第二十一章一元二次方程 专项训练-2025-2026学年 人教版九年级数学上册

一元二次方程：二次方程的定义、二次方程的根、解二次方程、根与系数的关系专项训练 一元二次方程：二次方程的定义、二次方程的根、解二次方程、根与系数的关系 专项训练 考点目录 二次方程的定义 二次方程的根 解二次方程 根与系数的关系 考点一 二次方程的定义 例1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，6，10 B．6，2，10 C．2，6， D．6，8， 【答案】C 【详解】解：原方程可化为， 故二次项系数为 2，一次项系数为 6，常数项为， 故选：C． 例2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）下列方程中，关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 一元二次方程需满足：①一个未知数；②最高次数为2；③整式方程． A． ，最高次数为3，不符合题意； B． ，含有两个未知数，不符合题意； C． ，只含x，最高次数为2，且为整式方程，符合题意； D． ，含有分式，不是整式方程，不符合题意． ∴ 关于x的一元二次方程是C项． 故选：C． 例3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围值是 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴则二次项系数， 解得． 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）已知方程是关于x的一元二次方程，则__________． 【答案】 【详解】解：根据题意得：且， 解得． 故答案为：． 变式1．（24-25九年级上·四川广元·期末）将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ∴； 故选D． 变式2．（2025·四川泸州·一模）把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， 故选：． 变式3．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）将方程化为一般式为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程化为一般式为一般式为， 故答案为：． 变式4．（25-26九年级上·四川德阳·阶段练习）已知是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】1 【详解】解：因为是关于的一元二次方程，所以需要满足： 二次项系数不为0，即，解得， 未知数的最高次数是2，即， 解，可得，即或， 又因为．所以． 故答案为：1． 考点二 二次方程的根 例1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知是一元二次方程的解，则代数式的值为（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴， 故选：B． 例2．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知是一元二次方程的一个根，则m的值是（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．0或 【答案】A 【详解】解：∵是方程 的根， ∴代入得：， 整理得：， 即， ∴， ∴； 故选：A． 例3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）已知是方程的一个根，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ ，即 ． ∴ ． 故选：B． 例4．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ∴，， ∴ ． 故答案为：． 例5．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）已知是方程的一个实数根，则的值为 ． 【答案】2030 【详解】解：将代入，得， ∴， ∴． 故答案为：． 例6．（25-26九年级上·天津河西·阶段练习）若是方程的一个根，则 ． 【答案】2 【详解】解：∵是方程 的一个根， ∴ 将代入方程得：， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：2． 变式1．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·期中）若是方程 的一个根，则代数式 的值是（  ） A．2022 B．2020 C．2018 D．2016 【答案】A 【详解】解：∵ a是方程的根， ∴， 即 ． ∴． 故选A． 变式2．（25-26九年级上·天津宝坻·阶段练习）已知是方程的一个根，则代数式的值等于（    ）． A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：∵ m是方程的根， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故选：C 变式3．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）关于的一元二次方程的常数项被墨迹覆盖，已知是该方程的一个解，则被墨迹覆盖的常数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设常数项为，将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 变式4．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）已知a是方程的一个实数根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：是方程的一个实数根， ， 即， ∴． 故答案为：． 变式5．（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）若是方程的一个根，则a的值等于 ． 【答案】2 【详解】解：∵ 是方程 的一个根， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 变式6．（25-26九年级上·广东汕头·期中）是一元二次方程的一个实数根，则代数式＝ ． 【答案】3 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ∴ ，即； 代数式， 又 ∵ ， ∴ ． 故原式． 故答案为：3． 考点三 解二次方程 例1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ， 即． （2）解：， ， ∴， ∴， ，． （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 或， 即或． （4）解：， 展开左边：， 移项：， ， ∴， ∴， ． 例2．（25-26九年级上·天津河北·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2) (3)， (4) 【详解】（1）解：， 开平方得：， ∴，； （2）解：， ∵，， ∴ 解得： （3）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （4）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 例3．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期中）解下列一元二次方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， 这里，，， ， ∴， ∴，． （2）解：， ， ， ， 或， ∴，． 变式1．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）解下列一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1) ，； (2) ，． 【详解】（1）解：， 分解因式可得：， 可得：或， 解得：，； （2）解：， 移项得：， 提公因式得：， 可得：或， 解得：，． 变式2．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）解下列一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴，； （2）解：， ， ∴或， ∴，． 变式3．（25-26九年级上·天津河西·阶段练习）适当方法解方程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ， 解得； （2）， ， ， 解得； （3）， ， ， ， 解得； （4）， ， ， ， ， 解得． 考点四 根与系数的关系 例1．（25-26九年级上·天津河北·阶段练习）关于的方程的两实数根为，，若，则的值为(    )． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】解：∵关于  x   的方程    的两实数根为 ，   ， 又 方程 的二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 ， 由根与系数的关系：得，． ∵， ∴ ， 即 ， 解得 ， ∴ 或 ． 又∵ 方程有两实数根， ∴， 即． ∴． 故选：A． 例2．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）设一元二次方程的两个实根为和，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】∵一元二次方程 中，，，， ∴根据根与系数关系，． 故选：C． 例3．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）若一元二次方程的两个根为1和，则 ． 【答案】 【详解】设方程的两根为 和 ． 由根与系数的关系，得 ，． 代入数值，得 ，， 所以，． 所以． 故答案为 ． 例4．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知等腰三角形的底边长为3，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根，则这个等腰三角形的腰长是 ． 【答案】6 【详解】解：设腰长为a， ∵等腰三角形的底边长为3，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根， ∴方程的两个根均为a， 根据根与系数的关系，， 解得， 此时等腰三角形的三边分别为3，6，6，满足三边关系， 故答案为：6． 例5．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）关于的一元二次方程有两个实数根并且． (1)求实数的取值范围； (2)是否存在使得满足？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）解：由题意知，， 解得：， ∴实数的取值范围为； （2）解：存在， 理由如下； 由题意知，， ， ， 即， 解得：或 由（1），舍去， ∴ ∴方程有解，即存在使得满足． 例6．（25-26九年级上·天津河西·阶段练习）已知关于x 的方程 (1)无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是，求m 的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)，方程的另一个根为7 【详解】（1）证明：方程可化为， ∴， ∵， ∴， ∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为， ∵的一个根是， ∴， ∴， ∴， 解得； 故方程的另一个根为7，． 例7．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有实数根； (2)若等腰的三边长分别是2，a和b，且a，b分别是一元二次方程的两个根，请求出的周长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)或 【详解】（1）证明：， ， 不论为何值，该方程总有实数根； （2）等腰的三边长分别是2，a和b，且a，b分别是一元二次方程的两个根， 当，为腰时，，，且， ， 解得：， ， 周长； 当，或，为腰，则是方程的解， ， ， ， ， 的周长； 的周长为或． 变式1．（25-26九年级上·天津河西·阶段练习）关 于x 的一元二次方程，则该方程根的情况为（   ） A．两根之和为 B．两根之积为 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】D 【详解】解： 一元二次方程为， 其中，，， 则判别式， 则方程没有实数根，D选项正确，符合题意； 由于没有实数根，选项 A 和 B 涉及的根与系数的关系，不成立，选项 C 错误． 故选：D 变式2．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）已知，是方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴ ∴ ， 故选：A 变式3．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知是方程的两个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 变式4．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】2027 【详解】解：由条件可知，， 是方程的一个实数根， ， 即， ， 原式 故答案为： 变式5．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，． (1)求n的取值范围； (2)当时，求n的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：方程有两个实数根， ， 解得． （2）由题意得：，， ， ， ，解得：， ， ． 变式6．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）已知是一元二次方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若实数k为整数，且满足的值也为整数，求k的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ， ∴， 解得：； （2）解：∵是一元二次方程的两个实数根 ， 的值为整数， 或或， ， 或或． 变式7．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个异号的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）关于的一元二次方程有两个异号的实数根， 且， 解得：． （2）， ， 则， 又，， ， 整理得， 解得：，， 又， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $一元二次方程：二次方程的定义、二次方程的根、解二次方程、根与系数的关系专项训练 一元二次方程：二次方程的定义、二次方程的根、解二次方程、根与系数的关系 专项训练 考点目录 二次方程的定义 二次方程的根 解二次方程 根与系数的关系 考点一 二次方程的定义 例1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，6，10 B．6，2，10 C．2，6， D．6，8， 例2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）下列方程中，关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围值是 ． 例4．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）已知方程是关于x的一元二次方程，则__________． 变式1．（24-25九年级上·四川广元·期末）将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2025·四川泸州·一模）把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）将方程化为一般式为 ． 变式4．（25-26九年级上·四川德阳·阶段练习）已知是关于的一元二次方程，则 ． 考点二 二次方程的根 例1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知是一元二次方程的解，则代数式的值为（   ） A．5 B．10 C． D． 例2．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知是一元二次方程的一个根，则m的值是（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．0或 例3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）已知是方程的一个根，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 例4．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 例5．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）已知是方程的一个实数根，则的值为 ． 例6．（25-26九年级上·天津河西·阶段练习）若是方程的一个根，则 ． 变式1．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·期中）若是方程 的一个根，则代数式 的值是（  ） A．2022 B．2020 C．2018 D．2016 变式2．（25-26九年级上·天津宝坻·阶段练习）已知是方程的一个根，则代数式的值等于（    ）． A．－2 B．0 C．1 D．2 变式3．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）关于的一元二次方程的常数项被墨迹覆盖，已知是该方程的一个解，则被墨迹覆盖的常数为（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）已知a是方程的一个实数根，则的值为 ． 变式5．（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）若是方程的一个根，则a的值等于 ． 变式6．（25-26九年级上·广东汕头·期中）是一元二次方程的一个实数根，则代数式＝ ． 考点三 解二次方程 例1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 例2．（25-26九年级上·天津河北·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 例3．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期中）解下列一元二次方程 (1)； (2)． 变式1．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）解下列一元二次方程 (1) (2) 变式2．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）解下列一元二次方程 (1) (2) 变式3．（25-26九年级上·天津河西·阶段练习）适当方法解方程． (1) (2) (3) (4) 考点四 根与系数的关系 例1．（25-26九年级上·天津河北·阶段练习）关于的方程的两实数根为，，若，则的值为(    )． A． B． C．或 D．或 例2．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）设一元二次方程的两个实根为和，则（   ） A． B．2 C． D．3 例3．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）若一元二次方程的两个根为1和，则 ． 例4．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知等腰三角形的底边长为3，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根，则这个等腰三角形的腰长是 ． 例5．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）关于的一元二次方程有两个实数根并且． (1)求实数的取值范围； (2)是否存在使得满足？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 例6．（25-26九年级上·天津河西·阶段练习）已知关于x 的方程 (1)无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是，求m 的值及方程的另一个根． 例7．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有实数根； (2)若等腰的三边长分别是2，a和b，且a，b分别是一元二次方程的两个根，请求出的周长． 变式1．（25-26九年级上·天津河西·阶段练习）关 于x 的一元二次方程，则该方程根的情况为（   ） A．两根之和为 B．两根之积为 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 变式2．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）已知，是方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C．6 D．8 变式3．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知是方程的两个根，则代数式的值是 ． 变式4．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是 ． 变式5．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，． (1)求n的取值范围； (2)当时，求n的值． 变式6．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）已知是一元二次方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若实数k为整数，且满足的值也为整数，求k的值． 变式7．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个异号的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是该方程的两个根，且，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $