第01讲：集合与常用逻辑用语【十大考点+十大题型】讲义-2025-2026学年高一数学上学期期期中《考点·题型·密卷》复习讲义（人教A版2019必修第一册）

第01讲：集合与常用逻辑用语 【题型归纳】 【考点梳理】 考点一．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 考点二.集合的基本关系 (1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； (2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则AB； (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； (4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 考点三．集合的基本运算 表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x∉A} ∁UA 考点四．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 考点五.全称量词和存在量词 (1)全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示． 知识点六．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x0) 特称命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，綈p(x) 【题型探究】 题型一：集合的含义和表示 【例1】．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知集合，则①；②；③；④中正确个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】．（25-26高一上·福建泉州·期中）下列给出的对象能构成集合的有（　　） ①某校2023年入学的全体高一年级新生； ②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生； ④不等式的所有正整数解. A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【例3】．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型二：集合的基本关系问题 【例1】．（25-26高一上·甘肃·期中）已知集合或，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25高一上·重庆·期中）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型三：集合的基本运算问题 【例1】．（25-26高一上·河南南阳·期中）若集合或，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【例2】．（25-26高一上·广西柳州·期中）已知集合，集合，则等于（   ） A． B． C． D． 【例3】．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 题型四：集合的应用 【例1】．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【例2】．（24-25高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 【例3】．（24-25高一上·四川泸州·期中）某学校举办了多个课余活动，高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加，则这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有（   ） A．4名 B．6名 C．8名 D．10名 题型五：集合新定义 【例1】．（24-25高一上·湖北恩施·期中）集合，，定义，则的非空真子集的个数为（   ） A．62 B．31 C．63 D．30 【例2】．（25-26高一上·全国·期中）若集合具有以下性质:①;②若，则;③若且，则，则称集合是“好集”.下列命题正确的个数是（   ） ①集合是“好集”； ②是“好集”； ③设集合是“好集”，若，，则. A．0 B．1 C．2 D．3 【例3】．（24-25高一上·广东·期中）已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 题型六：充分条件和必要条件 【例1】．（23-24高一上·北京昌平·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【例2】．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3】．（25-26高一上·吉林松原·期中）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型七：全称量词和特称量词及其否定 【例1】．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2】．（25-26高一上·广东茂名·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例3】．（24-25高一下·云南·期中）命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型八：逻辑语言的参数问题 【例1】．（24-25高一上·山东泰安·期中）命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为 . 【例2】．（24-25高一上·河南·期中）已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为 ． 【例3】．（23-24高一上·四川遂宁·期中）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 题型九：集合的参数问题 【例1】．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是 【例2】．（24-25高一上·湖北恩施·期中）设全集，，，若，则实数a的所有取值构成的集合为 ； 【例3】．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 题型十：逻辑用语和集合的综合问题 【例1】．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【例2】．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知全集，集合，，. (1)求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【例3】．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知集合，. (1)当时，求，；；； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【例4】．（25-26高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围； (3)若，使得，求实数的取值范围. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·甘肃定西·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·贵州黔南·期末）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·吉林松原·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东清远·期中）已知集合或，，则（    ） A． B．A⫋B C．B⫋A D． 5．（25-26高一上·广东清远·期中）已知集合，若，则符合条件的实数m的值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，，若集合，则（   ） A．0 B．2 C． D． 8．（25-26高一上·湖南·阶段练习）某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共52名学生，每人至少报了上述培训课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为30，25，20，其中既报了羽毛球培训课又报了乒乓球培训课的有13人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有8人，既报了乒乓球培训课又报了篮球培训课的有5人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（25-26高一上·湖南岳阳·阶段练习）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为或 10．（25-26高一上·湖南·阶段练习）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有（   ） A．若x，y是偶数，则是偶数 B．若方程有实根，则 C．若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线相等 D．若集合，则 11．（25-26高一上·江苏苏州·阶段练习）已知全集，集合，则（    ） A． B． C．U中的元素个数为5 D．若集合是质数}，则的子集有8个 12．（23-24高一上·四川泸州·期中）下列说法正确的有（    ） A．命题“”的否定是“” B．“”是“”的必要条件 C．命题“”是假命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 13．（25-26高一上·全国·单元测试）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论，正确的是（    ） A． B． C． D．“整数属于同一‘类’”的充要条件是“” 三、填空题 14．（25-26高一上·广东茂名·期中）方程组的解集用列举法表示为 . 15．（25-26高一上·河南南阳·期中）设集合 则中的元素个数为 16．（25-26高一上·上海·期中）设，，且，则实数组成的集合是 . 17．（25-26高一上·青海海南·阶段练习）已知或，或．若是的充分条件，则实数的最大值为 . 18．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）设，，，则实数的取值范围是 . 19．（24-25高一上·浙江杭州·期中）2024年10月21日，第52个梅森素数被发现，这也是迄今为止发现的最大素数.集合以这52个梅森素数为元素，其非空真子集有 个. 四、解答题 20．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知集合或，． (1)求，； (2)若，且，求实数k的取值范围． 21．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知全集，集合. (1)求； (2)若非空集合，且，求实数的取值范围. 22．（25-26高一上·河北邢台·阶段练习）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 23．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，非空集合，设全集为实数集. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 24．（25-26高一上·山东临沂·阶段练习）已知集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，且，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围. 25．（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲：集合与常用逻辑用语 【题型归纳】 【考点梳理】 考点一．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 考点二.集合的基本关系 (1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； (2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则AB； (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； (4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 考点三．集合的基本运算 表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x∉A} ∁UA 考点四．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 考点五.全称量词和存在量词 (1)全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示． 知识点六．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x0) 特称命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，綈p(x) 【题型探究】 题型一：集合的含义和表示 【例1】．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知集合，则①；②；③；④中正确个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先求出集合，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可. 【详解】由， 则，，，. 故选：C 【例2】．（25-26高一上·福建泉州·期中）下列给出的对象能构成集合的有（　　） ①某校2023年入学的全体高一年级新生； ②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生； ④不等式的所有正整数解. A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据题意结合集合的三要素逐项分析判断即可. 【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式，即的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B. 【例3】．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可. 【详解】由题意，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B. 题型二：集合的基本关系问题 【例1】．（25-26高一上·甘肃·期中）已知集合或，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，由题意可得⫋，列出不等式，即可得答案. 【详解】由或，得， 由是的充分不必要条件，得⫋，可得，解得. 故选：C. 【例2】．（24-25高一上·重庆·期中）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整数有理数的定义可判断A,B选项；利用集合的定义及集合的特性可判断C,D选项. 【详解】对于选项A：Z为正整数，显然A不正确； 对于选项B：Q为有理数，但为无理数，故B不正确； 对于选项C：利用集合元素的互异性即可判断，C正确； 对于选项D：表示集合里只有一个元素，而表示集合里的两个元素，两个集合不存在包含关系，故D不正确. 故选：C 【例3】．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出集合，再根据集合的包含关系及交集的定义即可得解. 【详解】由，得，解得， 故，， 所以是的真子集，， 故B正确，ACD错误. 故选：B. 题型三：集合的基本运算问题 【例1】．（25-26高一上·河南南阳·期中）若集合或，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由交集定义计算即可得. 【详解】由或，， 则或. 故选：D. 【例2】．（25-26高一上·广西柳州·期中）已知集合，集合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意以及一元二次不等式化简集合，进而可求交集. 【详解】因为集合， 且集合， 所以. 故选：A. 【例3】．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的运算，先求，再求即可. 【详解】由题知，， 又，则， 又，则 故选：A 题型四：集合的应用 【例1】．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【分析】根据集合的容斥原理即可求解. 【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 【例2】．（24-25高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 【答案】C 【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解. 【详解】设心理社为A，地理社为B，动漫社为C， 则， ， 得 即，得， 所以只参加一个社团的人数共有. 故选：C 【例3】．（24-25高一上·四川泸州·期中）某学校举办了多个课余活动，高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加，则这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有（   ） A．4名 B．6名 C．8名 D．10名 【答案】D 【分析】由集合的运算即可得出结果. 【详解】因为高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加， 所以这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有名． 故选：D. 题型五：集合新定义 【例1】．（24-25高一上·湖北恩施·期中）集合，，定义，则的非空真子集的个数为（   ） A．62 B．31 C．63 D．30 【答案】A 【分析】由新定义确定集合，再由非空真子集的计算公式求解. 【详解】由新定义知，， 所以的非空真子集的个数为， 故选：A 【例2】．（25-26高一上·全国·期中）若集合具有以下性质:①;②若，则;③若且，则，则称集合是“好集”.下列命题正确的个数是（   ） ①集合是“好集”； ②是“好集”； ③设集合是“好集”，若，，则. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据新定义，逐一检查每一条是否满足即可. 【详解】①中，集合，当，时，，故不是“好集”，即①错误； ②中，，，对任意的，，有，且时，. 所以有理数集是“好集”，故②正确； ③中，集合是“好集”，所以.若、，则，即. 所以，即，故③正确. 故选：C. 【例3】．（24-25高一上·广东·期中）已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 【答案】C 【分析】根据“孤立元”概念，分类讨论求解即可. 【详解】已知集合， “孤立元”为1的集合为，，，； “孤立元”为2的集合为，； “孤立元”为3的集合为； “孤立元”为4的集合为，； “孤立元”为5的集合为，，，； 综上，满足题意的集合有13个. 故选：C. 题型六：充分条件和必要条件 【例1】．（23-24高一上·北京昌平·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】举反例，根据充分必要条件的概念进行判断即可. 【详解】当时，满足，不满足，故“”不能推出“”； 当时，满足，不满足，故 “” 不能推出“”； 所以“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 【例2】．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求解分式不等式，再利用充要条件的判断方法即得. 【详解】由， 因是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【例3】．（25-26高一上·吉林松原·期中）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件，必要条件的定义判断. 【详解】时，不一定满足，充分性不成立； 而，即时一定满足，必要性成立. 则是的必要不充分条件. 故选：B 题型七：全称量词和特称量词及其否定 【例1】．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到答案. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题， 则命题“，”的否定是，. 故选：A. 【例2】．（25-26高一上·广东茂名·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题判断. 【详解】由存在量词命题的否定可知， “，”的否定是：，， 故选：A. 【例3】．（24-25高一下·云南·期中）命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式有解，结合存在命题的性质进行求解即可. 【详解】因为“，”是真命题， 所以不等式有解， 因此方程的判别式， 故选：B 题型八：逻辑语言的参数问题 【例1】．（24-25高一上·山东泰安·期中）命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，分别求得命题和为真命题时，实数的取值范围，分类讨论，即可求解. 【详解】若命题为真命题， 即方程在上有解，则满足，解得， 若命题为真命题， 即不等式在上恒成立，则满足，解得， 当命题为真命题且为假命题时，则满足； 当命题为假命题且为真命题时，则满足； 所以命题､一真一假时，可得或 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【例2】．（24-25高一上·河南·期中）已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由命题p是假命题，可知其否定为真命题，由此结合判别式列不等式，解得答案. 【详解】因为命题p是假命题，所以命题是真命题． 因为， 所以， 只需，即， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【例3】．（23-24高一上·四川遂宁·期中）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对，和分类讨论，即可得到的取值范围. 【详解】若，则对有，不满足条件； 若，则对任意有，满足条件； 若，则对有，不满足条件. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 题型九：集合的参数问题 【例1】．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据交集运算结果转化为包含关系即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为： 【例2】．（24-25高一上·湖北恩施·期中）设全集，，，若，则实数a的所有取值构成的集合为 ； 【答案】 【分析】先求出，分和两种情况，得到相应的方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得，又，故， ，若，满足，此时，即； 若，也满足，此时，解得； 故实数a的所有取值构成的集合为. 故答案为： 【例3】．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据集合的包含关系列不等式可求的取值范围. 【详解】因为，，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 题型十：逻辑用语和集合的综合问题 【例1】．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助指数函数单调性计算出集合后，利用补集与交集定义即可得； （2）分及，结合集合包含定义讨论即可得. 【详解】（1）由，解得，则，则， 由，则， 故； （2）当时，有，解得，此时； 当时，由，则，解得； 综上所述：. 【例2】．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知全集，集合，，. (1)求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）根据集合的运算法则计算； （2）转化为集合的包含关系求解． 【详解】（1）， 或， 所以或． （2）若“”是“”的必要不充分条件，则且， 所以且两个等号不能同时取得，解得． 所以的取值范围是． 【例3】．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知集合，. (1)当时，求，；；； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，，或，. (2) 【分析】（1）直接根据集合的交并补运算求解即可； （2）根据题意得真包含于，进而分与两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，，， 所以，， 或，或. （2）解：因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以 当时，,即，此不等式无解，故不成立； 当时，，解不等式得， 当时，此时有，不满足真包含于，舍去 综上，实数的取值范围 【例4】．（25-26高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围； (3)若，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由集合的交集并集运算得到答案； （2）由充分不必要条件转化为集合之间的包含关系，是的真子集，从而解得的取值范围； （3）由解得的取值范围，取补集得到时的取值范围. 【详解】（1）时，，所以，； （2）因为“”是“”成立的充分不必要条件，所以是的真子集， 因为恒成立，所以恒成立，所以， 由，解得，当时，，不符合是的真子集，舍去， 当时，是的真子集，符合题意， 所以要使得，则的取值范围是； （3）由“，使得”得， 若，则或，解得， 所以要使得，的取值范围是. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·甘肃定西·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用并集的定义直接求解. 【详解】由集合，，得.如图：    故选：A 2．（24-25高一上·贵州黔南·期末）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得结论. 【详解】因为命题“”属于全称量词命题， 所以命题“”的否定为“”. 故选：D. 3．（25-26高一上·吉林松原·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合与元素的关系讨论求解即可. 【详解】解：因为， 所以，，，，，即ABD不正确，C正确. 故选：C 4．（25-26高一上·广东清远·期中）已知集合或，，则（    ） A． B．A⫋B C．B⫋A D． 【答案】C 【分析】合数轴即可判断. 【详解】在数轴上标记两个集合， 知⫋. 故选：C 5．（25-26高一上·广东清远·期中）已知集合，若，则符合条件的实数m的值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】当时，； 当时，， 要使，则或，即或， 所以实数的值组成的集合为. 故选：C 6．（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解． 【详解】当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为 故选：C 7．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，，若集合，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据集合相等列式计算求出参数，最后代入求解即可. 【详解】因为集合，则，而，所以， 所以集合，结合集合元素的互异性，所以且，所以， 则. 故选：C. 8．（25-26高一上·湖南·阶段练习）某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共52名学生，每人至少报了上述培训课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为30，25，20，其中既报了羽毛球培训课又报了乒乓球培训课的有13人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有8人，既报了乒乓球培训课又报了篮球培训课的有5人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用韦恩图来求解即可. 【详解】设同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是．由图可知，解得． 故选：C.    二、多选题 9．（25-26高一上·湖南岳阳·阶段练习）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为或 【答案】AC 【分析】根据集合的描述法逐一分析判断即可得解. 【详解】对A，时，表示所有的奇数，A正确； 对B，表示小于10的实数集，B错；同理可得C正确； 对D，不是不等式的解，D错. 故选：AC. 10．（25-26高一上·湖南·阶段练习）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有（   ） A．若x，y是偶数，则是偶数 B．若方程有实根，则 C．若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线相等 D．若集合，则 【答案】ABC 【分析】根据充分条件的定义分别判断各个选项即可. 【详解】A．由x，y是偶数，能推出是偶数，则p是q的充分条件； B．方程有实根，则p是q的充分条件； C．由一个四边形是矩形，能够得到该四边形的对角线相等，则p是q的充分条件； D．由真子集的定义知，推不出则p不是q的充分条件． 故选:ABC． 11．（25-26高一上·江苏苏州·阶段练习）已知全集，集合，则（    ） A． B． C．U中的元素个数为5 D．若集合是质数}，则的子集有8个 【答案】ABC 【分析】求得集合可判断A；利用交集与并集的意义计算可判断BC，求得，由集合的子集计算公式计算可判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 又因为，所以，故B正确； 所以，故U中的元素个数为5，故C正确； 又集合是质数}，所以，所以的子集有个，故D错误. 故选：ABC. 12．（23-24高一上·四川泸州·期中）下列说法正确的有（    ） A．命题“”的否定是“” B．“”是“”的必要条件 C．命题“”是假命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】CD 【分析】根据命题的否定的定义判断A，由充分必要条件的定义判断BD，由全称命题的真假判断C． 【详解】选项A，全称命题的否定是特称命题，命题“”的否定是“”，A错误； 选项B，时，如，但不成立，不是必要条件，B错； 选项C，时，不成立，C正确； 选项D，有一正一负根，即， 反之，时，，有两个不等实根且，一正一负根，D正确． 故选：CD． 13．（25-26高一上·全国·单元测试）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论，正确的是（    ） A． B． C． D．“整数属于同一‘类’”的充要条件是“” 【答案】ACD 【分析】对于A求2026除以5的余数即可判断，对于B由即可判断，对于C整数集中的数被5除的余数为0，1，2，3，4，即可判断，对于D若两个数属于同一“类”，则对应的余数相同，则，当时，得，即进而求解. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为整数集中的数被5除的余数为0，1，2，3，4，所以，故C正确； 对于D：若两个数属于同一“类”，则对应的余数相同，其差能被5整除，故； 当时，，所以，所以， 即整数属于同一“类”，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题 14．（25-26高一上·广东茂名·期中）方程组的解集用列举法表示为 . 【答案】 【分析】解方程组，并用列举法表示即可. 【详解】由方程组，解得， 故方程组的解集用列举法表示为. 故答案为：. 15．（25-26高一上·河南南阳·期中）设集合 则中的元素个数为 【答案】 【分析】由题可得当时，，当时，，从而可得，两集合有个相同元素，再利用集合的并集运算即可求解. 【详解】由题集合 则中有个不同的元素， 又，可得中也有个不同的元素， 当时，，当时，, 当时，，当时，， 所以集合与有个相同元素4,17,54， 则中的元素个数为. 故答案为：. 16．（25-26高一上·上海·期中）设，，且，则实数组成的集合是 . 【答案】 【分析】先求出集合，再由可知，通过对参数进行分类讨论求出的取值集合. 【详解】由， 当时，，满足，故； 当时，，由可得：， 所以或解得或， 即实数组成的集合是， 故答案为： 17．（25-26高一上·青海海南·阶段练习）已知或，或．若是的充分条件，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】设对应的集合分别为，若是的充分条件，则，从而得到不等式，求出答案. 【详解】设对应的集合分别为， 或，或， 若是的充分条件，则， 所以，解得， 即实数的最大值是； 故答案为： 18．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）设，，，则实数的取值范围是 . 【答案】且且 【分析】根据确定集合的关系，根据两集合的关系，求参数的取值范围. 【详解】由或，所以. 因为，所以. 所以且. 若，则， 整理得，解得； 若，则， 整理得，解得或. 所以由，可得实数的取值范围是：且且. 故答案为：且且 19．（24-25高一上·浙江杭州·期中）2024年10月21日，第52个梅森素数被发现，这也是迄今为止发现的最大素数.集合以这52个梅森素数为元素，其非空真子集有 个. 【答案】 【分析】根据集合中元素的个数为，则该集合的非空真子集个数为求解即可. 【详解】因为集合中有52个元素，所以集合的非空真子集的个数为. 故答案为：. 四、解答题 20．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知集合或，． (1)求，； (2)若，且，求实数k的取值范围． 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）先求出集合，再利用并集的定义求出，根据补集的定义求出； （2）根据集合包含关系，分和两种情况讨论，列不等式组求出实数k的取值范围． 【详解】（1）集合， 或或， ． （2），， 由（1）知，， 当集合时，需满足，无实数解； 当时， 需满足，解得， 实数k的取值范围是． 21．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知全集，集合. (1)求； (2)若非空集合，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或. (2) 【分析】（1）利用集合的交并补定义，即可得出答案； （2）等价于，再由集合的包含关系与集合非空，即可列出不等式组，解出答案. 【详解】（1）； ， 或. （2）已知集合非空，且，所以满足， . 22．（25-26高一上·河北邢台·阶段练习）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）假设为真命题，求得，即可得答案； （2）由为真命题，可得，由题意可得或，求解即可. 【详解】（1）假设为真命题，即，使得不等式成立， 则对于即可． 又因为， 由于，则． 又因为为假命题， 所以实数的取值范围为． （2）若为真命题， 即，不等式成立， 则对于即可． 由于， 所以，解得， 又因为、有且只有一个是真命题， 则或， 或， 即， 所以实数的取值范围. 23．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，非空集合，设全集为实数集. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或； (2) 【分析】（1）根据并集，补集和交集的概念进行求解； （2）求出，根据并集结果得到不等式，求出答案. 【详解】（1）时，， 故， 或，或， 故或； （2），则，解得， 或，， 要想，需满足，解得， 综上，的取值范围是. 24．（25-26高一上·山东临沂·阶段练习）已知集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，且，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）是方程的根，代入即可求a； （2）分、和三种情况进行讨论即可； （3）由题意可得，分，，，四种情况讨论即可． 【详解】（1）因为，可知是方程的根， 则，解得． （2）因为， 若，且，可知， 当，则，满足题设； 当，则，解得； 当，则，解得； 综上所述：或或． （3）因为，且，则，可得， 当时，则无实数根， 可得，解得； 当时，有两相等实数根， 则，无解，不合题意； 当时，有两相等实数根， 则，无解，不合题意； 当时，有两个实数根， 则，无解，不合题意； 综上所述：的取值范围为． 25．（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合，再求即可； （2）由命题是命题的必要不充分条件得集合是集合的真子集，再分、讨论可得答案. 【详解】（1）， 若，则集合， 所以， 则=； （2）∵命题是命题的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，或， 解得， 综上所述，实数的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $