精品解析：陕西延安中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题

延安中学2025—2026学年度第二学期期末考试题 高一数学 命题人：张岚 审题人：张延霞 （全卷150分 时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、试卷类型信息填涂在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷上. 2.作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.涂写在本试卷上无效. 3.作答第Ⅱ卷时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡统一交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （改编题） 1. 若复数（为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，是上一点，且，设，，用，表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 6. 一组数据，，…，的平均数和方差分别为3和1，则，，…，平均数和方差分别为（ ） A. 6，2 B. 7，4 C. 6，5 D. 7，3 7. 如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（ ） 参考数据：. A. 米 B. 米 C. 300米 D. 米 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 的最大值为 D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 （原创题） 11. 在直三棱柱中，，，，，分别是，，的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. D. 平面平面 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则_______． 13. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 __________；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 __________. 14. 一组数据共有7个整数，，2，2，2，10，5，4，且，若这组数据的平均数、中位数、众数中最大与最小数之和是该三数中间数字的两倍，则第三四分位数是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 16. 某单位有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24，16，8，现在通过某项检查，采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期检查． （1）求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？ （2）若所抽取的6人中恰有2人合格，4人不合格，现从这6人中再随机抽取2人检查，求至少有1人合格的概率． 17. 黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”，黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一､明代旅行家､地理学家徐霞客两游黄山，赞叹说：“登黄山天下无山，观止矣!”又留“五岳归来不看山，黄山归来不看岳”的美誉.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求x的值； （2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）； （3）若2022年黄山景区累计接待进山游客约140万人，试估计满意度评分不低于70分的人数. 18. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）已知点为的中点，若，且的面积为，求． 19. 如图，长方体的底面ABCD是正方形，，，M，N分别为棱，的中点，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）若与平面所成角的正弦值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延安中学2025—2026学年度第二学期期末考试题 高一数学 命题人：张岚 审题人：张延霞 （全卷150分 时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、试卷类型信息填涂在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷上. 2.作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.涂写在本试卷上无效. 3.作答第Ⅱ卷时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡统一交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （改编题） 1. 若复数（为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先求出复数在复平面内对应点的坐标，再结合象限的坐标特征判断点的位置。 【详解】复数，在复平面内对应点的坐标为， 该点位于第四象限. 2. 圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先求圆锥的底面半径和母线长，再由圆锥的侧面积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则， 所以， 所以该圆锥的侧面积为. 3. 在中，是上一点，且，设，，用，表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算法则，结合点C分线段AB的比例关系，推导的表达式。 【详解】因为点在上，且，故， 根据向量减法的三角形法则，， 根据向量加法的三角形法则， 则：  . 4. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理得. 5. 空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 【答案】B 【解析】 【详解】选项A：若，则与的位置关系为或，并非一定，故A错误； 选项B：若，则直线的方向向量分别为平面的法向量， 由于直线垂直于平面时平行于平面的法向量，则两平面垂直等价于其法向量垂直，因此，故B正确； 选项C：若，则与的位置关系为或，并非一定，故C错误； 选项D：若，当时，与可能相交，并非一定，故D错误. 6. 一组数据，，…，的平均数和方差分别为3和1，则，，…，平均数和方差分别为（ ） A. 6，2 B. 7，4 C. 6，5 D. 7，3 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以； 因为， 所以 . 7. 如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】要使系统正常工作，则A、B要都正常或者C正常，D必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算. 【详解】记零件或系统能正常工作的概率为， 该系统正常工作的概率为: , 故选：C. 8. 如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（ ） 参考数据：. A. 米 B. 米 C. 300米 D. 米 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知， 则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 又，两式相加， 得，即， 解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】由，即，整理得， 所以，结合题设，经验证均满足. 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 的最大值为 D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用向量垂直的坐标表示化简即可判断；对于B，利用向量平行的坐标表示化简即可判断；对于C，利用代入向量的数量积计算即可求解；对于D，利用投影向量公式化简即可求解. 【详解】已知，，，. 选项A：若，则，得，A正确. 选项B：若，则，得，又 ，所以 ，B正确. 选项C：，最大值为，C错误. 选项D：在上的投影向量为，得，，，D正确. （原创题） 11. 在直三棱柱中，，，，，分别是，，的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. D. 平面平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合直三棱柱的几何性质，利用线面垂直、线面平行、面面平行、面面垂直的判定定理逐一分析选项即可得解. 【详解】对于A，若平面，则必有， 在矩形中，若对角线互相垂直，则矩形为正方形，即，与已知条件矛盾，故A错误； 对于B，分别是的中点，故是的中位线，可得， 又平面，平面，因此平面； 连接交于点，连接，同理可得，平面，平面， 故平面，和是平面内两条相交直线，均平行于平面， 因此平面平面，故B正确； 对于C，直三棱柱中平面，平面，故； 又，为中点，等腰三角形三线合一得， 由于，且平面，因此平面，平面，故，C正确； 对于D，由选项B的推导可知，结合选项C中平面，得平面， 又平面，根据面面垂直的判定定理，可得平面平面，故D正确. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】设，则，， 即， 故. 13. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 __________；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 __________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据独立事件乘法公式计算出甲获胜的概率，再利用独立重复试验概率公式求出甲至少获胜2次的概率. 【详解】∵一次活动中，甲获胜的概率为， 次活动中，甲至少获胜2次的概率为． 故答案为：，． 14. 一组数据共有7个整数，，2，2，2，10，5，4，且，若这组数据的平均数、中位数、众数中最大与最小数之和是该三数中间数字的两倍，则第三四分位数是______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念和已知条件，列式求解，注意分类讨论，求得m的值，进而得到已知得7个数，从小到大排列后，利用四舍五入法求得第三四分位数. 【详解】平均数，众数=2，当时，中位数为4， 则有舍掉； 当时，中位数为，则有. 该7个数从小到大排列是2，2，2，3，4，5，10，因为数据个数为7， 而且，所以这组数据的第三四分位数为5. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 在中，分别是和的中点， ， 又平面平面 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定结合中位线的条件即可求证； （2）使用等体积法结合条件中到平面的距离即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得点到平面的距离为2 即三棱锥的高为2， 四边形是正方形， ， 三棱锥的体积为． 三棱锥的体积为． 16. 某单位有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24，16，8，现在通过某项检查，采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期检查． （1）求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？ （2）若所抽取的6人中恰有2人合格，4人不合格，现从这6人中再随机抽取2人检查，求至少有1人合格的概率． 【答案】（1）甲3人，乙2人，丙1人；；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的等比例分配原则计算各部门需要抽取的人数，利用抽取的人数除以总人数即得每一位员工被抽到的概率； （2）用列举法计数，得到总的抽取方法数和至少有一人合格的抽取方法数，根据古典概型公式即得结论. 【详解】解：（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：1， 由于采用分层抽样的方法从中抽取6人， 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，1人． 该企业总共有名员工， 记事件：“任意一位被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等， 所以每一位员工被抽到的概率为． （2）记事件：“至少有1人合格” 记其中合格的2人的分别为，，不合格的4人的分别为，，，，则从6人的中随机抽取2人的所有可能结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种， 其中至少有1人的合格的结果有：，，，，，，，，，共9种， 故至少有1人的合格的概率为． 17. 黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”，黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一､明代旅行家､地理学家徐霞客两游黄山，赞叹说：“登黄山天下无山，观止矣!”又留“五岳归来不看山，黄山归来不看岳”的美誉.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求x的值； （2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）； （3）若2022年黄山景区累计接待进山游客约140万人，试估计满意度评分不低于70分的人数. 【答案】（1） （2） （3）万人 【解析】 【分析】（1）根据直方图中频率和为1求参数即可； （2）由百分位数的定义，结合直方图求40%分位数； （3）用满意度评分不低于70分的频率乘以游客总人数即可. 【小问1详解】 由图知：，可得. 【小问2详解】 由， 所以40%分位数在区间内，令其为，则， 所以. 【小问3详解】 由题意，估计满意度评分不低于70分的人数为万人. 18. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）已知点为的中点，若，且的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式即可求出角. （2）先利用向量的中线公式和三角形面积公式得到和的值，再利用余弦定理即可求出边. 【小问1详解】 已知，由正弦定理得, 又因为，所以，所以， 由二倍角公式得, 又，即， 所以，即. 【小问2详解】 已知点为的中点，由向量中线公式得, 两边平方得, 即，化简得， 又的面积,又， 代入化简得， 将②式代入①式得， 由余弦定理得， 又，所以. 19. 如图，长方体的底面ABCD是正方形，，，M，N分别为棱，的中点，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）若与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）通过证明，平面，证得平面. （2）作出二面角的平面角，解三角形求得其余弦值. （3）根据与平面所成角的正弦值求得，结合余弦定理求得. 【小问1详解】 连接，，，因为是长方体， M，N分别为棱，的中点，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为，，所以， ，， 则有，则有； 同理，，并且，BM，平面BDM， 所以平面BDM，又因为，所以平面BDM； 【小问2详解】 分别取BM，的中点为E，F，连接MF，则有，所以， 又因为是边长为的正三角形，则有， 则即为二面角的平面角， 且，，， 由余弦定理，， 所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 设点P到平面BDM的距离为d，PM与平面BDM所成的角为，则． 因为，平面BDM，平面BDM，所以平面BDM， 则点P到平面BDM的距离等于点到平面BDM的距离，根据， 即，解得， 又因为与平面所成角的正弦值为， 则． 连接，是边长为的正三角形， 在中，由余弦定理得,， 即，整理得：， 即，解得或， 又因为，， 所以或， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $