精品解析：云南省保山市昌宁县第二中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷

昌宁县第二中学2025~2026学年上学期高二年级9月月考 数学试卷 测试时间：120分钟 满分：150分 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将答题卡交回 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号､准考证号在答题卡上填写清楚， 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 4. 经过，两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，向量在向量上的投影向量为（ ）． A. B. C. D. 6. 已知函数，且，则　　 A. B. C. D. 7. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立.若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 直线的一个方向向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 10. 已知直线，直线，则（ ） A. 直线可以与轴平行 B. 直线可以与轴平行 C. 当时， D. 当时， 11. 如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（     ） A. 直线与是相交直线 B. 直线与是异面直线 C. 与平行 D. 直线与共面 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 过点且在轴上的截距为3的直线方程是_________．（请写出一般式方程） 13. 已知平面的法向量为上一点，则点到的距离为___________. 14. 如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________． 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，设函数. （1）求函数的最大值; （2）在锐角中，三个角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积. 16. 的三个顶点是，，，求： （1）边BC上的中线所在直线的方程； （2）边BC上的高所在直线的方程； （3）边BC的垂直平分线的方程． 17. 某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． （1）求、的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数； （2）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率． 18. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，其中，，底面，E是PC的中点. （1）求证:平面； （2）求证:. 19. 如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌宁县第二中学2025~2026学年上学期高二年级9月月考 数学试卷 测试时间：120分钟 满分：150分 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将答题卡交回 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号､准考证号在答题卡上填写清楚， 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可直接得答案. 【详解】“”的否定为“”， 故选：B. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 3. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】代入复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意可知，. 故选：C 4. 经过，两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点求出直线的斜率，结合斜率的定义即可求解. 【详解】因为，， 所以经过两点的直线斜率为， 又直线的倾斜角范围为，所以其倾斜角为． 故选：D． 5. 已知向量，，向量在向量上的投影向量为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为 故选：A 6. 已知函数，且，则　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由换元法求出函数的解析式，令函数值为6，解出值即可． 【详解】令，则， 由， 可得， 则， 解得， 故选：． 【点睛】本题考查函数解析式的求法，属于基础题． 7. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 8. 已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立.若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得的图象关于直线对称且在上为增函数，根据对称性与单调性比较大小即可. 【详解】根据题意，函数是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称，所以， 因为，所以， 又由对任意，且，都有， 所以函数在上为增函数， 又，，， 所以，故. 故选：D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 直线的一个方向向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定的空间点的坐标，结合空间向量运算逐项分析、计算作答. 【详解】空间中三点，，， 对于A，，显然，即与不是共线向量，A不正确； 对于B，因，则直线的一个方向向量是，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，由选项A知，向量不共线，令， 则，即， 因此是平面的一个法向量，D正确. 故选：BCD 10. 已知直线，直线，则（ ） A. 直线可以与轴平行 B. 直线可以与轴平行 C. 当时， D. 当时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据直线平行和垂直对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】当时，直线，此时直线与轴平行，B项正确； 若，则直线，此时直线与轴平行，A项正确； 若，则，解得， 经验证可知此时两直线不重合，C项正确； 若，则，解得，D项错误. 故选：ABC 11. 如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（     ） A. 直线与是相交直线 B. 直线与是异面直线 C. 与平行 D. 直线与共面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据异面直线的概念结合正方体性质可判断AB；根据直线的平行的判定可判断C；利用四点共面可判断D. 【详解】对于A，三点在平面内，M点不在直线上， A点不在平面内，可得直线与是异面直线，故A错误； 对于B，三点在平面内，不在直线上， M点不在平面内，可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，取的中点E，连接，又N为的中点， 则有，， 所以四边形是平行四边形，所以， ，则与不平行，故C错误； 对于D，连接， 因为M，N分别为棱的中点， 所以， 由正方体的性质可知：， 所以，则有四点共面， 所以直线与共面，故D正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 过点且在轴上的截距为3的直线方程是_________．（请写出一般式方程） 【答案】. 【解析】 【分析】利用待定系数法即可求解. 【详解】依题意，直线的斜率存在，设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线方程为，即. 故答案为：. 13. 已知平面的法向量为上一点，则点到的距离为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量坐标运算的求点到平面的方法即可求解. 【详解】由题意知，所以点到的距离． 故答案为：. 14. 如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】通过空间直角坐标系，利用空间向量求线面夹角的余弦值的方法求解即得. 【详解】取BC的中点O，连接AO，DO，建立如下图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，， 所以，，． 设平面ABD的法向量为， 则，所以， 取，则，，所以， 不妨设直线CD与平面ABD所成角为， 所以， 从而直线CD与平面ABD所成角的正弦值为． 故答案为：. 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，设函数. （1）求函数的最大值; （2）在锐角中，三个角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得，进而可得的最大值； （2）由锐角，推出，再结合（B），求得，由正弦定理知，再利用余弦定理求出，，最后由三角形面积公式得解． 【详解】（1）因为，， 所以函数 ∴当时， （2）∵为锐角三角形，. 又 即 16. 的三个顶点是，，，求： （1）边BC上的中线所在直线的方程； （2）边BC上的高所在直线的方程； （3）边BC的垂直平分线的方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）求得BC的中点坐标，结合A点坐标，求得中线方程； （2）求得BC的斜率，从而求得其上的高的斜率，且过，求得高的方程； （3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，写出垂直平分线的方程； 【详解】（1）BC的中点坐标为 则边BC上的中线所在直线的方程为； （2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过， 则边BC上的高所在直线的方程为； （3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为， 则边BC的垂直平分线的方程为. 17. 某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． （1）求、的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数； （2）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率． 【答案】（1），平均数为69.5 （2） 【解析】 【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，可得，；根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解. （2）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可． 【小问1详解】 因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以， 解得， 所以前两组的频率之和为， 即，所以； 平均数为， 【小问2详解】 第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为， 这5人中选出2人，所有情况有，，，，，．，，，，共有10种情况， 其中选出的两人来自同一组的有，，，，，共6种情况， 故选出的两人来自同一组的概率为． 18. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，其中，，底面，E是PC的中点. （1）求证:平面； （2）求证:. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设PD的中点为F，利用线面平行的判定推理即得. （2）由（1）的信息，利用线面垂直的判定、性质推理即得. 【小问1详解】 设PD的中点为F，连接EF和AF，由E是PC的中点，得，且， 由为直角梯形，其中，得，又， 则，四边形是平行四边形， 于是，而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由平面，平面，得， 而，平面，则平面， 又平面，因此，由（1）知， 所以. 19. 如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 过点作于点， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面． （2）存在；是上靠近的三等分点 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由面面垂直性质定理可得平面，由此证明，再证明，根据线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条件列方程确定点的位置； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为， 以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 即取，，， 所以为平面的一个法向量， 因为在线段上（不含端点），所以可设，， 所以， 设平面的一个法向量为， 即， 取，，， 所以为平面的一个法向量， ，又， 由已知可得 解得或（舍去）， 所以，存在点，使得二面角的余弦值为， 此时是上靠近的三等分点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $