精品解析：湖北省十堰市八校教联体2025-2026学年高二上学期11月联考数学试卷

2025-2026学年十堰市八校教联体11月联考 高二数学试卷 考试时间：2025年11月4日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ） A. 10 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量法求点到平面的距离公式即可求解. 【详解】由题得， 所以到平面的距离为， 故选：C. 2. 若直线：与直线：平行，则＝（ ） A. B. 或3 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，系数满足的关系求的值即可. 【详解】因为两直线平行，所以： ， 所以或. 故选：B 3. 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解. 【详解】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选：A 4. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将直线与直线垂直转化为斜率相乘为-1求出的值，再根据二倍角公式将用表示，即可得到答案. 【详解】由题意得，，. 故选：B. 5. 从四双不同的鞋中任意取出只,事件“只全部不成对”与事件“至少有只成对”（ ） A. 是对立事件 B. 不是互斥事件 C. 是互斥但不对立事件 D. 都是不可能事件 【答案】A 【解析】 【分析】 从双不同的鞋中任意摸出只,可能的结果为:“恰有只成对”,“只全部成对”,“只都不成对”,即可求得答案. 【详解】从双不同的鞋中任意摸出只,可能的结果为: “恰有只成对”,“只全部成对”,“只都不成对”, 故:事件“4只全部成对”的对立事件为“恰有只成对”+“只都不成对”“至少有两只不成对”. 事件“只全部不成对”与事件“至少有只成对”是:对立事件. 故选:A. 【点睛】本题主要考查了判断2个事件是否是对立事件,解题关键是掌握对立事件概念和结合实际问题具体分析,考查了分析能力,属于基础题. 6. 如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，将用表示即可. 【详解】因为分别为的中点，所以. 因为为的重心，所以， 所以. 故选：B. 7. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，记向量，的夹角为，则为钝角的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知求出满足条件的满足的关系式，然后分别令，求得满足条件的.然后即可根据古典概型概率公式，得出答案. 【详解】由可得，， 所以. 因为为钝角，所以，且不共线， 所以，即，且. 当时，有且，所以可取1，3，4，5，6； 当时，有，可取3，4，5，6； 当时，有，可取5，6； 当，，时，，此时无解. 综上所述，满足条件的有11种可能. 又先后抛掷两次，得到的样本点数共36种， 所以为钝角的概率 故选：D. 8. 在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论中正确结论的个数为（ ） ①四面体外接球的表面积为 ②点与点之间的距离为 ③四面体的体积为 ④异面直线与所成的角为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知线段的中点为四面体外接球球心，结合球体表面积公式可判断①；过点在平面内作，垂足为点，过点作交于点，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的垂线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断②③④的正误. 【详解】对于①，取的中点，连接、，则， 因为，所以，， 所以，为四面体的外接球球心，球的表面积为，①对； 对于②③④，过点在平面内作，垂足为点，过点作交于点， 则二面角的平面角为， 在中，，，，则，， ，则，，， ，，，平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于垂线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，则、、、， ，②错， ，，③对， ，， ，故异面直线与所成角为，④错. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法： ①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； ②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可； ④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知直线，则（ ） A. 直线不过原点 B. 直线可能与坐标轴垂直 C. 时，直线与直线垂直 D. 时，直线的一个方向向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】由不满足直线方程可判断A，根据直线方程可得直线的斜率可判断B，根据直线的位置关系可判断C，根据直线的方向向量可判断D. 【详解】因为直线， 所以不满足直线方程，即直线不过原点，故A正确； 由直线方程可知直线斜率为，且不为0，故直线不可能与坐标轴垂直，故B错误； 当时，直线，由可知直线与直线垂直，故C正确； 当时，直线，直线的一个方向向量为，而，故D错误. 故选：AC. 10. 已知一组样本数据，其中为正实数．满足．下列说法不正确的是（ ） A. 样本数据的第50百分位数为 B. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数 C. 已知这组数据的极差是6，则数据的极差是11 D. 样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于80 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由百分位数求法可判断；对于B，根据频率分布直方图可判断；对于C，根据极差变化可得数据的极差是12；对于D，由可得，然后可得总和. 【详解】因为，样本数据的第50百分位数为，故A正确； 对于B， 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”， 则样本数据的平均数小于中位数，故B正确； 对于C，由题知，这组数据的极差为， 则数据的极差为，故C错误； 对于D，，则， 所以，故D正确. 故选：C. 11. 台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在球台上击球.若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律.如图，有一张正方形球台，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，则的值可以为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况作图计算：第一种情况：现从角落沿角的方向把球打出去，球先接触边；第二种情况：现从角落沿角的方向把球打出去，球先接触边. 【详解】第一种情况：现从角落沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下： 设关于的对称点为，关于的对称点为； 如图；根据直线的对称性可得：； 第二种情况：现从角落沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下： 设关于 的对称点为，关于的对称点为， 如图；根据直线的对称性可得：； 故选：AD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 求过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程（答案写成直线的一般方程）________. 【答案】或 【解析】 【分析】对截距不为0时及为0时进行分类讨论，设出直线并代点计算即可得. 【详解】当截距不为0时，设直线的方程为， 又过点，所以， 解得，所以直线的方程为； 当截距为0时，设直线的方程为， 又过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即； 综上，直线的方程为或. 故答案为：或. 13. 在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得到两两垂直，从而把该三棱锥补成一个正方体，再建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】在正三棱锥中，，又，， 所以，所以， 同理可得，，即两两垂直， 把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，如图所示， 正方体的体对角线就是外接球的直径，则， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 则点到平面的距离， 所以． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求点到平面距离，方法如下： （1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离； （2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为. 14. 从方程的所有非负整数解中随机取出一组解，则该解是正整数解的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法求出非负整数解和正整数解的个数，再利用古典概率公式，即可求解. 【详解】因为方程的非负整数解有个， 它们是，， ，， 其中均为正整数解有个， 所以从方程的所有非负整数解中随机取出一组解，则该解是正整数解的概率为. 故答案为：. 四、解答题（共5小题，共计77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知坐标平面内三点，，. （1）求直线，，的斜率和倾斜角； （2）若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由斜率公式计算出斜率，然后可得倾斜角； （2）根据点移动时，直线夹在直线和直线之间，运动时不可能与轴垂直，由此可得斜率范围． 【小问1详解】 解：因为，，， 由斜率公式，可得， 再由直线倾斜角的定义得： 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. 【小问2详解】 如图所示，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点， 即在线段上，此时的斜率由增大到， 所以的取值范围为. 16. 为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）． （1）求a的值； （2）从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数； （3）认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少．（保留整数） 【答案】（1） （2）众数为65分，平均数为71.8分 （3）68分 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为1，可求出的值； （2）根据众数和平均数的定义求解即可； （3）根据频率分布直方图计算出第40百分位数，即可得出结果. 【小问1详解】 在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为1， 可得，解得， 【小问2详解】 估计本次竞赛成绩的众数为分， 估计本次竞赛成绩的平均数为 分. 小问3详解】 由题意，成绩位于前百分之六十的考生为良好，则良好认定的分数线是第40百分位数， 前两个矩形面积之和为， 前三个矩形面积之和为， 设第40百分位数为，则， 则，解得， 因此，估计良好认定的分数线为68分. 17. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 18. 在川大附中2024秋季教职工运动会拔河比赛中，高一、高二、高三三个年级组和行政组共四个队伍角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”： 第一轮，四个队伍通过抽签分成两组，每组两个队伍对阵，每组胜者进入“胜区”，败者进入“败区”； 第二轮，“胜区”中两个队伍对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两个队伍对阵，败者直接淘汰出局获第四名； 第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名； 第四轮，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名. 已知高二和高三年级组水平相当，高一和行政组水平相当，高二对高三、高一对行政组的胜率均为，高二、高三对高一和行政组的胜率均为，没有平局，且不同对阵的结果相互独立.经抽签，第一轮由高二对阵高三，高一对阵行政组. （1）求比赛结束时，高二比赛的场次是2场的概率； （2）若已知高二输了第一轮的比赛，求高二获得冠军的概率； （3）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：即四个队伍分成两组后，每组中的两个队伍对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军.分别求在以上两种赛制下高二获得冠军的概率，并比较哪种赛制对高二夺冠有利？请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）得冠军的概率分别为与 ，“双败淘汰制”对高二夺冠有利 【解析】 【分析】（1）由题意可得高二两场全输，计算其概率即可得； （2）由题意可得高二后三场全胜，结合每轮的对手及胜率计算即可得； （3）在“双败淘汰制”下，分别计算高二全胜、只输了第一场与只输了第二场的概率，求和即可得其夺冠概率；在“单败淘汰制”下，高二需全胜，计算其概率即可得其夺冠概率；比较两者概率大小，即可得解. 【小问1详解】 设高二在第场比赛获胜的事件为， 由高二比赛的场次是2场，则高二两场全输， 则； 【小问2详解】 由于高二输了第一轮的比赛，高二后续需全胜才能获得冠军， 则； 【小问3详解】 在“双败淘汰制”下，若高二获得冠军，则最多只能输一场， 若高二全胜，其概率为， 若高二只输了第一场，则， 若高二只输了第二场，则， 则高二获得冠军的概率为； 在“单败淘汰制”下，若高二获得冠军，则需两场全胜，则， 由，故，故“双败淘汰制”对高二夺冠有利. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于计算“双败淘汰制”下高二获得冠军的概率需要分全胜、只输了第一场与只输了第二场的情况进行计算. 19. 如图①所示，矩形中，，，点M是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，N为中点， （1）若平面平面，求直线与平面所成角的大小； （2）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小. （2）连接DG，过点D作平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果. 【小问1详解】 取中点，连接，由，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 过作，则平面，又平面，于是， 在矩形中，，，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线BC与平面所成的角为，则， 所以直线BC与平面所成角的大小为. 【小问2详解】 连接，由，得，而，则为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 显然平面，平面，则平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，而，则，，， 即，， 所以， 于是，， 设平面PAM的法向量为，则， 令，得，设平面的法向量为， 因为，， 则，令，得， 设平面和平面为， 则 令，，则，即，则当时，有最小值， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为． 【点睛】利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；②找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年十堰市八校教联体11月联考 高二数学试卷 考试时间：2025年11月4日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知平面一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ） A. 10 B. 3 C. D. 2. 若直线：与直线：平行，则＝（ ） A. B. 或3 C. D. 3 3. 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知倾斜角为直线与直线垂直，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 从四双不同的鞋中任意取出只,事件“只全部不成对”与事件“至少有只成对”（ ） A. 是对立事件 B. 不是互斥事件 C. 是互斥但不对立事件 D. 都是不可能事件 6. 如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（ ） A B. C D. 7. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，记向量，的夹角为，则为钝角的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论中正确结论的个数为（ ） ①四面体外接球的表面积为 ②点与点之间的距离为 ③四面体的体积为 ④异面直线与所成的角为 A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知直线，则（ ） A. 直线不过原点 B. 直线可能与坐标轴垂直 C. 时，直线与直线垂直 D. 时，直线的一个方向向量为 10. 已知一组样本数据，其中为正实数．满足．下列说法不正确的是（ ） A. 样本数据的第50百分位数为 B. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数 C. 已知这组数据的极差是6，则数据的极差是11 D. 样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于80 11. 台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在球台上击球.若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律.如图，有一张正方形球台，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，则的值可以为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 求过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程（答案写成直线的一般方程）________. 13. 在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则________． 14. 从方程的所有非负整数解中随机取出一组解，则该解是正整数解的概率为________. 四、解答题（共5小题，共计77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知坐标平面内三点，，. （1）求直线，，的斜率和倾斜角； （2）若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 16. 为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）． （1）求a的值； （2）从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数； （3）认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少．（保留整数） 17. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 在川大附中2024秋季教职工运动会拔河比赛中，高一、高二、高三三个年级组和行政组共四个队伍角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”： 第一轮，四个队伍通过抽签分成两组，每组两个队伍对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”； 第二轮，“胜区”中两个队伍对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两个队伍对阵，败者直接淘汰出局获第四名； 第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名； 第四轮，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名. 已知高二和高三年级组水平相当，高一和行政组水平相当，高二对高三、高一对行政组的胜率均为，高二、高三对高一和行政组的胜率均为，没有平局，且不同对阵的结果相互独立.经抽签，第一轮由高二对阵高三，高一对阵行政组. （1）求比赛结束时，高二比赛的场次是2场的概率； （2）若已知高二输了第一轮比赛，求高二获得冠军的概率； （3）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：即四个队伍分成两组后，每组中的两个队伍对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军.分别求在以上两种赛制下高二获得冠军的概率，并比较哪种赛制对高二夺冠有利？请说明理由. 19. 如图①所示，矩形中，，，点M是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，N为中点， （1）若平面平面，求直线与平面所成角的大小； （2）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $