第02讲：一元二次函数、方程与不等式【十大考点+十大题型】讲义-2025-2026学年高一数学上学期期期中《考点·题型·密卷》复习讲义（人教A版2019必修第一册）

第02讲：一元二次函数、方程与不等式 【题型归纳】 【考点梳理】 考点一：基本不等式 1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 考点二：用基本不等式求最值 用基本不等式≥求最值应注意x，y是正数； ①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 考点三：一元二次方程与不等式 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 【题型归纳】 题型一：不等式的性质 【例1】．（24-25高一上·广东·期中）下列命题是真命题的是（      ） A．若，则. B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【例2】．（24-25高一上·山东·期中）已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3】．（25-26高一上·湖南·阶段练习）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二：基本不等式 【例1】．（25-26高一上·吉林·期中）求最值： (1)已知，，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最小值； (3)已知，，且满足，求的最小值. 【例2】．（25-26高一上·河南·开学考试）已知正数满足. (1)求证：； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【例3】．（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 题型三：由一元二次方程的解确定参数 【例1】．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）已知不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【例3】．（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型四：解含有参数的一元二次不等式 【例1】．（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式：． 【例2】．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习） （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围： （2）解关于的不等式，其中. 【例3】．（25-26高一上·广西柳州·期中）设函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若，解关于的不等式：． 题型五：一元二次方程根的分布问题 【例1】．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【例2】．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【例3】．（24-25高一上·浙江宁波·期中）设，“”是“方程在区间上有两个不等实根”的（    ）条件. A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 题型六：一元二次不等式在实数集的恒成立问题 【例1】（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25高一上·江西上饶·期中）已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3】．（24-25高一上·广东·期中）若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型七：一元二次不等式在某个区间上恒成立问题 【例1】．（24-25高一上·湖南长沙·期中）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25高一上·河北·期中）已知满足的使得恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例3】．（24-25高一上·贵州·期中）已知集合，对于任意的，不等式恒成立，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型八：一元二次不等式在某个区间有解问题 【例1】．（25-26高一上·广东深圳·阶段练习）已知命题：；命题：，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25高一上·安徽·期中）已知命题“”，命题：“”，若命题均为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3】．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型九：一元二次不等式的实际应用问题 【例1】．（24-25高一上·辽宁锦州·期中）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为40元，年销售6万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少1000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入160万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价. 【例2】．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 【例3】．（23-24高一上·吉林长春·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，使点，分别在，的延长线上，且对角线过点，已知米，米． (1)若要使矩形的面积不大于平方米，则的长应在什么范围内？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值． 题型十：一元二次不等式的压轴综合问题 【例1】．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数，， (1)若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值； (2)在（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【例2】．（25-26高一上·湖南·阶段练习）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求a，b的值； (2)当时， （ⅰ）若关于x的不等式解集为，求实数a的取值范围； （ⅱ）若，，求的最小值． 【例3】．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数. (1)当时，求时的取值范围； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)当时，解关于的不等式； 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知实数a，b满足，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·北京·阶段练习）对于实数a，b，c，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）设正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．的最小值是 4．（24-25高一上·浙江温州·期中）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（23-24高一上·山东·期中）已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·陕西商洛·阶段练习）已知且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知，则下列命题中为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）下列关于x的不等式的解集正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 9．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 10．（25-26高一上·湖南·阶段练习）设正实数m，n满足，则（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．的最小值为2 11．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列结论中，错误的结论有（  ） A．取得最大值时x的值为1 B．若，则的最大值为-2 C．函数的最小值为2 D．若，，则的最小值为 三、填空题 12．（25-26高一上·吉林松原·期中）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为 . 13．（25-26高一上·湖南湘潭·阶段练习）已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值范围是 . 14．（25-26高一上·上海·期中）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为 ． 15．（23-24高一上·内蒙古乌海·期中）若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是 . 16．（25-26高三上·天津·开学考试）已知关于的不等式的解集为或.并且，且满足时，有恒成立，的取值范围为 . 四、解答题 17．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3). 18．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）设函数 (1)若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值； (2)若不等式对于实数a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围； (3)解关于x的不等式：f（x）＜a-1． 19．（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）某商场预计全年分批购入每台价值为4000元的电视机共3600台.每批都购入x台，且每批均需付运费400元.贮存购入的所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元. (1)求k的值； (2)现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由. 20．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数． (1)若的解集为，求的值； (2)若不等式的解集为，求的取值范围； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围： 21．（25-26高一上·江苏常州·阶段练习）已知都是正数. (1)若，求的最大值； (2)若，且，求的最小值； (3)若，且存在使不等式有解，求的取值范围. 22．（25-26高一上·四川巴中·阶段练习）已知关于的方程有两个不相等的实数根. (1)证明：为定值. (2)若，求的值. (3)求关于的不等式的解集. 23．（24-25高一下·广西·开学考试）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲：一元二次函数、方程与不等式 【题型归纳】 【考点梳理】 考点一：基本不等式 1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 考点二：用基本不等式求最值 用基本不等式≥求最值应注意x，y是正数； ①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 考点三：一元二次方程与不等式 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 【题型归纳】 题型一：不等式的性质 【例1】．（24-25高一上·广东·期中）下列命题是真命题的是（      ） A．若，则. B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】举例说明判断ABC；作差推理判断D. 【详解】对于A，取，则，，此时，A错误； 对于B，取，则，，此时，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，由，得，， 因此，即，D正确. 故选：D 【例2】．（24-25高一上·山东·期中）已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题求得，再结合不等式性质即可得解. 【详解】设， 所以，解得， 所以，又， 所以. 故选：A. 【例3】．（25-26高一上·湖南·阶段练习）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】应用特殊值法判断A，B，C，再根据不等式性质判断D. 【详解】当时不成立，故A错误； 取，，则，，所以，故B错误； 取，，，则，，则，故C错误； 因为，所以，故D正确． 故选：D． 题型二：基本不等式 【例1】．（25-26高一上·吉林·期中）求最值： (1)已知，，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最小值； (3)已知，，且满足，求的最小值. 【答案】(1)12 (2)5 (3)25 【分析】（1）利用基本不等式求和的最小值； （2）利用基本不等式求和的最小值； （3）由，得，则有，展开后利用基本不等式求和的最小值. 【详解】（1）已知，，且满足， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为12. （2）已知，有， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为5. （3）已知，，且满足，则有， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为25. 【例2】．（25-26高一上·河南·开学考试）已知正数满足. (1)求证：； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)24 (3)50 【分析】（1）根据基本不等式 “1”的巧用求解最值即可； （2）由可得，利用分式的性质变形结合基本不等式求解最值即可； （3）由，可得，又，从而将所求最值转化为即可得最值. 【详解】（1）因为正数满足， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以； （2）由可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为24； （3）因为，所以， 当且仅当时等号成立， 又，所以， 则的最小值为50. 【例3】．（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式即可； （2）利用基本不等式求的最小值，再求的最大值即可； （3）先化简得，再利用的妙用化简即可. 【详解】（1）因为，且，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，有最小值，最小值为； （2）因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为； （3）因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即，即时取等号， 故当时，有最小值，最小值为. 题型三：由一元二次方程的解确定参数 【例1】．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）已知不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法，求得a，c值，代入所求，即可求得答案. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，解得， 则所求的解为. 故选：A 【例2】．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】C 【分析】利用三个二次的关系分析得到，，即可判断AB；对于C，由或可得；对于D，利用前面已得结论，消元后解一元二次不等式即得. 【详解】由题意知，和3是方程的两根，且， 则有，故得. 对于AB，由和，可推得，故AB均错误； 对于C，因或故，故C正确； 对于D，由上分析，不等式可化为， 因，故可解得，即的解集为，故D错误. 故选：C. 【例3】．（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求得，然后解一元二次不等式即可求解. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以的两个根为1，2， 所以由韦达定理有，解得， 所以不等式，即不等式或. 故选：A. 题型四：解含有参数的一元二次不等式 【例1】．（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况解不等式. 【详解】当时，原不等式可化为：. 当时，. 若即时，原不等式的解为：或； 若即时，原不等式的解为：； 若即时，原不等式的解为：或. 当时，. 因为，所以. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 【例2】．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围： （2）解关于的不等式，其中. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）分讨论，时根据判别式建立不等关系求解； （2）分讨论，结合一次不等式、二次不等式求解即可. 【详解】（1）依题意，不等式对于一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，有 即 解得. 综上，实数的取值范围为. （2）不等式等价于. 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为 ； ③当时，，不等式的解集为. 综上可知，当时，解集为，当时，解集为， 当时，解集为 ，当时，解集为， 当时，解集为 【例3】．（25-26高一上·广西柳州·期中）设函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若，解关于的不等式：． 【答案】(1)， (2)当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或. 【分析】（1）由题意可得0和是方程的根，且，进而结合韦达定理求解即可； （2）由条件原不等式可化为，再分，，讨论，结合一元二次不等式解法求解即可. 【详解】（1）由题意知，0和是方程的根，且， 所以，解得，. （2）不等式，可化为， 故， 因为，所以原不等式可化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或. 综上所述，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 题型五：一元二次方程根的分布问题 【例1】．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 【例2】．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 【例3】．（24-25高一上·浙江宁波·期中）设，“”是“方程在区间上有两个不等实根”的（    ）条件. A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】举反例说明充分性，利用二次方程根的分布说明必要性，从而得解. 【详解】当时，取， 则方程为，显然无解，即充分性不成立； 当方程在区间上有两个不等实根时， 则，即，则， 此时成立，即必要性成立； 所以前者是后者的必要不充分，故C正确. 故选：C. 题型六：一元二次不等式在实数集的恒成立问题 【例1】（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分类讨论和，结合二次函数的性质列出不等式即可求解． 【详解】， 因为不等式对于任意均成立， 所以当时，，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述，， 故选：D． 【例2】．（24-25高一上·江西上饶·期中）已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据参数是否等于零分类讨论，再结合二次函数的图象与性质列不等式，求解即可. 【详解】由题意，命题“，”是真命题， 当时，不等式，解得，不满足题意； 当时，，解得 综上所述，实数的取值范围是 故选：A. 【例3】．（24-25高一上·广东·期中）若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判别式可求的取值范围. 【详解】由题设有，故， 故选：B. 题型七：一元二次不等式在某个区间上恒成立问题 【例1】．（24-25高一上·湖南长沙·期中）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离参数，结合对勾函数单调性可求得参数范围. 【详解】因为不等式对一切恒成立， 所以在区间上恒成立， 由对勾函数性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且当时，，当时，， 所以，故， 故选：D. 【例2】．（24-25高一上·河北·期中）已知满足的使得恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式，得到在上恒成立，考虑和两种情况，参变分离，得到. 【详解】由，求出， 在上恒成立， ， 当时，，， 当时，， 其中，当且仅当时，等号成立， 故， 综上，的取值范围为. 故选：A 【例3】．（24-25高一上·贵州·期中）已知集合，对于任意的，不等式恒成立，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设有，且在上恒成立，讨论、、求实数x的取值范围. 【详解】由题设， 由，即在上恒成立， 当时，恒成立，此时， 当时，不等式不成立， 当时，恒成立，此时， 综上，实数x的取值范围是. 故选：D 题型八：一元二次不等式在某个区间有解问题 【例1】．（25-26高一上·广东深圳·阶段练习）已知命题：；命题：，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别分析命题p和命题q，再根据“p为假命题，q为真命题”的条件确定实数a的取值范围． 【详解】令，配方得，为二次函数，当时，取得最小值，当时，，所以当时，， 题目中p为假命题，所以或， 将不等式变形为，又，即， 令，因为函数、在均单调递减，所以在上单调递减，因此在上的最大值为，要使对所有恒成立，需，即命题q为真时，， 结合p假、q真的条件，取上述两者a的交集，所以的取值范围为． 故选：A． 【例2】．（24-25高一上·安徽·期中）已知命题“”，命题：“”，若命题均为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含量词的命题为真命题，可得关于参数的不等式，解得的范围，依题再求各范围的交集即得. 【详解】由命题“”是真命题，可得，即； 由命题“”为真命题，可得，解得， 因命题均为真命题，故可得． 故选：B． 【例3】．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分离变量法整理不等式，构造函数解析式，求得新函数在给定区间上的最值，可得答案. 【详解】由题，，，即，即在上有解， 设，则，， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， ，则，所以. 故选：B. 题型九：一元二次不等式的实际应用问题 【例1】．（24-25高一上·辽宁锦州·期中）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为40元，年销售6万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少1000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入160万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价. 【答案】(1)60元 (2)10.5万件， 60元 【分析】（1）设每件定价为元，列不等式，解之可得； （2）由题意列出不等式，要求此不等式有解，分离参数后用基本不等式求得最值后可得． 【详解】（1）设每件定价为元，依题意得， 整理得， 解得. 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为60元. （2）依题意知当时，， 等价于时，， 由于，当且仅当，即时等号成立， 所以， 当该商品改革后销售量至少达到10.5万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为60元. 【例2】．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）由题得购买货物的次数为，于是依据题目所给的数据即可得一年的总费用y，再由即可求解的取值范围. （2）先由（1）得一年的总费用y，再直接利用基本不等式即可求出最小时x的值. 【详解】（1）因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨， 所以购买货物的次数为， 故， 化简得，解得， 所以x的取值范围为. （2）由（1）可知， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以当时，一年的总费用最小， 故x的值为30. 【例3】．（23-24高一上·吉林长春·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，使点，分别在，的延长线上，且对角线过点，已知米，米． (1)若要使矩形的面积不大于平方米，则的长应在什么范围内？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值． 【答案】(1) (2)，面积最小为平方米 【分析】（1）根据已知条件列不等式，从而求得的范围. （2）先求得花坛面积的表达式，然后利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）设的长为米，则米， 因为，所以， 所以矩形的面积， 因为矩形的面积不大于平方米， 所以，而，所以整理得， 解得，所以的长的取值范围是. （2）矩形花坛的面积， 当且仅当，即时，矩形花坛的面积最小为平方米． 题型十：一元二次不等式的压轴综合问题 【例1】．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数，， (1)若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值； (2)在（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）整理不等式，由二次不等式解集得到二次方程的根，代入求得，然后解方程得到. （2）将（1）中结果代入等式，然后利用基本不等式求得的最小值，由不等式恒成立建立新的不等式，解二次不等式即可求得的取值范围. 【详解】（1）， 可化为， 移项整理，得的解集为或， 或是方程的两个根，且. 将代入方程，可得，解得. 把代入方程，得，即，即， 故，. （2）由（1）知，，则，，，， 当且仅当时，即时，等号成立，故 ， 恒成立， ， ， ， ， ，故的取值范围是. 【例2】．（25-26高一上·湖南·阶段练习）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求a，b的值； (2)当时， （ⅰ）若关于x的不等式解集为，求实数a的取值范围； （ⅱ）若，，求的最小值． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据一元二次方程的根与一元二次不等式的解之间的关系，结合韦达定理即可求解， （2）利用判别式即可求解（ⅰ），由不等式的乘“1”法即可求解（ⅱ）. 【详解】（1）由题意可知，4是方程的两根，则， 解得，． （2）当时，则，可得，则， 则． （ⅰ）因为关于x的不等式解集为， 则， 解得， 因此，实数a的取值范围是． （ⅱ）因为，，， 则， 当且仅当，即，时等号成立， 所以当，时，取得最小值． 【例3】．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数. (1)当时，求时的取值范围； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)当时，解关于的不等式； 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）把代入，解一元二次不等式即可. （2）由一元二次不等式恒成立求出的范围. （3）分类讨论解含参数的一元二次不等式. 【详解】（1）当时，时，则，解得， 所以的取值范围是. （2）①当，即时，原不等式化为，解集为，不合题意； ②当，即时，的解集为，即的解集为， 则有，即，解得. 所以的取值范围是. （3）不等式， 即，即， 当时，即时，不等式化为，解得； 当时，有， 解方程，得或， ①当，又，得时，即时，有， 则解不等式，得或； ②当，即时有， 解不等式，得， 所以当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知实数a，b满足，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意设，从而求出，从而可得，即可得解. 【详解】由题意设， 则，解得，所以， 因为，， 所以，即， 即的范围是． 故选：C 2．（25-26高一上·北京·阶段练习）对于实数a，b，c，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用不等式的性质可判断AB；利用作差法判断CD. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，，由得， 所以，所以，故C正确； 对于D，， 由，得，但是的符号不确定， 所以与的大小无法确定，故D错误. 故选：D 3．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）设正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．的最小值是 【答案】D 【分析】根据基本不等式求解最值判断ABC，利用常数代换技巧求最值判断D. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故A错误； 结合A，， 当时，等号成立，故B错误； 结合A，， 所以，当时，等号成立，故C错误； ， 当且仅当，即时，等号成立，D正确． 故选：D． 4．（24-25高一上·浙江温州·期中）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】因为，， 所以， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解为或， 故选：C． 5．（23-24高一上·山东·期中）已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用乘“1”法并结合基本不等式可求得的最小值，从而可得实数m的取值范围. 【详解】由，可得：， 又因为，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以， 由恒成立，可得，即实数m的取值范围为. 故选：A. 6．（25-26高一上·陕西商洛·阶段练习）已知且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式求得的最小值，从而将问题转化为，解之即可. 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 因为关于的不等式恒成立， 所以，解得， 所以. 故选：A 二、多选题 7．（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知，则下列命题中为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据不等式的性质，逐一判断各选项正误，判断结果. 【详解】当时，若，则，所以A错误； 当时，，因为，所以，所以B正确； 作差得，因为，所以， 则，即，所以C正确； 当时，有，此时，所以D错误. 故选：BC 8．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）下列关于x的不等式的解集正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】根据一元二次不等式的解法，分别求出A，B，C选项中不等式的解集，即可判断正误；根据分式不等式的解法求出D选项中不等式的解集，即可判断正确与否. 【详解】对于A，将不等式，化简为，解得：， 所以的解集是，故A选项正确； 对于B，不等式，解得：， 所以的解集是，故B选项正确； 对于C，将不等式，由于， 所以的解集是，故C选项错误； 对于D，不等式，化简为， 等价于，解得：， 所以不等式的解集是，故D选项错误. 故选：AB. 9．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 【答案】AC 【分析】利用一元二次不等式的解集用表示，再逐项求解判断. 【详解】由关于的一元二次不等式的解集为或， 得是方程的根，且，则，即， 对于A，，A正确； 对于B，不等式，化为，解得，B错误； 对于C，不等式，化为，即，解得或，C正确； 对于D，，D错误. 故选：AC 10．（25-26高一上·湖南·阶段练习）设正实数m，n满足，则（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．的最小值为2 【答案】AC 【分析】根据基本不等式计算判断A，B，先平方再应用基本不等式计算判断C，D. 【详解】对于A，B，， 当且仅当，即，时取等号，故A正确，B错误； 对于C，D，， 当且仅当时取等号，则的最大值为2，故C正确，D错误． 故选:AC． 11．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列结论中，错误的结论有（  ） A．取得最大值时x的值为1 B．若，则的最大值为-2 C．函数的最小值为2 D．若，，则的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据二次函数的性质，可判断A的正误；将条件整理变形，根据基本不等式，可判断B、C、D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：，，为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以函数取得最大值时x的值为，故A错误； 选项B：当时，，则， 所以， 因为， 所以，即最大值为-3， 当且仅当，即时取等号，故B错误； 选项C：， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 此时不成立，故无法取得最小值2，故C错误； 选项D：因为，， 所以，整理得， 解得或（舍） 当且仅当时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABC 三、填空题 12．（25-26高一上·吉林松原·期中）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分和两种情况，列出相应的不等关系，即可求得答案. 【详解】当时，原不等式为恒成立，则符合题意； 当时，需使，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 13．（25-26高一上·湖南湘潭·阶段练习）已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求得的最大值，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】依题意，，， 解得，则 ， 当且仅当，时等号成立. 由恒成立可得， 所以即， 解得或，即的取值范围是. 故答案为： 14．（25-26高一上·上海·期中）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】解分式不等式和一元二次不等式，根据不等式组没有实数解得到. 【详解】，解得， ， 要想不等式组没有实数解，则，故实数的取值范围为. 故答案为： 15．（23-24高一上·内蒙古乌海·期中）若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是 . 【答案】 【分析】首先根据韦达定理求的关系，再代入，转化为不含参的一元二次不等式求解. 【详解】由题意可知，，得，， 即，即， 解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为： 16．（25-26高三上·天津·开学考试）已知关于的不等式的解集为或.并且，且满足时，有恒成立，的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解，结合韦达定理求出，再利用1的妙用求出最小值，进而求解一元二次不等式即可. 【详解】由不等式的解集为或， 得和是方程的两个实数根且，则，解得， 于是，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 依题意，，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 17．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）利用配方法即可求解； （2）利用穿根法即可求解； （3）首先代入求解，当时，因式分解后再求解不等式即可. 【详解】（1），即，解得，则其解集为. （2），即， 则，且， 利用穿根法得，则其解集为. （3）当时，原不等式可化为，解集为， 当时，原不等式可化为，解集为， 当时，原不等式可化为， 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上所述：当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为． 18．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）设函数 (1)若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值； (2)若不等式对于实数a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围； (3)解关于x的不等式：f（x）＜a-1． 【答案】(1)， (2){1} (3)答案见解析 【分析】（1）由题意可得0和是方程的根，且，进而结合韦达定理求解即可； （2）转化问题为对于实数时恒成立，进而结合一次函数的性质求解即可； （3）根据含参一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由题意知，0和b是方程的根，且， 所以，解得， （2）由，即， 即对于实数时恒成立， 则，解得，则x的取值范围为{1} （3）由，则， 当时，不等式可化为，即，解集为， 当时，不等式可化为，不等式的解集为； 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 19．（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）某商场预计全年分批购入每台价值为4000元的电视机共3600台.每批都购入x台，且每批均需付运费400元.贮存购入的所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元. (1)求k的值； (2)现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由. 【答案】(1) (2)安排每批进货120台时，24000元资金恰好够用. 【分析】（1）根据题意列出关于“每批购入400台时的全年所需运输和保管总费用”的关系式，从而求得k的值； （2）根据题意列出关于“每批购入台时的全年所需运输和保管总费用”的关系式，再根据基本不等式求出最小值，与24000元比较后进行判断. 【详解】（1）由题可知：，解得：. （2）安排每批进货120台时，24000元资金恰好够用. 由题可知：若每批都购入台，则全年所需运输和保管总费用为：. 因为， 当且仅当时，等号成立. 所以安排每批进货120台时，24000元资金恰好够用. 20．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数． (1)若的解集为，求的值； (2)若不等式的解集为，求的取值范围； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围： 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】（1）因为的解集为，所以的解集为， 所以方程的两个根为和，由韦达定理，所以，解得.故. （2）不等式，即的解集为， 当时，，符合题意； 当时，有，解得. 综上所述，的取值范围为 （3）不等式对一切恒成立， 即对一切恒成立，因为， 则不等式等价于对一切恒成立，由，且， 而， 当且仅当，即时等号成立，所以， 所以，即的取值范围是． 21．（25-26高一上·江苏常州·阶段练习）已知都是正数. (1)若，求的最大值； (2)若，且，求的最小值； (3)若，且存在使不等式有解，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)2； (3)或. 【详解】（1）由都是正数，得，解得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. （2）由都是正数，且，，得 ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. （3）由都是正数，，得， 当且仅当，即时取等号，由不等式有解， 得，当时，，解得，则； 当时，，解得，无解； 当时，，解得，则， 所以的取值范围是或. 22．（25-26高一上·四川巴中·阶段练习）已知关于的方程有两个不相等的实数根. (1)证明：为定值. (2)若，求的值. (3)求关于的不等式的解集. 【详解】（1）由题意知：，解得：或， ，，， 即为定值. （2），解得：或， 由（1）知：或，. （3）由（1）知：或，， ； ①当时，， 由得：或或； ②当时，， i.若，则，解不等式得：或； ii.若，则，解不等式得：，即； iii.若，则，解不等式得：； iv.若，则，不等式组无解； v.若，则，解不等式得：； 综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 23．（24-25高一下·广西·开学考试）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】(1)18 (2)   (3) 【详解】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元， ， 所以的值为18. （2）设底面长为，， 所以墙面面积为， ，，当时取等， 所以，最小值为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $