第04讲：幂函数【八大题型】讲义-2025-2026学年高一数学上学期期期中《考点·题型·密卷》复习（人教A版2019必修第一册）

第04讲：幂函数 【题型归纳】 【考点梳理】 考点一：幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 考点二　五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 考点三　一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 【题型探究】 题型一、幂函数的概念、参数问题 【例1】．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义及奇函数的概念即可求解. 【详解】由题意得，所以，所以， 解得或， 当时，，为偶函数，故不符合题意， 当时，，为奇函数，故符合题意. 综上所述：. 故选：B. 【例2】．（23-24高一上·广西玉林·期中）已知幂函数在上是增函数，则实数m的值为（    ） A．1或 B．3 C． D．或3 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义结合单调性分析求解即可. 【详解】因为函数是幂函数， 则，解得或． 当时，在上是增函数，符合题意； 当时在上是减函数，不合题意． 综上所述：实数m的值为3. 故选：B. 【例3】．（24-25高一上·云南昆明·期中）幂函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义以及单调性可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 则，解得或. 故选：B. 题型二：幂函数的解析式或求值问题 【例1】．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数经过定点，将此点代入幂函数中即可求出表达式，进而求出. 【详解】∵幂函数的图象过点，∴，解得，∴，所以， 故选：A. 【例2】．（24-25高一上·广东广州·期中）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的图象过点求出解析式，再求即可. 【详解】设， 幂函数的图象过点， 所以，解得， 所以，则. 故选：B. 【例3】．（24-25高一上·广东佛山·期中）若幂函数的图象经过这三个点中的两个点，则（   ） A．64 B．16 C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据幂函数的知识进行分析，求得幂函数的解析式，进而求得. 【详解】设，易知的图象必经过点． 当的图象经过点时，不成立； 当的图象经过点时，，得． 故，得． 故选：B 题型三：幂函数的基本性质 【例1】．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数的图象过点，下列说法中正确的是（    ） A．是奇函数 B．的定义域是 C．的值域是 D．在定义域上单调递减 【答案】D 【分析】由条件求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质判断即可. 【详解】∵幂函数的图象过点，设， ∴，即，得， ∴，其定义域为，故B错误； ∵定义域关于原点不对称，∴为非奇非偶函数，故A错误； ∵定义域为，，∴的值域是，故C错误； ∵，∴在定义域上单调递减，故D正确. 故选：D. 【例2】．（24-25高一上·福建厦门·期中）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点. D．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； 【答案】D 【分析】利用幂函数的性质判断每个选项即可. 【详解】选项A，当时，幂函数不过原点，故A错误； 选项B，当时，幂函数过第三象限，故B错误； 选项C，若幂函数的图象过点，则， 所以幂函数为，当时，此时，故C错误. 选项D，当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增，故D正确； 故选：D 【例3】．（23-24高一上·浙江温州·期中）若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（   ） A．为偶函数 B．的值域为 C．方程的实根为 D．在上为增函数 【答案】A 【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可. 【详解】设，代入点可得，所以， 所以，因为，所以，即函数的定义域为， 对于A：因为的定义域为关于原点对称， 且，所以为偶函数，故A正确； 对于B：因为，所以，所以，所以的值域为，故B错误； 对于B：令，所以，解得， 所以方程的实根为，故C错误； 对于D：因为，所以在上为减函数，故D错误. 故选：A. 题型四、幂函数的图象及应用 【例1】．（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可. 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以，所以. 故选：A 【例2】．（24-25高一上·陕西西安·期中）函数，和的图象如图所示，则下列四个说法错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果时，那么 【答案】B 【分析】根据幂函数的图象确定正确答案. 【详解】，和的图象都过点. 的图象都过点. A选项，如果，根据图象可知：，A选项正确. B选项，如果，根据图象可知：或，B选项错误. C选项，如果，根据图象可知：，C选项正确. D选项，如果时，根据图象可知：，D选项正确. 故选：B 【例3】．（2024高三下·全国·专题练习）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D．幂函数的图象过点，则 【答案】C 【分析】根据幂函数的图象性质分别判断每个选项即可. 【详解】对于A，当时，幂函数在处无定义，故图象不会经过点，选项A错误； 对于B，当时，幂函数都有意义，且，故幂函数的图象不经过第四象限，选项B错误； 对于C，当时，，在R上单调递增；当时，，在上单调递增；当时，，定义域为，且在上单调递增，选项C正确； 对于D，幂函数的图象过点，即，所以，即，所以，选项D错误； 故选：C. 题型五、根据幂函数单调性比较大小 【例1】．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因在上单调递增， 由，可得， 故. 故选：C. 【例2】．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数与指数函数的性质比较． 【详解】根据指数运算法则，＝4． 比较a和b的大小，对于和， 因为函数，指数0.1＞0，此函数在单调递增． 又因为，所以，即． 比较a和c的大小，是增函数，， 故． 故选：A． 【例3】．（23-24高一上·福建三明·期中）下列大小关系正确的是（    ） ①    ② ③    ④ A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 【答案】C 【分析】利用指数函数、幂函数的单调性比较大小逐个判断即可. 【详解】对①，因为指数函数单调递减，所以，①错误； 对②，因为指数函数单调递减，所以， 又因为幂函数在单调递增，所以， 所以，②正确； 对③，因为幂函数在单调递增，所以，③正确； 对④，因为指数函数单调递减，所以， 又因为幂函数在单调递减，所以， 即，④错误； 故选：C. 题型六：幂函数的单调性解不等式问题 【例1】．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，利用函数单调性即可解不等式. 【详解】为幂函数，可设， 由于函数的图象过点，故，所以，即， 所以函数在R上单调递增， 由可得，解得，即的取值范围为. 故选：D. 【例2】．（24-25高一上·山东济南·期中）已知幂函数，满足，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的概念求得，结合幂函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以， 因此，所以是定义在上的增函数， 又因为，所以，解得， 故选：A. 【例3】．（23-24高一上·江西新余·期末）若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件求得的值，即得函数；分别判断该函数的奇偶性和在区间上的单调性；最后将抽象不等式转化成，再通过两边平方化成一元二次不等式求解即得. 【详解】把代入可得：，易得：，则， 显然函数的定义域为R，由知为偶函数. 且，由， 因故，即，故函数在上为增函数. 由，将两边平方整理可得：， 解得：或. 故选：C. 题型七：幂函数的奇偶性问题 【例1】．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质得到，则，其对称轴方程为，根据单调性得到不等式，求出答案. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意，所以， 则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则. 故选：A. 【例2】．（24-25高一上·江苏·期中）已知幂函数经过点，则是（    ） A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在上是增函数 D．奇函数，且在上是减函数 【答案】A 【分析】根据函数过点，可得函数解析式，根据解析式即可得其奇偶性和单调性，即可求解. 【详解】依题意，设，将点代入上式，得到，即， 所以该函数为偶函数，且在上是增函数． 故选: 【例3】．（24-25高一上·新疆·期中）已知函数，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据幂函数奇偶性分别验证充分性和必要性即可. 【详解】当时，，是奇函数，充分性成立； 若是奇函数，则需，或， 当时，是奇函数， 当时，是奇函数，或，必要性不成立； “”是“是奇函数”的充分不必要条件. 故选：A. 题型八：幂函数性质的综合问题 【例1】．（25-26高一上·全国·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意； 所以. （2）因为，即转化为， 由参变量分离法可得，其中，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以，综上可知，实数的取值范围为. （3）由（1）知，由， 得. 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解为； 当，即时，不等式解为. 综上可得， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【例2】．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求的值并写出的解析式； (2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）由条件得到求解即可； （2）由条件得到的值域为值域的子集.再分类讨论求解； 【详解】（1）因为幂函数在上单调递减， 所以 解得：， 所以. （2）， 当时，， 易得的值域为. ，总存在，使， 的值域为值域的子集. ， ①当时，，则； ②当时，，则； ③当时，，不符合题意. 综上，或. 【例3】．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数在区间上的值域； (3)若对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）依题意，解得或； 当时，在区间上单调递减，不合题意，舍去； 当时，在区间上单调递增，符合题意， 所以； （2）当时，可得， 令，因为，所以， 即可得， 当时，，当时，； 所以函数在区间上的值域为 （3）令，因为，所以， 即可得， 因为对任意恒成立，所以对于任意恒成立； 所以. 当时，在上单调递减，可得，符合题意； 当时，图象的对称轴为， 易知恒成立，因此在上的最小值为，符合题意； 当时，若，此时，可得，此时不等式无解，不符合题意； 当时，，此时在上的最小值为，解得. 综上可知，实数a的取值范围为. 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽宣城·期末）幂函数在上递减，则实数（   ） A． B． C．2 D．2或 【答案】C 【分析】根据条件，利用幂函数的定义及性质，即可求解. 【详解】因为为幂函数，则， 即，解得或， 当时，在上递减，所以满足题意， 当时，在上递增，所以不满足题意， 综上，实数， 故选：C. 2．（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合待比较的三个数的指数，底数的特点，构造指数函数，幂函数，根据它们的单调性即可求解. 【详解】设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故. 故选：D 3．（2025高一上·广东·专题练习）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数和一次函数的单调性判断的正负，可判断ABC，再由一次函数与坐标轴交点坐标及单调性判断D. 【详解】对于A，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立； 对于B，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立； 对于C，函数，，函数，；可能成立； 对于D，函数，，函数，，，矛盾，不可能成立． 故选：C． 4．（2025·湖南·一模）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（   ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 【答案】A 【分析】根据幂函数定义和函数单调性列出关于的方程和不等式即可求解. 【详解】由题意可得. 故选：A 5．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数以及幂函数的单调性，结合分界点处两函数的单调性与整体保持一致列不等式求解即可. 【详解】因为在上单调递增，所以只需要 解得． 故选：D． 6．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，进而得，再根据指数函数性质求解即可. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以，解得， 所以， 令得， 所以， 所以的图象过定点. 7．（24-25高一上·广东·期中）幂函数的图象经过点，则是（    ） A．偶函数，且在上是减函数 B．偶函数，且在上是增函数 C．奇函数，且在上是减函数 D．非奇非偶函数，且在上是增函数 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再利用幂函数的性质逐项判断. 【详解】设幂函数，由，得，解得，则， 函数的定义域为R，且，所以是偶函数， 根据二次函数的性质可知，在上是增函数，故B正确. 故选：B 8．（21-22高一上·安徽·期中）幂函数在区间上单调递增，且，则的值（   ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据题意求出函数解析式，再由奇偶性与单调性判断即可． 【详解】由函数是幂函数，可得，解得或. 当时，；当时，. 因为函数在上是单调递增函数，故. 又，所以，所以，则. 故选：A. 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数 是幂函数，对任意的 且 ，满足 ，若 ，则 的值（    ） A．恒大于 0 B．恒小于 0 C．等于 0 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据幂函数定义及函数在上单调递增可得的值，研究的奇偶性，应用的单调性、奇偶性判断即可. 【详解】由题意知，是幂函数， 则，解得或， 又对任意的，且，满足， 所以在上单调递增， ①当时，，不满足在上单调递增，故不符合， ②当时，为增函数，故符合. 综述：，即. 又， 所以在上为奇函数且为增函数， 又，即， 所以， 所以. 故选：B. 10．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知幕函数在上单调递减，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义以及单调性，可得函数解析式，化简不等式，可得答案. 【详解】因为，故，则， 函数的定义域为， 又，即为偶函数， 又因为， 所以，解出. 故选：D. 二、多选题 11．（25-26高一上·全国·课后作业）下列大小关系正确的是（） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】A，C项同底，构造指数函数；B项同指数，构造幂函数；项不同底不同指，借助中间值“1”判断． 【详解】A：函数在上单调递增，故，选项A错误； B：函数在上单调递增，故，选项B正确； C：函数在上单调递减，故，选项C错误； D：∵，∴，选项D正确． 故选：BD． 12．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（    ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在定义域上为减函数 D．当时，恒成立 【答案】BC 【分析】首先求出函数的解析式，根据解析式即可判断A，根据函数的奇偶性可判断B，根据函数的单调性可判断C，证明即可判断D. 【详解】因为函数经过，即，所以函数解析式为， 当时，，所以函数经过，故A正确； 为奇函数不为偶函数，图像关于原点对称，故B错误； 在和单调递减，故C错误； 当时，， 故恒成立，故D正确. 故选：BC 13．（24-25高一上·广东汕头·期中）下列说法正确的是（ ） A．若幂函数过点，则 B．函数表示幂函数 C．若幂函数在单调递增，则 D．幂函数的图象都过点和 【答案】AC 【分析】对于A，利用待定系数法求解判断，对于B，根据幂函数的定义分析判断，对于C，根据幂函数的性质分析判断，对于D，举例判断即可. 【详解】对于A，设幂函数为，则，所以，所以A正确， 对于B，因为的系数为2，所以函数不是幂函数，所以B错误， 对于C，因为幂函数在单调递增， 所以，解得，所以C正确， 对于D，因为幂函数的图象不过，所以D错误. 故选：AC 14．（24-25高一上·湖南·期中）已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（    ） A． B． C．是偶函数 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据幂函数的性质可得，代入点坐标可求解，即可求解AB,根据偶函数的定义求解C，根据幂函数的单调性以及奇偶性可列不等式求解D. 【详解】对于A，由于幂函数的图象经过点， 故，解得，故，A正确， 对于B，无意义，故B错误， 对于C，定义域为，关于原点对称， 且，故是偶函数，C正确， 对于D，由于是偶函数，且在单调递减， 故由可得，解得且，故D错误， 故选：AC 15．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据幂函数所过点求解析式，进而判断其奇偶性、单调性，依次判断各项正误. 【详解】由题设得，故，则定义域为，故为非奇非偶函数， 且在上单调递增，A对，B错， 当，则，C对； 当，则， 所以，即，D对. 故选：ACD 三、填空题 16．（24-25高一上·天津·期中）函数为幂函数，若函数在上单调递增，则实数 . 【答案】2 【分析】由幂函数得或，结合幂函数的单调性确定参数值. 【详解】由题设，可得或， 当，显然在R上不是增函数，不满足； 当，在R上单调递增，满足. 所以. 故答案为：2 17．（2018·上海·高考真题）已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则 【答案】 【分析】由幂函数在上递减得，又由幂函数为奇函数，验证即可求解. 【详解】因为幂函数在上递减，所以， 又幂函数为奇函数，所以. 故答案为： 18．（2025高三·全国·专题练习）幂函数满足，则此函数可以是 ．（写出一个满足条件的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的解析式即可，依题意幂函数为偶函数且在上单调递增，即可得解. 【详解】令幂函数（为常数），题中没有给出的定义域的限制信息， 因此的定义域可为．由“”可知，函数是偶函数． 又，则函数在上单调递增， 因此可以为正偶数，所以此函数可以是，,． 故答案为： （答案不唯一）． 19．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数是减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据已知条件及分段函数单调性分段处理的原则，结合一次函数与幂函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数是上的减函数， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 20．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据幂函数的性质求出的值，再根据幂函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减， 所以且为奇数， 又，所以， 则，即为， 因为函数的定义域为且为减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 21．（22-23高二上·江西新余·开学考试）已知幂函数在上单调递减，若正数满足，求的最小值 . 【答案】24 【分析】结合幂函数的知识求得的解析式，利用基本不等式求得的最小值. 【详解】由于是幂函数，所以，解得或. 当时，，在上递减，符合题意. 当时，在上递增，不符合题意.所以的值为1，则， 依题意为正数，， 当且仅当时，等号成立.所以的最小值为24. 故答案为：24. 四、解答题 22．（24-25高一上·山东日照·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入解析式求出，得解； （2）问题转化为恒成立，令，求出的最小值得解. 【详解】（1）由题意可得，，. （2）由（1）可得，恒成立，， 令，，， 实数的取值范围为. 23．（24-25高一上·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)奇函数，理由见解析； (3). 【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解. （2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为. （2）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 24．（22-23高二上·河南·开学考试）已知幂函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函数，确定结论； （2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解. 【详解】（1）由题意，幂函数， 可得，     即，解得或，     当时，函数为奇函数，     当时，为非奇非偶函数，     因为为奇函数，所以. （2）由（1）知，可得在上为增函数， 因为，所以，     解得，     所以a的取值范围为. 25．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知幂函数在区间上单调递减. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性求的值，确定幂函数的解析式，再求； （2）根据幂函数的解析式，把函数不等式化为代数不等式求解. 【详解】（1）由题意，，所以， 所以. （2）， 所以且. 故所求不等式的解集为：. 26．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知函数为幂函数，且在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若函数，判断函数在上的单调性，并证明. 【答案】(1)； (2)函数在上单调递增，证明见详解. 【分析】(1)利用幂函数的定义，则可得到，从而解得的值，再利用单调性进行检验即可； (2)利用单调性的定义证明即可. 【详解】（1）函数为幂函数， ，即，或， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意， 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 实数的值为； （2）由(1)可知，， 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， ，，， ，即， 函数在上单调递增. 27．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知幂函数在上是减函数，. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性进行求解即可； （2）根据幂函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）由函数为幂函数得， 解得或， 又函数在上是减函数，则，即， 所以，； （2）由（1）得，所以不等式为， 设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减， 所以解得，所以实数的取值范围是. 28．（24-25高一上·广东·期中）已知幂函数是奇函数，函数. (1)求； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)若在上的最小值为，求. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据幂函数定义得到方程，结合函数的奇偶性，求出； （2）根据二次函数单调性得到不等式，求出的取值范围； （3）分，和三种情况，结合函数单调性，得到方程，求出或5. 【详解】（1）由题意得，得或. 当时，是偶函数，不符合题意； 当时，是奇函数，符合题意， 故. （2）由（1）得，图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调，所以或， 解得或，即的取值范围为. （3）当，即时，在上单调递减， ，解得，舍去； 当，即时，在上单调递增， ，解得，符合； 当，即时，在上单调递减， 在上单调递增，， 解得或0（舍去）. 故或5. 29．（24-25高一上·广东深圳·期中）如图所示的函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成.    (1)求的解析式； (2)比较与的大小； (3)已知，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得，解得，所以 （2）因为，所以， 即，所以. （3）因为在上单调递减， 则由，得，解得. 30．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知幂函数的图象经过点. (1)求的解析式. (2)设函数 ①判断的奇偶性； ②若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①奇函数，证明见解析；② 【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式，求出参数的值，即可得解； （2）①利用奇偶函数定义法证明即可；②先证明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【详解】（1）解：幂函数的图象经过点， ，解得， ； （2）①由，可得，其定义域为. 对于任意，,所以是奇函数.   ②由（1）得． 任取，，且， 则 ． 因为，所以，，所以，即． 所以函数在单调递增， 所以在上，． 因为在上恒成立， 所以，解得． 所以的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲：幂函数 【题型归纳】 【考点梳理】 考点一：幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 考点二　五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 考点三　一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 【题型探究】 题型一、幂函数的概念、参数问题 【例1】．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（    ） A．或 B． C． D． 【例2】．（23-24高一上·广西玉林·期中）已知幂函数在上是增函数，则实数m的值为（    ） A．1或 B．3 C． D．或3 【例3】．（24-25高一上·云南昆明·期中）幂函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（   ） A． B．或 C． D．或 题型二：幂函数的解析式或求值问题 【例1】．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D． 【例2】．（24-25高一上·广东广州·期中）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【例3】．（24-25高一上·广东佛山·期中）若幂函数的图象经过这三个点中的两个点，则（   ） A．64 B．16 C．4 D．2 题型三：幂函数的基本性质 【例1】．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数的图象过点，下列说法中正确的是（    ） A．是奇函数 B．的定义域是 C．的值域是 D．在定义域上单调递减 【例2】．（24-25高一上·福建厦门·期中）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点. D．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； 【例3】．（23-24高一上·浙江温州·期中）若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（   ） A．为偶函数 B．的值域为 C．方程的实根为 D．在上为增函数 题型四、幂函数的图象及应用 【例1】．（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25高一上·陕西西安·期中）函数，和的图象如图所示，则下列四个说法错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果时，那么 【例3】．（2024高三下·全国·专题练习）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D．幂函数的图象过点，则 题型五、根据幂函数单调性比较大小 【例1】．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【例3】．（23-24高一上·福建三明·期中）下列大小关系正确的是（    ） ①    ② ③    ④ A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 题型六：幂函数的单调性解不等式问题 【例1】．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25高一上·山东济南·期中）已知幂函数，满足，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例3】．（23-24高一上·江西新余·期末）若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：幂函数的奇偶性问题 【例1】．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25高一上·江苏·期中）已知幂函数经过点，则是（    ） A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在上是增函数 D．奇函数，且在上是减函数 【例3】．（24-25高一上·新疆·期中）已知函数，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型八：幂函数性质的综合问题 【例1】．（25-26高一上·全国·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【例2】．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求的值并写出的解析式； (2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【例3】．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数在区间上的值域； (3)若对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽宣城·期末）幂函数在上递减，则实数（   ） A． B． C．2 D．2或 2．（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025高一上·广东·专题练习）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（   ） A．B．C． D． 4．（2025·湖南·一模）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（   ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 5．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·广东·期中）幂函数的图象经过点，则是（    ） A．偶函数，且在上是减函数 B．偶函数，且在上是增函数 C．奇函数，且在上是减函数 D．非奇非偶函数，且在上是增函数 8．（21-22高一上·安徽·期中）幂函数在区间上单调递增，且，则的值（   ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数 是幂函数，对任意的 且 ，满足 ，若 ，则 的值（    ） A．恒大于 0 B．恒小于 0 C．等于 0 D．无法判断 10．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知幕函数在上单调递减，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（25-26高一上·全国·课后作业）下列大小关系正确的是（） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（    ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在定义域上为减函数 D．当时，恒成立 13．（24-25高一上·广东汕头·期中）下列说法正确的是（ ） A．若幂函数过点，则 B．函数表示幂函数 C．若幂函数在单调递增，则 D．幂函数的图象都过点和 14．（24-25高一上·湖南·期中）已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（    ） A． B． C．是偶函数 D．若，则 15．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 三、填空题 16．（24-25高一上·天津·期中）函数为幂函数，若函数在上单调递增，则实数 . 17．（2018·上海·高考真题）已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则 18．（2025高三·全国·专题练习）幂函数满足，则此函数可以是 ．（写出一个满足条件的答案即可） 19．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数是减函数，则实数的取值范围是 . 20．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是 . 21．（22-23高二上·江西新余·开学考试）已知幂函数在上单调递减，若正数满足，求的最小值 . 四、解答题 22．（24-25高一上·山东日照·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 23．（24-25高一上·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 24．（22-23高二上·河南·开学考试）已知幂函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求a的取值范围. 25．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知幂函数在区间上单调递减. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 26．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知函数为幂函数，且在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若函数，判断函数在上的单调性，并证明. 27．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知幂函数在上是减函数，. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 28．（24-25高一上·广东·期中）已知幂函数是奇函数，函数. (1)求； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)若在上的最小值为，求. 29．（24-25高一上·广东深圳·期中）如图所示的函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成.    (1)求的解析式； (2)比较与的大小； (3)已知，求的取值范围. 30．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知幂函数的图象经过点. (1)求的解析式. (2)设函数 ①判断的奇偶性； ②若在上恒成立，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $