点M，使以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）是否存在实数k，使成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由； （2）求使的值为整数的实数k的整数值． 25. 如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N． （1）若点D是BC的中点， ①若AP：PD＝2：1，求AM：AB的值 ②证明：； （2）若点D是BC上任意一点，试证明：． 26. 如图，正方形的边在坐标轴上，点B的坐标为．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接，过P点作的垂线，与过点Q平行于y轴的直线相交于点D．与y轴交于点E，连接．设点P运动的时间为． （1）的度数为______，点D的坐标为______（用t表示）； （2）求当为何值时，为等腰三角形？ （3）探索周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $