第四章图形的相似重难点检测卷-2025-2026学年北师大版九年级数学上册教学同步精讲精练

第四章图形的相似重难点检测卷（基础卷） 【北师大版2012】 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：图形的相似全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积．则与的大小关系是(　　) A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割的定义，根据黄金分割得出，进而根据正方形的面积与矩形的面积可得，即可求解． 【详解】解：． 理由如下： ∵是线段的黄金分割点，且， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级下·北京平谷·期中）如图，在中，，，M是中点，P、N分别在、上，若的面积与的面积相等，则长为（　　）    A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用面积相等，底边相等，可以推出底边上的高相等，得到，利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵与的共同的底边，且面积相等， ∴边上的高相等， ∴，即， ∴， ∵M是中点， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线之间的距离，平行线分线段成比例定理．证明是解题的难点． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．根据相似多边形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴它们的周长比为：， 故选：B． 4．（25-26九年级上·重庆·期中）已知，且与的面积比为，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方计算． 【详解】解：∵，且与的面积比为， ∴与的相似比为． 故选：C 5．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，点是的重心，连接并延长交于点．连接并延长交于点，则下列说法一定正确的是（   ） A．是的高 B．是的角平分线 C．是的中线 D．与的面积相等 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的重心，根据三角形的重心是三角形三边中线的交点逐项分析即可得解，熟练掌握三角形的重心的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵三角形的重心是三角形三边中线的交点， ∴是的中线，是的中线，故ABC不符合题意； ∴， ∴与的面积相等，故D符合题意； 故选：D． 6．（25-26九年级下·全国·期末）如图，已知，任取一点，连接，分别取点，使，，，连接，得到，给出下列说法：①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长比为；④与的面积比为．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据位似图形与相似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意，得与是位似图形， ∴与是相似图形，故①②正确； ∵，，， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， 与的面积比为，故③正确，④错误， 故选C． 【点睛】本题考查了位似图形与相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的性质及位似图形与相似图形的关系． 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，若的面积为4，且，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形相的面积之比等于位似之比的平方是解题关键． 先说明与位似比，然后再根据位似图形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形 ∴位似比是 ∴，即， ∵的面积为4， ∴． 故选C． 8．（2024·河南洛阳·一模）如图，点是的重心，和是以点为位似中心的位似图形．则与的面积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是的重心得到，和是以点为位似中心的位似图形，得到∽，，推出∽，得到，同理可得，由此可解． 【详解】解：点是的重心， ， ，和是以点为位似中心的位似图形， ∽，， ∽， ， 同理可得， 与的面积之比为， 故选：C． 【点睛】本题考查位似图形，三角形的重心，相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 9．（24-25八年级下·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B的坐标为．连接，则的长为（   ） A．5 B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，坐标与图形，菱形的性质，连接交于点．过点作轴，垂足为，根据勾股定理求出，根据菱形求出，设，则，根据勾股定理得出，解方程得出，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【详解】解：如图，连接交于点．过点作轴，垂足为， ∵点的坐标为， ， ∵四边形为菱形， ， 设，则， 由勾股定理，得， 解得：， 在中，， ． 故选：C． 10．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，和位似，位似中心为原点O．已知点，点，若的面积为2，则的面积是（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似变换以及相似三角形的性质，熟练掌握位似图形的相似比与面积比的关系是解题的关键． 先根据位似图形对应点的坐标确定相似比，再依据相似三角形面积比与相似比的关系求出的面积． 【详解】解：∵和位似，位似中心为原点，点，点， ∴与的相似比为． ∴与的面积比为． ∵的面积为， ∴的面积是． 故选：C． 第II卷（非选择题） 填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25七年级下·河南·期末）《周髀算经》是中国古代数学著作，其中记载：“勾广三，股修四，径隅五”，意思是：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，斜边（即最长的边）为5（弦），后人简单地把这个事实说成“勾3股4弦5”．已知一个直角三角形三条边的长度比是3：4：5，且斜边的长度是，则这个直角三角形的面积是 ． 【答案】150 【分析】本题考查比的应用及直角三角形面积公式的应用，解题的关键是根据三边比例关系求出两条直角边的长度． 先根据三边比例和斜边长度求出直角边长度，再利用直角三角形面积公式计算面积． 【详解】 () () () () 故答案为：150 12．（25-26九年级下·安徽合肥·期中）如图：，，，相较于点G，，，，的面积分别记为a，b，c，d，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意△AGE和△DEG高相等，底是两倍关系所以面积也是两倍关系，即b=2a，同理d=2c，将代数式中的b和d转换成a和c即可解出． 【详解】∵AE=2DE， ∴S△AGE=2S△DEG， 又∵AD∥BC， ∴， ∴b=2a，d=2c， ． 故答案为． 【点睛】本题考查相似比的应用，关键在于通过线段比转换成面积比． 13．（25-26九年级上·北京·期末）一个长，宽的长方形，按放大后得到的图形的面积是 ． 【答案】240 【分析】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 长方形按放大后得到的图形与原来的图形相似，面积比为，由此即可解决问题． 【详解】解：长方形按放大后得到的图形与原来的图形相似，面积比为， 按放大后得到的图形的面积， 故答案为：240． 14．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，把沿AB边平移到的位置，它们的重叠部分即图中的阴影部分的面积是的面积的一半，若，则此三角形移动的距离 ． 【答案】 【分析】利用相似三角形面积的比等于相似比的平方先求出，再求就可以了． 【详解】解：设BC与交于点E， 由平移的性质知，， ∽， ：：：2， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题利用了相似三角形的判定和性质及平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 15．（2025·江西吉安·一模）如图，已知，若，，的面积是4，则的面积为 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是理解相似三角形的面积之比等于相似比的平方．首先证明，然后根据“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”，求得的面积，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， 解得． 故答案为：25． 16．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，和是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵和是以O为位似中心的位似图形，A点的坐标为，点A的对应点C的坐标是， ∴． ∴相似比为． ∵B点的坐标为， ∴，． ∴点D的坐标为． 故答案为：． 解答题（8小题，共72分） 17．（2024·江苏淮安·一模）在一张比例尺为的地图上，有一块多边形区域的周长是，面积是，求这个区域的实际周长和面积． 【答案】周长480cm，面积8000 cm2 【分析】利用相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算． 【详解】设实际周长是，则： ， 解得：()； 面积之比等于相似比的平方，设实际面积是平方厘米，则： ， 解得：() ． 【点睛】本题考查了比例线段，相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 18．（24-25九年级下·全国·期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AC、AB、BC边上，且四边形CDEF是正方形，AC＝3，BC＝2，求△ADE、△EFB、△ACB的周长之比和面积之比． 【答案】周长之比：的周长：的周长：的周长；． 【详解】试题分析：要求三个三角形的面积比，可通过证明三个三角形相似，从而得到其相似比，进而求得其面积比． 试题解析：∵四边形是正方形， 设 ∴周长之比：的周长：的周长：的周长 19．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在梯形中，，分别交对角线、底边于点、，且． (1)求证：； (2)点在底边上，，连接，如果与的面积相等，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】本题考查了相似三角形的性质及判定，三角形面积公式等相关知识，根据题意表达三角形的面积比，得出方程是解题的关键． （1）根据题意及平行线的性质可证明，再根据相似三角形的性质及平行线的判定即可得证； （2）根据三角形的面积公式及相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ． （2）根据题意得，， ， ， ， 和面积相等， ， 解得：． 20．（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）如图，已知中，．如果点P由B出发沿方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似； (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)不存在，理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用、勾股定理，一元二次方程的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． （1）分两种情况：当时，当时，再利用相似三角形的性质解答即可； （2）根据勾股定理可得，过P作于点D，则，可得，从而得到，再由线段恰好把的面积平分，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 综上所述，当t或时，与相似； （2）解：不存在，理由如下： 假设存在某时刻，使线段恰好把的面积平分， 在中，， ∴， 如图，过P作于点D，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵线段恰好把的面积平分，， ∴，即， 此时， 此方程无解， ∴不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分． 21．（2024·江苏无锡·一模）如图，在大小为的正方形网格中，的顶点均是网格线的交点，对角线、交于点．如果对于一个平行四边形，两条对角线将它分成4个小三角形（对角线的交点是每个小三角形的一个顶点），那么我们把依次连接每个小三角形的重心所得的四边形称为这个平行四边形的重心四边形． (1)请在图中仅用无刻度的直尺作出的重心；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若的面积记为，的重心四边形的面积记为，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查应用与设计作图，平行线等分线段定理，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，能用同一个两表示出相关三角形的面积是解题的关键． （1）根据网格特点和平行线等分线段定理即可作出点； （2）根据平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，可设设 的面积为，则 的面积为， 的面积为，从而得到的面积为，即可解决问题． 【详解】（1）如图1所示，则 的重心即为所求； （2）如图2， 可知， ， ， ， ， 设 的面积为，则 的面积为， 的面积为， 的面积为， ． 22．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形（点、、的对应点分别是点、、），且与的相似比为，并写出点、的坐标； (2)在（1）的条件下，与的面积比为___________． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查作图-位似变换，相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可． （2）根据相似三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ． （2）解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为， 故答案为：． 23．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若与是位似图形且顶点均在格点上．    (1)请在图中画出位似中心的位置，位似中心的坐标为______． (2)与的位似比为______，面积比为______． (3)若通过平移，使点与点重合，直接写出平移的最短路程． 【答案】(1)作图见解析，； (2)， (3) 【分析】（1）连接、，两线相交于点D，根据位似中心的概念、结合图形解答即可； （2）根据，，即可得出相似比和面积比． （3）根据勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：如图，位似中心的坐标为：．    （2）解：∵，， ∴与的位似比为：， 与的面积比为：． 故答案为：，． （3）解：由图可知，， ∴通过平移，使点与点重合，平移的最短路程为． 【点睛】本题考查的是勾股定理、位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线所在直线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 24．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）新考向新定义在平面直角坐标系中，对于点，记，，将称为点的“横纵偏差”，记作，即，若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的“横纵偏差”，记作． (1)点，． ①的值是 ． ②点在轴上，若，求点的坐标． (2)点在轴上，点在点的上方．若点的坐标为，点的坐标为，，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（）①根据新定义解答即可；②设点，由可得，进而得到，解方程求出即可求解； （）由题意可得点的坐标为，设点为线段上任意一点，则，可得，即可得，得到的最大值是，进而即可求解； 本题考查了坐标与图形，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵点，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②∵点在轴上， ∴设点， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴或， 解得或， ∴点的坐标为或； （2）解：∵点在轴上，点在点的上方，点的坐标为，， ∴点的坐标为， 设点为线段上任意一点，则， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值是，即的值是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章图形的相似重难点检测卷（进阶卷） 【北师大版2012】 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：图形的相似全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025·上海闵行·一模）形状与大小都确定的一个锐角三角形，点是边上一点，下列条件不能唯一确定与面积的比值的是（    ） A．点是边的黄金分割点 B．点是边的中点 C．是边上的高 D．是的平分线 2．（2025·河北邯郸·三模）如图，在形状和大小都确定的中，点D为中点，用直尺和圆规作图得到线段，点E在边上，点P是边上一动点（不与端点重合），连接，对于下列各值：①线段的长；②的大小；③的周长；④四边形的面积．其中会随点P的移动而变化的是（    ） A．②③④ B．①②③ C．②③ D．①④ 3．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图所示，矩形纸片被分割成六个小矩形，其中矩形矩形，若已知的面积，则一定能求出（   ） A． 矩形的面积 B． B．矩形的面积 C． C．矩形的面积 D． D．矩形的面积 4．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，在矩形纸片中，，点E在上，将沿折叠，点恰落在边上的点F处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③四边形的面积等于；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·山西太原·一模）如图，A，C，E，G四点在同一直线上，分别以线段AC，CE，EG为边在AG同侧作等边三角形△ABC，△CDE，△EFG，连接AF，分别交BC，DC，DE于点H，I，J，若AC=1，CE=2，EG=3，则△DIJ的面积是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·福建福州·期中）已知，点D是的重心，过顶点A作一条直线l平行于，连接并延长，交于点E，交直线l于点F，连接并延长交于点G，则的面积与四边形的面积之比为（　　） A． B． C． D． 7．（2024·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的面积为定值，它的对称中心恰与原点重合，且AB∥y轴，CD交x轴于点M，过原点的直线EF分别交AD、BC边于点E、F，以EF为一边作矩形EFGH，并使EF的对边GH所在直线过点M，若点A的横坐标逐渐增大，图中矩形EFGH的面积的大小变化情况是（　　） A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 8．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，的坐标分别为，，点从点出发沿向点运动，连接交于点当恰好为中点时，则长为（ ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，正方形可看成是分别以、、、为位似中心将正方形放大一倍得到的图形（正方形的边长放大到原来的倍），由正方形到正方形，我们称之作了一次变换，再将正方形作一次变换就得到正方形，…，依此下去，作了次变换后得到正方形，若正方形的面积是，那么正方形的面积是多少（ ）    A． B． C． D． 10．（2025·浙江宁波·一模）如图是由四个全等的三角形和一个正方形组成的大正方形，连结与交于，射线交于点，交于点，交于点，连接，则与面积相等的图形是（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，一长方体砖块的两个面的面积比是，若将两个面分别向下放在水平地面上，则地面受到的压强之比是 ． 12．（2025·陕西西安·一模）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从矩形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两矩形面积相等（如图①，）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，如图②，M是矩形的对角线上的点，且，过点M作分别交于点E、F，连接，若，，则图中阴影部分的面积和为 ． 13．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，所得到的正六边形的面积是原正六边形面积的 倍． 14．（2024·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是 ． 15．（24-25九年级上·甘肃白银·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且知形的面积等于矩形面积的，则点的对应点的坐标是 ．    16．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点B，将矩形绕点O顺时针旋转α度得到矩形（），线段与线段交于点P，线段与直线交于点Q．下列说法：①当点落在y轴上时，坐标为；②当点落在上时，；③的面积最大值为；④当时，．其中正确的有 ．（填序号） 解答题（8小题，共72分） 17．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，中，，高， 矩形的两个顶点E、F在上， 另两个顶点G、H分别在上， 且， 求四边形的面积． 18．（25-26九年级上·四川达州·期中）计算： (1)已知，，为的三边，，且，求的面积． (2)如果，求的值． 19．（23-24九年级上·广西来宾·期中）向阳中学有一块正方形的空地，边长为，学校计划将空地分为五部分，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形①与矩形②为相似矩形，中间小正方形的边长为． 小芳：如图，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为．    (1)求小明的方案中矩形①的面积． (2)求小芳设计的方案中，每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ 20．（2025九年级·浙江·专题练习）已知一块等腰三角铁板废料如图所示，其中AB＝AC＝50cm，BC＝60cm，现要用这块废料裁一块正方形DEFG铁板，使它的一边DE落在△ABC的一腰上，顶点F、G分别落在另一腰AB和BC上，求； (1)等腰三角形ABC的面积S△ABC； (2)正方形DEFG的边长． 21．（2025·江苏宿迁·三模）如图，正方形中，，点E是边上的一个动点，将线段沿着直线翻折，得到线段，连接并延长交直线于点F (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，连接，求的值； (3)如图3，连接，取的中点H，在点E从点D向点C运动的过程中，直接写出线段所扫过的面积． 22．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，满足． (1)求、两点的坐标及的面积； (2)若点是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； (3)若是轴上方到轴的距离为6的一条直线，在直线上是否存在点，使的面积等于的面积，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，连接DE． (1)当DE∥BC时，如图1． ①若DE平分△ABC的面积（即把△ABC的面积分成相等的两部分），求AD的长； ②若DE平分△ABC的周长，求AD的长； (2)如图2，试问：是否存在DE将△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出AD的长；若不存在，请说明理由． 24．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）【问题背景】 人教版九年级下册教材第58页第11题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少? 【提出问题】 在满足正方形的一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上的条件下，能否在上面的材料上，加工一个面积更大的正方形？如何用直角尺（只能画直角）和圆规画出这个正方形？ 【分析问题】 小敏认为，由于正方形的一边在三角形的一边上，这样就存在三种可能．在已知三边长度的情况下，可以通过计算，分别求出三个正方形的边长，然后比较三条边长的大小，进而知道面积最大的正方形；也可以结合当前所学的位似，分别画出满足条件的正方形，再利用圆规比较三个正方形的边长的大小，即可解决问题． 【解决问题】 为了简化探索过程，小敏取边长分别为的三个等腰三角形（其中为腰）木块进行研究． 如图2，正方形的顶点分别在上，边在上．如图3，正方形的顶点分别在上，边在上． 请你完成下面两个问题： （1）通过计算，比较这两个正方形的边长的大小； （2）在图4中，用直角尺（只能画直角）和圆规画出面积最大的正方形，使其一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上（保留画图痕迹）． 【学以致用】 定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 小敏类比上面的研究方法，又提出下面问题： 在如图5所示的扇形中，能否用直角尺和圆规画出一个正方形，使其两个顶点在弧上，另外两个顶点在半径上？ 你认为可以吗？如果可以、在图中画出符合条件的正方形（保留画图痕迹）；如果不可以，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章图形的相似重难点检测卷（进阶卷） 【北师大版2012】 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：图形的相似全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025·上海闵行·一模）形状与大小都确定的一个锐角三角形，点是边上一点，下列条件不能唯一确定与面积的比值的是（    ） A．点是边的黄金分割点 B．点是边的中点 C．是边上的高 D．是的平分线 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据黄金分割，三角形的中线，三角形的面积，角平分线的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、点D是边的黄金分割点，而的黄金分割点有两个，所以与面积的比值不唯一，故A符合题意； B、∵点D是边的中点， ∴， ∴与面积的比值为1， 故B不符合题意； C、∵是边上的高， ∴与面积的比值为， 故C不符合题意； D、∵是的平分线， ∴与面积的比值为， 故D不符合题意； 故选：A． 2．（2025·河北邯郸·三模）如图，在形状和大小都确定的中，点D为中点，用直尺和圆规作图得到线段，点E在边上，点P是边上一动点（不与端点重合），连接，对于下列各值：①线段的长；②的大小；③的周长；④四边形的面积．其中会随点P的移动而变化的是（    ） A．②③④ B．①②③ C．②③ D．①④ 【答案】C 【分析】由作图知，，可证E为中点，，线段的长不变，故①错误；的大小随点P的移动而变化，故②正确；的长度随点P的移动而变化，故③正确；点P到的距离不随点P的移动而变化，可推知四边形的面积不变，故④错误． 【详解】在中，点D为中点，由作图痕迹可知， ∴， ∴ ∴E为中点， ∴，线段的长不变，故①错误； 的大小随点P的移动而变化，故②正确； 的长度随点P的移动而变化， ∴的周长会随点P的移动而变化，故③正确； 点P到的距离不随点P的移动而变化，故的面积不变，四边形的面积的面积的面积，所以不变，故④错误． 综上所述，会随点P的移动而变化的是②③． 故选：C． 【点睛】考查尺规作图作一个角等于已知角，平行线的性质，中位线，三角形的周长、面积的计算；掌握中位线性质是解题的关键． 3．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图所示，矩形纸片被分割成六个小矩形，其中矩形矩形，若已知的面积，则一定能求出（   ） A． 矩形的面积 B． B．矩形的面积 C． C．矩形的面积 D． D．矩形的面积 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，设，，的面积为，根据，推出，再由相似多边形的性质得到，即，则，据此证明，再由可以推出，据此可得答案． 【详解】解：设，，的面积为， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵矩形矩形， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， ∴已知的面积，则一定能求出矩形的面积， 故选：C． 4．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，在矩形纸片中，，点E在上，将沿折叠，点恰落在边上的点F处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③四边形的面积等于；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用折叠性质得，，，，，则可得到，于是可对①进行判断；在中利用勾股定理计算出，则，设，利用勾股定理得到，得到，于是可对④进行判断；接着证明，于是可对②进行判断；根据可对③进行判断． 【详解】解：∵沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上， 将沿折叠，点恰落在线段上的点处， ∴，，，，，， ∴，所以①正确； 在中， ， ∴， 设，则， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，所以④正确； 在中，，设，则 ∴ 解得 ∴ ∵，， ∴ ．所以③不正确． ∵， ∴ ∴故②正确 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 5．（2024·山西太原·一模）如图，A，C，E，G四点在同一直线上，分别以线段AC，CE，EG为边在AG同侧作等边三角形△ABC，△CDE，△EFG，连接AF，分别交BC，DC，DE于点H，I，J，若AC=1，CE=2，EG=3，则△DIJ的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质得到FG＝EG＝3，∠AGF＝∠FEG＝60°，根据三角形的内角和得到∠AFG＝90°，根据相似三角形的性质得到==，==，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】∵AC＝1，CE＝2，EG＝3， ∴AG＝6， ∵△EFG是等边三角形， ∴FG＝EG＝3，∠AGF＝∠FEG＝60°， ∵AE＝EF＝3， ∴∠FAG＝∠AFE＝30°， ∴∠AFG＝90°， ∵△CDE是等边三角形， ∴∠DEC＝60°， ∴∠AJE＝90°，JE∥FG， ∴△AJE∽△AFG， ∴==， ∴EJ＝， ∵∠BCA＝∠DCE＝∠FEG＝60°， ∴∠BCD＝∠DEF＝60°， ∴∠ACI＝∠AEF＝120°， ∵∠IAC＝∠FAE， ∴△ACI∽△AEF， ∴==， ∴CI＝1，DI＝1，DJ＝， ∴IJ＝， ∴=•DI•IJ＝××． 故选A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 6．（24-25九年级下·福建福州·期中）已知，点D是的重心，过顶点A作一条直线l平行于，连接并延长，交于点E，交直线l于点F，连接并延长交于点G，则的面积与四边形的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据重心的定义得点E是的中点，点G是的中点，可知是的中位线，再结合平行线的性质得，可得，进而得出，连接，可知，根据中位线的性质及相似三角形的性质得，可知，则，所以，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知点E是的中点，点G是的中点，连接， ∴是的中位线． ∵直线， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点G是的中点， ∴． ∵是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了重心，全等三角形的性质和判定，中位线的定义和性质，相似三角形的判定和性质，弄清各三角形面积之间的关系是解题的关键． 7．（2024·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的面积为定值，它的对称中心恰与原点重合，且AB∥y轴，CD交x轴于点M，过原点的直线EF分别交AD、BC边于点E、F，以EF为一边作矩形EFGH，并使EF的对边GH所在直线过点M，若点A的横坐标逐渐增大，图中矩形EFGH的面积的大小变化情况是（　　） A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【分析】设GH交AD于K，AD与轴交于点P．由△OPE∽△EHK，推出，推出OP•EK＝HE•OE，易证四边形OMKE是平行四边形，推出EK＝OM，推出OP•OM＝HE•OE，由矩形ABCD的面积为定值，推出OP•OM是定值，推出HE•OE是定值，由矩形EFGH的面积＝2HE•EO，推出矩形EFGH的面积是定值． 【详解】如图，设GH交AD于K，AD与轴交于点P． ∵∠OEP+∠HEK＝90°，∠HEK+∠HKE＝90°， ∴∠HKE＝∠OEP， ∵∠OPE＝∠H＝90°， ∴△OPE∽△EHK， ∴， ∴OP•EK＝HE•OE， 易证四边形OMKE是平行四边形， ∴EK＝OM， ∴OP•OM＝HE•OE， ∵矩形ABCD的面积为定值， ∴OP•OM是定值， ∴HE•OE是定值， ∵矩形EFGH的面积＝2HE•EO， ∴矩形EFGH的面积是定值． 故选B． 【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 8．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，的坐标分别为，，点从点出发沿向点运动，连接交于点当恰好为中点时，则长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形，过点作轴，交于点，可证是等边三角形，利用可证，根据全等三角形的性质可知，，从而可求，根据线段之间的关系可以求出． 【详解】解：如下图所示，过点作轴，交于点， ，的坐标分别为，， ，， ， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， 点是的中点， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 9．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，正方形可看成是分别以、、、为位似中心将正方形放大一倍得到的图形（正方形的边长放大到原来的倍），由正方形到正方形，我们称之作了一次变换，再将正方形作一次变换就得到正方形，…，依此下去，作了次变换后得到正方形，若正方形的面积是，那么正方形的面积是多少（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每次变换后，正方形的边长放大3倍，可得出作2005次变换后的正方形的边长为 ，从而计算面积即可. 【详解】因为ABCD的面积为1，所以AB=BC=CD=DA=1，一次变换后正方形的边长为3=3，二次变换后正方形的边长为：9=，三次变换后正方形的边长为：27=，…n次变换后正方形的边长为：，故作2005次变换后的正方形的边长为， 此时正方形的面积为：， 故选C. 【点睛】本题考查了位似变换的知识，根据每次变换后边长放大3倍，得出2005次变换后正方形的边长是解题关键. 10．（2025·浙江宁波·一模）如图是由四个全等的三角形和一个正方形组成的大正方形，连结与交于，射线交于点，交于点，交于点，连接，则与面积相等的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过边长设元计算直接求出的面积，及选项中可求面积，得到面积相等的图形．计算中利用含有等角的直角三角形相似得到边长比例及边长，再利用基本的三角形面积等于底乘高的一半，得到目标三角形面积，最后匹配选项中图形面积得到答案． 【详解】作垂直于，作垂直于，作垂直于． 设，，． 由四个直角三角形全等、正方形、正方形，可知：，，，． 由得 ， ， 又 ，选项D正确． 同理可以求出， ，A选项错误；      ，B选项错误； 同理得到 ，C选项错误； 故选D． 【点睛】本题考查正方形中复杂构图下的面积，求解此类复杂几何证明题时若发现长度不确定且可以计算，可将易于计算的边长设元，简化计算，通过相似勾股等面积法求出目标图形面积．复杂计算中须小心谨慎，通常能够化简，坚定的设元和正确的计算是解题的关键． 第II卷（非选择题） 填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，一长方体砖块的两个面的面积比是，若将两个面分别向下放在水平地面上，则地面受到的压强之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比的应用，设长方体砖块的重力为，面的面积为，面的面积为，根据压强公式求出两个面向下地面受到的压力，求出比即可求解，掌握比的运算是解题的关键． 【详解】解：设长方体砖块的重力为， ∵两个面的面积比是， ∴可设面的面积为，面的面积为， 由压强公式得，当面向下放在水平地面 上，压强， 当面向下放在水平地面上，压强， ∴， 故答案为：． 12．（2025·陕西西安·一模）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从矩形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两矩形面积相等（如图①，）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，如图②，M是矩形的对角线上的点，且，过点M作分别交于点E、F，连接，若，，则图中阴影部分的面积和为 ． 【答案】24 【分析】此题主要考查矩形与三角形，熟练掌握矩形的判定和性质定理，材料中的推论，平行线分线段成比例，三角形面积公式，为解答本题的关键． 根据矩形的性质及材料，三角形面积公式即可解答． 【详解】解：如图，过点M作，交于G，交于H， ∵矩形中， ∴四边形、四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：24． 13．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，所得到的正六边形的面积是原正六边形面积的 倍． 【答案】3 【分析】如图，连接，求出，而，判定△是等边三角形，得到，，因此，由三角形外角的性质求出，得到，由勾股定理求出，由相似多边形的性质即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，由题意，得：， ∵正六边形的外角和为， ， △是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 两个正六边形相似， 所得到的正六边形的面积与原正六边形面积的比． 故答案为：3． 【点睛】本题考查正多边形的外角，等边三角形的判定和性质，勾股定理以及相似多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质，是解题的关键． 14．（2024·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是 ． 【答案】5 【分析】根据相似三角形的性质确定两直角边的比值为1：2，以及6×6网格图形中，最长线段为6，进行尝试，可确定、、为边的这样一组三角形满足条件． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC=1，BC=2， ∴AB=，AC：BC=1：2， ∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2， 若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE=，EF=2，DF=5的三角形， ∵===， ∴△ABC∽△DEF， ∴∠DEF=∠C=90°， ∴此时△DEF的面积为：×2÷2=10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了作图-应用与设计、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 15．（24-25九年级上·甘肃白银·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且知形的面积等于矩形面积的，则点的对应点的坐标是 ．    【答案】或/或 【分析】根据位似图形的概念得到矩形矩形，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案． 【详解】解：∵矩形与矩形关于点O位似， ∴矩形矩形， ∵矩形的面积等于矩形面积的， ∴矩形与矩形的相似比为， ∵， ∴点的坐标为或，即或， 故答案为：或．    【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形是相似图形以及相似多边形的性质是解题的关键．相似图形面积比等于相似比的平方． 16．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点B，将矩形绕点O顺时针旋转α度得到矩形（），线段与线段交于点P，线段与直线交于点Q．下列说法：①当点落在y轴上时，坐标为；②当点落在上时，；③的面积最大值为；④当时，．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①③ 【分析】当在轴上时，连接，由勾股定理得，由旋转的性质可得，即可判断①； 证明，得到，即，可判断②； 分“在上方”、“在下方”、两种情况，分别求出，据此可判断③； 先得出，再利用三角形面积得出，然后设，可用分别表示出，，，利用勾股定理，可得到关于的方程求解从而可分别求得，，根据求出，可判断④． 【详解】解：如图1所示，当在轴上时，连接， ∵四边形是矩形，点，点， ∴，，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴，故①正确； 如图2所示，当点落在上时，此时重合， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，故②错误； 如图3所示，当在上方时，过点B作垂直于直线于E， 在旋转过程中，一直再增大（直线逐渐远离点B），则当点落在上时，有最大值，最大值为1， ∴此时有最大值，最大值为； 如图4所示，当在下方时，过点B作垂直于直线于E， 在旋转过程中，一直再减小（直线逐渐靠近点B），则当点落在上时，有最大值，最大值为1 ∴此时有最大值，最大值为， 而线段与线段有交点，则当点落在上时，此时有最大值，即此时的最大值小于； 综上所述，最大值为，故③正确； 过点Q作于点H，连接，如图5所示，则． ∵，， ∴． 设，则， ∴，． 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∴正确的有2个， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形等等，正确根据题意画出对应的图形并作出辅助线是解题关键． 解答题（8小题，共72分） 17．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，中，，高， 矩形的两个顶点E、F在上， 另两个顶点G、H分别在上， 且， 求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质和判定，明确相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．设，证明，根据性质得出，进而求出，即可求出结论． 【详解】解：∵， 设． ∵四边形 是矩形，中，高， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得． ∴， 则四边形的面积． 答：四边形 的面积为． 18．（25-26九年级上·四川达州·期中）计算： (1)已知，，为的三边，，且，求的面积． (2)如果，求的值． 【答案】(1)的面积为； (2)的值为或． 【分析】本题主要考查了比例的性质，勾股定理逆定理，直角三角形面积的计算，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，可得，，，又，代入求得，则有，，，然后通过勾股定理逆定理可得是直角三角形，最后由直角三角形面积公式即可求解； （）由，则，，，所以得，然后分当时和当时两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积为； （2）解：∵， ∴，，， 得， 当时，， 当时，， ∴， 综上可得：的值为或． 19．（23-24九年级上·广西来宾·期中）向阳中学有一块正方形的空地，边长为，学校计划将空地分为五部分，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形①与矩形②为相似矩形，中间小正方形的边长为． 小芳：如图，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为．    (1)求小明的方案中矩形①的面积． (2)求小芳设计的方案中，每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设矩形①的长为，宽为．根据矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为，得到矩形②的长为，宽为，解方程即可得到结论； （2）根据小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为，得到正方形的边长为，设，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：设矩形①的长为，宽为． 矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为， 矩形②的长为，宽为， 由图可知，，， 解得，， 矩形①的面积为； （2）小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为， 正方形的边长为， 设，， ，， ， 整理可得， 解得， 负数舍去， ， 小直角三角形的周长是． 每个小三角形的实际周长为．    【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，二元一次方程组的应用，勾股定理，解一元二次方程，综合运用以上知识是解题的关键． 20．（2025九年级·浙江·专题练习）已知一块等腰三角铁板废料如图所示，其中AB＝AC＝50cm，BC＝60cm，现要用这块废料裁一块正方形DEFG铁板，使它的一边DE落在△ABC的一腰上，顶点F、G分别落在另一腰AB和BC上，求； (1)等腰三角形ABC的面积S△ABC； (2)正方形DEFG的边长． 【答案】(1)S△ABC＝1200cm2 (2)正方形DEFG的边长为 【分析】（1）过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到BH＝BC＝30（cm），根据勾股定理得到AH＝＝＝40（cm），由三角形的面积公式即可得到结论； （2）过B作BM⊥AC交FG于N，根据三角形的面积公式得到BM＝48（cm），根据正方形的性质得到FG∥DE，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）过A作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC＝50cm，BC＝60cm， ∴BH＝BC＝30（cm）， ∴AH＝＝＝40（cm）， ∴S△ABC＝BC•AH＝60×40＝1200（cm2）； （2）过B作BM⊥AC交FG于N， 则S△ABC＝AC•BM＝1200， ∵AC＝50cm， ∴BM＝48（cm）， ∵四边形DEFG是正方形， ∴FG∥DE， ∴BN⊥FG，△BFG∽△BAC， ∴＝， ∴， ∴FG＝， ∴正方形DEFG的边长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 21．（2025·江苏宿迁·三模）如图，正方形中，，点E是边上的一个动点，将线段沿着直线翻折，得到线段，连接并延长交直线于点F (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，连接，求的值； (3)如图3，连接，取的中点H，在点E从点D向点C运动的过程中，直接写出线段所扫过的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由轴对称的性质得，，，根据正方形的性质求得，进而求得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可； （2）连接、、，设，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，再由轴对称的性质和垂直平分线的性质可得，，根据等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理可得，，利用等量代换得，，进而证得，即可求解； （3）根据点的运动轨迹得，线段所扫过的面积为：，再利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵线段沿着直线翻折，得到线段， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接、、， ∵线段沿着直线翻折，得到线段， ∴， 设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵、关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴，即，， ∵是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设正方形的对角线、交于点O， ∵， ∴， ∴， ∵点E是边上的一个动点， ∴当点E与点D重合时，点F在点D处，当点E与点C重合时，点F在点C处， ∴点F的轨迹为以点O为圆心，为半径，圆心角为的圆弧， ∵点H为的中点， ∴当点E与点D重合时，点H在的中点处，当点E与点C重合时，点H在的中点处， ∴点H的轨迹为以点O为圆心，正方形的边长的一半为半径，圆心角为的圆弧， 由题意得，四边形为正方形， ∴， ∴线段所扫过的面积为：， ∵， ∴线段所扫过的面积为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、轴对称的性质、垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理、扇形的面积公式，熟练掌握正方形的性质、轴对称的性质是解题的关键． 22．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，满足． (1)求、两点的坐标及的面积； (2)若点是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； (3)若是轴上方到轴的距离为6的一条直线，在直线上是否存在点，使的面积等于的面积，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)点的坐标为或； (3)存在这样的点，点坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形等知识； （1）由非负数的性质即可求得a，b的值，从而求得A、B的坐标及的面积； （2）设，由的面积为6，建立关于n的方程，求出n的值，即可求解； （3）设，由（1）知：；分点P位于y轴左侧，点P位于y轴右侧，两种情况考虑即可． 【详解】（1）解：由得：，， ，， ，， ，， ， （2）解：设， ， ， ， 或， 点的坐标为或． （3）解：存在，理由：设， 由（1）知：， ， 当P位于y轴左侧时，设直线交y轴于点D，如图； ， ， ， ； 当P位于y轴右侧时，过点P作轴于点D，如图； ， ， ， ； 存在这样的点，点坐标为或． 23．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，连接DE． (1)当DE∥BC时，如图1． ①若DE平分△ABC的面积（即把△ABC的面积分成相等的两部分），求AD的长； ②若DE平分△ABC的周长，求AD的长； (2)如图2，试问：是否存在DE将△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出AD的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在， 【分析】（1）①根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算；②根据勾股定理求出AB，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可；（2）过点E作EF⊥AC于F，根据相似三角形的性质用x表示出EF，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：①∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB， ∵DE平分△ABC的面积， ∴＝， ∴＝，即， 解得：AD＝； ②在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝＝5， ∴△ABC的周长＝3+4+5＝12， ∵DE平分△ABC的周长， ∴AD+AE＝6，即AE＝6﹣AD， ∵DE∥BC， ∴＝，即＝， 解得：AD＝； （2）如下图过点E作EF⊥AC于F， 设DE将△ABC的周长平分， 则AD+AE＝6， 设AD＝x，则AE＝6﹣x， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴＝，即＝， 解得：EF＝， ∴S△ADE＝×AD×EF＝×x×＝﹣x2+x， 当DE将△ABC的面积平分时，﹣x2+x＝×3×4×， 解得：x1＝，x2＝， ∵0＜x＜3， ∴x＝， 当AD＝时，DE将△ABC的周长和面积同时平分． 【点睛】本题考查相似比，勾股定理 ，三角形的相似，一元二次方程应用于实际问题的方法，解题的关键是根据已知条件表示出有关线段的长． 24．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）【问题背景】 人教版九年级下册教材第58页第11题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少? 【提出问题】 在满足正方形的一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上的条件下，能否在上面的材料上，加工一个面积更大的正方形？如何用直角尺（只能画直角）和圆规画出这个正方形？ 【分析问题】 小敏认为，由于正方形的一边在三角形的一边上，这样就存在三种可能．在已知三边长度的情况下，可以通过计算，分别求出三个正方形的边长，然后比较三条边长的大小，进而知道面积最大的正方形；也可以结合当前所学的位似，分别画出满足条件的正方形，再利用圆规比较三个正方形的边长的大小，即可解决问题． 【解决问题】 为了简化探索过程，小敏取边长分别为的三个等腰三角形（其中为腰）木块进行研究． 如图2，正方形的顶点分别在上，边在上．如图3，正方形的顶点分别在上，边在上． 请你完成下面两个问题： （1）通过计算，比较这两个正方形的边长的大小； （2）在图4中，用直角尺（只能画直角）和圆规画出面积最大的正方形，使其一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上（保留画图痕迹）． 【学以致用】 定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 小敏类比上面的研究方法，又提出下面问题： 在如图5所示的扇形中，能否用直角尺和圆规画出一个正方形，使其两个顶点在弧上，另外两个顶点在半径上？ 你认为可以吗？如果可以、在图中画出符合条件的正方形（保留画图痕迹）；如果不可以，说明理由． 【答案】解决问题：（1）图2的正方形边长更大，理由见详解；（2）见详解；学以致用：见详解 【分析】解决问题：（1）过A作，交于M，交于N，设正方形边长为x，证明，根据相似三角形性质解得；过B作，交于K，交于H，设正方形边长为，证明，根据相似三角形性质解得．即可判断图2的正方形边长更大． （2）先在上任取一点，过作的垂线，作出以为一边的正方形，连接并延长交于点，再以为边作正方形即可； 学以致用：先画正方形，点、在、上，再作正方形以点为位似中心的位似图形，使它的位似图形的四个顶点落在扇形半径、和弧上即可． 【详解】解决问题：（1）过A作，交于M，交于N， ， ， 设正方形边长为x， 是正方形， ， ， ， ， 解得：； 过B作，交于K，交于H， 设正方形边长为， 是正方形， ， ， ．得． ∴图2的正方形边长更大． （2）先在上任取一点，过作的垂线，然后过作的垂线，然后以为圆心，以为半径画圆交垂线于，然后过作的垂线交于点，作出以为一边的正方形，连接并延长交于点，过点作的垂线交于点，再以为边作正方形即可； 如图，正方形即为所求． 学以致用： 以为圆心，以任意长度为半径画圆交、于，过作的垂线，以为圆心，以长度为半径画圆交垂线于，过作的垂线，然后过作的垂线，交于点，即可画出正方形，然后连接分别弧交于点，连接，分别过作的垂线交、于点，连接，即可作出正方形以点为位似中心的位似图形，它的四个顶点落在扇形半径、和弧上． 如图，正方形即为所求． 【点睛】该题主要考查了位似图形，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，尺规作图，等知识点，解题的关键是正确做出辅助线以及图象． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章图形的相似重难点检测卷（基础卷） 【北师大版2012】 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：图形的相似全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积．则与的大小关系是(　　) A． B． C． D．无法确定 2．（24-25八年级下·北京平谷·期中）如图，在中，，，M是中点，P、N分别在、上，若的面积与的面积相等，则长为（　　）    A．3 B．2 C． D． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·重庆·期中）已知，且与的面积比为，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，点是的重心，连接并延长交于点．连接并延长交于点，则下列说法一定正确的是（   ） A．是的高 B．是的角平分线 C．是的中线 D．与的面积相等 6．（25-26九年级下·全国·期末）如图，已知，任取一点，连接，分别取点，使，，，连接，得到，给出下列说法：①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长比为；④与的面积比为．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，若的面积为4，且，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 8．（2024·河南洛阳·一模）如图，点是的重心，和是以点为位似中心的位似图形．则与的面积之比为（ ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B的坐标为．连接，则的长为（   ） A．5 B．6 C． D．8 10．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，和位似，位似中心为原点O．已知点，点，若的面积为2，则的面积是（ ） A．2 B．4 C．8 D．16、 第II卷（非选择题） 填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25七年级下·河南·期末）《周髀算经》是中国古代数学著作，其中记载：“勾广三，股修四，径隅五”，意思是：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，斜边（即最长的边）为5（弦），后人简单地把这个事实说成“勾3股4弦5”．已知一个直角三角形三条边的长度比是3：4：5，且斜边的长度是，则这个直角三角形的面积是 ． 12．（25-26九年级下·安徽合肥·期中）如图：，，，相较于点G，，，，的面积分别记为a，b，c，d，若，则的值为 ． 13．（25-26九年级上·北京·期末）一个长，宽的长方形，按放大后得到的图形的面积是 ． 14．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，把沿AB边平移到的位置，它们的重叠部分即图中的阴影部分的面积是的面积的一半，若，则此三角形移动的距离 ． 15．（2025·江西吉安·一模）如图，已知，若，，的面积是4，则的面积为 ． 16．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，和是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是 ． 解答题（8小题，共72分） 17．（2024·江苏淮安·一模）在一张比例尺为的地图上，有一块多边形区域的周长是，面积是，求这个区域的实际周长和面积． 18．（24-25九年级下·全国·期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AC、AB、BC边上，且四边形CDEF是正方形，AC＝3，BC＝2，求△ADE、△EFB、△ACB的周长之比和面积之比． 19．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在梯形中，，分别交对角线、底边于点、，且． (1)求证：； (2)点在底边上，，连接，如果与的面积相等，求的长． 20．（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）如图，已知中，．如果点P由B出发沿方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似； (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 21．（2024·江苏无锡·一模）如图，在大小为的正方形网格中，的顶点均是网格线的交点，对角线、交于点．如果对于一个平行四边形，两条对角线将它分成4个小三角形（对角线的交点是每个小三角形的一个顶点），那么我们把依次连接每个小三角形的重心所得的四边形称为这个平行四边形的重心四边形． (1)请在图中仅用无刻度的直尺作出的重心；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若的面积记为，的重心四边形的面积记为，求的值． 22．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形（点、、的对应点分别是点、、），且与的相似比为，并写出点、的坐标； (2)在（1）的条件下，与的面积比为___________． 23．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若与是位似图形且顶点均在格点上．    (1)请在图中画出位似中心的位置，位似中心的坐标为______． (2)与的位似比为______，面积比为______． (3)若通过平移，使点与点重合，直接写出平移的最短路程． 24．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）新考向新定义在平面直角坐标系中，对于点，记，，将称为点的“横纵偏差”，记作，即，若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的“横纵偏差”，记作． (1)点，． ①的值是 ． ②点在轴上，若，求点的坐标． (2)点在轴上，点在点的上方．若点的坐标为，点的坐标为，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $