精品解析：安徽省阜南第二中学2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题

2026届高考一轮10月检测卷 数学 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知平面向量，，若，则（ ） A B. C. D. 4. 在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列，记是数列的前n项和，则（ ） A. 126 B. 124 C. 64 D. 62 5. 已知，，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知函数，且不等式的解集为，，则的极大值为（ ）． A. 0 B. 36 C. 72 D. 108 7. 已知点在抛物线上，过焦点且斜率为的直线与相交于，两点，过，两点作准线的垂线，垂足点分别为，两点，则（ ） A. B. C. D. 8. 若是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A为“恰有两人所去景点相同”，事件为“只有小张去甲景点”，则（ ） A. 这四人不同的旅游方案共有64种 B. “每个景点都有人去”的方案共有72种 C. D. “四个人只去了两个景点”的概率是 10. 若函数的定义域为，对，，都有成立，且当时，，则（ ） A. 是上增函数 B. 是上的减函数 C. 奇函数 D. 是偶函数 11. 已知经过点的圆的圆心坐标为（为整数），且与直线：相切，直线：与圆相交于、两点，下列说法正确的是（ ） A. 圆的标准方程为 B. 若，则实数的值为 C. 若，则直线的方程为或 D. 弦的中点的轨迹方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为___________. 13. 某公园有4条同心圆环步道，其长度构成公比为2的等比数列，若最长步道与最短步道之差为，则最长步道为__________． 14. 在平面凸四边形中，，，且，，将四边形沿对角线折起，使点A到达点的位置.若二面角的大小范围是，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角A； （2）若△ABC的外接圆的面积为，，求△ABC的面积. 16. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 17. 已知四棱锥中，底面是矩形，，，是的中点． （1）证明：； （2）若，，点是上动点，直线与平面所成角的正弦值为，求． 18. 已知函数，，，． （1）求的单调区间； （2）若的最大值为1，证明：对任意的，； （3）当时，若恒成立，求实数的取值范围． 19. 在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为双曲线：的右顶点，直线与的一条渐近线平行. （1）求的方程； （2）如图，､为的左右焦点，动点在的右支上，且的平分线与轴､轴分别交于点､，试比较与的大小，并说明理由； （3）在（2）的条件下，设过点､的直线与交于､两点，求的面积最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考一轮10月检测卷 数学 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解． 【详解】因，所以． 故选：B． 2. 复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算求出，进而求出对应点的位置. 【详解】依题意，，所以对应点位于第一象限. 故选：A 3. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行坐标表示可求得，由向量数量积的运算律和坐标运算直接求解即可. 【详解】，，解得：，， . 故选：D. 4. 在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列，记是数列的前n项和，则（ ） A. 126 B. 124 C. 64 D. 62 【答案】A 【解析】 【分析】根据成等差数列建立等量关系，计算等比数列的公比，代入公式求和. 【详解】设等比数列的公比为， ∵成等差数列， ∴， ∴，即， 解得， ∴ 故选：A. 5. 已知，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用和差角的三角函数公式，结合同角公式计算得解. 【详解】由，得，即， 由，得， 因此，所以. 故选：B 6. 已知函数，且不等式的解集为，，则的极大值为（ ）． A. 0 B. 36 C. 72 D. 108 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据不等式的解集，确定函数的零点，根据函数的零点写出函数的解析式，再利用待定系数法求函数的解析式，由导数求函数的极大值. 【详解】因为不等式的解集为， 则， 故， 又，故，， 故，则， 令，解得或， 由可得或，由可得， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故是函数的极大值点， 的极大值为． 故选D． 7. 已知点在抛物线上，过焦点且斜率为的直线与相交于，两点，过，两点作准线的垂线，垂足点分别为，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用点坐标求得抛物线方程，联立直线的方程和抛物线的方程，求得，两点的坐标，由此计算出三角形的面积. 【详解】将点坐标代入抛物线方程得，，故抛物线方程为， 故焦点坐标为，准线方程为.过焦点且斜率为的直线方程为， 代入抛物线方程并化简得，解得或. 故. 故选：C. 8. 若是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的性质、函数的定义域分析，求出的值，又由，求出的值，计算可得答案. 【详解】根据题意，已知是奇函数， 当时，， 函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 此时，函数一定不是奇函数，故， 则有，且，变形可得， 所以的根为，解可得，故， 又因为为奇函数，则有， 即， 即，所以， 即，故. 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A“恰有两人所去景点相同”，事件为“只有小张去甲景点”，则（ ） A. 这四人不同的旅游方案共有64种 B. “每个景点都有人去”的方案共有72种 C. D. “四个人只去了两个景点”的概率是 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项，根据分步乘法计数原理求出答案；B选项，根据部分平均分组方法计算出答案；C选项，利用排列组合知识得到，，利用条件概率公式求出答案；D选项，求出四个人只去了两个景点的方案数，结合A中所求，求出概率. 【详解】A选项，每个人都有3种选择，故共有种旅游方案，A错误； B选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人， 故有种方案，B错误； C选项，恰有两人所去景点相同，即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人， 由B选项可知，， 又事件，即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点， 故， 所以，C正确； D选项，“四个人只去了两个景点”，分为2种情况， 第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有种方案， 第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另一个景点，故有种方案， 由A选项可知，这四人不同的旅游方案共有81种， 故“四个人只去了两个景点”的概率为，D正确. 故选：CD 10. 若函数的定义域为，对，，都有成立，且当时，，则（ ） A. 是上的增函数 B. 是上的减函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，令可得，再令，利用奇偶性的定义可判断函数的奇偶性；令，利用单调性的定义，结合已知条件可判断函数的单调性. 【详解】由题意知，函数的定义域为，对，，都有成立； 令，则，即， 令，得，则，即，所以函数是奇函数，故C正确，D不正确； 设，则，得，即， 因为时，，所以，得，即，所以函数是上的减函数，故A不正确，B正确； 故选：BC. 11. 已知经过点的圆的圆心坐标为（为整数），且与直线：相切，直线：与圆相交于、两点，下列说法正确的是（ ） A. 圆的标准方程为 B. 若，则实数的值为 C. 若，则直线的方程为或 D. 弦的中点的轨迹方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意可得出关于的等式，结合为整数可求得的值，可得出圆的方程，可判断A选项；分析可知直线过圆心，求出的值，可判断B选项；利用勾股定理结合点到直线的距离求出的值，可得出直线的方程，可判断C选项；根据已知条件求出点的轨迹方程，可判断D选项. 【详解】对于选项A：设圆的半径为，由题意可得圆的方程为（为整数）， 根据点是圆上的点，且圆与直线：相切， 得，解得，或（舍去）， 则圆的标准方程为，故A选项错误； 对于选项B：由选项A知圆的标准方程为，圆心， 因为点在圆上，且，所以线段为圆的直径， 因为直线：与圆相交于两点， 所以圆心在直线上，所以，解得，故B选项正确： 对于选项C：由选项知圆的半径为2，圆心， 则圆心到直线的距离， 因为，即，解得， 所以，解得或， 则直线的方程为或，故C选项正确； 对于选项D：直线的方程可化为，过定点， 由圆的性质可得，所以点的轨迹是以线段为直径的圆， 则此圆圆心为线段的中点，其坐标为，半径为， 则该圆的方程为， 由，得两圆交点坐标为与， 故弦的中点的轨迹方程为，故D选项错误． 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由极差和平均数求出，即可求出中位数. 【详解】依题意可得极差为，平均数为， 所以，解得， 所以中位线为. 故答案为： 13. 某公园有4条同心圆环步道，其长度构成公比为2的等比数列，若最长步道与最短步道之差为，则最长步道为__________． 【答案】960 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式列出关于首项和公比的方程，进而求出最长步道的长度. 【详解】设这条同心圆环步道的长度构成的等比数列为，公比，首项为（），根据等比数列通项公式，可得. 因为越大，的值越大，所以最短步道为，最长步道为.可得. 已知最长步道与最短步道之差为，即，联立解得， ，即最长步道为. 故答案为：960. 14. 在平面凸四边形中，，，且，，将四边形沿对角线折起，使点A到达点的位置.若二面角的大小范围是，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接，取的外心，过点作平面，过点作平面交于点，进而确定球心的位置及二面角的平面角为并确定范围，利用几何关系求球体半径，即可得球体表面积的范围. 【详解】由题意知，和是等边三角形， 取中点，连接，取的外心，则是的外心， 过点作平面，则三棱锥外接球球心在上 过点作平面交于点，则点即为三棱锥的外接球球心， 由，知，为二面角的平面角，则， 设，则， 又，所以， 因为平面，平面，所以， 所以三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥外接球的表面积. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据球心的性质确定位置，并求出二面角的平面角的范围为关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角A； （2）若△ABC的外接圆的面积为，，求△ABC的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对已知等式化简后，利用余弦定理可求出角A； （2）先求出角三角形外接圆的半径，再由正弦定理可求出，将已知等式利用正弦定理统一成边的形式可求出，再结合（1）可求出，从而可求出三角形的面积. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，即， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为△ABC的外接圆的面积为，所以△ABC的外接圆半径为， 由正弦定理得，， 因为，所以由正弦定理得， 由（1）知， 所以，得，则， 所以△ABC的面积为. 16. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【答案】（1）； （2）的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 .【解析】 【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出； （2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望． 【小问1详解】 设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． 【小问2详解】 依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 17. 已知四棱锥中，底面是矩形，，，是的中点． （1）证明：； （2）若，，点是上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】（1） 取的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，则， 因为，所以，， 设直线与直线交于点， 因为，则，，所以，， 所以，，故， 设，则，， 所以，， 且，， 所以，，所以，， 又因为，、平面，则平面， 因为平面，故. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用线面垂直的性质定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，求出平面的一个法向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，则、、、、， 设平面的法向量为，则，， 则，取，则， 设，其中， ， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则，解得，即. 18. 已知函数，，，． （1）求的单调区间； （2）若的最大值为1，证明：对任意的，； （3）当时，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）在单调递增，在单调递减 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分别令和，即可得到对应的增区间和减区间； （2）根据题意求出参数，构造函数，利用导数研究函数的最值即可证明； （3）构造函数，利用导数研究函数的最值进而列出不等式求解即可. 【小问1详解】 的定义域为，令得， 令得，令得， 在单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 由（1）知，， ，要证，即证， 即证，即证， 构造函数，则， 令得，令得， 在单调递增，在单调递减， ，即恒成之，当且仅当时等号成立. ，，使得， 恒成立，故对于任意的，. 【小问3详解】 当时，，若恒式立, 即恒式立，即，即恒成立， 由（2）可知恒成立，当且仅当时等号成立， 令，则恒成立， 在单调递增， ，使得成立， ，， 所以． 19. 在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为双曲线：的右顶点，直线与的一条渐近线平行. （1）求的方程； （2）如图，､为的左右焦点，动点在的右支上，且的平分线与轴､轴分别交于点､，试比较与的大小，并说明理由； （3）在（2）的条件下，设过点､的直线与交于､两点，求的面积最大值. 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）最大值. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的方程，即可求得双曲线的顶点坐标，利用直线的斜率及双曲线的性质，即可求得双曲线的方程； （2）根据双曲线的方程，求得焦点坐标，分别求得，方程，根据角平分线的性质，即可求得，，即可求得； （3）将直线方程代入双曲线方程，根据韦达定理及三角形的面积公式，换元及二次函数的性质，即可求得△的面积最大值． 【详解】解：（1）椭圆的右焦点为为双曲线，的右顶点， ， 直线与的一条渐近线平行，，， 双曲线的方程为， （2）， 理由如下：、为 的左右焦点，，，，， 直线方程为，直线方程为， 即直线方程为， 直线方程为， 由点在的平分线上，得， 由，，以及，解得， ， ，解得，结合，则 ； （3）由（2）可知：直线的方程为：， 令，得，故点，， 由，消去得， ， 设，，，，则，， ， 由，，， ，，△的面积， 设，，则△的面积， 时，即为，时，△的面积最大值为． 【点睛】解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $